2014线性代数基础预科课程讲义

第一讲行列式

考试内

考试要

排列与逆序n个不同的元素排成一列，就叫做这n123为一个3级排列，51324是一个5级排列。【概念理解点睛】不同的 级排列共有n!个在一个n级排列 jn中，若一对数jsjt，大前小后，即jsjt，则jsjt构成了一(5，记作(51324)5，(123)0

jn)。如：51324逆序数排列 jn中，交换任两个数的位置，其余不变，则称对排列作了一次对换【概念理解点睛】对换一次改变排列的奇偶性。如(1230,(3213nD(a ij

(1)(j1

ajna1

n

(1)(j1

ajna

ajn【概念理解点睛 . Dn是一个数值，是n!项的代数和，每 . 1.1】上三角行列式D二、行列式的性性质

an

.性质 aiaja.ajaianan【概念理解点睛行列式中两行对应元素全相等，其值为零，即当ailajl(ij,l1, ,n)时，Daiajan.性质 行列式的某行（或列）元素都乘k，则等于行列式的值也乘.kaiaianan ai2biainb ai2biainbin aiain bibinan an an【概念理解点睛

c1

c2

a2a1

b2b1

a2

. 性质5 在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数k，再加到另一行的对应元素上，，aiai.a aj a an kai1a kai2aj kaina an 1.2】计算n阶行列式D

,ai0,i1,

,n b a三、行列式的展开定理（降阶法的基础引例与式与代数A(1)ijM 【概念理解点睛 a23， a23，a12与0 式与代 式是 Mij,Aij行列式的展开定nDai1Ai1ai2Ai2 ainAinaijAij,(i1, ,nnDakjAkja1jA1ja2jA2jk

anjA1)ijM，MD中去掉第ij列全部元素后，按原顺序排成的n 阶行列式，称为元素aij的式，Aij为元素aij的代 【概念理解点睛nn即aikAjkai1Aj1ai2Aj2k

0(ij)【例1.5】范德蒙行

则第4行元素式之和的值 30402222030402222000532V

x2 (xx

这里

(xixj)(x2x1)(x3 (xnx1)(x3x2 (xnx2 (xnxn1)

计算行列式的方；（或列）展开，将n阶行列式计算化为n1阶行列式的计算的关系，即递推公式，利用递推公式递推求得Dn；克莱姆法则n个未知n个方程的线性方程组，在系数行列式不等于零时的方程11 12 1n axax axbax11 12 1n

21 22 2n

annxn

naijxjbi,i1,

0，则方程组I an 一解xDj,j1, ,n其中D是用常数项b,b ,b替换D中第j列所成的行列式

1 a1a1ja2ja1ja2j.anjanj【概念理解点睛n若齐次线性方程组aij

0(i1, nD

n01程组只有零解xj0,j1, ,n（此时Dj0,j1,

,n

n011.7求解下列三元线性方程组2xxx533 x1x2x3ax4x2xxx

3xx

【题型1】数字型行列式的计

基本题型与典型例00000000000b c a【例2】 a1a1x000x000x【例3 0000x00x00x

的值等于（57321215f(x46357321215f(x4637f(x)0（3 【题型2】含参数行列式的计 1】若

0，则 2】若

0，则【题3n阶行列式的计

1 1 【题型4】式、代数式的计11234134121123413412206（2）A312A32M34第二讲矩阵

考试内矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换等矩 矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运

考试要引定数域F中mn个数aij(i1,2,,m;j1, ,n)排成m行n列，并括以圆括弧（

a1n

2n m mn称为数域F上的mn矩阵，通常用大写字母记做AAmn，有时也记A(aij)mn(i1,2,m;j1,2,naijA的第ij【概念理解点睛矩阵相等如果两个矩阵A(aij)mnB(bij)mn是同型矩阵且各对应元素也相等，aijbij(i1,2,,m;j1,2,,n)，就称AB相等，记作AB.mn个元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作0 a1n称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间b1 行矩阵也记作Aaa a只有一列的矩阵Bb2称为列矩阵或列向量 b bnmnA为n阶矩阵（或n阶方阵）1，其余元素全为零的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵（简称单位阵InIE.记作kIn或kI或kE.即

，或记作diag(aa

,a) a an上（下）三角矩阵n阶矩阵A(aij)nn，当ij时，aij0(j1,2, 矩阵称为上三角矩阵.下三角矩阵当ij时，aij0(j2,3, ,n)的矩阵称为下三角矩二、矩阵的运矩阵的线性运加

a12 a1nb1nAB(ab)

a22 a2nb2n

mn矩阵的数量乘法（简称数乘

ka1nkA并称这个矩阵为kA【概念理解点睛

)

ka2n mn线性运算规律与数的加和乘运算规律一i）kA0k0A0矩阵的乘A是一个mn矩阵B是一个ns矩阵a1na2na1na2n,Bb

b1saaA

b2sb b

mn n

nsABAB（记作Ccij）是一个msncijai1b1jai2b2j nk即矩阵CAB的第ij列元素cijA的第i行nBj列相应的n个元素【概念理解点睛矩阵乘法运算规律有别于数乘法的运算AB0，不能推出A0B0.AmnEnEmAmna12

Bb,b ,b【例2.2】用矩阵表示一般的a11x1a12x2 a1nxnb1axax ax21 22 2n

1 an方阵的

amnxn Ak个 Ak个A0E k 设f(x)axk xk1 axa是x的k次多项式，A是n阶 k fA)aAk Ak1 aAaEA的k次多项式（ k 0a0En【概念理解点睛mkAmAkAmk(Am)kAmk，但(AB)kAkBkAA2EAE)(AEAE)(AE(AE)2A22AE2.3】求1中的ABm矩阵的转

1 2 a1n 定义把一个mn矩阵A 2n的行列互换得到的一个n m mn

am1AATAAT

am2(AT)T (AB)TBTAT

aa

amn【例2.4】设(x,x ,x)，HE2T，且T 方阵的行列记作A或detA.AT

kAkn

A【方法运用点睛AkAkkABABA0A0A0A0 2n,A*A 2n,A*A2.5A

aaaaAA

nn nn中元素a的代数式。证明：AA*A*AAE 0【例2.6】设A 0，矩阵B满足ABA*2BA*E，则B 1 三、逆矩引可逆矩阵的定【概念理解点睛矩阵可逆的条定理AA0【概念理解点睛AA11A*A

1AA【例2.7】设矩阵A满足A2A4E0,其中E为单位矩阵，则AE1 可逆矩阵的性AA1亦可逆，且A1)1AA可逆，数k0，则kA亦可逆，且(kA)11A1（k为非零常数k1 (A A)1A1A A1A1；An1 AAT亦可逆，且(AT)1A1)TA1A1四、分块矩

A

000001

1

0 2，A2

，O 0，I3 A4A

A2 I3

A的一个22把一个mnA，在行的方向分成s块，在列的方向分成t块，称为Ast分块矩阵，记作A(Akl)st，其中Akl(k1,2s;l1,2,,t)A的子块，它们可以是各AAkl)stBBkl)stABAklBkl要求：AB设分块矩阵A(Akl)st是一个数，则A(AklAmnBnp，如Ars分块矩阵(Akl)rsB分块st分块矩阵(Bkl)st j列j j列 2 2

A1s

B2tj2A则AB C记作(CA 2s kl A r Bj s sts其中Crt分块矩阵，且CklAkiBilk1,

,r;l1, ,t)分块矩阵A(A 的转置矩阵为AT(B ，其kl lk,t;k1, ,B,t;k1, ,

A

，其

A,i ,

A A mAA1 Am，因此，对角块矩阵A可逆的充要条件为Ai0.i1, ,m， A1

A1 m2

b1按行分块

2 b b

nm【方法运用点睛mn矩阵既可看成是由m个n维行向量组成，也可看成是由n个m维列向量组成；x1 b1x xb(, ,)2 xx x n 1 2 n n nx1x2n1 2 若b0， x0(,n1 2

0xx x0nn 0 0 【例2.9】设A 0，求A,A1 2 0 五、矩阵的初等变换和初等矩1初等变换的定kri或kcik0rikrj或cikcjrirj,cicj【概念理解点睛2初等矩初等倍乘矩阵Ei(c) ,1)，Ei(c)是由单位矩阵第i行（或列）乘（c0）初等倍加矩阵

i(c) j Eij(c是由单位矩阵第i行乘cjj列乘c加到第i

i

E

j Eij是由单位矩阵第i,j行（或列）

a13 a23 a a 23 13 a13 a23E12 a a 23 13Ei(cAA的第i行乘cEij(cAA的第i行乘cjEijAA的第i行与第j行对换位置.【方法运用点睛ET(c)E(c),ET(c)E(c)，ETE E1(c) 1,E1(c)E(c)，E1E Ei(c 1E*(c)

,E*(c)E(c),E*E cEi(c

3矩阵的等定义P，QPAQB.则称A与BAB【概念理解点睛①反身性:AA②对称性:AB,B③传递性:ABBC,ACii）同型矩AB等价rAr(Biii）A可逆AE4利用初等变换求逆就变为A1A,E初等行变换(E,A1) 0【例2.10】求A 1的逆矩阵 3

基本题型与典型例【题型1】有关方阵逆的判断 1【例1】A 0，求A2E 3 0200201 0200201【例2】A ，求 1 1 3】A为nA2A5E0，求A3E【题型2】利用方阵行列式的性质求抽象 1【例1】已知A2BABE，A 0,求 1 2】A3A13A122【题型3】与伴随矩阵相关1】A为n方阵，证明（1）A0A*0（2）A*A2】ABnA2B32 【例3】已知3阶矩阵A的逆矩阵A1 1，试求伴随矩阵的逆矩阵1 1 3 【例1】 0 7 【例2】设A为n（n2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则（ （A）交换A*的第1列与第2列得B* （B）交换A*的第1行与第2行得B*交换A*的第1列与第2列得B* （D）交换A*的第1行与第2行得B*第三讲向量

考试内线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质

考试要理解 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念了解 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念一、n维向量的概念与运算定n个数a1,a2 ,an构成的有序数组，称为一个n元向量（也称n维向量），记a1 an，其ai称为a的第i个分量。向量写成上述形式称为行向量，写成a1 的形式a2a,a ,a

称为列向量 a an 向量的 设a1,a2 ,

T,b,b

,

T，定义（1）向量加法（之和）abab

,

b)Tn向量的数量乘法（简称数乘）为kka,ka ,kaT，k称为向量与数kn abTn1 2abTn1 2

(,3.1】设2,00)T,0,10)T,00,1)T，求34 二、线性相关对于1,2

,m

kiik11k22 kmm称为向量组1,2 ,m的个线性组合，k1,k2 ,km称为这个线性组合的系数向量组1,2 ,m和向量b，如果存在一组数1,2 ,m，b1122 mm则向量b是向量组1,2 ,m的线性组合，称向量b能由向量组 ,m线性表示【概念理解点睛 ,m，i0102 1i 0m若可由 ,m中的部分向量线性表示，则可由 ,m线性表示能（不能）由 ,m线性表存在（不存在）k1,k2 ,km，使得k11k22方程组1,2 ,mx有（无）解向量组（Ⅰ）1,2

kmm,（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示 （Ⅰ）中任意i可由（Ⅱ）线性表如果对m个向量 ,m，有m个不全为零的数k1,k2 ,km，使k11k22

kmm0成立，则称 ,m线性相关，否则，称

,m【概念理解点睛向量,线性（无关）相关分量（不）成比例单个向量线性相关（无关向量组A：1,2 ,s线性相关（无关）Ax0有非零解（只有零解22

32，3

4问向量组1,2,3和1,2的线性相关【例3.3】t取何值时，下列向量组线性相 (1,1,1)T，(1,2,3)T，(1,3, 【例3.4】设1,2,3线性无关（1）证明：13212232（2）问mk满足什么条件时，向量组：k21m32,133.5ARnn，Rn，0Am0Am1证明：向量组,A, ,Am1线性无关【例3.6】ARnn，, 3，证明：向量组1,2,3线性无关【例3.7】设1,2 ,s(s2)线性无关且1a1b2，2a2b3 ，sas讨论1,2 ,s线性相关性唯一表示定理若向量组1,2, ,n线性无关,而,1,2, ,n线性相关,则可由1,2, ,n线性表示,且表示法唯一.【例3.8】设n维向量i ,0)T，即第i个分量为1，其余分量为0，证明1,2, ,n是线性无关的.1定义设向量组1,2,,s的部分组i1,i2,,ir（1）i1,i2,,ir线性无关1,2,,s中的任一向量均可由它们线性表示，则称向量组i1,i2,,ir为向量组1,2,,s秩，记为r(1,2,,s)r.【概念理解点睛 ,s)s若r(1,2,,s)rs，则1,2,,s中任意r个线性无关的向量组均可作2向量组的等【概念理解点睛 1反身性；②对称性；③传递性两向量组等价其极大无关组等价3向量组秩的性性质1如果1,2, ,s线性无关，则r(1,2, ,s)s；如果1,2, 相关，则r(1,2, ,s)s.性质 若1,2 ,t可由 ,s线性表出，r(1,2 ,t)r(1,2 ,s)性质3 若向量组1,2,,t可由1,2,,s线性表示，且1,2,,t线性无关,则ts性质4 若向量组1,2,,t可由1,2,,s线性表示，且ts,则1,2,,t线 3.9】求向量组1,1,1)T，0,2,5)T，2,4,7)T，1,3, 3.10】向量组1(2,14,3)T，2(1,166)T，3(1,229)T 1k矩阵Aa 的任意k个行和任意k个列的交点上的k2个元素按原顺序排成kaiaiaiai12aiai21aiai2k1aikaikaik

的k2矩阵的则称矩阵的秩为r，记为r(A)r【概念理解点睛r(Amn)min{m,rArAr阶子式rArA．rrA0A0A0rA3A是mn矩阵,PQ分别是m阶n阶可逆矩阵,rArPArAQrn)n)A(a (ij

,n),n) ,n)r(A)A为nrA)nA0A行A列Amn矩阵,则rArATminmnr(kArAk0r(AB)r(A)r(B) (3,2,1,p2)T，(2,6,10,p)T 2【例3.12】设A为43的矩阵且r(A)2，B 0，则r(AB) 3 3.13】A为三阶矩阵，1,2,3三维无关列向量A112233A2313A3916273，求rA五、向量空1向量空间的基本概念（数一向量空间：VnV非空，且对于向量的加法和数乘两种运算封闭，即V中两个向量之和及数乘VV,V为向量空间.维数：坐标：设1,2,,nnV的一个基，对任一元素V，总有且仅有一组数x1x2,xn使x11x22xnx1x2xn称为在基1,2,,n下的坐标，记为(x1x2xn设1,2,,n1,2,,nn维向量空间V的基 11 12 1na 11 12 1naa a 21 22 2n

即,)(,)(, ,)aa1nan n, , n②anann称C为基1,2,,n1,2,,n的过渡矩阵.①或②称为基变换坐标变换公 设V，在基1,2,,n下的坐标为(x1,x2,,xn)，在1,2,,n下的坐标为(y1,y2,yn)，且(1,2 ,n)(1, ,n)C（C是从1,2,,n1,2,,n的过渡矩阵x1 y1 y1 x1 2C2 或2C12 n n n n2向量的内内积：设有nxx1

,

T,yy,y

,

x,yxTyyTxxyxy 1 2

xn①x,yy,x②xy,zx,zy,z③kx,ykx,yxxx2 x20x0 x,x模、长度：xx,x【概念理解点睛x1xxx0x正交：当xy0xy正交

【概念理解点睛】零向量与任何向量正3施密特正交设1,2 ,r是一组线性无关的向量，可用下述方法把1,2 11,2 1,11,r2,r r1,r , , , r r rrr则1,2, ,r线性无关，且两两正交，与1,2, 再把,, ,单位化1,rr 即得到一组与原向量组等价的两两正交的单位向量1,2, 4规范正交基（数一设, ,，若,1,ij,i,j1, ,n，则称, ,是一组 0,i （规范正交基

基本题型与典型例【题型1】讨论向量组的线性【例1】已知向量组1,1,2,1T,1,0,0,2T 1,4,8,kT线性相关，求 【例2】已知向量组1,1,a,4T,2,1,5,aT 【题型2】求向量组的极大无 3】已知向量组1a,1,1,1)T，22a22)T，3,3,3a (4,4,4,4a)T.问a为何值时，,,,4

【题型3】有关向量组或矩阵秩的计算与 11,2,3,4T,2,3,4,5T,3,4,5,6T,4,5,6, 2】已知向量组1,2,1,1T,2,0,t0T,0,4,5,2T2，则 （2）rA第四讲线性方程组

考试内

考试要1线性方程组的三种表达形a11x1a12x2 a1nxnb1axax ax21 22 2n

amnxn称为m个方程n个未知量的非齐次线性

a1n x1 b1

x b A

2n,X2,b2aa

am

amn

n m则（1）可表为Aｍｎx (Ax22, 222 ,22, 222 , n2n,b2 baa m1 m2 mn m【概念理解点睛

xnn.(x11x22 xnn【概念理解点睛公共解：若Ax0b1，Bx0b2x0Axb1，Bxb2的公共解.1引

2x2x2x0有自由变量（2个 x1x2x3

xx0 x x12x23x303x2xx x2x 3 1

3 2

x

3x 2 0 3 2解的判

得同解方程组 有自由变量（1个 x22x3定理AmnAx0有非零解（只有零解）件为rA)n（rA)n推论【方法运用点睛Amnx0，若mnAmnx0 xnn0A1,2 ,n，有非零解（只有零解1,2 ,n线性相关（无关）r(A)n（r(A)nA的列向量线性相关（无关）讨论1,2 ,n线性相关性的常用方法12用秩：r1,2 ,nr，若rn则相关；若rn则无关3用行列式（维数等于个数4用线性方程组：x11x22 xnn0有无非零解 【例4.1】设a,0,cT,b,c,0T,0,a,bT线性无关，则a,b,c 3解的结解的性个解，则k1x1k2x2（k1k2为任意常数）也是它的解.

,xs均为Ax0的解，则k1x1 ksxs也是Ax0的解齐次线性方程组的基础解系（解的极大线性无关组设x1,x2 （1） （2）的任一个解向量可由x1,x2 ,xp线性表示，则称x1,x2 ,xp是Ax0的一个基础解系通A是mn矩阵，若rArnAx0存在基础解系，且基础解系含nr个解向量.求解齐次线性方程组Amnx0rAn，则无基础解系，只有零解；若rAn，化行阶梯形为行最简形，写1,2 ,nrA写出通解xk11k22 knrAnrA4.2】求解齐次线性方程组2xx2x2x xx4x3x 【例4.3】为何值时，方程

x2xx0 三、非齐次线性方程组有解的条件及解的结引（1）x1x2x3xxx

11111112 出现11111112 x1x2x3

111

xx0A

1

，r(A)r(A,b)3 x

0 2 1 xxx 1 1 0 解rArAb23解的判定 Amnxb有解rArrn时Amnxb

br，且当rn时AmnxbAmnxb无解rAr

brA1r

b【方法运用点睛当mnA0Axb的无解（或有无穷多解） xnnb（A1,2 ,n）有解（无解b可（不可）由 ,n线性表示b可（不可）由A的列向量线性表解的结解的性1Ax1bAx2bAx1x20x1x2Ax02Ax1bAx00Ax1x0bx1x0Axb若Axb有无穷多解，则其通解为xk11k22 knrAnrA，其1,2 用初等行变换化增广矩阵A b为行阶梯形若rAr b，则Axb无解若rAr b，化行阶梯形为行最简形，写出等价的方程组，观察有无自由变量x22x32x4【例4.4】 (a3)x2x 3x2xxax 3【例4.5】设A是3阶矩阵，第一行 c)不全为零，B 6，AB0， k Ax0的通解)

基本题型和典型例【题型1】有关线性方程组的基本【例1】设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则线性方程组ABx （（A）当nm时，仅有零解（B）当nm当mn时，仅有零解（D）当mn2】设,,是四元非齐次方程的三个解，且rA3，1,2,3,4)T 0,1,2,3)T，则通解为（ （A）(1,2,3,4)T （B）(1,2,3,4)T（C）(1,2,3,4)Tk(2,3, 123【例3】设A0，,,,为Axb的互不相等的解向量，则Ax0的基础解系所含解向123 【题型2】线性方程组4】已知非齐次线性方程组x1x2x3x4114x3x5xx axx3xbx 证明方程组系数矩A的秩rA：（I）设1,2,3是非齐次方程3个线性无关的解，那么12，13Ax线性无关的解，所以nrA)2，即rA)A20，所以又有rA2，从而秩rA2A A

1 a 1 01 3 b a 1 1 1 1 0 4 b4a 4rA)rA)2知a2b 础解系，所以方程组的通解是k11k22（其中k1k2为任意常数5】为何值时，方程组4xx2x2, 6xx4x2 第五讲特征值和特征

考试内

考试要二、相似矩阵的概念与性质方阵对角化的条1相似的概【概念理解点睛2性（1）AT~BT；A1~B1；An~Bn（nNA*~B*（AB可逆 （2）rArB；AB；EAEB；trAaiibiitrB 3方阵可对角

AP

n（

,n A1,2

,n n ,nn ,n定理（方阵可对角化的充要条件n阶方A可对角化的充要条件是An个线性无关的特征向量【方法运用点睛 记作， n1 1

APP

P P1 nA

nnn三、方阵的特征值和特征向1定A为n阶矩阵，若存在常数和非零n维列向量，使A，则称A的特征值，是A的属于特征值的特征向量.【概念理解点睛特征值问题仅是针对方阵而言的；特征向量0若向量A的特征向量，则A与特征值与其对应的特征向量是一对多Akkk02求A的特征值，A的属于特征值的特征向量A齐次线性方程组EAx0（或AEx0）有非零f(EAAEA0A的特征方程.显然n阶矩A的特征多项式是的n次多项式。特征多项式的k重根也称为k重特解特征方程EA0，得到A的全部特征值 ,n对每个不同的特征值i，解齐次线性方程组(iEA)x01,2, ,s，则k11k22 kssk1,k2, 值i的特征向量. 0 0的特征值和特征向量 3 性质 若是矩阵A的特征值，x是A的属于的特征向量，对任意的常数kk是kA的特x是kA的属于k的特征向量对任意的自然数mmAmxAm的属于m（3）A的多项fA的特征值fxfA的属f的特征向量当A可逆1是A1的特征x是A1的属于1的特征向量AAA*xA*A（7）BP1AP的特征值为，P1xB的特征向量.设nAa的n个特性质2 若x1和x2都是A的属于特征值0的特征向量，则k1x1k2x2也是A的属于0的特征向量（其中k1,k2是任意常数，但k1x1k2x20）.性质3 性质4 若矩阵A的特征值为1, ,n，则 iaii其中aiiAA的迹，记作trA niA 1 5.2】设A

AP1 An四、实对称矩阵的相似对角性质 性质 性质 P1APdiag, ,，其中, ,是A的特征值 ,n特征向量对每个特征值i解(iEA)X0求出它的基础解系 ,s正交化：利用施密特正交化方法将属于同一特征值 的特征向量正交化，得Yi1,Yi2 ,Yik

2 5.3A

，求正交矩阵Q，使

AQ

基本题型与典型例【题型1】方阵特征值、特征 【例1】求矩阵A 2