课本课后题答案-第一章第四节

1、0N0xN时，有fxA2、M0N0xN时，有fxM3、000x满足0x0x，但fxA04、00，0x1x2满足0x1x0，0x2x0，但fx1fx20而连续性中的不仅与有关，而且还与点x有关。6、000x1x2Ix1x2，但fx1fx20x2xx2553 7、⑴当x1,3且x2时，因 x2xx2553 3 x2以 0，取x2

,1，则当0

x21

3x2x211

3xx21636xxx21636x

x3，所以 0取min30,1，则0x3时，xxxx2⑶当xxxx2

，故limx316xx216xx2x ，所以，任给xmin2,1，则当0x1

0，故xxx2

x

x2x2x2a⑷当x 时，因为x2a

axax2a ，所axax2aaaN

x

x

limxx2x2

x2a01x1 0x⑸不妨设x0，且x ，x1x1 0x

2xx0x 20 x1x x 1x以 0，取min0,0，则当0x 时，

lim1xx0

11 x xx0,3x x

0 1xx 1 1 1 1 1xx 2sinxsin 2cos 2

sin

x2xx0，所以 2

0

0

x 0，取

min0,0，则当0x 时，有 sin ，故0 0

lim1xx0

Ax

fxA0，所以存在10，当0

x

1fx04对 的0，由于x

fxA200

x

2fxA3A2

，取

2，则当0

x

时，有Afxfx ff23Afxfx ff23Ax9、法一：记fx的周期为T0 x0,，则fxfxlimfxkTlimfx0fx0k

fxkT，所以法二：若存在x00,，使得fx00，则fx0kTfx00，故limfxkTfx0，这与limfx ，所以fx0k

以fxn0，n ，因为fx在x处连续，故fx limfxn0 fx011、不妨设fxab上单增，根据单调有界有极限定理知fx00存在fx00fx0fx00存在fx00fx0x0fx的间断点所以上述不等式中至少有一个严格不等号成立，从而fx00fx的一个第一类

fx00。因x012、不失一般性，设x0a,b， 0，不妨设minfbfx0,fx0fa，设x1,x2a,b，使得fx1fx0，fx2fx0，则x1x0x2，取minx2x0x0x1，则xx0xx1x2fxfx1,fx2fxfx0fx1fx2fxx0处连续fx在ab13limgxA，所以存在10，当0x

x

1时，有gx

A1M0，由于limfxx

20，当0

x

2时，有fxM

A1。取min1,2，则当0

x

时，有fxgx

fxgxM

A1A1A，故limfxgxlimgxA0，所以存在

0，当0x

1gx0A22A2x

0，当0x

2fxM 取min,，则当0x 时，有fxgxMM，

fxAxgxBx，其中limx0limx0，所以 fxgxAxBxABAxBxxxABx，其limx0，因limfxgxAB 14、因为

fxfx00，所以存在0

x

时，有fxfx0fx0，即0fx2fx0。故xx0x0fx0fx,xa,15法一：令Fx

，则FxCab，所以M0FxMfx,xb对所有的xab都成立，当xab时

FxM，故fx在ab

fxb,0M10，使得fxM1xbb，由于fxCab，所以存在M20，使得fxM2xabMmaxM1M2，则对任意xab都有在ab上有界。

fxMf16、因为limfxN0，当x

时，有fxf0，由fxCNNNN，使得ffxxNN，又xNfxf0f0f，故ffx对任意x都成立，即ffx在,上的最小值。 17 x,，则fx x x x fx，因 f 2 n 在x0处连续，所以fxlimfx xf0，故fx在,上n

fn

22

n21 1 118 0,，则fxfxfx2fx22 fx2n，因为fx

1 1x1fxlimfx2nflimx2nf1 19、首先证明an是一个Cauchy列，因

an1an

fanfan1qan

qna1

anp

anpan

anp1an

an1n

n

qna qn p

1q

qn 11

1，lim，

0，从而0，存在N0当nN时，

a1

n

n f anfan1 alimanlimfan1fliman1faafx的不动点。若存在bf abfafbqabababafx、取af1a，则对正整数n有fnnf1anf00fnnfnfn0，故fnfnan，即对负整数af1 1nf1，所以f1a f n n n

，从而对任意有理数nfmmf1am 实数x，取xQ，使limxx，则根据fx在 n n 处的连续性fxflimxnlimfxnlimaxnax，所fxax对任意 x都成立、⑴0，取12，则当x1x21,，且x1x21时，有x1x1 x 1x x1x1 x2 此存在20，当x1,x20,，且x1x22时， ，取min,,1，则当x,x0,，且x ，若x,x中有一个属于 2 则两个都属于0,2，所 ；若两个都不属于0,1，则两个都属于x所 ， 在0,上一致x ⑵取0， 的0，取x1

，x2

，则x1

，但 2 1

2 x xxx

在0,上不一致连续。

22

fxx3fxC0N1，所以存在10x1x20N1x1

1时fxfx，取min,,，则当x,x0,，且x 时 3x1x2中有一个属于0,N，则两个都属于0,N1，从而fx1fx2x1都属于N,fxfxfxxfxxx fx在2

23、因limfxx20，所以N0xN时，

1

0N，取x1x22，则

x1

，但2fxfxx2x2fxx2fxx21111，所以fx 0,上不一24充分性：令Fx

limfx,xa，则FxCa,b，所以 limfx,limfx, x1x2abx1x2时Fx1Fx2