2015考研数学考前密押辅导讲义

2015 TOC\o"1-1"\h\z\u 【例1f(x)xln(2xx2)f(x)在(2)x1ln2xn1fxnn1,2,，求limxn【解析】解：(I)因为f(x)1 2

,f(x) (2

f(x)0x1f(1)10f(xf(1)1，且极值点唯一，故f(x)在(,2)内的最大值为1.(II)f(x在(2)内的最大值为1x1ln2xn1fxnn1,2,，0xn1.f(x在区间(0,1)上单调增加，那么数列{xn单调增加，所以，数列{xn的极限存在，令limxnxxn1

xf(x)xln(2xx1，所以limxnxxsinx【例2】求函数的极限lim x0x2ln(x1x2ln(xln(x x 1【解析】lim lim 1

xln

xxsinx

xxsinxx

exlnxexlnsinxlimsinxx sinx

x2ln(xx2ln(x1x2

x

lim sinx1 sinxlimsin

xsin x0x2sin 【3yfxxyy

(

y2lnxx2lny1

xlny ylnx

ylnx xlny1

x2lnyy2lnx1【解析xyyxylnxxlnyylnxy1lnyxy xylny xylnx

y2lnxx2lny1x(t【例4xx(t由方程sinttφ(u)du0确定,其中可导函数x(t0，且φ(0)φ(0)1，则x(0) x(t【解析】sint φ(u)du0x(tcostφ(x(t))x(t)φ(t)0,x(0)

sintφ(x(t))x(t)2φ(x(t))x(t)φ(t)0,x(0)xln(1t2【5】已知yarctan

d2则dx2 【解析dy

dty(t)1t21 dx

2t 1t2d2 ddy d1 d1 1t 2 dxdx

dt2t

dt2t

f(1x)f

12yf(x在点(1, 2limf(1x)f(1)1f(1x)f(1)1f(1) (1x) xx【例7】设函数f(x)满足f(tx)dt ex1，则f(x)xx0f(0)1yxf(0)1yxf(0)1yxf(0)1yx令u

tx【解析】0f(t xf(u)du，故xf(u)du2 f(x1)xexf(x)xexf(x1ex,fxexf(x)1ex0x0f(0)10，那么，f(x)有极大值f(0)1limf(x)limxex1limfxxlimex0yxx 选择

x 【例8f(x在[abf(a)f(b)0如果maxf(xminf(x0，证明：在(ab内至少存在一点ξa af(ξ)f(ξ)2f(ξ)f(xfx)2f(xxabf(x)在(ab内没有零点【解析】(I)因为maxf(xminf(x0，那么最大值和最小值都不可能为0af(a

af(b)0f(xmaxf(x0,x(ab a f(x2minfx0,x2(ab.f(x在[x1x2或[x2x1aηx1x2或者(x2x1f(η0令G(x)exf(x，显然，在[a,η],[ηb上连续，在(a,ηηbG(aG(ηG(b0ξ1a,ηξ2ηbG(ξG(ξ0，而Gxexf(xexfxf(ξf(ξ，f(ξf(ξ F(x)ex[f(xf(x)]，显然，在[ξ,ξ上连续，在(ξ1,ξ2 F(x)ex[fxf(xex[fxf(xf(ξf(ξ)2f(ξ.(II)反证法.f(x在(ab内有零点cf(c)0.由(I)可知在(abξ，使f(ξ)f(ξ)2f(ξ)，与已知条 1【例9】设k为常数,方程kx 10在0,内恰有一根,求k的取值范围x【解析】fxkx1x

x0,fxk1xk0

fx,

fxfx0,即fx单调增加k0时原方程在0,内恰有一根k0

fx,

fx1,且fx0,即fx单调增加,因而k0时原方程在0,内也恰有一根k0

fx,

fxfxkx

0x fx

0f

1 为fx的极大值,即最大值 fx011

0,得k ,此时原方程在0,内也恰有一根4【例10】 dx 1 【解析】 dx (1 )d x1ex2 0

dx20

xxπ xxππ4eudu4 π 【例11】过点0,0作曲线yexL,D是以曲线Lx轴为边界的【解析】设切点为(x0ex0

ex0 x0y

exdxeS1 ex)dx 2 V1 dx3πe6πe22 2【12zf(uv具有二阶连续偏导数，且满足ax2y20（其中a0知uxayvxay，求

2.【解析】设uvzzuzvzz u v 2z2zu2zv2zu2zv2z 2z2 u2 uv vu v2 2 v2 z2 22 2 2yauav;y2au22uvv222

2

2

2

2

2

2

2yy

20，即a2

u22

v2)a2

2 2)u 22 24auv0.因为a0uv0【13】求lnxlny3lnzx2y2z25上的极大值（x0,y0,z0【解析F(xyzλlnxlny3lnzλx2y2z25 F'12λx 33 F

12λy F'

，解得xy1,z xF'zx

z

5lnxlny3lnz的极大值一定存在，为maxln(33)【14】求二重积分Ix2xy2dxdy,其中Dxyx2y2DD【解析Ix2xy2DD=x42x3yx2y2DD=x4x2y2D=2x2x2y2

D1D的上半部分,即上半个圆=22

2cos

r5cos2=

2

θdθ

64

7531

35π3 8642 2 【例15】求幂级数n

的收敛域及和函数,并计算n22【解析】limun1x

n12n12xn1n2xnnun

x1,即1x1时,幂级数收敛,且为绝对收敛 x1时,级数n21n与n21n均发散,故幂级数的收敛域为 Sxn2xnxn2xn1 x

x

2n1

2

Stdt

n

dtn

dtnxnnxn1xS0

tdtxntn1dtnxtn1dt

xS xn xn

x 即有

2tdt 0 1 1 0S2tdt ,得S2x 1x 0S1tdtxS2x1x2

1

1因此

S1t

S1x

1x3Sx

n2xnxSxx1x 1 1 1

1 1212当x 时, n2 6 2 2

1 其收敛区间【解析】因为ln(1x2x2ln(12x)(1ln(1x)ln(1 所以ln(1x

n(1xnn n1 2nxn 1ln(12x) 2x2, (1)n1

n

11故ln(1x2x) x，其收敛区间为 2 足初始条件y(0)0,y(0)3的特解 2根为r11,r21,其特征方程为r210,从而a0,b1yaybyexy*axex，带入得a1,y*1xexyaybyexyCexCex

xexy(0)0,y(0)3 C1C1y1(exexxex

d2

2dx【例18】(1)将方 sinx 0化为以x为自变量,y为因变量的微分 dy d2,【解析 dx,

d2x

dx

dy (dy d2(dy

(sinx (dy

d2即dx2ysin

y

cosx

sinx1xcosx2 【 】计算I xdyydx,其中L是椭圆2x23y21,方向沿逆时针方向 3x24yLy【解析】Px,yy3x24y

,Qx,y

x3x24y

,在任何不包含原点0,0的区域内

3x24y

,因此,对任何完全落在L内部且包含原点0,0的封闭曲C3x24y2ε2顺时针),L和C所夹的区域内应用格林公式,ILC

PdxQdy PdxC0 PdxCε1xdyε22C2ε 3x24y2ε2πε

εεπ33233S其法向量与z轴正向夹角为锐角.S 【解析】以Szz1x2y21D是S 平面上的投影区域，则2xzdydzzdxdydxdyπ 设表示由S和S1所围成的空间区域，则由公式2xzdydzzdxdy21dv

0

110

11r2S6π

1rr

dr

11

π 4 S因此2xzdydzzdxdy2ππ2πS x23y2 【例21】已知是空间曲线 绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分 0（z上侧），是Pxyz处的切平ρxyz是原点到切平面的距离，λ表示z(I)ρx,y,zdSzλx3μyυzdSPx,yz处的法向量为x3yz，于是切平面的方程xXx3yYyzZz0故

x23y2 x23y2 x23y2x29y2x23y2x29y2x23y2 dSzx29y2z2ρx,y,z 记xoy面上的投影为DDxyx23y21 ρx,y,z1x211x21611x23y21x23y2 D13 16y2dσπ y2dσ(DD在第一象限的部分13 1313ππ33 243 y2dx33

24

y213y2 πsint 331sin21333 242 costdt 2sin331sin213330 π

33 330

1cos4tdt 3π33 33Px,yz处的法向量为x3yz的方向余弦x29x29y2

，μ

x29x29y2x29y2x9y2 zλxx9y2

zx29y2 x29y2z2

3π211 11 012 0【例1】行列01 1=02 04 4 00 00 11 3 94 0a,A22ABE,则RAB2BA3A 【例2】B 5 5【解析RB3由A22ABEAA2BE,当然有A2BAERA3A22ABEA22BAE,ABBA所以RAB2BA=RAB2AB=R3ARA3EBR3EB22【例3】3阶矩阵A可逆，把矩阵A的第2行与第3行互换得矩阵B，把矩阵B的第1列的-2倍加到第3列得到单位矩阵E，则A*= 【解析E23ABBE312)EE23AE312)E，AEE(2)A1,A1E(2)E23 A*

0 【例4已知n维向量组α1,α2,α3线性无关那么向量组aα1bα2,aα2bα3,aα3bα1线 A.a0,b B.ab C.a D.a【解析】(aαbαaαbαaαbαα,α

b ) 3 a aα1bα2,aα2bα3,aα3bα1线性无关只需要 ab0ab0a3b30,ab0ba5】已知三维向量组(1)α1,α2线性无关,(2)β1β2线性无关证明存在非零向量ξ可由α1,α2线性表示,β1β2 设α1,2,6T,α2,14Tβ4,3,2Tβ1,8,4T,求 【解析】(I)三维向量α1,α2,β1β2k1k2λ1λ2k1α1k2α2λ1β1λ2β20ξk1α1k2α2λ1β1λ2β2，其中ξ0ξ即为所求因α1,α2线性无关,若ξ0k1k20,同理λ1λ20k1k2λ1 ，故ξ0.k1α1k2α2λ1β1λ2β2 3α,α,β,β

8 2 5

0 则ξkαkαk3α5αk1k01 2 2 【解析】因为(α,α,αβββ

1 1 1 1 2 2 a a a a4 2 a a a a a10r(α1,α2,α32r(α1,α2,α3β1β2β33，此时向量组(I)与向量a10r(α1,α2,α3r(α1,α2,α3β1β2β3)3|β1,β2,β3所以r(β1β2β3)3，于

a a a

60r(α1,α2,α3r(α1,α2,α3β1β2β3r(β1β2β3，非零解,向量α3Aα3α1α2α3.证明α1,α2,α3【解析】(I)设x1α1x2α2x3α3 因为α1α2是两个不同特征值的特征向量，所以α1α2x2x3代入x10，即α1α2α3线性无关 1 (II)A(α,α,α) 1(α,α,α 3 1 1

B

1

B(BE)X0的基础解系为ξ11,0,0)T(B0EX0的基础解系为ξ20,1,0)TA1的特征向量为(α1α2α3k1ξ1k1α1，其中k10A0的特征向量为(α1α2α3k2ξ2k2α2，其中k20【例8】设矩阵A= a，A*为A的伴随矩阵，且存在非零矩阵C使得ACA*O 1试求所有满足条件的非零矩阵C

x2 据题意可知，C为2阶矩阵故可设C= x.由已知可得 4

xxax axxa2xax 0 4 x1x2x3 ax1x2ax3x4 0xxaxax axx

xax0 ax1x2ax3x4 1 a

01 a 0 a 01 1a

1 0

a 1a1111200a100(a (a1)20a10且1a0或③1a0aa20axk1ξ1k2ξ2k3ξ3，其中k1k2k3k1k2 k1 因此，非零矩阵C= ，其中k1,k2,k3不全为 3 0 0 【例9】设A 2B 0，求a,b及正交阵P，使得

AP

5 5

116 16 【解析】a1,b0,P 【例10】已知三元二次型fAα8α.

xPyfxTAxAkE正定,求k【解析】⑴Aα8α,AAα8Aα,Aα8α,16αAαAα2αfxTAx0Aα2α说明αA的特征向量，2 a131 1 2 a0a2224.aa011 2a12a13a12 即有

解得a122a132a232fxTAx4x1x24x1x34x2x3 2其中A 22 02 ⑵由AλE

λ22λ40, λ2,

4

当λλ1λ22 2 由A2Ex0， 2 0 0x1x2x30

x1x2x3 x1 xx

则x

k1k0kk2x2 x2

2

1 2 3 取α

1

,α

0 1 当λλ34 2 1由A4Ex0， 2 4 0x1x3

x即有x

x1

xx

则

k1,k0.取 x2x3

2 x 1 1 3 将α1,α2正交化β1α1β,α

β

2ββ 2 于是

1,β

,β 123 123 1 取γ

1

1,

21,γ 2 1 1,e 1,e ,e e1 1 1Pe,e,e 62 62 2 6 6 3xPyfxTAxyTPTAPyyTy2y22y24y2 AkE的特征值为k2k2k4,λ1λ2所以当k4AkE正定【 11】设A 4

,r(A)2,则Ax0的通解

5,kk为任意常数1 2 0 1【 12已知A 0,B 2矩阵X满足AXAABAXA 1

3 则X3 【解析X

4 12 【例1】设P(A)0.4,P(AB)0.2，且P(A|B)P(A|B)1，则P(AB) 【解析PA|BPA|B1PA|B)PA|BABPAB0.2PA)P(B)0.4P(BP(B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7【例2】设随量X与Y相互独立，且均服从U[0,3]，则P{min(X,Y)1} 【解析P{min(X,Y)1}1P{min(X,Y)1P((X,Y)1}1P(X1)P(X1P((X,Y)1}12253 aebx,x【例3】设随量X的分布函数为F(x)0,x

EX

1,则EX2 21【解析】2 量X服从参数为λ的指数分布1求Ymax(X )的分布函数F(y) Z

求Z )

(y)P{Yy}P{max(X,1)y}P{Xy,

y0FYy当0y1

(y)P{1Xy}y当1y

(y)P{

yeλy Xy}1yy

dx1综上所述，Ymax(X,1X

yFY(y)eyeλy,1(II)FZ(z)P{Zz}P{Zz,X1}P{Zz,XP{eXz,X1}P{1z,Xz1FZ(z)当1zeFZ(z)P{XlnzX1}P{XP{Xlnz}eλ1eλlnz1zλ当ezFZ(z)P{XlnzX1}P{X1}P{X1}P{X1}

zF(z)zλeλ,1z

e

E(Z)0e dx dx1λ

1)【5】设X,YYX0113a01b0c其中abc为未知参数.E(Y1Fxy为X,YF(1,0)3 abcXY2的概率分布【解析】(I)1abc3E(Y)(1b)c1 F(1,0)P{X1,Y0}1ab3 由①、②、③得a1b1c1 P{X1} X1Y的取值为1,1Y1P{Y1|X1}P{Y1,X1}62P{X 1P{Y1|X1}P{Y1,X1}43P{X XY2XY01P11534【例6】设二维 量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

x2y求常数cP1X0|Y1 4 y【解析】 cx2ydxdy1,即 cx2ydx cy

cy ，解 4y当0y1

(y)

21x2ydx yyyyyy2y当0y1fX|Y(x|yy

f(x,

2，yx fY(

f(x,1

2 12x xfX|Y(x|4) fY(4

0，P1X0|Y10 012x2dx1 4 1XY

【例7】已知随量X的概率密度为

2(1 0x1,Xx(0x

fY

A,(yx)1x

xy2

P1X1|Y1 (y

AdyA12

Y

10x1,xy2(II)f(x,y)fX(x)fYX(yx)y1dx,0y

20y1dx,1y2,y,0yf(y)f(x,y)dx

y,1y0 0

当0y1 f(x, 1,0x (x yfXfY

其他当1y2 f(x, ,0x (x 2 fXfY

(

fX

2,0x1, ) 22

11X 12

2

P X |Y 4 2

)dx42dx 量X与Y独立，且X服从参数为1的指数分布，Y在1,3上服从均匀布， 量ξk

XY k0,1 XY求ξ0,ξ1的概率分布判断ξ0和ξ1【解析】(I)ξ0,ξ1为离散型 量，所有可能取值为0,0,0,1,1,1,1．下面利用等价事件求ξ0,ξ1取各值的概率X

x

ex

x0,Y

1,1yy

x

X与YX与Y1ex x0,1yfx,yfXxfYy Pξ00,ξ10PXY0,XY1PXY 3dyy1exdx11e3e1 0 Pξ00,ξ11PXY0,XY1P0Pξ01,ξ10PXY0,XY1P0XY3dyy11exdx1e1e2e3e4 Pξ01,ξ11PXY0,XY1PXY3dy1exdx1e2e4 y1 01011e3e12011e1e2e3e421e2e42(2)Pξ00,ξ11Pξ00Pξ11，所以ξ0和ξ1不相互独立【9】X和Yfx, exy,x0,y 求ZYXFZzPZzPYXz fx,yx①z0fxy的非零区域与yxz的Fzdxzxexydy1ez ②当z0fx,y的非零区域与yxz的交集为面的下图中的阴影部分(图b Fzdxzxexydy11e e eFz

1 z

1ez,z0.1ez,z fzFz

ez2

ez,zFzPZzPYX