机器人力控制课件

机器人的力控制机器人的力控制工业机器人的力控制分为：关节空间的力控制力控制柔顺控制主动阻抗控制力和位置混合控制笛卡尔空间的力控制机器人的力控制，着重研究如何控制机器人的各个关节使其末端表现出一定的力和力矩特性，是利用机器人进行自动加工（如装配等）的基础。工业机器人的力控制分刚度与柔顺一工业机器人的笛卡尔空间静力与关节空间静力的转换二阻抗控制主动柔顺三主要内容力和位置混合控制刚度与柔顺一工业机器一、刚度与柔顺1、机器人的刚度

为了达到期望的机器人末端位置和姿态，机器人所能够表现的力或力矩的能力。关节的机械形变连杆的挠性（flexibility）影响机器人末端端点刚度的因素，主要有：为了达到期望的关节位置，该关节所能够表现的力或力矩的能力。关节的刚度一、刚度与柔顺1、一、刚度与柔顺2、机器人的柔顺指机器人的末端能够对外力的变化作出相应的响应，表现为低刚度。主动柔顺（activecompliance）被动柔顺（passivecompliance）根据柔顺性是否通过控制方法获得，可将柔顺分为：是指不需要对机器人进行专门的控制即具有的柔顺能力。特点：柔顺能力由机械装置提供，只能用于特定的任务；响应速度快，成本低。是指通过对机器人进行专门的控制获得的柔顺能力。通常，主动柔顺通过控制机器人各关节的刚度，使机器人末端表现出所需要的柔顺性。一、刚度与柔顺2、一、刚度与柔顺主动柔顺具有阻抗控制、力位混合控制和动态混合控制等类型。在柔顺坐标空间将任务分解为某些自由度的位置控制和另一些自由度的力控制，然后将计算结果在关节空间合并为统一的关节力矩。力位混合控制阻抗控制通过力与位置之间的动态关系实现柔顺控制。阻抗控制的静态，即力和位置的关系，用刚性矩阵描述。阻抗控制的动态，即力和速度的关系，用粘滞阻尼矩阵描述。动态混合控制分别组成位置控制回路和力控制回路，通过控制律的综合实现柔顺控制。一、刚度与柔顺主动柔顺控制笛为静力矩。关节空间的力或力矩与机器人末端的力或力矩具有直接联系。通常，静力和静力矩可以用6维矢量表示。二、工业机器人的笛卡尔空间静力与关节空间静力的转换关节为广义力矢量，控制其中，为静力，

所谓静力变换，是指机器人在静止状态下的力或力矩的变换。（1）柔顺控制笛为静力矩。1、不同坐标系间的静力变换

设基坐标系下广义力的虚拟位移为，如式（2）所示。

（2）则广义力所做的虚功记为，见式（3）。

（3）

在坐标系下，机器人所做的虚功为

（4）其中，是机器人在坐标系下的广义力，是机器人在坐标系下的虚拟位移。1、不同坐标系间的静力变换设基坐标系下广义力由第二章式（2-197）可知，基坐标系下的虚拟位移和坐标系下的虚拟位移之间存在如下关系。（5）机器人在基坐标系和坐标系下所做的虚功相等。由式（3）、（4）、（5）整理可得

其中，矩阵为不同坐标系下微分变换的等价变换矩阵，见式（5）。（6）由第二章式（2-197）可知，基坐标系下的虚拟位移2、笛卡尔空间与关节空间的静力变换机器人在关节空间的虚功，可以表示为式（7）（7）其中，是机器人在关节空间所做的虚功；是关节空间的虚拟位移。是机器人关节空间的等效静力或静力矩；由第二章式（2-207）知，笛卡尔空间与关节空间的虚拟位移之间存在如下关系其中，为机器人的雅可比矩阵。（8）2、笛卡尔空间与关节空间的静力变换机器人在关节空考虑到机器人在笛卡尔空间与关节空间的虚功是等价的，由式（3）、（7）和（8）可得注：式（9）给出了机器人末端在笛卡尔空间的广义静力与关节空间的静力之间的等效关系，即笛卡尔空间与关节空间的静力变换。（9）考虑到机器人在笛卡尔空间与关节空间的虚功是等价的，3、主动刚性控制利用主动刚性控制，可以使特定方向的刚度降低或加强。图1为主动刚性控制框图。图中，是末端笛卡尔坐标系的刚性对称矩阵，可以人为设定。图1.主动刚性控制框图注：该方案通过对关节位置的控制，使机器人末端表现出一定的

刚度。3、主动刚性控制利用主动刚性控制，可以使特定方向的对于关节空间的位置偏差注：当时，关节空间的控制力或力矩为0。当

时，关节空间具有一定的控制力或力矩，从而使机器人末端表现出希望的刚度。上述主动刚性控制的控制律为机器人末端的位姿偏差。末端位姿偏差经过刚性对称矩阵，，利用雅可比矩阵将其转换为转换为末端广义力，再通过力变换转换为关节空间的力或力矩。（20）对于关节空间的位置偏差注：当三、阻抗控制主动柔顺阻抗控制主动柔顺，是指通过力与位置之间的动态关系实现的柔顺控制。位置型阻抗控制力反馈型阻抗控制阻抗控制可以划分为：柔顺型阻抗控制三、阻抗控制主动柔三、阻抗控制主动柔顺1、力反馈型阻抗控制将利用力传感器测量到的力信号引入位置控制系统，可以构成力反馈型阻抗控制。图2所示是一种力反馈型阻抗控制的框图。图2.力反馈型阻抗控制三、阻抗控制主动柔在不考虑力反馈通道时，图2所示系统是一个基于雅可比矩阵的增量式控制系统。它由位置控制和速度控制两部分构成。位置控制部分力反馈引入位置控制和速度控制后，机器人末端表现出一定的柔顺性，其刚度降低，并具有粘滞阻尼特性。速度控制部分以期望的位置作为给定，位置反馈由关节位置利用运动学方程计算获得。以期望的速度作为给定，速度反馈由关节速度利用雅可比矩阵计算获得。在不考虑力反馈通道时，图2所示系统是一个基于雅可比矩阵的增量位置控制部分由图2可知，其输出为其中：为期望位置；（21）为机器人的运动学方程，即基坐标系到末端坐标系的变换矩阵；是关节位置矢量；是机器人末端的广义力；是雅可比矩阵；是位置控制部分的力与位置变换系数；是位置控制系数。位置控制部分由图2可知，其输出为其中：为期望由第二章式（2-207）可知该位置控制是建立在微分运动基础上的。该位置控制为积分控制。力反馈的引入降低了机器人末端的刚度。采用增量输出，使得该位置控制具有积分作用。结合式（21）和式（22），可得出如下结论：当机器人的当前位置与期望位置存在较大的偏差时，该位置控制中的笛卡尔位置偏差与关节位置偏差的转换将不准确。为了避免系统振荡，位置控制系数不应选择过大。当末端受到外力或力矩时，力反馈的引入使得位置可以存在一定的偏差，从而使末端表现出柔顺性。

越大，末端刚度越低。（22）由第二章式（2-207）可知该位置控制是建立在微分运动基础速度控制部分由图2可知，其输出为其中：为期望速度；（23）是关节速度矢量；是速度控制部分的力与位置变换系数；是速度控制系数。一般地，雅可比矩阵是关节位置矢量的函数。在关节位置矢量的小邻域内，可以认为是常量。不考虑的时变性，对式（2-207）求一阶导数，得到式（24）。速度控制部分由图2可知，其输出为其中：为期望比较式（23）和式（24）可知，速度控制也是以微分运动为基础的，而且是以在关节位置矢量的小邻域内是常量为前提的。因此，速度控制的周期不应过长，以避免式（24）不成立，导致速度估计不准确。另外，力反馈的引入增加了机器人末端的速度控制的粘滞阻尼。当末端受到外力或力矩时，力反馈的引入使得速度可以存在一定的偏差，从而使末端表现出柔顺性。越大，末端的粘滞阻尼越大。（24）位置控制部分的输出和速度控制部分的输出相加，作为机器人的关节控制增量，用于控制机器人的运动。因此，图2所示的力反馈型阻抗控制，其本质上是以位置控制为基础的。

值得注意的是，对于上述力反馈型阻抗控制，机器人末端的刚度在一个控制周期内是不受控制的，即机器人末端在一个控制周期内并不具有柔顺性。比较式（23）和式（24）可知，速度控制也是以微分运动为基础2、位置型阻抗控制位置型阻抗控制，是指机器人末端没有受到外力作用时，通过位置与速度的协调而产生柔顺性的控制方法。位置型阻抗控制，根据位置偏差和速度偏差产生笛卡尔空间的广义控制力，转换为关节空间的力或力矩后，控制机器人的运动。原理图3.位置型阻抗控制框图2、位置型阻抗控制位假设机器人的动力方程如下位置型阻抗控制的控制律为其中，为惯量矩阵，为阻尼矩阵，为重力项，为关节空间的力或力矩矢量。（25）（26）其中，为重力补偿项，为刚度系数矩阵，为阻尼系数矩阵，为机器人的期望位置，为机器人的期望速度，为机器人的当前位置，为机器人的当前速度，为机器人的力矩矢量。假设机器人的动力方程将式（26）代入式（25）中，得到位置型阻抗控制的动力学方程（27）（28）如果重力补偿项能够完全补偿重力项，则动力学方程由式（27）转变为式（28）由式（28）可知，当机器人的当前位置到达期望位置，当前速度达到期望速度时，，，式（28）成为式（29）。（29）此时，机器人各关节不再提供除重力补偿以外的力或力矩，机器人处于无激励的平衡状态。另外，当机器人处于奇异位置时，。此时，机器人也处于无激励的平衡状态，但位置和速度均可能存在误差。将式（26）代入式（为验证系统的稳定性，建立式（30）所示的正定Lyapunov函数。（30）（31）稳定性分析其中，。对式（30）求导数，并将式（28）代入，得考虑为常数的情况。此时，有下式成立（32）将式（32）代入式（31）中，得（33）为验证系统的稳定性，（34）对式（34）求导数，并将式（29）代入，得

因此，当时，是渐进稳定的，但不能保证。其物理意义是，当机器人处于奇异状态时，虽然机器人末端在位置和速度上都可能存在误差，但因计算出的关节力或力矩为0，机器人中止运动。由于且，根据Lyapunov稳定性定理，系统是稳定的。上述结论是在的前提下获得的。当时，由式（31）可知，不能保证小于等于0。对于时的情况，可以建立式（34）所示的正定Lyapunov函数（35）（34）对式（34）求导数，并将式（29）代入，得由于3、柔顺型阻抗控制柔顺型阻抗控制，是指机器人末端收到环境的外力作用时，通过位置与外力的协调而产生柔顺性的控制方法。柔顺型阻抗控制，根据环境外力、位置偏差和速度偏差产生笛卡尔空间的广义控制力，转换为关节空间的力或力矩后，控制机器人的运动。柔顺型阻抗控制与位置型阻抗控制相比，只是在笛卡尔空间的广义控制力中增加了环境力。原理图4.柔顺型阻抗控制框图3、柔顺型阻抗控制柔当机器人的末端接触弹性目标时，目标会由于弹性变形而产生弹力，作用于机器人的末端。在弹性目标被机器人末端挤压时，机器人末端位置与弹性目标原表面位置的偏差即为变形量。显然，当机器人末端尚未到达弹性目标时，虽然机器人末端位置与弹性目标表面位置之间存在偏差，但弹性目标的变形量为零。为了便于对目标的变形量进行描述，定义一个正定函数，如式（36）所示。在式（26）基础上，将弹力引入机器人的阻抗控制，得到柔顺型阻抗控制的控制律（37）（36）其中，为环境力系数矩阵，为弹性目标表面原位置。当机器人的末端接触弹（38）将式（37）代入式（25）中，如果重力补偿项能够完全补偿重力项，则动力学方程转变为式（38）由式（38）可知，当机器人的当前位置到达期望位置，当前速度达到期望速度，弹性目标无形变时，，，

，式（38）成为式（29）。此时，机器人各关节不再提供除重力补偿以外的力或力矩，机器人处于无激励的平衡状态。另外，当机器人处于奇异位置时，。此时，机器人也处于无激励的平衡状态，但位置和速度均可能存在误差，弹性目标也可能存在变形。（38）将式（37）为验证系统的稳定性，建立式（39）所示的正定Lyapunov函数。（39）（40）稳定性分析其中，，。对式（39）求导数，并将式（38）代入，得考虑和为常数的情况。此时，除式（32）成立外，还有下式成立（41）将式（32）和式（41）代入式（40）中，得式（33）所示的的表达式。由于且，根据Lyapunov稳定性定理，系统是稳定的。为验证系统的稳定性，（42）表面上看，式（42）在两种情况下成立，一种情况为

，另一种情况为。当时，机器人停止运动，。此时，式（38）变成式（43）考察时的情况，由式（39）可知（35）由式（43）可知，当时，也同样成立。由此可见，当且时，，。此时，系统也处于无激励的平衡状态。这说明，在环境刚度与机械手阻力间的组合作用下，系统能够达到平衡状态。换言之，在位置与外力的协调作用下，机器人末端表现出柔顺性。越大，末端的柔顺性越大。（42）表面上看，式（42）在两种情况下成立四、力和位置混合控制力位混合柔顺控制，是指分别组成位置控制回路和力控制回路，通过控制律的综合实现的柔顺控制。改进的R-C力和位置混合控制R-C力和位置混合控制力和位置混合控制可以划分为：四、力和位置混合控1、R-C力和位置混合控制图5所示的控制方案是由Raibert和Craig于1981年提出的，称为R-C力和位置混合控制。该控制方案由两大部分组成，分别为位置/速度控制部分和力控制部分。图5.R-C力位混合控制1、R-C力和位置位置/速度控制部分由位置和速度两个通道构成。位置通道以末端期望的笛卡尔空间位置作为给定，位置反馈由关节位置利用运动学方程计算获得。利用雅可比矩阵，将笛卡尔空间的位姿偏差转换为关节空间的位置偏差，经过PI运算后作为关节控制力或力矩的一部分。速度通道以末端期望的笛卡尔空间速度作为给定，速度反馈由关节速度利用雅可比矩阵计算获得。同样地，速度通道利用雅可比矩阵，将笛卡尔空间的速度偏差转换为关节空间的速度偏差。然后，经过比例运算，其结果作为关节控制力或力矩的一部分。为位置/速度控制部分各个分量的选择矩阵，用于对各个分量的作用大小进行选择，表现在机器人末端为各个分量的柔顺性不同。位置/速度控制部分由位置和速度两个通道构成。位置/速度控制部分产生的关节空间力或力矩，见式（44）其中：为期望位置；（44）为机器人的运动学方程，即基坐标系到末端坐标系的变换矩阵；是位置/速度控制部分产生的关节空间力或力矩；是雅可比矩阵；是位置通道的积分系数；是位置和速度通道的选择矩阵。是关节位置矢量；是位置通道的比例系数；是速度通道的比例系数；是关节位置矢量；为期望速度；位置/速度控制部分产生的关节空间力或力矩，见式（44）其中：力控制部分由PI和力前馈两个通道构成。PI通道以机器人末端期望的笛卡尔空间广义力作为给定，力反馈由力传感器测量获得。利用雅可比矩阵，将笛卡尔空间的力偏差转换为关节空间的力偏差，经过PI运算后作为关节控制力或力矩的一部分。力前馈通道直接利用雅可比矩阵将转换到关节空间，作为关节控制力或力矩的一部分。力前馈通道的作用是加快系统对期望力的响应速度。为力控制部分各个分量的选择矩阵，用于对各个分量的作用大小进行选择。力控制部分由PI和力前馈两个通道构成。力控制部分产生的关节空间力或力矩，见式（45）其中：机器人关节空间的力或力矩是位置/速度控制部分和力控制部分产生的力或力矩之和。（45）为期望的机器人末端在笛卡尔空间的广义力；为机器人末端当前的广义力；是力控制部分产生的关节空间力或力矩；是力通道的积分系数；是力控制部分的选择矩阵。是力通道的比例系数；为测量得到的广义力；（46）力控制部分产生的关节空间力或力矩，见式（45）其中：2、改进的R-C力和位置混合控制图5所示的力和位置混合控制方案，未考虑机械手动态耦合影响，在工作空间的某些奇异位置上出现不稳定。图6为改进的R-C力和位置混合控制方案。图6.改进的R-C力位混合控制2、改进的R-C力和其改进主要体现在以下几个方面：（1）考虑机械手的动态影响，并对机械手所受的重力、哥氏力和向心力进行补偿。如图6中的，以及位置/速度/加速度控制部分增加的惯量矩阵。（2）考虑力控制系统的欠阻尼特性，在力控制回路中加入阻尼反馈，以消弱振荡因素。如图6中的通道，其信号取自机器人的当前速度。（3）引入加速度前馈，以满足作业任务对加速度的要求，也可使速度平滑过渡。考虑的时变性，对式（2-205）求一阶导数，并根据式（2-205）利用表示，得到式（47）。（47）将式（47）中的用替换，经整理得到的表达式。其改进主要体现在以下（48）因此，加速度前馈在图6中由两个通道组成，即和通道。（4）引入环境力的作用，以适应弹性目标对机器人刚度的要求。如图6中所示的通道。改进后的R-C力位混合控制方案由三大部分组成，分别为位置/速度/加速度控制部分、力控制部分和动态补偿部分。（48）（49）位置/速度/加速度控制部分产生的关节空间力或力矩，见式（49）。位置/速度/加速度控制部分由4个通道构成，分别为位置通道、速度通道、加速度前馈通道和阻尼通道。位置通道、速度通道和加速度前馈通道采用作为各个分量的选择矩阵，阻尼通道采用作为各个分量的选择矩阵。其中，为阻尼通道的比例系数；为期望的加速度。（49）位置/速度/（50）力控制部分产生的关节空间力或力矩，见式（50）。力控制部分由期望力前馈通道、PI通道和环境力通道构成。期望力前馈通道和PI通道采用作为各个分量的选择矩阵。动态补偿部分产生的关节空间力或力矩，见式（51）。（51）机器人关节空间的力或力矩是位置/速度/加速度控制部分、力控制部分和动态补偿部分产生的力或力矩之和。（52）（50）力控制部分产生的关节空间力或力矩，见式（50）。力控谢谢！谢谢！机器人的力控制机器人的力控制工业机器人的力控制分为：关节空间的力控制力控制柔顺控制主动阻抗控制力和位置混合控制笛卡尔空间的力控制机器人的力控制，着重研究如何控制机器人的各个关节使其末端表现出一定的力和力矩特性，是利用机器人进行自动加工（如装配等）的基础。工业机器人的力控制分刚度与柔顺一工业机器人的笛卡尔空间静力与关节空间静力的转换二阻抗控制主动柔顺三主要内容力和位置混合控制刚度与柔顺一工业机器一、刚度与柔顺1、机器人的刚度

为了达到期望的机器人末端位置和姿态，机器人所能够表现的力或力矩的能力。关节的机械形变连杆的挠性（flexibility）影响机器人末端端点刚度的因素，主要有：为了达到期望的关节位置，该关节所能够表现的力或力矩的能力。关节的刚度一、刚度与柔顺1、一、刚度与柔顺2、机器人的柔顺指机器人的末端能够对外力的变化作出相应的响应，表现为低刚度。主动柔顺（activecompliance）被动柔顺（passivecompliance）根据柔顺性是否通过控制方法获得，可将柔顺分为：是指不需要对机器人进行专门的控制即具有的柔顺能力。特点：柔顺能力由机械装置提供，只能用于特定的任务；响应速度快，成本低。是指通过对机器人进行专门的控制获得的柔顺能力。通常，主动柔顺通过控制机器人各关节的刚度，使机器人末端表现出所需要的柔顺性。一、刚度与柔顺2、一、刚度与柔顺主动柔顺具有阻抗控制、力位混合控制和动态混合控制等类型。在柔顺坐标空间将任务分解为某些自由度的位置控制和另一些自由度的力控制，然后将计算结果在关节空间合并为统一的关节力矩。力位混合控制阻抗控制通过力与位置之间的动态关系实现柔顺控制。阻抗控制的静态，即力和位置的关系，用刚性矩阵描述。阻抗控制的动态，即力和速度的关系，用粘滞阻尼矩阵描述。动态混合控制分别组成位置控制回路和力控制回路，通过控制律的综合实现柔顺控制。一、刚度与柔顺主动柔顺控制笛为静力矩。关节空间的力或力矩与机器人末端的力或力矩具有直接联系。通常，静力和静力矩可以用6维矢量表示。二、工业机器人的笛卡尔空间静力与关节空间静力的转换关节为广义力矢量，控制其中，为静力，

所谓静力变换，是指机器人在静止状态下的力或力矩的变换。（1）柔顺控制笛为静力矩。1、不同坐标系间的静力变换

设基坐标系下广义力的虚拟位移为，如式（2）所示。

（2）则广义力所做的虚功记为，见式（3）。

（3）

在坐标系下，机器人所做的虚功为

（4）其中，是机器人在坐标系下的广义力，是机器人在坐标系下的虚拟位移。1、不同坐标系间的静力变换设基坐标系下广义力由第二章式（2-197）可知，基坐标系下的虚拟位移和坐标系下的虚拟位移之间存在如下关系。（5）机器人在基坐标系和坐标系下所做的虚功相等。由式（3）、（4）、（5）整理可得

其中，矩阵为不同坐标系下微分变换的等价变换矩阵，见式（5）。（6）由第二章式（2-197）可知，基坐标系下的虚拟位移2、笛卡尔空间与关节空间的静力变换机器人在关节空间的虚功，可以表示为式（7）（7）其中，是机器人在关节空间所做的虚功；是关节空间的虚拟位移。是机器人关节空间的等效静力或静力矩；由第二章式（2-207）知，笛卡尔空间与关节空间的虚拟位移之间存在如下关系其中，为机器人的雅可比矩阵。（8）2、笛卡尔空间与关节空间的静力变换机器人在关节空考虑到机器人在笛卡尔空间与关节空间的虚功是等价的，由式（3）、（7）和（8）可得注：式（9）给出了机器人末端在笛卡尔空间的广义静力与关节空间的静力之间的等效关系，即笛卡尔空间与关节空间的静力变换。（9）考虑到机器人在笛卡尔空间与关节空间的虚功是等价的，3、主动刚性控制利用主动刚性控制，可以使特定方向的刚度降低或加强。图1为主动刚性控制框图。图中，是末端笛卡尔坐标系的刚性对称矩阵，可以人为设定。图1.主动刚性控制框图注：该方案通过对关节位置的控制，使机器人末端表现出一定的

刚度。3、主动刚性控制利用主动刚性控制，可以使特定方向的对于关节空间的位置偏差注：当时，关节空间的控制力或力矩为0。当

时，关节空间具有一定的控制力或力矩，从而使机器人末端表现出希望的刚度。上述主动刚性控制的控制律为机器人末端的位姿偏差。末端位姿偏差经过刚性对称矩阵，，利用雅可比矩阵将其转换为转换为末端广义力，再通过力变换转换为关节空间的力或力矩。（20）对于关节空间的位置偏差注：当三、阻抗控制主动柔顺阻抗控制主动柔顺，是指通过力与位置之间的动态关系实现的柔顺控制。位置型阻抗控制力反馈型阻抗控制阻抗控制可以划分为：柔顺型阻抗控制三、阻抗控制主动柔三、阻抗控制主动柔顺1、力反馈型阻抗控制将利用力传感器测量到的力信号引入位置控制系统，可以构成力反馈型阻抗控制。图2所示是一种力反馈型阻抗控制的框图。图2.力反馈型阻抗控制三、阻抗控制主动柔在不考虑力反馈通道时，图2所示系统是一个基于雅可比矩阵的增量式控制系统。它由位置控制和速度控制两部分构成。位置控制部分力反馈引入位置控制和速度控制后，机器人末端表现出一定的柔顺性，其刚度降低，并具有粘滞阻尼特性。速度控制部分以期望的位置作为给定，位置反馈由关节位置利用运动学方程计算获得。以期望的速度作为给定，速度反馈由关节速度利用雅可比矩阵计算获得。在不考虑力反馈通道时，图2所示系统是一个基于雅可比矩阵的增量位置控制部分由图2可知，其输出为其中：为期望位置；（21）为机器人的运动学方程，即基坐标系到末端坐标系的变换矩阵；是关节位置矢量；是机器人末端的广义力；是雅可比矩阵；是位置控制部分的力与位置变换系数；是位置控制系数。位置控制部分由图2可知，其输出为其中：为期望由第二章式（2-207）可知该位置控制是建立在微分运动基础上的。该位置控制为积分控制。力反馈的引入降低了机器人末端的刚度。采用增量输出，使得该位置控制具有积分作用。结合式（21）和式（22），可得出如下结论：当机器人的当前位置与期望位置存在较大的偏差时，该位置控制中的笛卡尔位置偏差与关节位置偏差的转换将不准确。为了避免系统振荡，位置控制系数不应选择过大。当末端受到外力或力矩时，力反馈的引入使得位置可以存在一定的偏差，从而使末端表现出柔顺性。

越大，末端刚度越低。（22）由第二章式（2-207）可知该位置控制是建立在微分运动基础速度控制部分由图2可知，其输出为其中：为期望速度；（23）是关节速度矢量；是速度控制部分的力与位置变换系数；是速度控制系数。一般地，雅可比矩阵是关节位置矢量的函数。在关节位置矢量的小邻域内，可以认为是常量。不考虑的时变性，对式（2-207）求一阶导数，得到式（24）。速度控制部分由图2可知，其输出为其中：为期望比较式（23）和式（24）可知，速度控制也是以微分运动为基础的，而且是以在关节位置矢量的小邻域内是常量为前提的。因此，速度控制的周期不应过长，以避免式（24）不成立，导致速度估计不准确。另外，力反馈的引入增加了机器人末端的速度控制的粘滞阻尼。当末端受到外力或力矩时，力反馈的引入使得速度可以存在一定的偏差，从而使末端表现出柔顺性。越大，末端的粘滞阻尼越大。（24）位置控制部分的输出和速度控制部分的输出相加，作为机器人的关节控制增量，用于控制机器人的运动。因此，图2所示的力反馈型阻抗控制，其本质上是以位置控制为基础的。

值得注意的是，对于上述力反馈型阻抗控制，机器人末端的刚度在一个控制周期内是不受控制的，即机器人末端在一个控制周期内并不具有柔顺性。比较式（23）和式（24）可知，速度控制也是以微分运动为基础2、位置型阻抗控制位置型阻抗控制，是指机器人末端没有受到外力作用时，通过位置与速度的协调而产生柔顺性的控制方法。位置型阻抗控制，根据位置偏差和速度偏差产生笛卡尔空间的广义控制力，转换为关节空间的力或力矩后，控制机器人的运动。原理图3.位置型阻抗控制框图2、位置型阻抗控制位假设机器人的动力方程如下位置型阻抗控制的控制律为其中，为惯量矩阵，为阻尼矩阵，为重力项，为关节空间的力或力矩矢量。（25）（26）其中，为重力补偿项，为刚度系数矩阵，为阻尼系数矩阵，为机器人的期望位置，为机器人的期望速度，为机器人的当前位置，为机器人的当前速度，为机器人的力矩矢量。假设机器人的动力方程将式（26）代入式（25）中，得到位置型阻抗控制的动力学方程（27）（28）如果重力补偿项能够完全补偿重力项，则动力学方程由式（27）转变为式（28）由式（28）可知，当机器人的当前位置到达期望位置，当前速度达到期望速度时，，，式（28）成为式（29）。（29）此时，机器人各关节不再提供除重力补偿以外的力或力矩，机器人处于无激励的平衡状态。另外，当机器人处于奇异位置时，。此时，机器人也处于无激励的平衡状态，但位置和速度均可能存在误差。将式（26）代入式（为验证系统的稳定性，建立式（30）所示的正定Lyapunov函数。（30）（31）稳定性分析其中，。对式（30）求导数，并将式（28）代入，得考虑为常数的情况。此时，有下式成立（32）将式（32）代入式（31）中，得（33）为验证系统的稳定性，（34）对式（34）求导数，并将式（29）代入，得

因此，当时，是渐进稳定的，但不能保证。其物理意义是，当机器人处于奇异状态时，虽然机器人末端在位置和速度上都可能存在误差，但因计算出的关节力或力矩为0，机器人中止运动。由于且，根据Lyapunov稳定性定理，系统是稳定的。上述结论是在的前提下获得的。当时，由式（31）可知，不能保证小于等于0。对于时的情况，可以建立式（34）所示的正定Lyapunov函数（35）（34）对式（34）求导数，并将式（29）代入，得由于3、柔顺型阻抗控制柔顺型阻抗控制，是指机器人末端收到环境的外力作用时，通过位置与外力的协调而产生柔顺性的控制方法。柔顺型阻抗控制，根据环境外力、位置偏差和速度偏差产生笛卡尔空间的广义控制力，转换为关节空间的力或力矩后，控制机器人的运动。柔顺型阻抗控制与位置型阻抗控制相比，只是在笛卡尔空间的广义控制力中增加了环境力。原理图4.柔顺型阻抗控制框图3、柔顺型阻抗控制柔当机器人的末端接触弹性目标时，目标会由于弹性变形而产生弹力，作用于机器人的末端。在弹性目标被机器人末端挤压时，机器人末端位置与弹性目标原表面位置的偏差即为变形量。显然，当机器人末端尚未到达弹性目标时，虽然机器人末端位置与弹性目标表面位置之间存在偏差，但弹性目标的变形量为零。为了便于对目标的变形量进行描述，定义一个正定函数，如式（36）所示。在式（26）基础上，将弹力引入机器人的阻抗控制，得到柔顺型阻抗控制的控制律（37）（36）其中，为环境力系数矩阵，为弹性目标表面原位置。当机器人的末端接触弹（38）将式（37）代入式（25）中，如果重力补偿项能够完全补偿重力项，则动力学方程转变为式（38）由式（38）可知，当机器人的当前位置到达期望位置，当前速度达到期望速度，弹性目标无形变时，，，

，式（38）成为式（29）。此时，机器人各关节不再提供除重力补偿以外的力或力矩，机器人处于无激励的平衡状态。另外，当机器人处于奇异位置时，。此时，机器人也处于无激励的平衡状态，但位置和速度均可能存在误差，弹性目标也可能存在变形。（38）将式（37）为验证系统的稳定性，建立式（39）所示的正定Lyapunov函数。（39）（40）稳定性分析其中，，。对式（39）求导数，并将式（38）代入，得考虑和为常数的情况。此时，除式（32）成立外，还有下式成立（41）将式（32）和式（41）代入式（40）中，得式（33）所示的的表达式。由于且，根据Lyapunov稳定性定理，系统是稳定的。为验证系统的稳定性，（42）表面上看，式（42）在两种情况下成立，一种情况为

，另一种情况为。当时，机器人停止运动，。此时，式（38）变成式（43）考察时的情况，由式（39）可知（35）由式（43）可知，当时，也同样成立。由此可见，当且时，，。此时，系统也处于无激励的平衡状态。这说明，在环境刚度与机械手阻力间的组合作用下，系统能够达到平衡状态。换言之，在位置与外力的协调作用下，机器人末端表现出柔顺性。越大，末端的柔顺性越大。（42）表面上看，式（42）在两种情况下成立四、力和位置混合控制力位混合柔顺控制，是指分别组成位置控制回路和力控制回路，通过控制律的综合实现的柔顺控制。改进的R-C力和位置混合控制R-C力和位置混合控制力和位置混合控制可以划分为：四、力和位置混合控1、R-C力和位置混合控制图5所示的控制方案是由Raibert和Craig于1981年提出的，称为R-C力和位置混合控制。该控制方案由两大部分组成，分别为位置/速度控制部分和力控制部分。图5.R-C力位混合控制1、R-C力和位置位置/速度控制部分由位置和速度两个通道构成。位置通道以末端期望的笛卡尔空间位置作为给定，位置反馈由关节位置利用运动学方程计算获得。利用雅可比矩阵，将笛卡尔空间的位姿偏差转换为关节空间的位置偏差，经过PI运算后作为关节控制力或力矩的一部分。速度通道以末端期望的笛卡尔空间速度作为给定，速度反馈由关节速度利用雅可比矩阵计算获得。同样地，速度通道利用雅可比矩阵，将笛卡尔空间的速度偏差转换为关节空间的速度偏差。然后，经过比例运算，其结果作为关节控制力或力矩的一部分。为位置/速度控制部分各个分量的选择矩阵，用于对各个分量的作用大小进行选择，表现在机器人末端为各个分量的柔顺性不同。位置/速度控制部分由位置和速度两个通道构成。位置/速度控制部分产生的关节空间力或力矩，见式（44）其中：为期望位置；（