1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-教学设计

第一章集合与常用逻辑用语

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定教学设计一、教学目标通过探究数学中一些实例，归纳总结出全称量词命题和存在量词命题的否定的变化规律.通过例题和习题的教学，能够正确地对含有一个量词的命题进行否定并判断真假.二、教学重难点教学重点理解全称量词命题和存在量词命题的否定的变化规律.教学难点正确地对含有一个量词的命题进行否定并判断真假.三、教学过程（一）新课导入问：什么是命题的否定？对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.（二）探索新知探究一全称量词命题的否定思考1：写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）V%gR,%+1%I>0.答：这三个命题都是全称量词命题，即具有“v%gM,p（%）”的形式.命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题（3）的否定是“并非所有的V%gR,%+1%I>0"，也就是说，3%gR，%+1%I<0.从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“V%GM,p（x）”，则它的否定为“并非vxeM,p（x）”，也就是“3%eM,p（x）不成立”.通常，用符号“「p（x）”表示“p（x）不成立”.对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：VxeM，p（x），它的否定：mxeM，「p（x）.思考2：归纳全称量词命题否定的规律.答：全称量词命题的否定是存在量词命题.例1写出下列全称量词命题的否定：（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意xeZ，x2的个位数字不等于3.解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.（3）该命题的否定：mxeZ，x2的个位数字等于3.探究二存在量词命题的否定思考3：写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化？（1）存在一个实数的绝对值是正数；（2）有些平行四边形是菱形；（3）3%eR,%2-2%+3=0.（要求：学生分小组讨论，类比探究一得出结论，每组选出代表回答，教师总结.）答：这三个命题都是存在量词命题，即具有“3%eM,p（%）”的形式.命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；命题（2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题（3）的否定是“不存在%€R,%2.2%+3=0”，也就是说，V%eR，%2一2%+3丰0.从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“3xeM,p(x)”，则它的否定为“不存在xEM，使p(x)成立"，也就是“VxeM,p(x)不成立”.对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：3xeM,p(x)，它的否定：VxeM,「p(x).思考4：归纳存在量词命题否定的规律.存在量词命题的否定是全称量词命题.例4写出下列存在量词命题的否定：⑴aveR,x+2VO；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个偶数是素数.解：(1)该命题的否定：vxeR，x+2〉0.(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.例5写出下列命题的否定，并判断真假：(1)任意两个等边三角形都相似；（2）解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.（2）该命题的否定：v%€R,%2-%+1丰0.因为对任意%eR，%2-%+1=（%-1）2+3>0,所以这是一个真命题.24（三）课堂练习命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）任意一个有理数，它的平方是有理数任意一个无理数，它的平方不是有理数存在一个有理数，它的平方是有理数存在一个无理数，它的平方不是有理数答案：B解析：根据命题的否定的定义，该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.故选B.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数答案：D解析：因为全称量词命题的否定一定是存在量词命题，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”.故选D.TOC\o"1-5"\h\z3.命题“3x22,x22n”的否定是()000A.3x<2,x2>n000B3x<2,x2<n000Vx>2,x2<x0Vx>2,x2<n0答案：D解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“3x>2,x2>n”000的否定是“Vx>2,x2<n”.故选D.04.下列全称量词命题的否定形式中，假命题的个数是()①所有能被3整除的数能被6整除；②所有实数的绝对值是正数；③VXcZ,X2的个位数不是2.A.0B.1C.2D.3答案：B解析：①“所有能被3整除的数能被6整除”的否定形式为“存在能被3整除的数不能被6整除”，正确，如，3是能被3整除，不能被6整除的数，故①的否定形式正确；②所有实数的绝对值是正数，其否定为：mXcR，IXI不是正数，故②的否定形式正确；③因为02=0，12=1,22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=498=64，92=81，所以VXcZ，X2的个位数不是2的否定形式为：mXcZ，X2的个位数是2,错误.综上所述，以上全称量词命题的否定形式中，假命题的个数是1，故选B.5.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p:VXcR，X2一X+1>0；（2）q:mxcR，x2+2x+2<0