G212直角坐标系下二重积分的计算课件

寄语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利足也，而致千里；------旬子1寄语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利第21章第一节、二重积分概念

第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性重积分第21章本章内容：第二节、直角坐标系下二重积分的计算第四节、二重积分的变量替换第五节、三重积分第六节、重积分的应用第七节、第八节、第九节---N重积分；反常二重积分；变量替换公式证明-----略去2第21章第一节、二重积分概念第三节、格林公式-曲线积分与第2节一、矩形区域上二重积分的计算二、一般区域上二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算第21章3第2节一、矩形区域上二重积分的计算二、一般区域上二重积分的计一、矩形区域上二重积分的计算在定理1也存在,且上可积,且对每个存在,则累次积分证明:直线网T:先用平行于坐标轴的4一、矩形区域上二重积分的计算在定理1也存在,且上可积,且对每分割D成rs个小矩形:令下面证在可积,且积分值为二重积分.因为在上可积,故必有界(P215).由确界原理及定积分估计式得其中5分割D成rs个小矩形:令下面证在可积,且积分值为二重积分.因由积分区间的可加性其中由于二重积分存在,故由夹逼准则,6由积分区间的可加性其中由于二重积分存在,故由夹逼准则,6由于当因此由定积分定义,上式左边亦可写为即7由于当因此由定积分定义,上式左边亦可写为即7类似可证下面结论:在定理2也存在,且上可积,且对每个存在,则累次积分特别当在上连续时,则8类似可证下面结论:在定理2也存在,且上可积,且对每个存在,则例1.

计算其中D是单位正方形组成的闭区域.解法1.利用定理1,则解法2.利用定理2,

则9例1.计算其中D是单位正方形组成的闭区域.解法1.二、一般区域上二重积分的计算1.D为X–型区域(如图)2.D为Y–型区域(如图)平面区域D的两种简单类型:10二、一般区域上二重积分的计算1.D为X–型区域(如图)定理3在X–型区域D上连续,其中上连续,则先y后x积分次序在Y–型区域D上连续,其中上连续,则先x后y积分次序证明:略!P22011定理3在X–型区域D上连续,其中上连续,则先y后x积分次说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域(如图),则12说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,

则13例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:画域,易见先x后y积分较简便,及直线则14例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:画域,例3

计算其中D是由直线所围成。解：画域15例3计算其中D是由直线所围成。解：画域15注：本题计算中若先后积分;由于的原函数不能用初等函数来表示，故本题只能采用先后积分。16注：本题计算中若先后积分;由于的原函数不能用初等函数来表示，例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:不能先对x积分,17例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数例5计算解:

易知,因此取D为X–型域:不能先x后y积分,须交换积分次序18例5计算解:易知,因此取D为X–型域:不例6.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则19例6.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型例7.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为20例7.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设例8.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,21例8.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,21例9:

计算解:先画D域由:将D域分为D1和D222例9:计算解:先画D域由:将D域分为D1和D222内容小结(1)直角坐标系下二重积分化为累次积分的方法:

若积分区域为则

若积分区域为则23内容小结(1)直角坐标系下二重积分化为若积分区域为则若积(2)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)利用对称性应用换元公式（两边夹，一线穿）24(2)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•作业P2221(2),(4);2(2),(4);3;5.

25作业P2221(2),(4);2(2解：原式备用题1.给定改变积分的次序.（P2232（3））26解：原式备用题1.给定改变积分的次序.（P2232（3例2.解27例2.解27寄语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利足也，而致千里；------旬子28寄语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利第21章第一节、二重积分概念

第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性重积分第21章本章内容：第二节、直角坐标系下二重积分的计算第四节、二重积分的变量替换第五节、三重积分第六节、重积分的应用第七节、第八节、第九节---N重积分；反常二重积分；变量替换公式证明-----略去29第21章第一节、二重积分概念第三节、格林公式-曲线积分与第2节一、矩形区域上二重积分的计算二、一般区域上二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算第21章30第2节一、矩形区域上二重积分的计算二、一般区域上二重积分的计一、矩形区域上二重积分的计算在定理1也存在,且上可积,且对每个存在,则累次积分证明:直线网T:先用平行于坐标轴的31一、矩形区域上二重积分的计算在定理1也存在,且上可积,且对每分割D成rs个小矩形:令下面证在可积,且积分值为二重积分.因为在上可积,故必有界(P215).由确界原理及定积分估计式得其中32分割D成rs个小矩形:令下面证在可积,且积分值为二重积分.因由积分区间的可加性其中由于二重积分存在,故由夹逼准则,33由积分区间的可加性其中由于二重积分存在,故由夹逼准则,6由于当因此由定积分定义,上式左边亦可写为即34由于当因此由定积分定义,上式左边亦可写为即7类似可证下面结论:在定理2也存在,且上可积,且对每个存在,则累次积分特别当在上连续时,则35类似可证下面结论:在定理2也存在,且上可积,且对每个存在,则例1.

计算其中D是单位正方形组成的闭区域.解法1.利用定理1,则解法2.利用定理2,

则36例1.计算其中D是单位正方形组成的闭区域.解法1.二、一般区域上二重积分的计算1.D为X–型区域(如图)2.D为Y–型区域(如图)平面区域D的两种简单类型:37二、一般区域上二重积分的计算1.D为X–型区域(如图)定理3在X–型区域D上连续,其中上连续,则先y后x积分次序在Y–型区域D上连续,其中上连续,则先x后y积分次序证明:略!P22038定理3在X–型区域D上连续,其中上连续,则先y后x积分次说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域(如图),则39说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,

则40例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:画域,易见先x后y积分较简便,及直线则41例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:画域,例3

计算其中D是由直线所围成。解：画域42例3计算其中D是由直线所围成。解：画域15注：本题计算中若先后积分;由于的原函数不能用初等函数来表示，故本题只能采用先后积分。43注：本题计算中若先后积分;由于的原函数不能用初等函数来表示，例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:不能先对x积分,44例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数例5计算解:

易知,因此取D为X–型域:不能先x后y积分,须交换积分次序45例5计算解:易知,因此取D为X–型域:不例6.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则46例6.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型例7.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为47例7.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设例8.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,48例8.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,21例9:

计算解:先画D域由:将D域分为D1和D249例9:计算解:先画D域由:将D域分为D1和D222内容小结(1)直角坐标系下二重积分化为累次积分的方法:

若积分区域为则

若积分区域为则50内容小结(1)直角坐标系下二重积分化为若积分区域为则若积(2)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一