径向偏振光的聚焦特性

郑州大学毕业设计（论文）题目：径向偏振光的聚焦特性指导教师：职称：讲师学生姓名：学号：专业：院（系）：完成时间：目录TOC\o"1-5"\h\z摘要II关键字IIAbstractIII第一章弓|言11.1径向偏振光的基本特征1\o"CurrentDocument"1.2径向偏振光的产生21.2.1谐振腔的尾镜使用W锥形反射元件的方法31.2.2在腔内利用轴对称的激活介质产生径向偏振光41.2.3在腔内使用光子晶体光栅产生径向偏振光41.2.4采用相位补偿片的方法（腔外法）5\o"CurrentDocument"本章小结6\o"CurrentDocument"第二章矢量衍射理论72.1切趾函数72.2正弦条件92.3亥姆赫兹条件9\o"CurrentDocument"Richards-Wolf矢量衍射理论10\o"CurrentDocument"第三章径向偏振光的聚焦特性153.1轴对称矢量光的紧聚焦15\o"CurrentDocument"3.2径向偏振光的表示16\o"CurrentDocument"3.3径向偏振光的聚焦及分析17\o"CurrentDocument"第四章径向偏振光的应用184.1在光镊系统中的应用18\o"CurrentDocument"4.2应用于光学显微19\o"CurrentDocument"4.3在金属切割中的应用20\o"CurrentDocument"第五章结论23致谢25\o"CurrentDocument"参考文献26径向偏振光是光的一种，它具有特殊的空间偏振分布形式，因此具有跟其他光束明显不同的性质，比如聚焦特性。研究径向偏振光的这些性质需要应用到矢量衍射理论，标量衍射理论已不能够很好地描述它的这些性质。特殊的空间偏振分布导致其聚焦过程不再完美的适应于标量衍射理论。而是需要在一定条件下做近似处理，这就是后面所说的Richards-Wolf矢量衍射理论。径向偏振光的聚焦特性独特的地方表现在它经过高数值孔径透镜聚焦后，纵向分量得到增强，横向分量减弱，还有环状光束模式存在轴上零点。它的这些特殊的性质，可以应用到很多方面比如光镊系统，金属切割，显微暗场成像等，在这些应用中径向偏振光起着不可替代的作用。同时对于更加方便，高质量，高纯度的产生径向偏振光的方法也成为了这几年研究的热点，更多更新奇有效的方法也在不断的出现。关键字：径向偏振光束，矢量衍射理论，紧聚焦，聚焦特性AbstractRadialpolarizedlightisakindoflight,ithasspecialspacepolarizationdistributionform,soitiswithotherbeamsignificantlydifferentproperties,suchasfocusingonfeatures.Studythenatureoftheradialpolarizedlightneedtoapplytothevectordiffractiontheory,thetheoryofscalardiffractionhasthesepropertiesofcan'tdescribeitwell.Specialspacepolarizationdistributionintheprocessfocusisnolongerperfectlyadaptedtothescalardiffractiontheory.Butneedtodotheapproximateprocessingundercertainconditions,itissaidRichards-Wolfbehindthevectordiffractiontheory.Radialpolarizedfocusingcharacteristicsoftheuniquelocalperformanceafteritpassesthroughahighnumericalaperturelensfocused,longitudinalcomponentenhanced,transversecomponentisabate,andringbeampatterninzeropointontheaxis.Thesespecialproperties,canbeappliedtomanyaspectssuchasopticaltweezerssystem,metalcutting,thedarkfieldimagingandsoon,intheapplicationofradialpolarizedlightplaysanirreplaceablerole.Atthesametimeformoreconvenient,highquality,highpuritymethodofradialpolarizedlighthasbecomearesearchhotspotinrecentyears,moreandmorenovelandeffectivemethodhasbeenappeared.Keywords:radialpolarizedbeams,thevectordiffractiontheory,focus,focusonfeaturesiii第一章引言偏振是光的一种基本的物理特性。根据偏振特性的差异，我们可以把光分为均匀偏振光和非均匀偏振光两大类。均匀偏振光比如我们常见的线偏振光、圆偏振光和椭圆偏振光等，他们的共同特点是：在垂直于光轴的截平面上，偏振态不随空间位置的变化而发生改变。一直以来人们专注于均匀偏振光的研究，过去的几十年中，对均匀偏振光的性质研究比较透彻，以及它的应用方面也得到很大的发展。但是，由于理论的缺陷和技术手段的落后，对于非均匀偏振光偏振光的研究却较为滞后。直到近年来，非均匀偏振光才开始引起了人们较多的关注。非均匀偏振光束的光场分布以及偏振态分布都呈现出柱对称的分布形式。其中，最特殊的两类偏振方式就是径向偏振和角向偏振。以下将主要就径向偏振光展开分析。1.1径向偏振光的基本特征径向偏振光束和角向偏振光束在空间中每一点的振动方向均与半径方向成％角，如图1.1所示。它们在空间柱坐标中某点(汕,％)处的电场分布为：E(r,0)=EQ(r)(rcos%+0sin%)上式中r代表该点沿半径方向上的单位矢量，0是对应角向单位矢量，E0(r)代表孔径切趾函数，标称电场的相对振幅，并且电场的相对振幅与径向有关。图1.1矢量偏振光束一般形式当％=90。时，表示角向偏振光束，如图1.2(a)所示；当％=°。时，表示径向偏振光束，如图1.2(b)所示。(a)(b)图1.2矢量偏振光束截面图（a）角向偏振光束；（b）径向偏振光束径向偏振光束沿光轴方向电场分布是轴对称的，其光束为中空的圆环型环形光束模式属于激光光束传输模式的一种。与常见的基模高斯光束不同，径向偏振光环形光束模式的偏振空间分布形式是完全沿径向的，由于相对于光轴两端的电场矢量方向是恰好相反的（即有兀的相位差），所以它的环形光束模式的光强分布具有轴上零点且光强最大值出现在环绕光轴的一圈。径向偏振（包括角向偏振）是偏振的本征态，相应光束在c切向晶体中传播时，不会发生串扰现象。随着人们对径向偏振光认识的不断深入它将在更多的领域得到应用，关于径向偏振光的产生方法也受到了人们越来越多的关注。1.2径向偏振光的产生1972年，来自于日本Tohoku大学的Y.Mushiake等研究人员首次在实验中获得径向偏振光［1］。他们采用的方法是通过在氦氖激光器中加入圆锥电介质元件，可选择性的降低非径向偏振分量的强度，保留径向偏振分量不变，从而通过激光器输出径向偏振光。径向偏振光从被发现到现在已有40多年，但人们对它的了解由于设备局限性有所限制。最近几年，人们开始发现径向偏振光特别的性质与用途，便开始积极地寻找有效的方法来制备它。比如2007年，德国斯图加特大学的M.A.Ahmed等人曾在CO2激光器谐振腔内，利用多层介质膜组成的圆形谐振光栅尾镜，从而获得了径向偏振光输出［2］。2008年，日本Tokai大学物理系的MasamoriEndo采用了一种特别的激光谐振腔（W锥形反射元件作为尾镜的谐振腔）来产生径向偏振光束等等⑶。就目前来说，生成径向偏振光的方法有很多，不过综合一下不外乎两种方法：1.腔内法，就是将具有某些特性的光学元器件加入激光器的谐振腔中，来输出径向偏振光；2.腔外法，就是在腔外添加具有某些特性的元器件或装置。例如谐振腔的尾镜使用W锥形反射元件的方法、在腔内利用轴对称的激活介质产生径向偏振光和在腔内使用光子晶体光栅

产生径向偏振光等的方法都是利用腔内法。同样也有很多方法是属于腔外法，比如采用相位补偿片的方法等等，下文将一一介绍提到的几种方法。1.2.1谐振腔的尾镜使用W锥形反射元件的方法日本Tokai大学物理系的MasamoriEndo等研究人员在2008年采用了一种新的激光谐振腔（如图1.3）来产生径向偏振光束。实验装置主体部件是一台1KW的连续型co2激光器。激光器的尾镜他们将一种W型锥形镜装到激光器上作为谐振腔的尾镜，它的表面镀有一层偏振敏感介质反射膜，这种膜对径向偏振光中p波（径向偏振分量）和s波（环向偏振分量）的反射率是不同的。根据实验实测数据可知：当谐振腔后镜所镀介质膜对p波和S波的反射率之差为1%时，激光器便具有很好的偏振选择性能⑶。而其输出的激光功率与用标准的圆形镜作为谐振腔后镜时相同。OutputcouplerGaininediuui⑴（2）光束在W锥形镜和圆锥形镜之间传播示意图OutputcouplerGaininediuui⑴谐振腔的尾镜由W锥形镜和圆锥形镜组成，进入反射镜后镜的光束先在W锥形镜中心锥面上第一次反射，接着光束传输到W锥形镜外环区域，在锥面上进行第二次反射。第二次反射后光束进入圆锥形镜，在圆锥形镜中进行两次反射，光束重新回到W锥形镜中。然后在W锥形镜中逆着最初入射的光路返回。由于光束先后进行了六次镜面反射，而且由于环向偏振损耗较径向偏振的大，因此环向偏振得到削弱而径向偏振保持较高的比例，导致

谐振腔内径向偏振光被迫谐振。通过适当的选择反射镜位置及W锥形镜和圆锥形镜表面反射系数（要求径向偏振分量反射系数大于环向偏振分量反射系数），可以使径向偏振光单模谐振，从而输出径向偏振光。1.2.2在腔内利用轴对称的激活介质产生径向偏振光在激光光腔内放置一块轴对称的光抽运介质，当光束入射到这种介质上时会发生双折射现象，导致光束产生特殊的物理效应，从而分离出所需的径向偏振光。具体的说就是，这种特殊的物理效应会导致热透镜相对于两种不同偏振光的焦距有所不同，于是它们的稳定范围也不一致，因此可以选择合适的稳定性范围将两种偏振光分离开来，得到所需的径向偏振光。Yonezawa用Nd:YVO4晶体作为激光器谐振腔的光抽运介质，谐振腔输出镜为平面镜，输入镜为凹面镜，两镜间距离可认为与凹面镜半径相等回。除此之外，实验装置还包括c轴切向的晶体和输出耦合器（如图1.4所示）。Nd:YVO4晶体为正双折射晶体，对波长为1.065Mm的o光和e光对应的折射率不同，分别为1.9573和2.1652，由于nen0，e光的稳定长度大于o光。因此可以通过巧妙地设计特殊的腔体结构，而只让e光产生稳定振荡，就会输出径向偏振光。还有，要想得到特定参数的径向偏振光，以便选择出所需的径向偏振光。marniiir-car[high2TXInmiconrave)Lip<,marniiir-car[high2TXInmiconrave)Lip<,riuifL,outputmupk1!CffbO.08.flat}1.2.3在腔内使用光子晶体光栅产生径向偏振光我们知道径向偏振光的偏振方向是沿径向的，角向偏振光的偏振方向是与径向垂直的。而且光束在介质表面传播时，径向偏振分量与角向偏振分量的反射率是不同的。因此我们可以利用这些性质来设计实验得到径向偏振光。大量的实验证明，采用亚波长光栅镜可以获得径向偏振光束。亚波长光栅镜主要有两种：一种是吸收模式镜（如图1.5（a）），另一种是透射模式镜（如图1.5（b））。实验原理就是让光束从光栅镜入射，由于光栅镜具有选择性，能够通过吸收损耗或者透射损耗的形式削弱光束中的电场矢量平行于栅线的偏振分量，而保留电场矢量垂直于栅线的偏振分量。其中当电场矢量平行于栅线时反射率降低，也即损耗增加，当电场矢量垂直于栅线时反射率不变即没有损耗［5］。由此可以将光栅镜的表面制作成环形的结构（如图1.5（c）），利用这样的光栅镜便可以产生径向偏振光。要得到纯度较高的径向偏振光可以将光束通过几块叠放在一起的光栅镜，经过层层过滤所产生的径向偏振光会达到较高的纯度。例如中国科学院上海光学精密机械研究所（简称上海光机所）的Li等研究人员在2008年就是采用光子晶体光栅镜成功获得了径向偏振光⑹。(a)(b)(c)图1.5光子晶体光栅工作示意图（a）吸收模式镜（b）透射模式镜（c）环形光子晶体光栅表面结构1.2.4采用相位补偿片的方法（腔外法）根据空间相位延迟的思想，新加坡南洋理工大学的Moh等人，将圆偏振光束转换为径向偏振光束或角向偏振光束⑺。在他的实验中，用到一个螺旋型相位延迟器件（如图1.6（a）），这种器件能够改变光束电场矢量的相位。一束右旋圆偏振光在光轴方向上传播出一个波长的距离时，电场偏振方向旋转了2（如图1.6（b））。所以假如将一个周期内的圆偏振光束投影到一个垂直于光轴的平面上时，会呈现出具有完美对称性的图形。于是想到使用螺旋型相位延迟器件来产生径向偏振光。通过调节螺旋型相位延迟器件，使其能够随方位角的变化而变化，对圆偏振光一个周期内不同偏振方向上的电场矢量进行不同的相位延迟，最终将它们压缩到同一个平面上，从而形成径向偏振光束或角向偏振光束。对于右旋圆偏振光要用逆时针空间相位延迟器件，对于左旋圆偏振光要用顺时针空间相位延迟器件。

t=le/2n(a)d>=0,2n(b)t=le/2n(a)d>=0,2n(b)(a)相位延迟片结构示意图(b)圆偏振光电场振动示意图1.3本章小结首先在本章的开头介绍了均匀偏振光和非均匀偏振光的区别，进而引出有较高关注的径向偏振光，介绍了径向偏振光的一些基本物理特征，并详细介绍了一些产生径向偏振光的方法，包括腔内法，腔外法。就目前国内外的技术水平来看，采用衍射光栅反射镜的方法是产生高功率、高质量径向偏振光束的理想办法。不过技术在进步，相信在不久的将来还会有更多更好的方法来产生人们所需要的具有特定性质的径向偏振光束。径向偏振光的性质在前面有稍加描述，其中一个很重要的特性就是它的聚焦特性。那么径向偏振光在高数值孔径聚焦系统下聚焦结果与标量光束到底有怎样的区别呢？由于在介绍它的聚焦特性时需要用到矢量衍射、紧聚焦等所涉及的重要理论，因此有必要对矢量衍射理论和紧聚焦等做详细的描述。在接下来的一章中，将就这些必要的理论作详细的介绍。第二章矢量衍射理论光是电磁波，像一些常见的波如水波、声波等一样会发生衍射现象，其衍射问题是以麦克斯韦方程为基础的经典电磁场理论。电磁场属于矢量场，严格的说，其衍射理论应该遵循衍射理论。在通常的情况下，对于光学中一些涉及对光波衍射和光线传输的实际问题的描述时，标量衍射理论是非常有效的。但是随着研究的进一步深入，比如通过对高斯光束的微小圆孔矢量衍射理论的研究得出：衍射场的非傍轴近似解适用于在衍射孔孔径或高斯光束的束腰半径较小的情况下对高斯光束在非近场区域传播的描述；对于近场光学系统高数值孔径会对入射光束进行强汇聚（即紧聚焦），此时标量衍射理论失效。因为在傍轴近似的条件下，透镜的数值孔径相对来说要小一些，可以忽略光线的变迹（即切趾）和像差等效应。而当透镜的数值孔径较大时这些效应就不能忽略，就应该加以考虑了。此时，我们可以引用Richards-Wolf矢量衍射理论描述焦斑附近的光束特性。本章将主要介绍介绍光束在高数值孔径透镜聚焦的情况下的理论模型，以及相关理论。2.1切趾函数我们知道在一般情况下，波前是平面波的光束经过透镜后在理想的条件下会变成球面波前。设聚焦透镜的光瞳函数为P{r），平面波经高数值孔径透镜聚焦系统（如图2.1）出射后变成球面波，该球面波的波前光场分布是会聚角0的函数，用p（0）表示，称为切趾函数（又称作变迹函数）。图2.1高数值孔径透镜聚焦系统的几何示意图切趾函数与光瞳函数都是描述透镜系成像的两个重要参数。不同的是，光瞳函数p（r）给出的是紧贴透镜前表面处的横向平面内的光线密度（电场振幅）分布情况；光束经过透镜后，汇聚波前内的光线密度（电场振幅）分布情况则由切趾函数P⑼给出。实际上，当透镜的数值孔径较低时，会聚前与会聚后的波前光线密度分布情况近似相等，即尸(,).P(0)。但是，在透镜数值孔径较大的情况下，就不能忽略尸(,)和P(0)二者之间的差别了，否则会导致与实际情况存在较大的偏差。首先我们可以根据图2.1知道，半径为，的入射光满足：r=g(9)/(2T)其中g(0)为入射函数，它描述的是从透镜前平面入射的光束经过透镜的聚焦作用之后波前的分布情况。初始入射光束光场振幅用p{r)描述，那么r处的入射光场的能量为P2(r)dS0。其中dS0为入射光束在透镜前平面上的无限小面元。与之相对应，我们定义dS为经过透镜之后光束在会聚波前上的无限小的面元。经过透镜的会聚作用之后，会聚波前的振幅为P(0)，相应的出射光场的能量就变为,2(0)ds。根据图2.1中的几何关系可知dS0和dS的具体表达式如下：TOC\o"1-5"\h\zdS。=2兀rdr=2寸2sin0cos0d0(2-2)dS=2写2sin0d0(23)又根据公式(2-1)，可以得到：dr=g'(0)fd0(2—4)其中g，(0)是g(0)关于0求导后的导函数。对于光束来说符合能量守恒原则，因此我们得到：P2(0)dS=P2(r)dS0(2—5)将式(2-2)和(2-3)代入公式(2-5)则有：P2(0)2棚2sin0d0=P2(r)2兀rdr(2-6)化简得：P2(0)=P2(r)r业(2-7)f2sin0d0再将式(2-1)和(2-4)代入(2-7)，则有：P2(0)=P2(r)g(0)g'(0)(2-8)sin0

幺(0)幺'(0)(2-9)押)=所—m0(29)公式(2-9)对任何透镜都是适用的。实际中出于不同的用途和目的，各种透镜的设计是不同的，入射函数g(0)也是有差异的。2.2正弦条件对于大部分的透镜来说，透镜设计时都遵循正弦条件，即入射函数g(0)满足：g(0)=sin0(2-10)将式(2-1)代入(2-10)有：r=sin0f(2-11)要求入射函数满足式式(2-11)表示成像系统物空间中任何一条光线与像空间中对应的那条光线是在同一高度的。事实上，所谓的透镜遵从正弦条件指的是靠近透镜光轴的物空间的小块区域能够被清楚地成像，即能保证横向二维空间的不变性。这样的成像系统我们把它称之为消球差成像系统。目前大多数的透镜在设计过程中均要考虑正弦条件，(2-10)。要求入射函数满足式(2-12)将式(2-10)代入(2-9)，得到：(2-12)P(0)=P(r)“os0(2-13)令光瞳函数P(r)=1，此时切趾函数则为：(2-13)P(0)=、'cos02.3亥姆赫兹条件(2-14)亥姆赫兹条件也叫做正切条件，其对应的入射函数为：(2-14)g(0)=tan0(2-15)将上式代入(2-1)式中有：(2-15)r=tan0f公式(2-15)表示经透镜所成的像是理想的没有发生形变。

将式（2-14）代入式（2-9）有:(2-16)"i\3(2-16)押）=P（r）厂",cosU/令光瞳函数户（,）=1,那么切趾函数变为：P(0P(0)=从中我们可以得出在成像透镜的数值孔径角比较小（即0较小）时，两种条件下的切趾函数趋于相同，二者的差别是可以忽略不计的。因为:lim

0T0lim

0T0lim

0T0p'cos0=1V=1(2-18)除了前面提到的正弦条件和亥姆赫兹条件之外，还包括拉格朗日条件（均匀入射情形）和赫谢尔条件等。对于大多数透镜来说都遵从正弦条件，因此本文之后的篇幅均采用正弦条件来进行讨论，特殊情况另加说明，那么对应的切趾函数则采用式（2-13）的形式。2.4Richards-Wolf矢量衍射理论前面提到过对于径向偏振光高数值孔径聚焦情况的描述，标量衍射理论是不完善的，也是不合理的。需要运用Richards-Wolf矢量衍射理论来进行描述。Richards-Wolf矢量衍射理论是从麦克斯韦方程组出发，经过一定条件的近似得到的结果，可以用来描述高数值孔径透镜聚焦的情况，并给出焦点附近处的光场分布。这里我们假设高数值孔径透镜是符合消球差情况的，以下展开讨论。光束入射时，它的偏振方向沿着e0方向，况与光线在物空间的传输方向垂直，沿着径向且在子午面内（如图2.2所示）。光线在像空间传播方向上的单位矢量用？表示，|也在g1子午面内但是与单位矢量£垂直。焦点为原点，-轴方向为光轴的方向，由物空间指向像空间；］轴的方向同单位矢量e0的方向相同。这里分别以？，-，i表示笛卡尔直角坐标系'轴、y轴和-轴上的的单位矢量。图2.2高数值孔径透镜聚焦示意图光线经过透镜的折射之后，电矢量的振动方向（即偏振方向）与子午面的夹角是不变

的。同时，出射光瞳附近光场的矢量振幅是有能量守恒定律和正弦条件共同决定。根据文献［8,9入射光瞳的地方0x,y,z）处的电矢量可以表示为:e(x,y,z)=—iia(s，s)exp[ik(sx+sy+sz)]d^xyxyz?Q(2-19)其中:k=学，dQ=dSxdSy，a=阳

人szk为真空中的波数，久为真空中的光波波长。s为光传播方向上的单位矢量(2-20)，七，Sy，Sz.分别是s沿x，y，z轴的分量。Q是出射光瞳的立体角—表示电场不受扰动的强度因子，e1电矢量的矢量振幅，《振幅因子，f为焦距。波前W为像空间的聚焦球面，球心在0点，半径为f，即透镜的焦距。由于透镜满足正弦条件，则有：r=sin成(2-21)考虑进入,到r+dr这一窄带的光线。用dS0表示这一区域的面积，用dS1表示像空间内在波前W上相应区域的面积。用弓和可表示在dS0和dS1区域上电矢量的矢量振幅。因此，我们得到:e=le，e=lee0c0e0eilei(2-22)e和e是e和e方向的单位矢量，1和1是振幅因子。2就是光线在像空间的偏振方向。e0e1e0ei‘0hei根据能量守恒定律，我们有:l2dS1=l2dS0(2-23)根据几何关系可知:dS1=dS0/cos9(2-24)将公式(2-22)代入(2-20)，则有：11=护福(2-25)因此，将公式(2-25)代入(2-20)中的第三公式，则有：a=®顽1(2-26)(2-27)为确定像空间偏振的方向，首先将e1分解，由图2.2可知：(2-27)e1=&(g]xS+缁七和y是两个分解常数，并且有&2+丫2=]，由于光线经过透镜的折射之后，电矢量的振动方向和子午面的夹角不变，那么：/&-eo=g「ei(2-28)、(g0xk)-e0=(g1xs)-e1用g1和gxS)分别点乘公式(2-28),得到：/y=o-e0=^i-ei(2-29)§=(g0Xk)-e0=(g1xS)-e1又x轴的方向同e°相同，于是：CZVIy="g0(2-30)§=(g0xk)-i=(kxi)-g0=j-g0因此，将公式(2-29)代入(2-26)得到：e1=(j-g0)(g1xs)+(《-go)g1(2-31)将公式(2-30)代入(2-25)，则有：a=f01'cosO[(j-g0)(g1xS)+(i-g0)g1](2-32)在这里，我们引入球坐标(汕G。原点在焦点，x轴的方向就是中=0的方向，也就是偏振方向；z轴的方向就是极轴的方向，也就是0=0的方向。那么对应像空间中任意点S、、L；J'sin0cosq'

sinS、、L；J'sin0cosq'

sin0sinQ、cos0,'rsin0cosQ'qqqrqsin0qs：n%,rqcos0qJ那么，公式(2-19)中的指数可以表示为:

(2-34)码+》％+zs^=r广

k=cos。cos0q+sin0sin0^cos(p~^q)(2-34)用MW和(0的)表示i0，备在球坐标系下的坐标(如图2.3)。图2.3.和？的位置关系图占1s图2.3.和？的位置关系图占1s由图2.2和图2.3，我们很容易得到：00=兀/2，0=兀/2—0］，中］=中0—兀因此：(2-35)'sin0[cosp1]'-cos0cosp]'sin0。cosp°]'-cosp'g1=sin0]sinp1=-cos0sinp，g0=sin00sinp0=-sinp1cos01)、sin0)icos%)10)(2-36)那么:「sin叫10)将公式(2-33)、(2-36)和(2-37)代入(2-32)，则有：ZV「sin叫10)将公式(2-33)、(2-36)和(2-37)代入(2-32)，则有：ZVg0-1=—cos中，八1•八..八g0-J=—sin中，g]Xs=(2-37)再者，fZ^*'cos0[cos0+sin2p(1-cos0)]'

f7^'cos0[(cos0-1)sinpcosp]-fl0^cos0sin0cosp(2-38)dQ=dSxdSy=sin0dpd0sz我们将公式(2-33)、(2-37)和(2-38)代入公式(2-19)，则有:(2-39)fdphcos。sin0[cos0+sin2顿1一cos0)]exp(ikrk)d0q0=-~fwf，cos0sin0(cos0-1)sinpcospexp(ikrk)d0兀q30iB2^a:=——Jdpj'•cos0sin20cospexp(ikrk)d0兀q00iBex=-兀0e-y兀00e

z(2-40)B=f=fa为像空间焦点对透镜仰角的一半，如图2.2所示。因为:fsinn中exp[ircos(中一门)]=2兀inJ(r)cosn^<0n(2-42)fosn中exp[ircos(中一门)]=2兀inJn(r)sinn门、0jn(r)是n阶第一类贝塞尔函数。根据式(2-41)和三角函数关系式，像空间任意点Q的电矢量表示为：气=一诅(10+12Cos2^q)

ey=-iBI2sin2%

e=-2BL.cosQZ1Tq其中:毕'10=Io(krq,Qq,a)=J，'cosOsin0(1+cos0)J°(krqsin0sin0q)exp(ikrqcos0cos0q)^00L=I、(kr,0,a)=f*cos0sin20J(krsin0sin0)exp(ikrcos0cos0)d011、qq1qqqq0牛(2-43)(2-44)(2-45)(2-46)12=12(krq,0q,a)=J、cos0sin0(1-cos0)J^(krqsin0sin0q)exp(ik^cos0cos0q)d(2-43)(2-44)(2-45)(2-46)第三章径向偏振光的聚焦特性在前面我们知道，径向偏振光在垂直于光轴的横截面上偏振态分别沿着径向和方向角方向分布，就是在光束横截面上任意一点的电场矢量方向与该点径向的夹角不发生改变。由于这种特殊的偏振分布形式使得它们具有区别于其它光束的性质，在很多方面表现出与线偏振光，圆偏振光等明显不同的特点，其中最突出的，当属其聚焦特性。第二章中介绍了Richards-Wolf矢量衍射理论，在这一章中将从Richards-Wolf矢量衍射理论出发介绍径向偏振光的聚焦特性。3.1轴对称矢量光的紧聚焦早前由B.Richards和E.Wolf给出了矢量衍射理论，并且推导出了在近轴条件下，线偏振光束的聚焦情况。在此基础上K.S.Youngworth和T.G.Brown在2000年给出了径向偏振光束和角向偏振光束分别在紧聚焦条件下，焦点附近处光场强度的分布情况。他们所用的聚焦系统几何示意图如图3.1所示:图3.1聚焦系统几何示意图图中的o平面是光学系统的入射光瞳，s平面为对应焦平面。在直角坐标系下:(3-1)g0=-cos中i一sin仞(3-1)(3-2)(3-3)中代表g0在乙=0平面上的投影与'轴的夹角。g0位于子午面内，沿着半径的方向(径向)并且与光轴相垂直，即径向的单位矢量/。k的方向与z轴的方向相同，由此，沿角向方(3-2)(3-3)中=g0xk那么根据上式可知，入射光瞳处的电场矢量为:.，…-，一-八.e0=如+W=g(g0xk)+yg0

…代表两个常数，且有&2+丫2=1。由于光线经过透镜的折射之后，电矢量的振动方向(即偏振方向)与子午面的夹角不变。于是:e1=顷g1xS)+埼根据Richards-Wolf矢量衍射理论，则有:(3-4)(3-5)其中:a=吓cos0e1=f0(0)[顷g1xS)+缁](3-6)根据公式(2-37)，则有:g]=—cos0cospi—cos0sinpj+sin0k(3-7)此处仍引用B.Richards(3-4)(3-5)其中:a=吓cos0e1=f0(0)[顷g1xS)+缁](3-6)根据公式(2-37)，则有:g]=—cos0cospi—cos0sinpj+sin0k(3-7)此处仍引用B.Richards和E.Wolf的方法，引入柱坐标系(p&,,)那么，-APcospgP〃smP

qzIq7fsin0cos中'=sin0sinp、cos07(3-8)于是公式(3-5)积分式中的指数部分可以写成:尸+Sy"顼=Pgcos%sin0cos甲+p。sin%sin0sin甲+&cos0=zgcos0+pgsin0cos(中g一中)(3-9)3.2径向偏振光的表示当入射光束中只有径向偏振成分时，式(3-3)中有y=i。根据式(2-36)和(3-9)，将式(3-5)变形为:其中:jdp!sin0vcos0L(0兀000f-cos0cosp')exp(ik。)-cos0sinpd0、sin07(3-10)。=zqcos0+pqsin0cos(pq—p)这里给出直角坐标系与柱坐标系之间的坐标转换参见图3.2。(3-11)ep=e^cosp+esin9

R=—exsin%+e^cosp(3-11)在此基础上，我们就可以得到柱坐标系下^的表达形式:'ep'

e"e)在由式(2-42)可得出:—屋'ep'

e"e)在由式(2-42)可得出:—屋TdpJsinQJcosQl°(Q)exp(ik。)K00dQ(3-12)e’ne9

成z>0JcosQI。(Q)exp(ikzqcosQ)'sin(2Q)J](kpqsinQ)'

02isin2Qt(kpsinQ)I0'广q')dQ(3-13)上式的结果给出，在只有径向偏振分量的入射光下，经过紧聚焦后，焦点附近的光场分布是只有径向和轴向成分而没有角向成分的。3.3径向偏振光的聚焦及分析根据上节内容可以用软件模拟径向偏振光聚焦光斑光强分布。选取数值孔径为NA=1.32的聚焦透镜，阮=1.5。模拟结果见图3.3。(a)(b)(c)(d)图3.3径向偏振光高数值孔径聚焦光斑强度分布图[10](a)(b)为横向场分布；(c)(d)为纵向场分布通过模拟图像可以看出：在高数值孔径聚焦下，径向偏振光聚焦光斑具有较强的纵向分量，其强度随着数值孔径的增加而增大，并且可以大于横向分量。第四章径向偏振光的应用在上一章中我们知道径向偏振光经过高数值孔径聚焦后，在焦点处的衍射光斑直径要比空间偏振态均匀分布的光源（如线偏振光）所产生的光斑直径要小，并且焦点处的光场强度分布呈现出纵向分量增强的特点。它的这种特性得到了广泛的应用，也是近年来研究的热点。比如在光镊系统、光学显微暗场成像、金属切割、数据存储等领域都起着重要的作用。4.1在光镊系统中的应用很长时间以来对于粒子的捕捉和操控都是物理学家（粒子物理界）所面临的一大难题。由于金属粒子的强散射和强吸收作用，人们习惯性的认为对于粒子的捕捉和操控都是不太可能实现的。但是当径向偏振光出现后，这个问题就得到了解决。以径向偏振光做光源可以做到对粒子的操控并形成二维的光陷阱，如此便可以将粒子束缚在光陷进之中，从而能够捕捉粒子。光镊是指用经过高聚焦的激光光束来对微粒或细胞等微小物体进行操纵的技术。早在1970年时美国的科学家就实现了用激光对粒子的稳定捕获［11。通常来说，要想用机械的镊子夹住物体必须满足两个条件：与物体接触，并对物体施加一定的压力。但是用光镊系统的话，操控微粒是不需要直接接触物体的。因此，利用光镊操控物体时不会损伤物体，对微粒生命活动的干扰极小。不但如此，光镊还具有抗干扰的优点，即当物体受到外力偏离光束中心时，光镊能够将物体牵引到光束中心位置。激光光镊的工作主要依靠光对粒子的辐射力。光对粒子的辐射力有两类：梯度力和散射力。梯度力是由于光场强度分布不均匀所导致的，其大小正比于光强的梯度，方向指向光强极值。散射力有两种：一种是由于粒子对光的吸收或散射作用产生，大小正比于平均坡印廷矢量，方向指向光传输的方向；另一种是由于光的自旋密度分布不均匀造成的，正比于光的自旋密度的旋度。光镊要达到对粒子的稳定捕获要求横向梯度力必须大于散射力。因此，为了得到较强的梯度力，就要求使用高数值孔径物镜将光束紧聚焦到波长量级的光斑。经过高数值孔径的物镜聚焦后我们可以在焦点附近看到类似于气泡一样的光强分布

形式（暂且称它为“光泡”）。在轴向上和垂直于轴向的方向上都形成了一个波长宽度的暗场，这个暗场的周围被光强较大的光斑包围着，在轴向上的外围光强分布要高于垂直于轴向上的外围光强分布（如图4.1所示［12］）。这样就形成了一个宽度为波长量级的封闭空间即光陷阱，用来捕获粒子。（a）轴向分量（a）轴向分量（b）径向分量（c）总光场图4.14.2应用于光学显微传统显微镜的共焦系统使用的是偏振光入射，这对显微镜的成像是有很大帮助的。偏振光显微的方法可以提高不容易分辨观察物的可视度，增强显微镜对观察物细节的观察。通常传统显微镜用的偏振光是各向同性的比如线偏振光和圆偏振光。对于径向偏振光来说情况有所不同，径向偏振光属于各向异性偏振光，光束是轴对称分布的。如前所述，径向偏振光具有环状的光束模式，在光轴上存在光强为零的区域即轴上零点。在非共焦显微情况下，径向偏振光与各向同性偏振光一样，全部的反射光都可以被收集并传输到探测装置中。但是，在共焦显微情况下只有轴上反射光会被收集，当被观察物体的反射面比较光滑时，高反射的底层对轴上点的光是没有贡献的，这样的共焦系统是暗场成像的模式。通过研究人员的实验结果［13］我们可以看到径向偏振光暗场成像与普通成像的区别（如图4.2）。(a)(b)(c)(d)图4.2样品在各种情况下成像对比［13］(a)(b)(c)(d)(a)电子显微镜成像(b)各向同性偏振光共焦显微成像(c)各向异性偏振光亮场非共焦显微成像(d)各向异性偏振光暗场共焦显微成像我们可以看出在图(b)和(c)中金属区域比衬底区域的光强大。在图(d)中是在金属和衬底的交界处光强较大，还有在瑕疵处(灰尘及起泡点等)的光强也较大。而这些有光强强弱分布的地方是有不同的高度差的。由于径向偏振光具有环状的光束模式，模式环上相对的两点的电场矢量偏振方向具有兀的相位差。如果观测物在这两点处高度差相差人/4时，这时这两点光程差为九/2，由于被观察物高度不同而引起的相位差为丸，再加上这两点处初始相差丸，这两点处反射光总的相位差为2兀，那么叠加后会出现光强最大值。如果观测物在这两点处没有高度差时，就不会附加相位差，两点处反射光相位相差丸，叠加后会出现光强的最小值，则不会被检测到。由此便实现了显微镜暗场成像，而暗场成像是有利于成品检测的，普通成像往往由于光强较大而湮没了有瑕疵的暗场区，而使用径向偏振光的暗场成像时则没有这方面的顾虑，可以很清晰的看到瑕疵的位置及大小。4.3在金属切割中的应用金属切割对光束偏振特性要求较高，偏振特性在很大程度上决定了激光切割金属的参数。基于现代工业加工的需要，要求加工金属表面对入射光束的辐射吸收必须是轴对称的，并要求吸收率达到最大值。而径向偏振光所具有的环形光束模式恰好符合这种加工要求。起初人们将线偏振光束替换为圆偏振光束来进行工业加工，激光切割金属的加工效果得到大幅度改善。随着径向偏振光的出现，加工效果得到进一步提高。实验证实，使用径向偏振光束进行激光切割金属的加工时，效率提高到使用圆偏振光时的两倍［14］。下面我们进行具体的分析，从根本上说明为什么径向偏振光束是目前提高金属激光切割效率的偏振光中的最佳选择。根据经典菲涅尔公式对金属表面光反射率的描述，我们可以给出一个吸收系数：8=1—'，式中，代表金属表面的光反射率，这一吸收系数与光强大小无关。£会受到温度、入射光波长以及金属材料差异的影响而变化。同时激光光束的偏振形式和光束入射角也会影响到吸收系数的取值。设金属表面对P波的反射率为》，对S波的反射率为&，则对应吸收系数分别是：％=1—'p和es=1—r。图4.3激光束入射到金属表面如图4.3中所示为激光光束以不同的角度入射到金属表面的情况，再为P波电场矢量，瓦为S波电场矢量。图4.3（a）中0=0为正入射，图4.3（b）中。或（其中可表示布儒斯特角），为掠入射。根据实测的金属表面光反射率随入射角的变化的关系曲线（如图4.4），可以看出：随着入射角0的逐渐增大，r缓慢增加；r开始缓慢减小，后来急剧减小，直到当0增加到0=0］时分达到一个极小值，入射角01相当于布儒斯特角，只是对金属来说孚极小值不等于零。以上分析可知当0角逐渐增大时金属表面对S波的吸收能力减小，对P波的吸收能力增强。不过对于P波来说吸收能力也不是一直增加的，当0=0］时吸收率达到最大值。因此，当入射角较大时金属表面对P波的吸收能力是远大于对S波的吸收能力的，也即用P波切割更有效。10—==二^C04\\TOC\o"1-5"\h\z“304j¥■g70.0015^445的7590图4.4金属表面的P波和S波的反射率曲线由于径向偏振光特殊的空间结构，使得它入射到金属表面时，光束横截面上任一点的电场矢量偏振形式都相当于P波线偏振（电场矢量偏振方向始终与入射面平行），所以径向偏振光的金属切割吸收效率是由P波的吸收效率所决定的；而圆偏振光在任一时刻的偏振形式是P波或S波线偏振，所以其金属切割吸收效率是由P波和S波的平均吸收效率所决定的。所以，在其他的变量都一定的情况下，入射角度相同时，径向偏振光金属切割的吸收效率是圆偏振光的1.5-2倍。22第五章结论径向偏振光由于其具有特殊的空间偏振分布形式，偏振矢量与径向的夹角为零，又是环形光束模式且具有轴上零点，因此它的性质相较于其它光束来说有许多特别之处。比如高数值孔径物镜下聚焦时纵向分量增强横向分量减弱，在金属切割中效率是圆偏振光的两倍，还可以形成光镊系统对微粒进行无损伤操作等等。这篇论文共分成四个章节来分别介绍径向偏振光的物理特性，产生办法，聚焦特性及对应的应用。按由易到难的叙述方式，从产生方法再到特性分析再到应用推广的顺序解释了径向偏振光是什么，它有什么特点，能干什么等一系列的问题。其中最重点的内容就是径向偏振光的聚焦特性分析以及其应用推广。第一章绪论引出径向偏振光，描述了它的物理特征即空间偏振态分布形式为环形光束模式具有轴上零点，偏振矢量与径向夹角为零，属于各向异性的偏振光束。除此之外，还介绍了径向偏振光的各种产生方法。总体来说分为两类：腔内法和腔外法。其中腔内法举了谐振腔的尾镜使用W锥形反射元件产生径向偏振光、在腔内利用轴对称的激活介质产生径向偏振光和在腔内使用光子晶体光栅产生径向偏振光的方法的例子。腔外法举了采用相位补偿片的方法的例子。在每个例子中详细介绍了实验所用的一些特别的仪器，以及他们在实验中所起到的重要作用。比如在腔内法谐振腔的尾镜使用W锥形反射元件产生径向偏振光的方法中W锥型镜和圆锥型镜起到了光束偏振过滤的作用，使入射光在锥型镜上多次反射，而各偏振分量的反射率又有所差异，经过多次反射后使各偏振分量的占比急剧变化从而滤除不要的偏振分量，留下有用的偏振分量。而在腔外法采用相位补偿片的方法中则利用圆偏振光的空间偏振分布以及相位补偿片的作用，直接通过相位延迟的方法将圆偏振光改造成径向偏振光。第二章介绍的是Richards-Wolf矢量衍射理论，这个理论是后面第三章解决径向偏振光聚焦特性的基础。由于径向偏振光特殊的空间分布及性质，其聚焦过程用一般的标量衍射理论不能很好地描述，要用矢量衍射理论来描述。其中还介绍了切趾函数、正弦条件、亥姆霍兹条件，都是描述的是高数值孔径物镜聚焦的情况。第三章在第二章的基础上，又进一步介绍了紧聚焦的特点，径向偏振光高数值孔径聚焦属于紧聚焦的情况。利用Richards-Wolf矢量衍射理论导出了径向偏振光在高数值孔径聚焦的情况下，焦斑附近的光强分布积分表达式。利用软件计算出焦斑附近的光强分布的数值并画出图像，通过图像可以很直观的了解到径向偏振光聚焦光斑的特点：随着数值孔径角的不断增加，光斑形状由起初的圆形逐渐过渡到椭圆形，横向分量被削弱，纵向分量得到保留。第四章通过前面几章的介绍大致了解了径向偏振光的一些特性，尤其是聚焦特性。对于这些特性，有很广泛的用途比如光镊系统、光学显微暗场成像、金属切割等方面。其中光镊系统应用的是径向偏振光聚焦特性，通过高数值孔径聚焦，光束将获得很高的梯度力这有利于对微粒的捕获。而光学显微暗场成像、金属切割则主要应用的是径向偏振光空间偏振分布的特点。在光学显微暗场成像中由于径向偏振光独特的空间偏振分布，光束环形模式同一截面上以圆心为中心任意径向上相对的两点相位相差，然后经过不同的光程后叠加由于存在相差，会产生强弱不均的分布，从而可以反映出被测物表面的具体情况。而且比较重要的一点是平滑的表面是没有附加相差的，叠加后相干相消，所以呈现出暗色调，这是有利于我们对观测物表面分析的。对于径向偏振光的研究还在不断继续，径向偏振光特殊的空间偏振分布会引起很多特殊的性质，更会带来更多更广泛的用途。这些潜在性质及用途的还有待我们去不断地挖掘，开发。本科生涯即将结束，在这最后的大学时光里是我的导师陈述老师一直陪伴着我。从开始选导师，到与导师见面，再到一点点的完成论文，整个期间陈老师都很耐心，细致的辅导我，给我讲解写作论文需要注意的事项，还有论文中难度比较大的理论