【全国卷3】2017年全国高考理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=x}，则Af|B中元素的个数为1．2．3．A．3B．2C．1D．0设复数z满足（1+i）z=2i，则1z|=12．3．A．3B．2C．1D．0设复数z满足（1+i）z=2i，则1z|=1A.2bV2D．2某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是月接劣游穹世〔万人｝A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．5．A．-80B．-40C．40D．80x2y4．5．A．-80B．-40C．40D．80x2y2已知双曲线C:--L=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为ya2b2x，x2y2且与椭圆-+y=1有公共（X+y）（2x-y）5的展开式中x3y3的系数为（）焦点．则C的方程为（）x2y2A.x2y2A.-二=1810x2y2B.——=1\o"CurrentDocument"45x2y2C.-二=154D．x2y2—=1436．设函数f（x）=cos（x+才），则下列结论错误的是（）6．A.fA.f（x）的一个周期为-2兀b.y=f（x）的图像关于直线8兀x=对称c.f（x+兀）的一个零点为x二6兀D.f（x）在（厅，c.f（x+兀）的一个零点为x二6兀D.f（x）在（厅，兀）单调递减2执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数小值为A.5B.4c.3D.2已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的则该圆柱的体积为（）3兀A.兀B.4瓷小i1二\単：］非0.占=廿3二祐/换占/球面上，N的最c.D.等差数列｛a｝的首项为1,公差不为0.若a，a，a成等比数列，贝y｛a｝前6项的和为n236nA.-24B.-3c.3D.810•已知椭圆C:勒+b-=1（a>b>0）的左、右顶点分别为%A2，且以线段AiA2为直径的圆与直线bx-ay+2ab二0相切，则C的离心率为（）A卫B.亘C.叵33311.已知函数f（x）=x2-2x+a（ex-i+e-x+i）有唯一零点，则a=（）D.A.B.C.D.112.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=XAB+pAD，则九+卩的最大值为TOC\o"1-5"\h\zA.3__B.2巨C.^5D.2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）x-y>0,13.若x，y满足约束条件<x+y—2<o,则z=3x—4y的最小值为.y>014.设等比数列｛a｝满足a+a=-1,a-a=-3，则a=n12134厂x+1,x<0,1设函数f(x)=仁门则满足f(x)+f(x-T>1的x的取值范围是2x,x>02a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边

AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；00当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；00直线AB与a所成角的最小值为45；0直线AB与a所成角的最大值为60.0其中正确的是（填写所有正确结论的编号）三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（12分）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinA+壬3cosA=0,a=2訂,b=2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD丄AC，求AABD的面积.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：。C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温110,15)115,20)L20,25)L25,30)匕0,35)L35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量（单位:瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？EC（12分）如图，四面体ABCD中，AABC是正三角形，△ACD是直角三角形.?ABD?CBD，AB=BD.EC（1）证明：平面ACD人平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分.求二面角D-AE-C的余弦值.（12分）已知抛物线C:y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上;（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.

（12分）已知函数f（x）=x-1-alnx.（1）若f（x）三0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n,（1+丄）（1+丄）鬃?（1丄）<m，求m的最小值.2222n（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）Ix=2+1,在直角坐标系xOy中，直线〈的参数方程为］yIx=2+1,在直角坐标系xOy中，直线〈的参数方程为］y=kt（t为参数），直线‘2的参数方程为］k（m为参数），设11与12的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设（：P（cos0+sin0）一近=0，M为13与C的交点，求M的极径.［选修4-5：不等式选讲］（10分）已知函数f（x）=1x+11-1x-21.（1）求不等式f（x）>1的解集；（2）若不等式f（x）>x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3）理科数学参考答案一、选择题1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．D8．B9．A10．A11．C12．A二、填空题13．一114．一8115.（—,+8）16.②③4三、解答题17．解：（1）由已知可得tanA=_爲,在AABC中，由余弦定理得28=4+c2—4cco^—，即c2+2c一24=0解得c=—6（舍去），c=4TOC\o"1-5"\h\z兀兀（2）由题设可得上CAD=—，所以上BAD=ABAC—ACAD=—26\o"CurrentDocument".兀abdad严石1\o"CurrentDocument"故AABD面积与AACD面积的比值为仝〒-=12ACcAD又AABC的面积为2x4x2sinABAC=2、込，所以AABD的面积为打218•解：（1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P（X=200）==0.2,P（X=300）=36=0.4,P（X=500）=25+7+4=0.4.909090因此X的分布列为：X200300500P0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200,因此只需考虑200<n<500当300<n<500时，若最高气温不低于25，则Y=6n—4n=2n；若最高气温位于区间［20,25），则Y=6x300+2（n一300）一4n=1200-2n；若最高气温低于20，则Y=6x200+2（n一200）-4n=800一2n

因此EY=2nx0.4+(1200-2n)x0.4+(800-2n)x0.2=640-0.4n当200<n<300时，若最高气温不低于20，则Y二6n-4n二2n；若最高气温低于20，则Y=6x200+2(n—200)—4n=800—2n因此EY=2nx(0.4+0.4)+(800—2n)x0.2=160+1.2n所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。19．解：(1)由题设可得，AABD=ACBD，从而AD=DC又AACD是直角三角形，所以ZADC=90取AC的中点O，连结DO,BO，则DO丄AC,DO=AO又由于AABC是正三角形，故BO丄AC所以ZDOB为二面角D-AC-B的平面角在RtAAOB中，BO2+AO2=AB2又AB=BD，所以BBO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，故上DOB=90B所以平面ACD丄平面ABC(2)由题设及(1)知，OA，OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，IOAI为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(1,0,0),B(0^.'3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的2，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的2，即E为DB的中点，得E(0，£，2)，故O『-B需.31、T,2)设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,m-ACO『-B需.31、T,2)设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,m-AC=0,l则ImAE=0同理可取m=(0,一朋贝Ucos<n,m>=InIImI所以二面角D-ae-c的余弦值为20．解：(1)设A(X1,pB(X2,Y2)，l:X=心+2则yi叮-4则yi叮-4由(cc可得y2-2my-4=0,y2=2xy2yy2y2^又X——1,X——2-1222故XX—(Y1Y2)2124—4因此0A的斜率与0B的斜率之积为—才—-1，所以0A丄0B12故坐标原点0在圆M上(2)由(1)可得y+y—2m,x+x—m(y+y)+4—2m2+4121212故圆心M的坐标为(m2+2,m)，圆M的半径r—-J(m2+2)2+m2由于圆M过点p(4,—2)，因此AP•BP—0，故(x-4)(x-4)+(y+2)(y+2)—0，1212即xx—4(x+x)+yy+2(y+y)+20—012121222由(1)可得yy—-4,xx—41212所以2m2—m—1—0，解得m—1或m—-—2当m—1时，直线I的方程为x—y—1—0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为囂!0,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10TOC\o"1-5"\h\z9185当m=-三时，直线/的方程为2x+y-4—0，圆心M的坐标为(，-)，圆M的半径为工85,4249185圆M的方程为(x——)2+(y+—)2=421621．解：(1)/(x)的定义域为(0,+8)①若A<0，因为/(2)———+Aln2<0，所以不满足题意；②若A>0，由广(x——-=f知，当xG(0,A)时，广(x)<0；当xG(A+8时，广(x)>0。xx所以/(x)在(0,A)单调递减，在(A,+8)单调递增。故x=A是/(x)在(0,+8)的唯一最小值点。由于/(1)—0，所以当且仅当A—1时，/(x)>0故a=1(2)由(1)知当xe(1,+s)时，x—1-Inx>0TOC\o"1-5"\h\z111令x=1+，得(1+)<，从而2n2n2nln(1+-)+ln(1+—)+...+ln(1+—)<—+—+...+—=1一—<122/2/2222n2n故(1+2)(1+?)...(1+2")<e而(1+；7)(1+)(1+)>2，所以m的最小值为32222322．解：(1)消去参数t得1的普通方程1:y—k(x-2)；消去参数mt得L的普通方程1:y=(x+2)1122k'y=k(x-2),设P(x,y)，由题设得｛1消去k得x2-y2二4(y丰0)y(x+2).Ik所以C的普通方程为x2-y2=4(y丰0)(2)C的极坐标方程为P2(cos20-sin20)二4(2<0<2兀,0兀)|p2(cos20-sin20)=4,联立\一得cos0-sin0=2(cos0+sin0)联立［p(cos0+sin0)-”2=0得故诚=-3，从而cos20=存m0=10代入P2(co