山东省聊城市2022-2023学年高二上学期开学考试数学试卷(含详解)

高二上学期第一次考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分.1.若q：a,b, 是三个非零向量；q：伍,b,刃为空间的一个基底，则p是g的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.若A（祖+1,〃一1,3）, n,m-2n）,C（m+3,〃-3,9）三点共线，则根+〃的值为（A.0 B.一1 C.1 D.-2.已知平面。上的两个向量。=（2,3,1）,5=（5，6,4）,则平面。的一个法向量为（）A（1,-1,1） B.（2,-1,1） C.（-2,1,1） D.（-l,L-1）.已知华色.已知华色为单位向量，且录若。=2e1+3e2，b=Zq—4',。」A.-6 B.6 C.3.在正方体A8CD-A旦GR中，下列选项中化简后为零向量的是（A.AB+4D,+C% B.AB-AC+BB, C.AB+AD+A/.如图，在三棱柱ABC-AqG中，m为4G中点，若,豆=£，与丽相等的是（）.：/ a._la+lS+c b.-a+-h+c：; 2 2 2 2-1r- 1-1r-C.——a——b+c D.—a——b+c2 227.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线,一4一—1一 1PA=-PB-xPC+-DB,则实数x的值为（ ）A.一3 6 3一。，则实数4的值为（）D.-3）「 D.AC+CB^丽'= BC=b，则下列向量但四点共面，且B.— C.工 D.3 22_2.如图所示，在正方体A88-A8CA中，O是底面正方形ABC。的中心，M是0"的中点，N是A4的中点，则直线ON与AA/的位置关系是（B.垂直C.B.垂直C.相交但不垂直D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分.部分选对得2分..下列说法中，正确的是（）A.模为0是一个向量方向不确定充要条件B.若向量而，丽满足|而|=|①A.模为0是一个向量方向不确定充要条件B.若向量而，丽满足|而|=|①|,而与同向,则AB>CDC.若两个非零向量4月,C万满足aQ+C4=0，则人与，。力是互为相反向量D.丽=电的充要条件是A与。重合，B与。重合.下列命题中错误的是（）A.UUUc-f 4 ULULIL«1UUUUUU1A.UUU若A,B,C,。是空间任意四点，则有A8+8C+CD+D4=oB.\a |=|a+B|是共线充要条件B.\a |=|a+B|是共线充要条件C.若A3。共线，则AB〃CE>ULUUUUUUULUUD.对空间任意一点。与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yO8+zOC（其中x,y,zeR）,则D.P,AB,。四点共面则P,A,B,C四点共面.已知｛a,B,c｝是空间的一个基底，若p=a+B,q=a-B,则错误的是（A.a,p,q是空间的一组基底A.a,p,q是空间的一组基底B.反p,夕是空间的一组基底C.c,〃,q是空间的一组基底D.p,夕与C.c,〃,q是空间的一组基底组基底12.已知点尸是平行四边形ABC。所在的平面外一点，如果AAPLABAB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),下列结论正确的有(AAPLABAPLADQ是平面ABC。的一个法向量 D.~AP//~BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.4,4,6,7,7,8,9,9,10,10的75%分位数为.14.如图所示，已知%J_平面ABC。，M,N分别是AB,PC的中点，且办=AD=1,四边形ABC。为正方ULUIILIUULU 形，以｛AB,AD,AP｝为基底，则MN=_ .1^Z^>cl5.如图，在正方体ABC。—4与GQ中,M是G。的中点，。是底面ABC。的中心,P是AMB4片上的任意点，则直线BM与OP所成的角为.M16.设直线/的方向向量为平面a的法向量为3=(2,2,4),若£=(1,1,2),则直线/与平面a的位置关系为；若£=(-1,-1,1),则直线/与平面a的位置关系为.四、解答题.如图，在平行六面体4BC£)-4BC£)i中，AB=a,AD=b,AA]=c>E为AQ的中点，F为BCi与BC的交点.

BC的交点.(1)用基底表示向量£)5,8瓦标(2)化简历|+丽+前，并在图中标出化简结果..aABC的内角儿B,C的对边分别为a,b,c,已知C=工，a=2,aABC的面积为尸为边6上一点.⑴求Ci若CF=4iBF，求sinNBFC..如图，四棱锥产一ABC。的各棱长都为a.⑴用向量法证明或)⑴用向量法证明或)_LPC；⑵求|/+定|的值..为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组［20,25),第2组［25,30),第3组［30,35),第4组［35,40),第5组［40,45］,得到的频率分布直方图如图所示,(1)分别求出第3,4,5组志愿者人数，若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(H)在(I)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率..如图所示在四棱锥P-ABC。中，底面A8C£>,AB±AD,ZABC=60>

PA=AB=BC,AD=—AB，E是PC的中点.求证：P£>_L平面ABE.3。。1、BD、881是中点.在棱长为1的正方体ABCQ-AiBiCG。。1、BD、881是中点.(2)求E尸与CG所成角的余弦值;(3)求CE的长.高二上学期第一次考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分..若q：a,b,是三个非零向量；q：伍,b,刃为空间的一个基底，则p是g的()A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若。，5,5是三个共面的非零向量，则｛a,B，口不能作为空间的一个基底：但若他，B,即为空间的一个基底，则1，5，5不共面，所以1，B，下是三个非零向量，即°是g的必要不充分条件.故选：B..若A(m+1,〃-1,3),B(2m,n,m-2ri),C(m+3,〃-3,9)三点共线，则机+〃的值为( )A.0 B.-1 C.1 D.-2【答案】A【解析】【分析】三点共线转化为向量通,/共线，由向量共线可得.【详解】由题意通=(机—1,1,加一2〃一3),恁=(2,-2,6),A&C三点共线，即通，而共线，所以存在实数4,使得通=人/，/n-1=22m=0所以，1=—22 ,解得《n=Q团一2〃-3=6%A=-2所以m+〃=0.故选：A.【点睛】本题考查空间向量共线定理，考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题..已知平面a上的两个向量1=(2,3,1),方=(5,6,4),则平面Q的一个法向量为()A.(l,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-l,1,-1)【答案】C【解析】[n-a=0【分析】利用平面的法向量的定义将问题转化为〈-,再通过空间向量的数量积进行求解.[n-h=0【详解】显然日与万不平行，设平面a的法向量为乃=(x,y,z),n-a=0则<r八，nb=0.J2x+3y+z=0・15x+6y+4z=0'\x=-2z即 ，[y=z分别验证各选项可知，只有选项c符合.故选：C..已知斗6为单位向量，且若。=2+3/石=3-，则实数k的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-3【答案】B【解析】【分析】转化为£.B=0,利用数量积的分配律，求解即可【详解】由题意，aA.b<^>ab=0故H=(2町+3门)・(左耳-④=2A(.>+(3无-8)彖 12而>=0又q,6为单位向量，且g，/故(Gf=(0了=1,'・«2=0可得2左一12=0,即2=6故选：B.在正方体A3CO-A8IGA中，下列选项中化简后为零向量的是()

A.AB+A^+C^\B.AB-AC+BB^C.AB+AD+AA^ D.AC+CB^【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合正方体的结构特征逐一判断即可.【详解】解：对于A,AB+4D|+Q41'=AB+AD+C4=AC+C4=6,对丁B,AB-AC+B^=CB+BB^=CB^,对于C,AB+AD+X\^AC+X\^AQ,对于D,而+西=函.故选：A.则下列向量与两相等的是（).A4j=c,BC=b'2 2【答案】A_la+i*+c2 2B.1故选：A.则下列向量与两相等的是（).A4j=c,BC=b'2 2【答案】A_la+i*+c2 2B.1- 1r——a+—b+c2 2D.1-1---a——b+c2 2【解析】【分析】利用空间向量基本定理求解即可【详解】由于m是AG的中点，所以加=丽7—丽=丽*+或一砺=AAy—AB+qAG=AA]—AB+—AC=AAj—AB+^(A8+BC)=AA)——AB+-BC

2 2故选：A7.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且丽=92后一了定+!丽，则实数x的值为（ ）361A.—3【答案】A1 1 1B.一一 C.- D.一一3 2 2【解析】_4- 1 4- 1 - 3- 1 【详解】PA=—PB-xPC+-DB=-PB—xPC+—（PB—PD）=-PB-xPC——PD，TOC\o"1-5"\h\z3 6 3 6 2 6又YP是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，3 1,/.——X——=1,2 6解得x=1，故选A.点睛：设P是平面上任一点，A氏。是平面上的三点，PC=xPA+yPB（P,A,8不共线），则三点共线ox+y=l,把此结论类比到空间上就是：不共面，若PD=xPA+yPB+zPC，则A。四点共面。x+y+z=1..如图所示，在正方体48C3-A8CQ中，O是底面正方形ABCQ的中心，M是的中点，N是的中点，则直线ON的中点，则直线ON与AM的位置关系是（A.平行A.平行 B.垂直C.相交但不垂直D.无法判断【答案】B【解析】【分析】由题意，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，取空间向量，由数量积的结果，可得答案.

【详解】根据题意，以点A为原点，分别以所在的直线为x,，z轴，建立空间直角坐标系，作Bx图如下:Bx设正方体的棱长为2,则。(1,1,0),N(l,0,2),A(0,0,0),M（0,2,1）,取府=（0,2,1）,丽=（0,-1,2）,由丽布=0+2x（-l）+lx2=0,则丽1而7，即故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分.部分选对得2分..下列说法中，正确的是()A.模为0是一个向量方向不确定的充要条件B.若向量而，丽满足|而|=|丽而与丽同向，则通〉丽C.若两个非零向量无耳，《万满足A月+已方=0,则,月，丽是互为相反向量D.A*=C力的充要条件是A与C重合，8与。重合【答案】AC【解析】【分析】根据向量的定义及其有关概念，逐个判断各个选项即可.【详解】解：对于A,只有零向量的模长为0,且方向是任意的，因为模长为0的向量方向是不确定的，所以充分性成立，因为一个方向不确定的向量的模长为0,所以必要性成立，故A正确，对于B,通〉前表达错误，向量既有大小又有方向，它的模长可以比较大小，其本身不能比较大小，故B错误，对于c,由通+丽=6可得荏=-《万，即丽与丽模长相等，方向相反，所以而，丽互为相反向量，故C正确，对于D,由于向量可以平行移动，所以由通=右方不一定能得到A与C重合，8与£）重合，故D错误，故选：AC.10.下列命题中错误的是（）「一一 UlllHIBIUUUUUU1A.若AB,C,。是空间任意四点，则有A8+8C+CO+D4=0-日卜|£+加是［国共线的充要条件C.若福，丽共线，则AB//CDLJLUUUUUUUlflUD.对空间任意一点。与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC（其中x,y,zeR）,则P,A,B,C四点共面【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量加法的多边形法则即可判断A：根据向量共线的定义即可判断BC：根据空间共面向量的基本定理即可判断D.【详解】对于A选项，若AB,C,。是空间任意四点，根据加法的多边形法则，UlUUlUUUUUUU1则有A8+8C+C£>+D4=0，故A正确；对于B选项，若|£|-历=|£+引，对等式两边平方并整理得，|a|2+|^|2-21a||S|=a+fr2+2|a|•|ft|cos,解得cos（a®=-l,所以（£©=180,此时葡共线，反之，当海共线时，可能G0=0',故B错误；对于C选项，若丽，前共线，则直线AB,可能在一条直线上，故C错误；对于D选项，若P,AB,。四点共面，则由共面向量定理，可得丽=4而+〃/,所以，OP=OA+AP=dA+AAB+pAC=OA+A^OB-OA^+p^OC-OAy并且以上过程可逆，所以对空间任意一点。与不共线的三点AB,C,P,A,B,C四点共面充要条件是UUUUliULUIKUUOP=xOA+yOB+zOC（其中x,y,zeR且x+y+z=1）,故D错误.故选：BCD.则P,A,B,C四点共面11.已知｛a,B,c｝是空间的一个基底，若p=a+B,q=a一九则错误的是()A.a,p,q是空间的一组基底 B.反p闯是空间的一组基底c,“4是空间的一组基底 D.p,q与〃，瓦c中的任何一个都不能构成空间的一组基底【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量基底的概念逐项分析判断即可求出结果.【详解】解：对于A选项，〃=；(。+与+；(。一司=；〃+；夕，所以〃，〃国共面，故错误；对于B选项，= +-= -;夕，所以反共面，故错误；对于C选项，假设c=K〃+%24，即c=£(。+坂)+&2一可，得(匕+幺)々+(勺一22)石一0=。，这与｛£,反耳是空间的一个基底矛盾，故"，万力是空间的一组基底，正确；对于D选项，由C选项可知D选项错误.故选：ABD12.已知点P是平行四边形A8CO所在平面外一点，如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),下列结论正确的有()A.AP±AB B.AP±ADC.而是平面ABC。的一个法向量AP//BD【答案】ABC【解析】【分析】由Q.丽=0，可判定A正确：由丽.而=0，可判定B正确；由Qj_通且而J_而，可判定C正确；由而是平面ABC。的一个法向量，得到而_L而，可判定D不正确.【详解】由题意，向量A*=(2,-1,-4),而=(4,2,0),Q=(-l,2,-1),对于A中，由丽・丽=2x(-l)+(-l)x2+(T)x(-l)=0,可得Qj_而，所以A正确；对于B中，由丽•丽=(-1)x4+2x2+(-1)x0=0,所以/_L苞，所以B正确：对于C中，由入户_1_A与且4户_1_A/5，可得向量A户是平面ABCZ)的一个法向量，所以C正确;

对于D中，由彳户是平面ABC。的一个法向量，可得，户_L8Z5，所以D不正确.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分.4,6,7,7,8,9,9,10,10的75%分位数为.【答案】9【解析】【分析】根据百分位数的概念直接求解即可.【详解】解：由题知，总共有10个数据，所以75%分位数为第8个与第9个数据的平均数，所以75%分位数为^^=9.2故答案为：9.如图所示，已知必_L平面A8CRM,N分别是48,PC的中点，且以=40=1,四边形4BCO为正方ULUL1UUUUU 形，以｛M,AD,AP｝为基底，则柄=.\下、 1nun1uunDi-7—™^c【答案】3A。+QAPAMB【解析】【分析】结合空间几何图形的性质以及空间向量的线性运算即可求出结果.UUUULIU1ULUUUI1【详解】MN=MA+AP+PNuumuub1zur uunUUU、 iuun uuni,uir uunuunx iuun ।uun=MA+AP+-1PA+AD+DC]=一一AB+AP+—E4+AO+A8=-AD+-AP故答案为：

2、 > 2 2、 > 2 2iuuniuuu-AD+-AP2 2.如图,在正方体中,M是G。的中点,o是底面ABC。的中心,P是44上的任意点,则直线BM与OP所成的角为5M【答案】90°5M【答案】90°B【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定与性质，关键是找到。尸所在的某个平面，利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线与此平面垂直.【详解】如图，取4。,8c的中点分别为连接EF,FBx,EM,易得R%BFB]=Rt^CMB,：.BMLBXF,又,.3例IEF,/)从L平面腔/，.,.用J_平面BCCB,,.•5忙:平面BCCB,：.EFLBM,又,：EFCR产F,二b必，平面45咫又平面45咫：.BMVOP,，以/与俯所成的角为90°,.设直线/的方向向量为£,平面a的法向量为3=(2,2,4),若一=(1,1,2),则直线/与平面a的位置关系为；若£=(-1,一1,1),则直线/与平面a的位置关系为.【答案】 ①./_La ②./〃a或/ua【解析】【分析】由空间向量的运算求出直线/的方向向量和平面法向量的位置关系，即可求得直线/与平面a的位置关系.【详解】若£=(11,2),则[=2£，则共线，则直线/与平面a垂直；若a=(—1,—1,1),贝!J〃,a=2x(—l)+2x(—l)+4xl=0,则〃_La，又不确定直线/是否在平面a内，则/〃。或/ua.故答案为：/_La；1〃a或lua.四、解答题

.如图，在平行六面体ABCC-4B1GO1中，AB=a,AD=b,X\=c,E为4d的中点，F为BCi与BC的交点.(1)用基底(1)用基底｛-£"｝表示向量丽1,而，而(2)化简历|+丽+丽，并在图中标出化筒结果.【答案】(1)DB.=a—b+c,BE=—aH■—b+c,AF=a-i■—b-\—c；(2)DA.,图中标注见解析.【解f 2 2 2 ”析】【分析】(1)利用空间向量加、减法法则可得出函、丽、/关于2、B、工的表达式；(2)结合空间几何图形性质以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】⑴DBy=I)C+CB]=DC+BB^-BC=a-b+c,BE=BA+ +\E=-a+—b+c,AF=AB+BF=a+—(b+c\=a+—b+—ciTOC\o"1-5"\h\z2、 , 2 2(2)^D\+DB+CD=DDy+(Z)B+CZ5)=DD1+CB=DDi+ =D4如图，连接04,则函■即为所求.Ny瑙 18.aABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知C=—,[党炉 6a=2,aABC的面积为JJ,尸为边〃'上一点.(1)求C-,3若CF=6bF，求sinNB/C.6上【答案】(1)c=2(2)sinZBFC=^―

【解析】【分析】(1)由已知利用三角形的面积公式可求人的值，根据余弦定理可得C的值；(2)由(1)可得a=c=2.jr 2TT /O 27T可求A=C=7，ZABC=——，由已知根据正弦定理sinNCBF=yW,由NC8/4——，可求6 3 2 3TT—6rZ;sinC=-x2x/7xsin—,"8—6rZ;sinC=-x2x/7xsin—,【详解】= a=2,△ABC面积为G=6，解得：b=26,，由余弦定理可得：c=Ja2+b。-2abeosC=j4+12-2x2x2>/ixcos]=2,(2)・.•由⑴可得a=c=2,7T 27r/.A=C=-,ZABC=7t-A-C=—,CF・・•在△CF・・•在△BCE中，由正弦定理 BFsinZCBFsinZBCF-r伯 sin—CF'可得：sinZCSF=———BF.-.sinZCBF=—22万vZCBF<—,3TT：.NCBF=-,4sinZBFC=sin(NCBFsinZBFC=sin(NCBF+NBCF)=sin71 714 6.71—sin—cos--i-cos—.兀V2+V6sin—= .【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现ab及〃、/时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19.如图，四棱锥P—A8CD的各棱长都为a.

(1)用向量法证明3Z)_LPC：(2)求|/+定|的值.【答案】(1)证明见解析；(2)\AC+PC\=>/5a.【解析】【分析】(1)根据题意得出四边形ABC。是菱形，得到访,o2；△尸8£>是等腰三角形，POLBD'然后利用平面向量的数量积求出BDPC=Q'即证BD工PC；(2)根据题意，利用用△POC，求出〈衣，前〉的大小，结合空间向量的数量积公式即可求出模长\AC+PC\-【详解】(1)证明：设AC、BD交于点O,连接尸O,如图所示；四边形ABCO是菱形， .UUU：.BDLAC,且。4=OC,即丽_LOC，BDOC=。；UUL1 : _又PB=PD=a,：.PO±BD,即PO_L丽，BD.PO=0,5D(Pd+OC)=0.即丽.定=0，•••BD1-PC，BPBD1PC；

(2)根据题意，四棱锥尸-ABC。是棱长相等的正四棱锥，且A8=a,二顶点P在底面的射影是正方形ABCO的中心O,5在Rt/XPOC中，PC=a,OC=—a,2J2 —— —.—. n：.OP=OC=^—a,：,ZACP=<CP.CA>=<AC>PO=~^2 4：.^AC+PC^=AC2+2AC-PC+PC2=(V2a)'+2x72«xaxCos^+a2=5a2,MAC+PC\=>/5a.20.为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组［20,25),第2组［25,30),第3组［30,35),第4组［35,40),第5组［40,45］,得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人.(I)分别求出第3,4,5组志愿者人数，若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(H)在(I)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.【答案】(I)利用分层抽样在第三，第四，第五组中分别抽取3人，2人，1人.4(II)-5【解析】(分析】 (I)由题意，因 第一组有5人，求得77=10(),分别求得第三组、第四组、第五组，根据分层抽样，即可得到结果；(0)记第三组的3名志愿者为&,4,4,第四组的2名志愿者为q,b2,第五组的1名志愿者为G，求得从6名志愿者中抽取2名志愿者构成基本事件的总数，进而得到其中第三组的3名志愿者A,4,A3至少有一名志愿者被抽中的所含基本事件的总数，利用古典概型及概率的公式，即可求解.【详解】(I)由题意，因为第一组有5人，则0.01x5n=5，n=l(X),.•.第三组有().06x5xl(X)=30人,第四组有0.04x5x100=20人，第五组有0.02x5x100=10人....利用分层抽样在第三，第四，第五组中分别抽取3人，2人，1人.（H）记第三组的3名志愿者为％,A2,A3,第四组的2名志愿者为4，B2,第五组的1名志愿者为孰，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有（AM），（A,A），（A,4），（4鸣）,（a，G），（4,A）,（4,4）,（A,b2）,（&cj,（4,4）,（4闯,（A，G）,（4,旦），（4，cJ,（B2,ct）,共15种.其中第三组的3名志愿者4，4,A3至少有一名志愿者被抽中的有（A，4）,（'A），（