电磁场与电磁波复习课件精编版

2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1第一章

矢量分析小结1.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，它们都是空间坐标的连续函数。2.标量场

中，梯度的定义为其中为变化最快的方向上的单位矢量。

2022/12/18中南大学信息科学与工程学院1第一章

2022/12/24中南大学信息科学与工程学院23.矢量场

在闭合面S的通量定义为它是一个标量；矢量场的散度也是一个标量，定义为4.矢量场在闭合路径C的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个矢量，它定义为2022/12/18中南大学信息科学与工程学院23.矢2022/12/24中南大学信息科学与工程学院35.矢量分析中重要的恒等式有高斯定理斯托克斯定理2022/12/18中南大学信息科学与工程学院35.矢量分析2022/12/24中南大学信息科学与工程学院46.算符矢量算符在直角坐标内，所以是个矢量，而是个标量，是个矢量。因而矢量算符符合矢量标积、矢积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，再作微分运算。7.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研究它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院46.算符2022/12/24中南大学信息科学与工程学院5直角坐标系单位方向矢量：矢量函数：其位置矢量：空间任一点P（x0,y0,z0):坐标变量:变量取值范围：微分元：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院5直角坐标系单2022/12/24中南大学信息科学与工程学院6圆柱坐标系单位方向矢量：矢量函数：其位置矢量：空间任一点P(r0,ψ0,z0)变量取值范围微分元2022/12/18中南大学信息科学与工程学院6圆柱坐标系单2022/12/24中南大学信息科学与工程学院7柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．2022/12/18中南大学信息科学与工程学院7柱面坐标与直2022/12/24中南大学信息科学与工程学院8球面坐标系单位方向矢量：矢量函数：位置矢量：变量取值范围:微分元：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院8球面坐标系单2022/12/24中南大学信息科学与工程学院9如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标与直角坐标的关系为2022/12/18中南大学信息科学与工程学院9如图，三坐标2022/12/24中南大学信息科学与工程学院10柱坐标2022/12/18中南大学信息科学与工程学院10柱坐标2022/12/24中南大学信息科学与工程学院11球坐标2022/12/18中南大学信息科学与工程学院11球坐标2022/12/24中南大学信息科学与工程学院12

第二章电磁场的基本规律小结1.电荷分布形态分为四种形式：

点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷电荷体密度电荷面密度电荷线密度点电荷的电荷密度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院12第二章2022/12/24中南大学信息科学与工程学院132.电流分布

体电流

流过任意曲面S的电流为面电流通过薄导体层上任意有向曲线

的电流为2022/12/18中南大学信息科学与工程学院132.电流分2022/12/24中南大学信息科学与工程学院14积分形式微分形式恒定电流的连续性方程3.电流连续性方程2022/12/18中南大学信息科学与工程学院14积分形式微2022/12/24中南大学信息科学与工程学院15面密度为的面分布电荷的电场强度线密度为的线分布电荷的电场强度体密度为的体分布电荷产生的电场强度

根据上述定义，真空中静止点电荷q

激发的电场为4.电场强度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院15面密度为2022/12/24中南大学信息科学与工程学院165.静电场的散度和旋度静电场的散度（微分形式）静电场的高斯定理（积分形式）静电场的旋度（微分形式）静电场的环路定理（积分形式）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院165.静电场2022/12/24中南大学信息科学与工程学院176.磁感应强度任意电流回路C产生的磁感应强度电流元产生的磁感应强度体电流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院176.磁感应2022/12/24中南大学信息科学与工程学院187.恒定磁场的散度与旋度恒定场的散度（微分形式）磁通连续性原理（积分形式）恒定磁场的旋度（微分形式）安培环路定理（积分形式）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院187.恒定磁2022/12/24中南大学信息科学与工程学院19

极化强度与电场强度有关在线性、各向同性的电介质中，与电场强度成正比，即8.电介质的极化

——电介质的电极化率

(1)

极化电荷体密度(2)

极化电荷面密度定义：电位移矢量2022/12/18中南大学信息科学与工程学院19极化强2022/12/24中南大学信息科学与工程学院209.静电场在电介质中的基本方程,及介质的本构关系对于线性各向同性介质，小结：静电场是有散无旋场，电介质中的基本方程为

（微分形式），

（积分形式）

2022/12/18中南大学信息科学与工程学院209.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院2110.介质的磁化及磁化电流（1）磁化电流体密度（2）磁化电流面密度恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式）11.恒定磁场在磁介质中的基本方程,及介质的本构关系定义磁场强度为：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2110.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院22

磁化强度

和磁场强度

之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，与之间存在简单的线性关系：磁介质中的本构关系式2022/12/18中南大学信息科学与工程学院222022/12/24中南大学信息科学与工程学院2312.欧姆定律的微分形式。式中的比例系数称为媒质的电导率，单位是S/m（西/米）。13.法拉第电磁感应定律相应的微分形式为相应的微分形式为(1)

回路不变，磁场随时间变化引起回路中磁通变化的几种情况2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2312.欧姆2022/12/24中南大学信息科学与工程学院24(2)

导体回路在恒定磁场中运动(3)

回路在时变磁场中运动微分形式14.位移电流密度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院24(2)2022/12/24中南大学信息科学与工程学院2515.麦克斯韦方程组的积分形式（全电流定律）（法拉第电磁感应定律）（磁通连续性方程方程）（电介质中的高斯定律）（电流连续性方程）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2515.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院2616.麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，随时间变化的电场也是产生磁场的源。麦克斯韦第二方程，表明随时间变化的磁场也是产生电场的源（漩涡源）。麦克斯韦第三方程表明磁场是无通量源的场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，表明电场是有通量源的场，电荷是产生电场的通量源。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2616.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院2717.媒质的本构关系

各向同性、线性媒质的本构关系为18.电磁场的边界条件

分界面上的电荷面密度

分界面上的电流面密度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2717.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院2819.两种理想介质分界面上的边界条件

在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS＝0、ρS＝0，故

的法向分量连续

的法向分量连续

的切向分量连续

的切向分量连续2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2819.两种2022/12/24中南大学信息科学与工程学院2920.理想导体表面上的边界条件

理想导体表面上的边界条件设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故理想导体表面上的电荷密度等于的法向分量理想导体表面上的法向分量为0理想导体表面上的切向分量为0理想导体表面上的电流密度等于的切向分量2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2920.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院30Ex:一段两端封闭的圆形同轴导体，长度为l内导体半径为a，外导体半径为b。同轴导线的轴线与z轴重合，两端面分别位于z=0和z=l处，如图所示。设导体的电导率为=，内外导体空间的媒质为空气。若已知导体间的磁场强度为：求:(1)导体间的电场强度；

(2)导体表面上的电流面密度和电荷面密度。xy解：（1）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院30Ex:2022/12/24中南大学信息科学与工程学院31（2）z=0z=lxy2022/12/18中南大学信息科学与工程学院31（2）z=2022/12/24中南大学信息科学与工程学院32（2）在内导体r=axy在外导体r=b2022/12/18中南大学信息科学与工程学院32（2）在内2022/12/24中南大学信息科学与工程学院33一、静电场的基本方程和边界条件第三章静态电磁场及其边值问题的解小结2.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形式：或或若分界面上不存在面电荷，即，则2022/12/18中南大学信息科学与工程学院33一、静电2022/12/24中南大学信息科学与工程学院34由1.电位函数的定义二、电位函数

面电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：3、电位积分表达式：体电荷的电位：2、P、Q两点间的电位差2022/12/18中南大学信息科学与工程学院34由1.电2022/12/24中南大学信息科学与工程学院354、电位方程在均匀介质中，有标量泊松方程在无源区域，有拉普拉斯方程5.静电位的边界条件

若介质分界面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：常数，媒质2媒质12022/12/18中南大学信息科学与工程学院354、电位方2022/12/24中南大学信息科学与工程学院36(1)假定两导体上分别带电荷+q

和－q

；

计算电容的方法一：(4)求比值，即得出所求电容。(3)由 ，求出两导体间的电位差；(2)计算两导体间的电场强度E；

计算电容的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U

；(2)计算两电极间的电位分布

；(3)由得到E

;

(4)由得到

;(5)由 ，求出导体的电荷q

；(6)求比值，即得出所求电容。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院36(1)2022/12/24中南大学信息科学与工程学院37三、静电场能量电荷系统的总能量为导体系统的能量为

电场能量密度：

电场的总能量：

对于线性、各向同性介质，则有2022/12/18中南大学信息科学与工程学院37三、静电场2022/12/24中南大学信息科学与工程学院38

不变四、静电力q不变五、恒定电场分析1、基本方程

恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：

恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度

线性各向同性导电媒质的本构关系2022/12/18中南大学信息科学与工程学院38不2022/12/24中南大学信息科学与工程学院392.恒定电场的边界条件即即场矢量的折射关系

电位的边界条件

导电媒质分界面上的电荷面密度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院392.恒2022/12/24中南大学信息科学与工程学院403.恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场2022/12/18中南大学信息科学与工程学院403.恒定电2022/12/24中南大学信息科学与工程学院41(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度矢量J；由J=E

得到E

;

由，求出两导体间的电位差；(5)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法一：

计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；

(2)计算两电极间的电位分布

；

(3)由得到E

;(4)由J=E

得到J

;(5)由 ，求出两导体间电流；

(6)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法三：静电比拟法：4、电导的计算方法2022/12/18中南大学信息科学与工程学院41(1)2022/12/24中南大学信息科学与工程学院42微分形式:1.基本方程2.边界条件本构关系：或若分界面上不存在面电流，即JS＝0，则积分形式:或六、恒定磁场2022/12/18中南大学信息科学与工程学院42微分形式:2022/12/24中南大学信息科学与工程学院433、恒定磁场的矢量磁位库仑规范引入：

磁矢位的微分方程在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的边界条件2022/12/18中南大学信息科学与工程学院433、恒定磁2022/12/24中南大学信息科学与工程学院444.恒定磁场的标量磁位但在无传导电流（J＝0）的空间中，则有标量磁位或磁标位

磁标位的微分方程在线性、各向同性的均匀媒质中

标量磁位的边界条件和2022/12/18中南大学信息科学与工程学院444.恒2022/12/24中南大学信息科学与工程学院45七、电感1.自感I为回路C中的电流，为I所产生的磁场与回路C交链的磁链，

单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量

多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和

回路C1对回路C2的互感3.互感回路C2对回路C1

的互感为M12=M212022/12/18中南大学信息科学与工程学院45七、电感2022/12/24中南大学信息科学与工程学院46八、恒定磁场的能量电流为I的载流回路具有的磁场能量Wm对于两个电流回路C1和回路C2

，有磁场能量密度磁场能量密度：

磁场的总能量：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院46八、恒2022/12/24中南大学信息科学与工程学院472、磁场力

不变不变九、惟一性定理

在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院472、磁场力2022/12/24中南大学信息科学与工程学院48

十、镜像法：必须保证原问题的方程不变，边界条件不变像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。十一、分离变量法解决求有边界区域的场的解思路：套用通解，根据边界条件来定待定系数2022/12/18中南大学信息科学与工程学院48十、镜像2022/12/24中南大学信息科学与工程学院49

对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为,则所有镜像电荷数目为2n-1个。一般，只要满足为偶数，就可以用镜像法来求解，若不满足，则镜像电荷会出现在所求解的场域内，不能用镜像法来求解。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院492022/12/24中南大学信息科学与工程学院50第四章时变电磁场小结一、电磁波动方程二、位函数洛伦兹条件达朗贝尔方程2022/12/18中南大学信息科学与工程学院50第四章2022/12/24中南大学信息科学与工程学院511、电磁能量密度：四、电磁场能量

表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：2、坡印廷定理微分形式：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院511、电磁能2022/12/24中南大学信息科学与工程学院52

(W/m2

)

的方向

——电磁能量传输的方向

的大小

——通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率3、坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）复矢量五、时谐电磁场1、复矢量2022/12/18中南大学信息科学与工程学院522022/12/24中南大学信息科学与工程学院532、复矢量的麦克斯韦方程3、导电媒质的等效介电常数c=

－jσ/ω2022/12/18中南大学信息科学与工程学院532、复2022/12/24中南大学信息科学与工程学院544、电介质的复介电常数5、同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质6、磁介质的复磁导率复介电常数为7、亥姆霍兹方程

复矢量2022/12/18中南大学信息科学与工程学院544、电介质2022/12/24中南大学信息科学与工程学院558、平均能量密度和平均能流密度矢量

平均能流密度矢量平均电场能量密度平均磁场能量密度

在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计算，有2022/12/18中南大学信息科学与工程学院558、平均2022/12/24中南大学信息科学与工程学院56第五章均匀平面波在无界空间中的传播小结一、均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波二、理想介质中的均匀平面波的传播特点

电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM波）。

无衰减，电场与磁场的振幅不变。

波阻抗为实数，电场与磁场同相位。

电磁波的相速与频率无关，无色散。

电场能量密度等于磁场能量密度，能量的传输速度等于相速。媒质的本征阻抗2022/12/18中南大学信息科学与工程学院56第五章2022/12/24中南大学信息科学与工程学院57电磁场中的一些重要参数周期T

：时间相位变化2π的时间间隔，即角频率ω

：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s

频率f

：k的大小等于空间距离2π内所包含的波长数目，因此也称为波数。波长λ

：空间相位差为2π

的两个波阵面的间距，即相位常数

k

：表示波传播单位距离的相位变化2022/12/18中南大学信息科学与工程学院57电磁场中的2022/12/24中南大学信息科学与工程学院58相速v：电磁波的等相位面在空间中的移动速度故得到均匀平面波的相速为相速只与媒质参数有关，而与电磁波的频率无关三、沿任意方向传播的均匀平面波沿传播方向的均匀平面波

2022/12/18中南大学信息科学与工程学院58相速v：电2022/12/24中南大学信息科学与工程学院59

条件：或四、电磁波的极化

一般情况下，沿+z方向传播的均匀平面波，其中

电磁波的极化状态取决于Ex和Ey的振幅之间和相位之间的关系，分为：线极化、圆极化、椭圆极化。1、线极化

特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢端轨迹与x轴的夹角始终保持不变。

2022/12/18中南大学信息科学与工程学院59条件2022/12/24中南大学信息科学与工程学院602、

圆极化波

条件：

特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变化，电场的矢端在一个圆上并以角速度ω

旋转。

右旋圆极化波：若φy－φx＝－π/2，则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波

左旋圆极化波：若φy－φx＝π/2，则电场矢端的旋转方向电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波2022/12/18中南大学信息科学与工程学院602、圆2022/12/24中南大学信息科学与工程学院61其它情况下，令3、

椭圆极化波

特点：合成波电场的大小和方向都随时间改变，其端点在一个椭圆上旋转。

线极化：φ＝0、±

。φ＝0，在1、3象限；φ＝±

，在2、4象限。

椭圆极化：其它情况。0<φ

<，左旋；－<φ＜0，右旋。

圆极化：φ＝±

/2，Exm＝Eym。取“＋”，左旋圆极化；取“－”，右旋圆极化。

电磁波的极化状态取决于Ex和Ey的振幅Exm、Eym和相位差

φ＝φy－φx

对于沿+z方向传播的均匀平面波：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院61其它情况下2022/12/24中南大学信息科学与工程学院62五、导电媒质中的均匀平面波1、导电媒质中均匀平面波的传播特点：

电场强度E、磁场强度H与波的传播方向相互垂直，是横电磁波（TEM波）；

媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于电场角；

在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；

波的传播速度（相度）不仅与媒质参数有关，而且与频率有关（有色散）。

平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院62五、导电媒2022/12/24中南大学信息科学与工程学院632、弱导电媒质中均匀平面波的特点

相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；

衰减小；

电场和磁场之间存在较小的相位差。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院632、弱导电2022/12/24中南大学信息科学与工程学院64良导体：3、良导体中的均匀平面波

良导体中的参数波长：相速：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院64良导体：32022/12/24中南大学信息科学与工程学院65

趋肤深度（）：电磁波进入良导体后，其振幅下降到表面处振幅的1/e时所传播的距离。本征阻抗良导体中电磁波的磁场强度的相位滞后于电场强度45o。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院65趋肤深度2022/12/24中南大学信息科学与工程学院66六、色散与群速

群速：载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就是群速。——无色散——正常色散——反常色散

群速vg：包络波的恒定相位点推进速度

相速vp：载波的恒定相位点推进速度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院66六、色散与2022/12/24中南大学信息科学与工程学院67第六章均匀平面波的反射与透射小结一、均匀平面波垂直入射1对导电媒质分界面的垂直入射媒质1中的入射波：媒质1中的反射波：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院67第六章均2022/12/24中南大学信息科学与工程学院68媒质1中的合成波：媒质2中的透射波：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院68媒质1中的2022/12/24中南大学信息科学与工程学院69在分界面z=0上，电场强度和磁场强度切向分量连续，即反射系数和透射系数

和是复数，表明反射波和透射波的振幅和相位与入射波都不同。

若两种媒质均为理想介质，即1=2=0，则得到

若媒质2为理想导体，即2=，则

，故有2022/12/18中南大学信息科学与工程学院69在分界面z2022/12/24中南大学信息科学与工程学院702对理想导体表面的垂直入射

电场波节点（的最小值的位置）(n=0,1,2,3,…)(n=0,1,2,3,…)

电场波腹点（的最大值的位置）入射波和反射波的电场，合成波形成驻波。

在时间上有π/2

的相移。

在空间上错开λ/4。

坡印廷矢量的平均值为零。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院702对理2022/12/24中南大学信息科学与工程学院71

驻波系数S

定义为驻波的电场强度振幅的最大值与最小值之比，即驻波系数(驻波比)S3对理想介质表面的垂直入射合成波为由行波和纯驻波合成的波称为行驻波（混合波）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院712022/12/24中南大学信息科学与工程学院72二、均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射

1反射定律与折射定律——反射角

r

等于入射角i

（斯耐尔反射定律）——折射角t

与入射角i

的关系

（斯耐尔折射定律）式中，。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院72二、均匀平2022/12/24中南大学信息科学与工程学院732反射系数与折射系数（1）垂直极化波:2022/12/18中南大学信息科学与工程学院732反射2022/12/24中南大学信息科学与工程学院74（2）平行极化波:2022/12/18中南大学信息科学与工程学院74（2）平行2022/12/24中南大学信息科学与工程学院753全反射与全透射临界角（1）全反射发生全反射的条件

透射波沿分界面方向传播，但透射波的振幅沿垂直于分界面的方向上呈指数衰减，形成表面波。θ

i=θc时，2022/12/18中南大学信息科学与工程学院753全反2022/12/24中南大学信息科学与工程学院76（2）全透射布儒斯特角发生全透射的条件——平行极化波发生全透射。当θi＝θb时，Γ//=

0

在非磁性媒质中，垂直极化入射的波不会产生全透射。任意极化波以θi＝θb

入射时，平行极化波分量全部透射，反射波中只有垂直极化分量——极化滤波。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院76（2）全透2022/12/24中南大学信息科学与工程学院77第一章

矢量分析小结1.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，它们都是空间坐标的连续函数。2.标量场

中，梯度的定义为其中为变化最快的方向上的单位矢量。

2022/12/18中南大学信息科学与工程学院1第一章

2022/12/24中南大学信息科学与工程学院783.矢量场

在闭合面S的通量定义为它是一个标量；矢量场的散度也是一个标量，定义为4.矢量场在闭合路径C的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个矢量，它定义为2022/12/18中南大学信息科学与工程学院23.矢2022/12/24中南大学信息科学与工程学院795.矢量分析中重要的恒等式有高斯定理斯托克斯定理2022/12/18中南大学信息科学与工程学院35.矢量分析2022/12/24中南大学信息科学与工程学院806.算符矢量算符在直角坐标内，所以是个矢量，而是个标量，是个矢量。因而矢量算符符合矢量标积、矢积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，再作微分运算。7.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研究它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院46.算符2022/12/24中南大学信息科学与工程学院81直角坐标系单位方向矢量：矢量函数：其位置矢量：空间任一点P（x0,y0,z0):坐标变量:变量取值范围：微分元：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院5直角坐标系单2022/12/24中南大学信息科学与工程学院82圆柱坐标系单位方向矢量：矢量函数：其位置矢量：空间任一点P(r0,ψ0,z0)变量取值范围微分元2022/12/18中南大学信息科学与工程学院6圆柱坐标系单2022/12/24中南大学信息科学与工程学院83柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．2022/12/18中南大学信息科学与工程学院7柱面坐标与直2022/12/24中南大学信息科学与工程学院84球面坐标系单位方向矢量：矢量函数：位置矢量：变量取值范围:微分元：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院8球面坐标系单2022/12/24中南大学信息科学与工程学院85如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标与直角坐标的关系为2022/12/18中南大学信息科学与工程学院9如图，三坐标2022/12/24中南大学信息科学与工程学院86柱坐标2022/12/18中南大学信息科学与工程学院10柱坐标2022/12/24中南大学信息科学与工程学院87球坐标2022/12/18中南大学信息科学与工程学院11球坐标2022/12/24中南大学信息科学与工程学院88

第二章电磁场的基本规律小结1.电荷分布形态分为四种形式：

点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷电荷体密度电荷面密度电荷线密度点电荷的电荷密度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院12第二章2022/12/24中南大学信息科学与工程学院892.电流分布

体电流

流过任意曲面S的电流为面电流通过薄导体层上任意有向曲线

的电流为2022/12/18中南大学信息科学与工程学院132.电流分2022/12/24中南大学信息科学与工程学院90积分形式微分形式恒定电流的连续性方程3.电流连续性方程2022/12/18中南大学信息科学与工程学院14积分形式微2022/12/24中南大学信息科学与工程学院91面密度为的面分布电荷的电场强度线密度为的线分布电荷的电场强度体密度为的体分布电荷产生的电场强度

根据上述定义，真空中静止点电荷q

激发的电场为4.电场强度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院15面密度为2022/12/24中南大学信息科学与工程学院925.静电场的散度和旋度静电场的散度（微分形式）静电场的高斯定理（积分形式）静电场的旋度（微分形式）静电场的环路定理（积分形式）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院165.静电场2022/12/24中南大学信息科学与工程学院936.磁感应强度任意电流回路C产生的磁感应强度电流元产生的磁感应强度体电流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院176.磁感应2022/12/24中南大学信息科学与工程学院947.恒定磁场的散度与旋度恒定场的散度（微分形式）磁通连续性原理（积分形式）恒定磁场的旋度（微分形式）安培环路定理（积分形式）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院187.恒定磁2022/12/24中南大学信息科学与工程学院95

极化强度与电场强度有关在线性、各向同性的电介质中，与电场强度成正比，即8.电介质的极化

——电介质的电极化率

(1)

极化电荷体密度(2)

极化电荷面密度定义：电位移矢量2022/12/18中南大学信息科学与工程学院19极化强2022/12/24中南大学信息科学与工程学院969.静电场在电介质中的基本方程,及介质的本构关系对于线性各向同性介质，小结：静电场是有散无旋场，电介质中的基本方程为

（微分形式），

（积分形式）

2022/12/18中南大学信息科学与工程学院209.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院9710.介质的磁化及磁化电流（1）磁化电流体密度（2）磁化电流面密度恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式）11.恒定磁场在磁介质中的基本方程,及介质的本构关系定义磁场强度为：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2110.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院98

磁化强度

和磁场强度

之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，与之间存在简单的线性关系：磁介质中的本构关系式2022/12/18中南大学信息科学与工程学院222022/12/24中南大学信息科学与工程学院9912.欧姆定律的微分形式。式中的比例系数称为媒质的电导率，单位是S/m（西/米）。13.法拉第电磁感应定律相应的微分形式为相应的微分形式为(1)

回路不变，磁场随时间变化引起回路中磁通变化的几种情况2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2312.欧姆2022/12/24中南大学信息科学与工程学院100(2)

导体回路在恒定磁场中运动(3)

回路在时变磁场中运动微分形式14.位移电流密度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院24(2)2022/12/24中南大学信息科学与工程学院10115.麦克斯韦方程组的积分形式（全电流定律）（法拉第电磁感应定律）（磁通连续性方程方程）（电介质中的高斯定律）（电流连续性方程）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2515.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院10216.麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，随时间变化的电场也是产生磁场的源。麦克斯韦第二方程，表明随时间变化的磁场也是产生电场的源（漩涡源）。麦克斯韦第三方程表明磁场是无通量源的场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，表明电场是有通量源的场，电荷是产生电场的通量源。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2616.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院10317.媒质的本构关系

各向同性、线性媒质的本构关系为18.电磁场的边界条件

分界面上的电荷面密度

分界面上的电流面密度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2717.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院10419.两种理想介质分界面上的边界条件

在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS＝0、ρS＝0，故

的法向分量连续

的法向分量连续

的切向分量连续

的切向分量连续2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2819.两种2022/12/24中南大学信息科学与工程学院10520.理想导体表面上的边界条件

理想导体表面上的边界条件设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故理想导体表面上的电荷密度等于的法向分量理想导体表面上的法向分量为0理想导体表面上的切向分量为0理想导体表面上的电流密度等于的切向分量2022/12/18中南大学信息科学与工程学院2920.2022/12/24中南大学信息科学与工程学院106Ex:一段两端封闭的圆形同轴导体，长度为l内导体半径为a，外导体半径为b。同轴导线的轴线与z轴重合，两端面分别位于z=0和z=l处，如图所示。设导体的电导率为=，内外导体空间的媒质为空气。若已知导体间的磁场强度为：求:(1)导体间的电场强度；

(2)导体表面上的电流面密度和电荷面密度。xy解：（1）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院30Ex:2022/12/24中南大学信息科学与工程学院107（2）z=0z=lxy2022/12/18中南大学信息科学与工程学院31（2）z=2022/12/24中南大学信息科学与工程学院108（2）在内导体r=axy在外导体r=b2022/12/18中南大学信息科学与工程学院32（2）在内2022/12/24中南大学信息科学与工程学院109一、静电场的基本方程和边界条件第三章静态电磁场及其边值问题的解小结2.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形式：或或若分界面上不存在面电荷，即，则2022/12/18中南大学信息科学与工程学院33一、静电2022/12/24中南大学信息科学与工程学院110由1.电位函数的定义二、电位函数

面电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：3、电位积分表达式：体电荷的电位：2、P、Q两点间的电位差2022/12/18中南大学信息科学与工程学院34由1.电2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1114、电位方程在均匀介质中，有标量泊松方程在无源区域，有拉普拉斯方程5.静电位的边界条件

若介质分界面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：常数，媒质2媒质12022/12/18中南大学信息科学与工程学院354、电位方2022/12/24中南大学信息科学与工程学院112(1)假定两导体上分别带电荷+q

和－q

；

计算电容的方法一：(4)求比值，即得出所求电容。(3)由 ，求出两导体间的电位差；(2)计算两导体间的电场强度E；

计算电容的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U

；(2)计算两电极间的电位分布

；(3)由得到E

;

(4)由得到

;(5)由 ，求出导体的电荷q

；(6)求比值，即得出所求电容。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院36(1)2022/12/24中南大学信息科学与工程学院113三、静电场能量电荷系统的总能量为导体系统的能量为

电场能量密度：

电场的总能量：

对于线性、各向同性介质，则有2022/12/18中南大学信息科学与工程学院37三、静电场2022/12/24中南大学信息科学与工程学院114

不变四、静电力q不变五、恒定电场分析1、基本方程

恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：

恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度

线性各向同性导电媒质的本构关系2022/12/18中南大学信息科学与工程学院38不2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1152.恒定电场的边界条件即即场矢量的折射关系

电位的边界条件

导电媒质分界面上的电荷面密度2022/12/18中南大学信息科学与工程学院392.恒2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1163.恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场2022/12/18中南大学信息科学与工程学院403.恒定电2022/12/24中南大学信息科学与工程学院117(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度矢量J；由J=E

得到E

;

由，求出两导体间的电位差；(5)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法一：

计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；

(2)计算两电极间的电位分布

；

(3)由得到E

;(4)由J=E

得到J

;(5)由 ，求出两导体间电流；

(6)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法三：静电比拟法：4、电导的计算方法2022/12/18中南大学信息科学与工程学院41(1)2022/12/24中南大学信息科学与工程学院118微分形式:1.基本方程2.边界条件本构关系：或若分界面上不存在面电流，即JS＝0，则积分形式:或六、恒定磁场2022/12/18中南大学信息科学与工程学院42微分形式:2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1193、恒定磁场的矢量磁位库仑规范引入：

磁矢位的微分方程在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的边界条件2022/12/18中南大学信息科学与工程学院433、恒定磁2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1204.恒定磁场的标量磁位但在无传导电流（J＝0）的空间中，则有标量磁位或磁标位

磁标位的微分方程在线性、各向同性的均匀媒质中

标量磁位的边界条件和2022/12/18中南大学信息科学与工程学院444.恒2022/12/24中南大学信息科学与工程学院121七、电感1.自感I为回路C中的电流，为I所产生的磁场与回路C交链的磁链，

单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量

多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和

回路C1对回路C2的互感3.互感回路C2对回路C1

的互感为M12=M212022/12/18中南大学信息科学与工程学院45七、电感2022/12/24中南大学信息科学与工程学院122八、恒定磁场的能量电流为I的载流回路具有的磁场能量Wm对于两个电流回路C1和回路C2

，有磁场能量密度磁场能量密度：

磁场的总能量：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院46八、恒2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1232、磁场力

不变不变九、惟一性定理

在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）2022/12/18中南大学信息科学与工程学院472、磁场力2022/12/24中南大学信息科学与工程学院124

十、镜像法：必须保证原问题的方程不变，边界条件不变像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。十一、分离变量法解决求有边界区域的场的解思路：套用通解，根据边界条件来定待定系数2022/12/18中南大学信息科学与工程学院48十、镜像2022/12/24中南大学信息科学与工程学院125

对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为,则所有镜像电荷数目为2n-1个。一般，只要满足为偶数，就可以用镜像法来求解，若不满足，则镜像电荷会出现在所求解的场域内，不能用镜像法来求解。2022/12/18中南大学信息科学与工程学院492022/12/24中南大学信息科学与工程学院126第四章时变电磁场小结一、电磁波动方程二、位函数洛伦兹条件达朗贝尔方程2022/12/18中南大学信息科学与工程学院50第四章2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1271、电磁能量密度：四、电磁场能量

表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：2、坡印廷定理微分形式：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院511、电磁能2022/12/24中南大学信息科学与工程学院128

(W/m2

)

的方向

——电磁能量传输的方向

的大小

——通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率3、坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）复矢量五、时谐电磁场1、复矢量2022/12/18中南大学信息科学与工程学院522022/12/24中南大学信息科学与工程学院1292、复矢量的麦克斯韦方程3、导电媒质的等效介电常数c=

－jσ/ω2022/12/18中南大学信息科学与工程学院532、复2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1304、电介质的复介电常数5、同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质6、磁介质的复磁导率复介电常数为7、亥姆霍兹方程

复矢量2022/12/18中南大学信息科学与工程学院544、电介质2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1318、平均能量密度和平均能流密度矢量

平均能流密度矢量平均电场能量密度平均磁场能量密度

在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计算，有2022/12/18中南大学信息科学与工程学院558、平均2022/12/24中南大学信息科学与工程学院132第五章均匀平面波在无界空间中的传播小结一、均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波二、理想介质中的均匀平面波的传播特点

电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM波）。

无衰减，电场与磁场的振幅不变。

波阻抗为实数，电场与磁场同相位。

电磁波的相速与频率无关，无色散。

电场能量密度等于磁场能量密度，能量的传输速度等于相速。媒质的本征阻抗2022/12/18中南大学信息科学与工程学院56第五章2022/12/24中南大学信息科学与工程学院133电磁场中的一些重要参数周期T

：时间相位变化2π的时间间隔，即角频率ω

：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s

频率f

：k的大小等于空间距离2π内所包含的波长数目，因此也称为波数。波长λ

：空间相位差为2π

的两个波阵面的间距，即相位常数

k

：表示波传播单位距离的相位变化2022/12/18中南大学信息科学与工程学院57电磁场中的2022/12/24中南大学信息科学与工程学院134相速v：电磁波的等相位面在空间中的移动速度故得到均匀平面波的相速为相速只与媒质参数有关，而与电磁波的频率无关三、沿任意方向传播的均匀平面波沿传播方向的均匀平面波

2022/12/18中南大学信息科学与工程学院58相速v：电2022/12/24中南大学信息科学与工程学院135

条件：或四、电磁波的极化

一般情况下，沿+z方向传播的均匀平面波，其中

电磁波的极化状态取决于Ex和Ey的振幅之间和相位之间的关系，分为：线极化、圆极化、椭圆极化。1、线极化

特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢端轨迹与x轴的夹角始终保持不变。

2022/12/18中南大学信息科学与工程学院59条件2022/12/24中南大学信息科学与工程学院1362、

圆极化波

条件：

特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变化，电场的矢端在一个圆上并以角速度ω

旋转。

右旋圆极化波：若φy－φx＝－π/2，则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波

左旋圆极化波：若φy－φx＝π/2，则电场矢端的旋转方向电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波2022/12/18中南大学信息科学与工程学院602、圆2022/12/24中南大学信息科学与工程学院137其它情况下，令3、

椭圆极化波

特点：合成波电场的大小和方向都随时间改变，其端点在一个椭圆上旋转。

线极化：φ＝0、±

。φ＝0，在1、3象限；φ＝±

，在2、4象限。

椭圆极化：其它情况。0<φ

<，左旋；－<φ＜0，右旋。

圆极化：φ＝±

/2，Exm＝Eym。取“＋”，左旋圆极化；取“－”，右旋圆极化。

电磁波的极化状态取决于Ex和Ey的振幅Exm、Eym和相位差

φ＝φy－φx

对于沿+z方向传播的均匀平面波：2022/12/18中南大学信息科学与工程学院