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文档简介

数据处理与表征的新概念史锦顺中国电子科技集团公司第27研究所郑州450005摘要提出测量数据拟合计算中的一个技巧——对称编号,给出简化拟合计算的实例。说明误差偏差计算中取标准值的原则。指出:统计测量不能剔除粗差。基于微小误差准则,给出测量数据有效数字的新定义。关键词常规测量统计测量贝塞尔公式不确定度准确度1必要测量与重复测量一定的质表现为一定的量,我们日常生活工作都离不开测量与计算。日常生活中的测量,误差常可忽略。科学与技术中的物理量测量就不同了,测量仪器误差或物理量值的变化,通常不能忽略了事。要知道物理量的大小,必须进行至少一次测量,这叫做必要测量。要知道物理量在一定间隔时间的变化,必须进行至少二次测量,这两次测量也是必要测量。生活中只进行必要测量就够了,但技术测量,包括常规测量测量与统计测量,要进行多次测量。除必要测量以外的测量称重复测量(有的计量学书上称为多余测量,似不妥当,并不是“多余”)。科学的测量,应该包括必要测量与重复测量。科学技术工作者要养成习惯,凡测量,都要包含重复测量。最少测3次,通常测10次,有些则要求测量上百次。例如频率稳定度的测量,秒以下采样时,国际惯例,采样次数是100。测量晶振日老化率,通常测量7周天。为知一天的变化量,间隔一天测2次,这是必要测量,其余测量是重复测量。2多次测量取平均值的意义定理表征量值的最佳值是测得值的平均值。设对一个物理量测量了N次,共有N个测得值:A『A2,……AN。找一个值B,使其与各值差的平方和为最小。做函数:Q=兜(A-B2ii=1注意,这里B是我们要寻找的量,是变量。令竺=0dB有-2尤(A-B)=0ii=11La-NB=0ii=1得BIA.⑴i=1由以上推导过程,知B是最佳估值;由表达式(1),知B是平均值;故知平均值是最佳估值。定理得证。对量值进行多次测量取平均值有下列好处:(1)常规测量可以减小随机误差;(2)可以避免差错在统计测量的情况下,平均操作是取得统计平均值。平均值是期望值的最佳估值。3数据拟合的技巧对变化可略的量,进行多次测量,取平均值,是常数拟合。如上节所述。对变化的量,进行数据拟合,是函数拟合。此函数通常取多项式函数。依多项式的阶数,称一阶拟合(线性拟合)、二阶拟合、三阶拟合……。(1)零阶拟合前述对常量的拟合,可以看作对函数"B的拟合,是零阶拟合。其结果是B=1项Ni

i=1(2)一阶拟合对应等间隔的自变量X1、x2、……xN,测得值为y1、y2、……yN,测得值大致呈直线。

拟合一条直线,使测得值与线的差的平方和最小。设直线为:y=B+kx作函数:Q=丈(y-B—kx*

iii=1这里是选曲线,B、k是变量。令迪=0dB-2尤(y—B—kx)=0i=1-2尤(y.—B—kx)^=0i=1整理(2)(3)NB+k=».(2)(3)i=1i=1B»+k乙2=&xi=1i=1i=1由联立方程(2)(3)求解,是经典解法。易见这是未知量B、k的线性方程组,其解为:[Zyt[Zytpxf[-[XxjXy.x.i=1N[ZyX]—[Xy丫Xx

CiiJl"人.'x2i=1如此常规求解,一阶拟合的解,表达式与计算已很繁,二阶以上的解与计算更繁。这里介绍一种简化方法。这种方法的核心是对称编号。函数拟合的前提是自变量无误差,而函数有误差或有随机变化。把自变量等间隔地分成N段,则可表为:x.=id

通常的编号方法是i从1到N。现推荐对称编号,i从-n到+n。则必有:定理等间隔划分的自变量,对称编号时,自变量的奇次方之和为零。证明对称编号时,由于-1的奇次方是-1,i为正值时自变量各奇次方值,必有绝对值相等而正负号相反的值与其对应,相消了,故求和结果为零。联立方程(2)(3)变为:NB=»

i

i=-nk»2=£联立方程(2)(3)变为:NB=»

i

i=-nk»2=£i=-ni=-n易得解为B=1»Nii=-nXk=i=n乙2i

i=n(3)2阶拟合&ii=n”d乙2i=-n模型y=B+kx+ax2作函数Q=£G+kx+ax2-y(5)(6)(7)(8)(9)i=-n孚=0;dk籍=0;dai=-ni=-ni=-n(10)(11)(12)由于对称编号,i=-ni=-ni=-n(10)(11)(12)NB+a乙2心i=-ni=-nk乙2i=-ni=-nB+aEx:=工叩:由(10)至(12),解得:^]Ly^-f]Lx2^]Ly^-f]Lx2丫X——、i--nXx4)」Xii--nN"i--n\x2i--ni)\y.x2八;“)1--n2(13)(14)X”iik—i-nXx2ii--n\X2ii--n八.*N件x(14)\X2ii--n八.*N件x:j」Xi--n\x2i--ni)],)i--n2(15)注意到x.=泌且有公式:iXi2-1n(n+1)2n+1)i-1Xi4-1n(n+1)2n+1)(n2+3n-)30i-1由此,可进一步简化(13)(14)(15)各式。在以后刊出的测速文中有具体结果。4误差与偏差表达的标准值问题误差与偏差的表达中,都有以什么值当标准的问题。早期曾把量值分为两类:表类和源类。表类,如螺旋测微器、电压表等的示值。示值就是测得值。以被测量的实际值为标准。例如,物理量的实际值为A,表的示值即测得值为Am,实际值A做标准。误差为△A=A-Amm源类,如标准频率源之频率,标准电池之电压等,在同一名义值下,在不同时刻,给出不同的量值。以标称值为标准。如标称值为A。,而实际输出值为Aj,标称值A。做标准。偏差为△A=A—A11o这种表达方法,运用方便,下称第1种方法。特别是在各类频率源的表达中,几乎占统治地位。缺点是这样做的理由论述不够,当今虽靠习惯支撑着,却被指责违反规定。上世纪末期,出现了新的规定,不分表类源类,一律以物理量的实际值为标准。下称第2种方法。这种作法,似乎很理直气壮,这是以客观物理量为标准呀,谁好反对?举个实际例子。例如5MHz晶振,实测频率为5000000.5Hz,按第1种方式:A=A—Ao=5000000.1Hz-5MHz=+0.5Hz5MHz是标称值,视为无限精确值。该晶振频率偏高,或说频率偏高+1.0X10-7;按第2种方式:A=Ao—A=5MHz—5000000.1Hz=—0.5Hz该晶振频率的标称值偏低0.5Hz,或说标称值偏低1.0X10-7。这种说法不当,5MHz的晶振可能有千万台,标称值是固定的常量,怎么说标称值高了还是低了。差异性是晶振的实际频率造成的,考察的是实际频率,它是被比较的,它不该做标准。在实际应用中,晶振大量应用于时钟,钟的计时量与频率成正比,这里的频率指的是频率实际值,用标称值高低的说法就很不顺。是不是用第1种说法,即分表类、源类好呢?不,这样分类缺少抵抗力,也未涉及问题本质。第3种方法是区分常规测量与统计测量。这是本书测量分类说的自然引申。常规测量,以物理量的实际值为标准;统计测量,以标称值为标准。例如用计数式频率计测量频率。按第1种方式,先要认定这是表类还是源类,表面上看计数式频率计给出示值,似乎是表类,现用计数式频率计测晶振,晶振又是源类,这个问题按第1种方式是说不清的。按第2种方式,要以晶振实际输出值为准,而晶振实际输出值可能是变化的,标准有多个,这不好。按第3种方式,先要区分是常规测量还是统计测量。如果计数式频率计内标晶振指标远高于被测晶振,这是通常情况,在分辨力足够的条件下,测量误差可略,测得的值都是真值(实际值),这是统计测量,是统计问题,表达偏差要用标称值做标准。如果计数式频率计内标晶振指标远低于被测品振,这不是通常情况,可能是在检查频率计本身,测得值的变化与偏离,反映的是测量误差,这是常规测量问题,量值标准要用被测量的真值,那就是被测晶振的标称值。在检定工作的实践中,以高指标的频率合成器为标准,用被检频率计测量频率合成器的各种频率输出,这是典型的测量问题。对该频率计来说,频率合成器的频率示值就是真值,频率计测得值与其差就是该频率计的误差。笔者曾用此法检查出一种型号的集成式频率计(其晶振电路缺少隔离级)的频率牵引现象。将测量分为常规测量与统计测量,也顺便解决了表达误差偏差时的标准值问题。5统计测量不能剔除粗差粗差是测量数据中的超常数据的误差,其绝对值过大。是不是粗差,有几种判别方法,最常用的是3。法。这种粗差判别法说:凡大于3。的误差是粗差,产生粗差的数据是异常数据,异常数据剔除。处理过程:全体数据计算J1,误差大于3。1的数据剔除;用其余数据再算。2,误差大于3。2的数据剔除……。笔者认为粗差剔除虽然可以用于常规测量,但用时要慎重,更不应递进式舍弃;要寻找数据分散的原因,不该剔除了事。笔者在这里提出的是一个新观点:在统计测量中,不能剔除粗差。常规测量,是经典的测量。被测量的量值是客观存在,是唯一的、不变的。测量出的数据是人的认识,认识有准确与不大准确之分。不大准确是正常的;而太不准确,那是错误,错误该去掉。因而对常规测量,剔除粗差相当于去掉错误认识。但对统计测量,性质就变了。在统计测量中,测量误差可略,测得值个个是真值,真值是不能去的。真值不可抛,不能舍弃异常值。要分析产生异常值的原因。找出原因,改正,直到不出现异常值。也许一时找不到原因,异常值仍出现,那只有把此异常值统计入被测量的特性中。异常值的出现,有两种可能,一种是测量仪器等测量过程的问题,另一种是被测量有异常变化。测量通常是保证措施,必须保险,不能漏掉该查出的问题,故不可舍弃异常值。频率测量通常是统计测量(研制与检验频率计的测量是常规测量)。频率稳定度表征频率源的频率稳定性。测量频率稳定度,要求测量设备(包括参考源、比较系统、计算系统等)的频率变化远小于被测频率的变化。当今通行的阿仑方差,其测量与计算是不舍弃异常值的。不剔除异常值这一条,在频率稳定度测量中,已实行三十多年了。这里,将其上升为规则。6微小误差准则误差、偏差(或误差范围、偏差范围)都是统计类量,当甲误差比乙误差大一个量级时,称乙误差为微小误差,微小误差可略。很显然,误差与误差范围是不同的。但在一般表达中,常常用误差来代表误差范围。应明确,这仅仅是用语的简化,切不可混淆我们的理解。在一次测量的一组操作中,测得值N个,误差就大大小小有N个值,而误差范围只有一个。微小误差可略,可以推广为微小误差范围可略。这在测量理论与实践中,在计量体系中,都是常常应用的。微小误差可略,表征测量结果的数据,就不必写得过长,只保留有效数字。微小误差范围可略,计量标准、计量仪器,便可划分等级,上一等计量标准成为下一等测量仪器的量值标准一一即相对真值。微小,是比较而言的,是相对某特定量来说的。要注意微小误差、微小误差范围的相对性。微小误差准则:凡是对总误差值的构成作用小于总误差1/20(或1/10)的误差,称微小误差,微小误差可略。小于总误差的1/20,这个标准比较高,可用于标准和重要的工程中;一般测量,此值可取为1/10。6有效数字的新概念有效数字与精度密切相关。没有精度的概念,就谈不上有效数字。精度决定有效数字。许多讲测量理论的书,摆错了有效数字与精度的位置。有效数字取决于精度,但不能说有效数字决定精度。《数学小辞典》[4]上说:“对于实数X,如果它的近似数是X*,当X*的绝对误差最多不超过左边第一个非零数字算起第K位上的半个单位,这时我们说近似数X*有K个有效数字,并把左边第一个非零数字算起到第K位止的这K个数字都叫做近似数X*的有效数字”。这个定义只表明保留的数字是按4舍5入法处理的。有效数字理论的主要应用场合是测量的实践,其基本任务是正确表达测量结果。上述定义能完成这个任务吗?测量结果的计算中可能遇到取常数近似值的问题,例如n、巨的近似取值问题。取近似值有误差,但要注意,这里的“误差”一词可不是测量意义下的误差,而是取近似数这一项的误差,是整个测量结果误差的极小的一部分。定义有效数字有两条思路:第一种,描述有效数字误差有多大;第二种,为保证精度,应如何取有效数字。教科书上的思路是第一种,出了许多问题。例如一本计量学专著[5]上有大段话,说明如何从有效数字断定精度,这是不对的。让我们沿着第二种思路,重来。有效数字概念的理论基础是微小误差准则。这个准则说:凡是对总误差值的构成作用小于总误差1/20(或1/10)的误差,称微小误差,微小误差可略。1/20这个标准比较高,可用于标准和重要的工程中;一般测量,此值可取为1/10。一个数据,位数取得过多,多写了无用的尾数,麻烦,不该;位数取少了,影响精度,更不可。合适地取数据的位数,就是有效数字理论的任务。测量有误差,微小误差可略。误差使数据分为肯定位、随机位与多余位。肯定位在前,随机位在后,多余位是尾部。肯定位、随机位上的数字,对测量结果有意义,统称有效数字,多余位上的数字对表达测量结果无意义,是无效数字。保留有效数字,舍弃或进位多余位上的数字,这称有效数字处理。去掉多余位上的数字,本文简称为截位。舍弃或进位多余数字产生的误差称截位误差(舍进误差)。截位误差必须是微小误差。由微小误差准则,微小误差可略,因而这种截位是合理的。截位的方法是:被截位上的数小于5,舍弃;大于5,进位,即上位加1;被截位恰为5时,上位是奇数时进位,上位是偶数时舍弃。截位误差小于或等于最低保留位上单位的二分之一,它应是微小误差(比较标准是数据自身的误差)。有些数,例如n、根号2这些数自身无误差可言,取近似值时,要根据计算结果精度对其要求处理:截位误差对计算结果的影响量,应是微小误差。误差量本身该取几位有效数字,是个重要问题,是决定数据有效数字位数的关键。误差量也是量,也要做有效数字处理。误差量的截位误差应是微小误差,比较标准是误差自身。举几个极端情况,计算一下便知:误差取两位即可。例如,误差计算结果是1.050,从左数第3位起截去,截位误差为0.05,即为误差自身的1/20。这是误差取两位时的最大截位误差,即极限情况。由此可见,误差取两位足够,取三位就显得多了。那么误差取一位行吗?如果误差量第一位数字是5或大于5,则取一位的最大误差是1/10,这时取一位可以;但第一位数字是4或小于4,若取一位,则截位误差不能保证小于1/10,故必须取两位。这样,一般情况下,误差取两位。非精密测量,

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