拓扑学第2章拓扑空间连续映射

第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础，从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念：拓扑空间、连续映射，分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。§2-1数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。设f:E1TE1是一个函数，七eE1，则f在x处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列｛x｝收敛于x，则序列｛f（x））收敛于f（x）；nn=1,2,…0nn=1,2,・••0⑵£-8语言对于Vs>0，总可以找到8>0，使当x-xj<8时，有|f（x）-f（x0）|<£（3）邻域语言若V是包含f（x0）的邻域（开集），则存在包含x0的邻域U，使得f（U）uV。解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述；对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。§2-2拓扑空间的定义一、拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1设X是一非空集，X的一个子集族TU2X称为X的一个拓扑，若它满足（1）X,0ex；（2）T中任意多个元素（即X的子集）的并仍属于匚；（3）T中有限多个元素的交仍属于匚。集合X和它的一个拓扑匚一起称为一个拓扑空间，记（X,t）。T中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。

下面我们解释三个问题拓扑公理定义的理由；(2)为什么T中的元素称为开集；(3)开集定义的完备性。•先解释拓扑定义的理由：从£-8语言看："一叩<8和|f(x)-f(x0)\<£分别为El上的开区间；从邻域语言看：U,V是邻域，而f(U)是f(x)的邻域，连续的条件是f(U)uV，即一个0邻域包含了另一个邻域，也就是说，f(X)是V的内点，有内点构成的集合为开集。0在数学分析中要定义区间的内点、外点、聚点…等概念，这些概念的定义都要用到球形邻域的概念，并且那里的球形邻域都是开集。•解释为什么(1)、(2)、(3)可以表述为开集：回顾一下度量空间中开机的定义。在度量空间中，开机的定义：“由内点组成的集合”。即，若A是开集，则VxgA，一定存在x的£-邻域B(x,£)uA。这也是开集的判定条件。例1R上的开区间(a,b),(—8,a),(—8,8)都是开集。而(a,b],[a,b],(—8,a],[b,s)都不是开集，因为存在边界点a或b，它们不存在£-球形邻域含于集合之中。例2任意多个开集的并仍是开集；但是，对于交运算不成立，即任意多个开集的交不一定是开集，如E1中开集11质A^n=(-1-—,1+—)，A=nA=[-1,1]n=1前面给出的是拓扑的结构性的表述，下面给出代数性质的(逻辑的)表述，最终将其作为拓扑的公理化定义。性质：度量空间(X,d)中开集具有下述性质X与0是开集;(2)(3)A,A是开集nAcA是开集(或有限多个交)；1212人6「(任何指标集)，若A入是开集nU(2)(3)没有X以外的元素)，证明：(1)由于X中每一点x的邻域必然包含于X中(X是整个空间，故没有X以外的元素)，电则存在2设A,A是X上的开集。若xeAcA，则必有TOC\o"1-5"\h\z1212xeA且xeA(核心说明AcA中的点是内点)。于是，存电则存在21212A在x的球形邻域B(x,£)uA及B(x,£)uA.1122取£=min｛匕,£2｝，则B(x,£)是x的球形邻域，且有B(x,£)uA「B(x,£)uA2，于是B(x,£)uAcA故A1cA2是开集。于是存在某个人，使xeA；由于是AX开集设VxgUA，于是存在某个人，使xeA；由于是AX开集XerB(x,£)uA"nB(x,£)uUAX.故UAX是开集。XerXer•解释利用开集刻画邻域的“完备性”我们熟知，在度量空间中，用开集表示邻域有如下好的性质:①Vx€X，至少有一个邻域，使x属于该邻域；对于x€X的任意两个邻域U1,U2，存在x的另一邻域V，使得VuU1cU2（对于闭集不成立）若x的邻域中还有点y。x，则存在y的邻域含于X的邻域中（分析中最有用的性质）。这表明：一、邻域可以用邻域来刻画，二、邻域中有更精细的邻域，易于刻画收敛性质。二、拓扑空间的例子判断t是否为拓扑，主要检查是否满足三条公理：1、X与0是否在其中；2、对于有限交是否封闭（通常只要两个集合的交封闭）；3、对于任意并是否封闭。例1设X={a,b,c}，在X上可以构造29个拓扑，如{0,{a,b,c}}{0,{a,b,c},{a,b}}{0,{a,b,c},{a}}{0,{a,b,c},{a},{b,c}}{0,{a,b,c},{a},{a,b}}{0,{a,b,c},{a},{a,b},{a,c}}{0,{a,b,c},{a},{b},{a,b},{b,c}}{0,{a,b,c},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}（共29个，其他的有同学自己列举）例2设X={x,y,z}，下列哪些是拓扑，哪些不是。如果不是请添加最少的子集，使其成为拓扑。{X,0,{x},{y,z}}{X,0,{x,y},{x,z}}{X,0,{x,y},{x,z},{y,z}}{X,0,{x},{y}}解：①是；②不是，须添加{x}；③不是，须添加{x},{y},{z};④不是，须添加{x,y}。例3若t1和T2都是X上的拓扑，则T1DT2是X上的拓扑吗？

解：不一定。如设X={a,b,c}，则七={X,0,{a},{a,c},{a,b}}，t2={X,0,{c},{a,c},{b,c}}都是X上的拓扑，而T152={X,0,{a},{c},{a,c},{a,b},{b,c}}不是X上的拓扑，因为{a,b}c{b,c}={b}WT1dt2.例4若t1和T2都是X上的拓扑，则T1CT2是X上的拓扑吗？解：是。（1）X,0ET1CT2；（因为X,0同属于T1和T2）（2）若A,BeTCTnA,BeT且A,BeTnAcBeTct；i2i2i2（3）将（2）中AcB改为AdB，仍成立。★下面给出几个常见的重要拓扑的例子。离散拓扑一一非空集合X的所有子集构成的集族T=2X（包括0）。平庸（平凡）拓扑——X是非空集合，t={X,0}。余有限拓扑一一设X是无穷集，称Tf={AcA是X的有限集}d{0}为X上的余有限拓扑。余可数拓扑一一设X是不可数无穷集，称T={Ac|A是X的可数子集}d{0}c为X上的余可数拓扑。欧氏拓扑一一R是全体实数集合，称T°={U|U是若干个开区间的并}为R上的欧氏拓扑。（注：“若干”可表示无穷，有穷或零个，故R,0均含于其中）★严格讲，上述集族为拓扑需要证明，下面仅证明[3]（余有限拓扑）证明：（1）因为0是有限集，而0c=X，则XeT；f又由定义，0在七中，即0eTf。（2）设A,BeTf，若A,B中有一个是0，则自然有AcB=0eTf；若A,B均非空，则存在X的有限子集A,B，使得A=Ac,B=Be（有限集），于是，1111AcB=AccBe=（ADB）c由于A,B为有限集，则ADB仍是有限集，则AcB是有限集的余，则AcBeT.（3）设AeTf,ae「（指标集），且存在a，使A非空。UAa=U（3）设AeTf,ae「（指标集），且存在a，使A非空。UAa=UBe=[ABa]C（根据摩根律）a在ae「ae「贝0lIBa也是有限集，而UAa是有限集的余ae「ae「a的有限集，于是因为B‘是有限集故UAeTfae「利用类似的方法，可以证明上面的所有例子。作为本节的一个知识要求：能够证明一个集族是拓扑。三、度量拓扑利用集合X上定义的度量d，可以在X上定义8-邻域，即可以在X上导出一个拓扑。这意味着，每个度量空间也都是拓扑空间。设(X,d)为一度量空间，Vx0eX,8>0，称集合B(x,8)=(x|xeX,d(x,x)<8}为以x0为中心的，8为半径的球形邻域。引理：度量空间(X,d)的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集。证明：如右图所示，设U=B(x,8)cB(x,8)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1122VxeU，则有8—d(x,x)>0,8—d(x,x)>01122记8=min(8—d(x,x),8—d(x,x)}x1122则知B(x,8JuU，于是'U=UB(x,8)xeU证毕。利用上述引理，我们可以在度量空间(X,d)上构造一个拓扑。定理：设X(度量空间)的子集族Td={U|U是若干个球形邻域的并集}则Td是X上的一个拓扑。0表示为零个球形邻域证明：(先明确“若干个”的含义，可以是无穷，有穷或零个)0表示为零个球形邻域由于球形邻域是开集，于是X可以表示为无穷个球形邻域的并，的并，故拓扑公理1成立；又由Td的定义知，任意多个邻域的并必属于Td，则公理2成立；下面证明拓扑公理3成立。设U,VeTd，记dU=UB(x,8),V=UBx%),UcV=(UB(x,8))c(UB(x,8))(由分配率)aaPP=U[B(x,8)cB(x,8)]aaPPa,p由引理，B(x,8)cB(x,8)一定满足匚的条件，即属于匚，故UcV是若干个球形邻域aaPPdd的并，即UcVeTd.证毕。综上定理，我们称t为X上由度量d决定的度量拓扑(即，由若干个球形邻域之并构成的集族)。于是，每个度量空间(包括En)都可以自然地看成为具有度量拓扑的拓扑空间。同时看出：三条拓扑公理正是度量空间开集具有性质的抽象。§2—3拓扑空间中几个平行于分析数学的基本概念一、度量空间中的几个基本概念⑴球形邻域(开球)B3点)，(前面已介绍，略)下面给出一个度量空间球形邻域的例子。例C下面给出一个度量空间球形邻域的例子。例C[a,b表示区间[a,b]上的连续函数全体，定义两个函数f和g的距离(W,geC[a,b])d(f,g)=max|f(x)-g(x)|a<x<b令h(x)=k(xe[a,b])，则关于h(x)的£-球形邻域B(h,&)如下图所示。⑵内点设A是(X,d)的一个子集，若xeA且存在点x的一个邻域B(x,£)uA，则称x是A的一个内点。边界点边界点说明：内点x是这样的点，它自身属于A，并且它“近旁”的一切点都属于A。⑶外点一一若xeAC，且存在一个邻域B(x,£)uAc，则称x是A的一个外点。说明：外点x是这样的点，它自身不属于，而且它的近旁的一切带内也不属于A。⑷边界点一一若xeX,x既非A的内点，也非A的外点。或者说，对于任何£>0，B(x,£)与A和Ac的交均非空，则称x是A的一个边界点。⑸内部一一A中所有内点的全体称为A的内部，记为intA或i(A)。⑹外部——A的外点全体。⑺边界一一A的所有边界点全体，记为b(A)或8A。⑻开集——如果A中的每一点都是A的内点，即A=intA。例如：开区间0,b)一定是R中的一个开集；开圆盘一定是R2中的一个开集；一般的，任意n维开球一定是Rn中的开集(但开集未必是开球)。此外，整个Rn当然是Rn中的开集约定：空集也是开集。⑼闭集一一若Ac=X-A是X中的开集，则称A是X中的闭集。聚点设A是(X,d)的一个子集，XGX，若Vs>0，有B(x,s)c(A-{x})^0则称X是A的一个聚点(或极限点)。说明：①如果X是A的一个聚点，那么必存在一列XGA(n=1，2，...)，X丰X，使XTX，这表明在A内存在一列点积聚在X周围，即谓之“聚”也。nn②注意，聚点本身可能属于A，亦可能不属于A。③A的内点一定是A的聚点，A的外点一定不是聚点。问题：A的边界点是不是A的聚点呢？(不一定，有可能是孤立点)导集一一A的所有聚点全体之集合，称为A的导集，记为d(A)。闭包——A=Aud(A)称为A的闭包。例如：直线上(a,b)的闭包是［a,b］。稠密子集——若A=X，则称A为(X,d)的稠密子集，或称A在(X,d)中是稠密的。疏子集(疏朗集)——若intA=0，称A为(X,d)的疏子集。孤立点一一若xgA不是A的聚点，即存在使得B(x,s)cA={x}则称x是A的孤立点。思考：1)xWA，也不是A的聚点，X是A的什么点？2)孤立点与边界点关系？完全集一一若A是无孤立点的闭集，则称A为(X,d)的完全集。二、拓扑空间中的相关概念的定义我们在邻域概念中回避半径s(度量)，将含点X的集合称为X的邻域。于是有如下定义：设(X,T)为拓扑空间，有邻域一一XGX,U为X的子集。若存在一个包含X的开集V(注：V是T中的元素)，且XGVuU，则称U为X的邻域。注：由定义知，开集本身也是所含元素的邻域。邻域可以不是开集，但它是由开集来定义的，即邻域U可以不再拓扑T中。▲凡是包含X的开集(C中的元素)均为X的邻域，称为点X的开邻域。▲点X的所有邻域构成X的子集族，称为点X的邻域系。开集一一在拓扑空间中，对开集不再另行定义，而将拓扑^中的元素称为开集，这是公理性定义。定理：拓扑空间X的子集U是开集。U为其每一点的邻域。即XGU，则U为x的邻域。证明：n(必要性)由邻域的定义，这是显然的。=(充分性)设U为其每一点的邻域，于是，VXGU，存在开集V使得xGVUU。(注：拓扑空间开集使用公理给出的，所以此条件还不能证明U是开集)由VuU，有U=V。因为V是开集，故U是开集.gU重点理解该定理的意义：对于(X具)中的子集U，有U是非空开集oU是其每一点的邻域下面的结论是明显的(不加以证明)X是拓扑空间，XGX，U为X的邻域系：VxgX,U。0；X若UGU,则XGU；若U,VeA，则UcVeU；(由开集的代数性质可得)若UeU「且UUV，则VXeU,；若UeU，则存在VeU满足：a)VUu,b).对于任一jeV,VeUy(由邻域的定义及定理可得)闭集——拓扑空间X的一个子集A称为闭集，若A。是开集。注释：i、由于Xc=0,0c=X，则X,0也是闭集；平凡拓扑空间t={X,0}也是闭集构成的。ii、在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，于是，也都是闭集。上述说明，我们不能用欧氏空间中开、闭集的概念来理解拓扑空间中相应的概念。拓扑的定义是逻辑的，不是分析的。内点——A是(X,t)的子集，xgA，若存在开集U(即t中元素)使得xeUuA，则称X是A的一个内点。内部——A的所有内点的集合，记为intA或i(A)。聚点——A是(X,d)的子集，xeX，若x的每一邻域U中都含有A-{x}中的点，则称x是A的一个聚点(或极限点)。(注：用x的邻域而不是开集)导集一一A的所有聚点的集合，称为A的导集，记为d(A)或A'。闭包称A=ADd(A)为A的闭包。稠密集若A=X，则称A关于X是稠密的。▲如果X有可数的稠密子集，称X是可分的拓扑空间。思考题：余有限拓扑(R,tf)是可分的。余可数拓扑(R,tc)是不可分的。

▲性质1（关于闭集的性质）拓扑空间的闭集满足（1）（2）（3）证明：三、拓扑空间上集合的一些重要性质▲性质1（关于闭集的性质）拓扑空间的闭集满足（1）（2）（3）证明：（1）已经证过；（2）和（3）可用开集的公理（2）和（3）经摩根律得出。▲性质2（关于内点的性质）设4B是拓扑空间的子集，有①若AuB，则intAuintB；②③④⑤intA是包含在A中的所有开集的并集，因此，是包含在A中的最大开集;intA=A0A是开集；int（AcB）=intAcintB；int（AuB）dintAuintB.②③④⑤证明：（提示：只要证明A的内点一定是B的内点）设工是A的内点，则存在开集〃，使得xgUuA；又AuB，则必有UuB，于是，x也是B的内点。故intAuintB；设｛“«er｝是包含在A中的所有开集构成的子集族。U即可ae「对于xeU侦uA，x是A的内点，即Ua中所有点x均是AuintA.首先，Vaer,UauA，于是，的内点。故有U即可ae「对于xeU侦uA，x是A的内点，即Ua中所有点x均是AuintA.首先，Vaer,UauA，于是，的内点。故有UauintA,于是UUaaerUaer―Ua。（并且intA是开集）aer③根据②，任意开集的并是开集，则intA是开集。又，设A是开集，由②知，A是包含在自身内的最大开集，于是有A=intA.（intA是A中开集并）④一方面，由于（AcB）uA，根据①，有int（AcB）uintA；又（AcB）uB，则有int（AcB）uintB，故得到int（AcB）uintAcintB。另一方面，由AdintA且Bdint