数理统计 实验操作手册

实验二区间估计与假设检验实验目的通过观察和分析实验结果来理解置信区间的概念，特别是加深对置信区间中置信水平的概念的理解；通过练习掌握R在区间估计中的应用；通过练习掌握R和SPSS在参数假设检验中的应用；通过练习掌握R和SPSS在非参数假设检验中的应用。实验步骤置信区间的验证在置信区间的定义中，置信度和概率的含义相似，但又有所区别。例如，不能说6落在随机区间(0,0)的概率为1-a，而只能说6落在随机区间(0,0)的置信度为1-a。因为对于一次具体的观测值来说，0要么落在区间(0,0)内，要么不落在区间(0,0)内。那么究竟置信度的含义是什么？下面通过一个实验来回答以上问题:例1.1.对于正态总体&:N(a,s)，a的置信度为1-a的置信区间为&土亍u"，现若取1—a=0.95，此时u0975=1.96；假定总体"N(15,22)，随机模拟产生容量为10的简单随机样本如下：14.85,13.01,13.5,14.93,16.97,13.8,17.95,13.37,16.29,12.38,可以计算该样本均值8=14.705,此时可以得到总体均值a的一个置信度为0.95的置信区间:=(13.465,15.945)，显然，该区间包含a的(14.705-1.96乂三,14.705+1.96x10=(13.465,15.945)，显然，该区间包含a的现在要求对上述过程重复100次，则可以得到100个样本，也就得到100个置信区间，然后统计有多少个区间包含真值15。编写R程序如下：qnorm(0.975,0,1)xibar=rep(0,100)for(iin1:100){xibar[i]=mean(rnorm(10,15,2))}matplot(rbind(xibar-1・960*2/10人0・5,xibar+1・960*2/10A0・5),rbind(1:100,1:100),type='T'Jty=1,lwd=2)abline(v=15)图中纵轴代表样本序号，横轴表示。的取值范围，即图1中的每根横线的左右两端点的横坐标分别表示。的置信下限和置信上限。图1表明，有95个区间包含真值15，有5个区间没有包含真值15，说明在该实验中，有95%的区间包含真值，与假设的置信度为1-a=0.95是相吻合的。20121314151617rbind(xihat-1.96*2/10人0.5,xihat+1.96*2/10人0.5)图1当Q2已知时，a的置信度为0.95的置信区间20121314151617将置信度改为1-a=0.5，再观察结果，只需对前面的程序作如下修改:161d4-2-qnorm(0.75,0,1)xibar=rep(0,100)for161d4-2-xibar[i]=mean(rnorm(10,15,2))matplot(rbind(xibar-0.674*2/10A0.5,xibar+0.674*2/10A0.5),rbind(1:100,1:100),type=nln,lty=1,lwd=2)abline(v=15)0-14151617rbind(xihat-0.674*2/10人0.5,xihat+0.674*2/10人0.5)图2当c2已知时，a的置信度为0.5的置信区间图2表明，有50个区间包含真值15,有50个区间没有包含真值15,说明在该实验中，有50%的区间包含真值，与假设的置信度为1-a=0.5是相吻合的。例1.2.若总体&:N(15,c2)，其中c2未知，请设计一个随机模拟实验，要求从该总体产生容量为10的样本100次，考虑置信度取0.95时，a的置信区间的规律。R程序：qt(0.975,9)xibar=rep(0,100)s=rep(0,100)for(iin1:100){xi=rnorm(10,15,2)xibar[i]=mean(xi)s[i]=sd(xi)}matplot(rbind(xibar-2・262*s/9人0・5jXibar+2・262*s/9人0・5),rbind(1:100,1:100),type='T',lty=1,lwd=2)abline(v=15)18421118421112131415161718rbind(xihat-2.262*xisd/9A0.5,xihat+2.262*xisd/9A0.5)图3图3当2未知时，a的置信度为0.95的置信区间求区间估计正态总体方差已知，对均值的区间估计；正态总体方差未知，对均值的区间估计；正态总体方差的区间估计。例2.1.某厂生产的零件重量&:N(a,Q2)，今从这批零件中随机抽取9个，测得其重量(单位：克)为21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，试在置信度)0.95下，求a的区间估计。R程序xi=c(21・1,21・3,21・4,21・5,21・3,21・7,21・4,21・3,21・6)xibar=mean(xi)s=(sum((xi-xibar)人2)/9)人0・5aci_lower=xibar-qt(0・975,8)*s/8人0・5aci_upper=xibar+qt(0・975,8)*s/8人0・5aci_loweraci_upper参数假设检验单个正态总体均值的假设检验；单个正态总体方差的假设检验；两个正态总体均值的假设检验；两个正态总体方差的假设检验。例3.1(SPSS操作)储户一次平均存储金额的推断，检验平均存储金额是否与2000元有显著差异；例3.2(SPSS操作)城镇储户与农村储户一次存储金额的均值比较，检验平均存储金额是否显著差异；例3.3(R程序)两个正态总体均值的假设检验；x=c(15,10,13,7,9,8,21,9,14,8)y=c(15,14,12,8,14,7,16,10,15,12)t・test(x,y,alt="two,sided”,var,equal=TRUE)运行结果TwoSamplet-testdata:xandyt=-0.5331,df=18,p-value=0.6005alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:-4.4467652.646765sampleestimates:meanofxmeanofy11.412.3x=c(15,10,13,7,9,8,21,9,14,8)y=c(15,14,12,8,14,7,16,10,15,12)t.test(x,y,alt=ntwo.sided")WelchTwoSamplet-testdata:xandyt=-0.5331,df=16.245,p-value=0.6012alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:-4.4744252.674425sampleestimates:meanofxmeanofy11.412.3非参数假设检验QQ图；分布函数的拟合检验；(3)两总体之间关系的假设检验。例4.1(R程序)QQ图x=rchisq(100,5);qqnorm(x)NormalQ-QPlot0251O1-2-100251O1-2-1012TheoreticalQuantilesy=rt(200,df=5)z=rt(300,df=5)qqnorm(y);qqplot(y,z)例4.2（SPSS操作）心脏病猝死的人数在一周内的分布比例是否吻合2.8:1:1:1:1:1:1的问题；例4.3（SPSS操作）产品寿命比较问题;例4.4（R程序）拟合度检验；freq=c(22,21,22,27,22,36)probs=c(1,1,1,1,1,1)/6chisq.test(freq,p=probs)Chi-squaredtestforgivenprobabilitiesdata:freqX-squared=6.72,df=5,p-value=0.2423例4.5（R程序）独立性检验；yesbelt=c（12813,647,359,42）nobelt=c（65963,4000,2642,303）chisq.test（data.frame（yesbelt,nobelt））Pearson'sChi-squaredtestdata:data.frame（yesbelt,nobelt）X-squared=59.224,df=3,p-value=8.61e-13练习题（10分）截止日期：2014年6月12日，请提交至math_stat@163.com,作业以“学号+姓名”命名。注意：（1）请以附件的形式提交，勿采用云附件；（2）请定稿后再提交，不要反复提交。（3）作业若发现有雷同之处，相应的题将以零分论处（抄袭者和被抄袭者都适用）。练习1.若总体"N（15,22），请设计一个随机模拟实验，要求从该总体产生容量为10的样本100次，考察置信度取0.95时，。2的置信区间的规律：100个置信区间中覆盖了6真值的占多大比例？练习2.（用R程序重做教材例3.2.9）为了考察甲乙两种安眠药的疗效，现独立观察