高等代数线性变换分解课件

线性变换

第七章线性变换线性变换第七章线性变换1线性变换§1线性变换的定义§1线性变换的定义一、线性变换的定义定义1

设V与W是数域P上的线性空间，A

是V到W的一个映射，如果下列两个条件满足，则称A是V到W的一个线性映射：特别：当W

=

V时，A称为线性空间V的一个线性变换。(1)(2)线性变换§1线性变换的定义§1线性变换的定义一、线性变换2线性变换§1线性变换的定义例1

判断下列所定义的变换A

是否为线性变换。(1)在线性空间V中，A

x

=

x+a，a为V中一固定向量；(2)在线性空间V中，A

x

=

a，a为V中一固定向量；(3)在P

[x]中，A

f

(x)

=

f

(x+1)；(4)在P

[x]中，Af

(x)

=

f

(x0)，x0为P中一固定数；例2在P

3中，下面定义的变换A是否为线性变换。(1)(2)(3)(4)线性变换§1线性变换的定义例1判断下列所定义的变换A3线性变换§1线性变换的定义二、线性变换的性质性质1

设A

是V的线性变换，则性质2

线性变换保持线性组合与线性关系式不变。性质3

线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的

向量组。性变换。证明：例3

设是线性空间V的一组向量，A

是V的一个线线性变换§1线性变换的定义二、线性变换的性质性质1设A4线性变换§2线性变换的运算§2线性变换的运算一、线性变换的加法和数量乘法定义1设A，B∈L(V)，对A与B的和

A+B定义为：结论1

对∀A，B∈L(V)，有A+B∈L(V)。线性变换的加法满足以下运算规律：(1)

A

+(B+C)=(A+B)+C(2)A+B=B+A线性变换§2线性变换的运算§2线性变换的运算一、线性变换5线性变换§2线性变换的运算定义2

设A∈L(V)，k∈P，对k与A

的数量乘积

kA

定义为：结论2对∀A∈L(V)，k∈P

有kA∈L(V)。线性变换的数量乘法满足以下运算规律：(1)(kl)A=k(lA)(2)(k+l)A=kA+lA(3)k(A+B)=kA

+kB(4)1A=A结论3

设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。线性变换§2线性变换的运算定义2设A∈L(V)，k∈P6线性变换§2线性变换的运算定义3设A,B∈L(V)，对A与B的乘积

AB定义为：结论4对∀A,B∈L(V)，有AB∈L(V)。线性变换的乘法满足以下运算规律：(1)A(

B+C

)=AB+AC(2)(B

+C)A

=BA

+CA(3)A(BC)=(AB)C(4)k(

AB)=(kA

)B=A

(kB)注意：线性变换的乘积不满足交换律。例1在R

2中，设A(x,y)=(y,x)，B(x,y)=(0,x)，则A,B是R2中的线性变换，求A+B，AB，BA，3A-2B。二、线性变换乘法线性变换§2线性变换的运算定义3设A,B∈L(V)，7线性变换§2线性变换的运算三、可逆的线性变换定义4

设A∈L(V)，若存在B∈L(V)，使得AB=BA=E，则称A

是可逆的，且B是A

的逆变换，记为：B=A-1。结论5

若A∈L(V)，且A

是可逆的，则A-1唯一，且A-1∈L(V)。简单性质：(1)(A-1)-1=A

(2)(AB)-1=B-1A-1例3

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，V1与V2是V的子空例2

设是线性空间V的一组基，A

是V的一个线性变换，证明：A

可逆当且仅当线性无关。证明：A

可逆当且仅当间，且线性变换§2线性变换的运算三、可逆的线性变换定义4设A8线性变换§2线性变换的运算四、线性变换的多项式线性变换的幂设A∈L(V)，由于线性变换的乘法满足结合律，线性变换，记为:An。若A是可逆的，定义A-n

=

(A-1)n。对任意的A∈L(V)，定义A0=E。根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。注意：由于线性变换的乘法不满足交换律，故(AB)n

≠

AnBn。因此对任意取定的正整数n，n个A

的乘积AA…A是一个确定的线性变换§2线性变换的运算四、线性变换的多项式线性变换的幂9线性变换§2线性变换的运算定义5

设则对∀A∈L(V)，称为线性变换A

的多项式。结论6设f(x),g(x)∈P[x],A∈L(V),若h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x)，则h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)g(A)。特别地,f(A)g(A)=g(A)f(A)，即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。例4设A是n维线性空间V的一个线性变换,A3=2E,B=A2-2A+2E，证明：A，B都是可逆变换。线性变换§2线性变换的运算定义5设则对∀A∈L(V)10线性变换§3线性变换的矩阵§3线性变换的矩阵在这组基下的作用完全相同，即则有A=B。定理1

设是线性空间V的一组基,对V中任意n个向量存在唯一的线性变换A∈L(V)使得结论1

设是线性空间V的一组基,对任意一组向量一定存在一个线性变换

A∈L(V)使得结论2

设是线性空间V的一组基，若线性变换A与B任何元素都可以是基的像，只要选取适当的线性变换一个线性变换完全被它的一组基上的作用所决定线性变换§3线性变换的矩阵§3线性变换的矩阵在这组基下的11线性变换§3线性变换的矩阵V中的一个线性变换，则用矩阵表示为：其中矩阵定义1

设是数域P上n维线性空间V的一组基，A是称为线性变换A

在基下的矩阵。注意与过渡矩阵的异同线性变换§3线性变换的矩阵V中的一个线性变换，则用矩阵表示12线性变换§3线性变换的矩阵例1

在P3中，设线性变换A

为：例2

六个函数：的所有实系数线性组合构成实数域上的一个六维线性空间，例3

在P2×2中定义线性变换求其在基下的矩阵。求微分变换

D

在基下的矩阵。求线性变换A

在基下的矩阵。线性变换§3线性变换的矩阵例1在P3中，设线性变换A13线性变换§3线性变换的矩阵A,B∈L(V),且A,B在这组基下的矩阵分别为A和B，则在该(1)A+B

的矩阵是A+B；(2)AB

的矩阵是AB；(3)kA

的矩阵是kA；(4)若A

是可逆的，则矩阵A

也可逆，且A-1的矩阵是A-1。例5设V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P

n×n同构。例6设A1，A2是

n

维线性空间

V

的两个线性变换，证明：A2V⊂A1V

的充要条件是存在线性变换A使得

A2=A1A。定理2

设是数域

P

上

n

维线性空间

V

的一组基，组基下：A可逆的充要条件是它在一组基下的矩阵A可逆线性变换§3线性变换的矩阵A,B∈L(V),且A,14线性变换§3线性变换的矩阵定理3

设线性变换A

在基下的矩阵是

A，向量ξ在基下的坐标是，则Aξ在该组基下的坐标为：给定线性变换下，像与原像的坐标关系：像的坐标原像坐标线性变换的矩阵注意与坐标变换公式的区别线性变换§3线性变换的矩阵定理3设线性变换A在基下15线性变换§3线性变换的矩阵的过渡矩阵为X，于是定义2

设A，B为数域P上的两个n阶矩阵，如果可以找到数域P上的n阶可逆矩阵X使得B=X

-1AX，则称A相似于B，记为A~B。定理4设线性空间

V

中线性变换A在两组基和下的矩阵分别是A和B，从到线性变换在不同基下的矩阵之间的关系：B=X

-1AX。线性变换§3线性变换的矩阵的过渡矩阵为X，于是定义2设16线性变换§3线性变换的矩阵(1)反身性：A~A；矩阵相似的运算性质：(1)如果B1=X

-1A1X，B2=X-1A2X，则A1+A2~B1+B2，A1A2~B1B2。相似是同阶矩阵之间的一种关系，具有如下三个性质：(2)对称性：如果

A~B，则有

A~B；(3)传递性：如果

A~B，且B~C，则有

A~C；相似是同阶矩阵之间的等价关系(2)如果

A~B，且f(x)是数域P上的多项式，那么f(A)~f(B)。线性变换§3线性变换的矩阵(1)反身性：A~A17线性变换§3线性变换的矩阵由定理4知，线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，则它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵。定理5设B=X-1AX，若线性变换A在基下的矩阵为A，且则B为线性变换A在基下的矩阵。AAABB=X1AX.矩阵的相似性是由线性变换所决定的线性变换§3线性变换的矩阵由定理4知，线性变换在不同基下的18线性变换§3线性变换的矩阵例7设A为R2上的线性变换,A对基的矩阵是线性变换B

对基的矩阵是(1)求A+B

在基下的矩阵。(2)求AB

在基下的矩阵。(3)设ξ

=

(3,

3)，求Aξ在基下的坐标。(4)求Bξ在基下的坐标。线性变换§3线性变换的矩阵例7设A为R2上的线性变换,19线性变换§4特征值与特征向量§4特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义定义1

设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于注意：(1)属于同一特征值的特征向量不是唯一的；(2)属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征(3)特征值是由特征向量唯一确定的。数域P中的一数存在一个非零向量使得那么称为线性变换A的一个特征值，而称为A的属于特的一个特征向量。征值值的特征向量；线性变换§4特征值与特征向量§4特征值与特征向量一、特征20线性变换§4特征值与特征向量二、求特征值与特征向量的方法定义2

设A=(aij)n×n是数域P上的n阶矩阵，是一个文字，矩阵的行列式称为矩阵A的特征多项式，它是数域P上关于的一个n次多项式。线性变换§4特征值与特征向量二、求特征值与特征向量的方法定21线性变换§4特征值与特征向量步骤：这就是A在数域P中的所有特征值。的基础解系，这就是关于该特征值的几个线性无关的特征(1)在线性空间V中取定一组基写出A在这组基下的矩阵A；(2)求A

的特征多项式在数域P中的所有根，(3)把所求得的特征值逐个代入方程组求出相应下的坐标，其所有非零的线性组合就向量在基是所有属于该特征值的特征向量。线性变换§4特征值与特征向量步骤：这就是A在数域P中的所有22线性变换§4特征值与特征向量注意：矩阵A的特征多项式的根也称为矩阵A的特征值，而相应的齐的非零解称为矩阵A的属于该特征次线性方程组值的特征向量。线性变换§4特征值与特征向量注意：矩阵A的特征多项式的根也23线性变换§4特征值与特征向量求A

的特征值与特征向量。例2

在线性空间P[x]n中，定义线性变换求微商变换的特征值与特征向量。(3)若A2=E，证明：A的特征值为-1和1。例1

设线性变换A

在基下的矩阵是例3设

A

是n阶方阵，是

A

的特征值，证明：(1)对任意正整数k，是

Ak

的特征值。(2)若A可逆，则而且

A-1

的特征值为线性变换§4特征值与特征向量求A的特征值与特征向量。例24线性变换§4特征值与特征向量上式中的不等式是否严格成立？定义3

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，是A

的一个特征值，称为A

的关于特征值的特征子空间。例4

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，是A

的一个特征值，证明：的维数的重数特征值的代数重数特征值的几何重数线性变换§4特征值与特征向量上式中的不等式是否严格成立？定25线性变换§4特征值与特征向量三、特征多项式的性质设A=(aij)n×n是数域P上的n阶矩阵，其特征多项式可展开为：由根与系数的关系知：其中称为矩阵A的迹。线性变换§4特征值与特征向量三、特征多项式的性质设A=(a26线性变换§4特征值与特征向量例5

设n阶方阵A=(aij)n×n的特征多项式为：证明：系数bk为A的一切k阶主子式的和乘以(-1)k，即例6

求n阶方阵的特征值。线性变换§4特征值与特征向量例5设n阶方阵A=(aij)27线性变换§4特征值与特征向量定理1

相似的矩阵具有相同的特征多项式。注意：具有相同特征多项式的矩阵不一定相似。定理2(Hamilton-Caylay定理)

设A是数域P上的n阶矩阵，是矩阵A的特征多项式，则推论设A

是有限维线性空间V的线性变换，是A

的特征多项式，那么线性变换§4特征值与特征向量定理1相似的矩阵具有相同的特28线性变换§4特征值与特征向量例7设证明：当n

≥3时有An=An-2+A2-E，并求A100。例8设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：(1)在P[x]中有一个次数≤n2的多项式f

(x)，使得f

(A)

=

0；(2)若

f

(A)=0，g(A)=0，则d(A)=0，其中d(x)是f

(x)和g(x)(3)A可逆的充要条件是有一常数项不为零的多项式f

(x)使的最大公因式；得f

(A)=0；线性变换§4特征值与特征向量例7设证明：当n≥3时有A29线性变换§5对角矩阵§5对角矩阵一、线性变换可对角化的条件定义1

设A

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，如果V中存在一组基，使得它在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称该线性变换A

是可对角化的。定义1'设A是数域P的一个n阶矩阵，若A与数域P上的一个对角矩阵相似，即存在可逆矩阵T，使得T

-1AT

为对角矩阵，则称矩阵A在数域P上可对角化。线性变换§5对角矩阵§5对角矩阵一、线性变换可对角化的条30线性变换§5对角矩阵定理1

设A

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，则A可对角化的充要条件是A

有n个线性无关的特征向量。定理1'数域P上n阶矩阵A可对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。判断特征向量线性无关的一些充分条件。定理2

属于不同特征值的特征向量必定线性无关。推论1

n维线性空间V中的线性变换A

有n个不同的特征值，则

A

是可对角化的。推论2

在复数域C上的线性空间中，如果线性变换

A

的特征多项式没有重根，那么A

是可对角化的。线性变换§5对角矩阵定理1设A是数域P上n维线性空间31线性变换§5对角矩阵例1

判断复数域C上的矩阵可否对角化？线性变换§5对角矩阵例1判断复数域C上的矩阵可否对角化？32线性变换§5对角矩阵线性无关。定理4

设V是n维线性空间，线性变换A

的全部特征值为定理3

设V是n维线性空间，如果是线性变换A

的是属于特征值的特征向量，不同特征值，而i

=

1，2，…，s，则向量组于是A

可对角化的充要条件是

A

的特征子空间的维数之和等于线性空间V的维数n。线性变换§5对角矩阵线性无关。定理4设V是n维线性空间，33线性变换§5对角矩阵例2

设A是一个n阶下三角矩阵，证明：1)若A的对角元素各不相同，则A与一个对角矩阵相似。2)若A的对角元素均为a，而且至少有一个aij≠0(i>j)，则A不例3

设A是一个复数域上的n阶方阵，证明：1)存在n阶可逆矩阵Q，使得2)复数域上任意一个n阶方阵都相似于一个上三角矩阵。可对角化。线性变换§5对角矩阵例2设A是一个n阶下三角矩阵，证明：34线性变换§5对角矩阵二、矩阵对角化的方法n阶矩阵A对角化的方法步骤：1)求出A的全部特征值；4)将线性无关的解向量为列作成一个n阶矩阵Q，则Q

-1AQ为对角矩阵，其对角线上的元素就是相应的特征值。2)对每一个特征值求齐次线性方程组的基础解系；3)如果对每一个特征值相应齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数等于的重数，则A可对角化；线性变换§5对角矩阵二、矩阵对角化的方法n阶矩阵A对角化的35线性变换§5对角矩阵例4

设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，2是A的一个二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P

-1AP为对角矩阵。例5

设求

An(n为自然数)。线性变换§5对角矩阵例4设矩阵已知A有3个线性无关的特征36线性变换§6线性变换的值域与核§6线性变换的值域与核一、值域与核的概念定义1

设A

是数域P上线性空间V的一个线性变换，V中全体向量在A

下的全体像组成的集合称为A

的值域，记为AV

或V中所有被A

变成零向量的原像组成的集合称为A

的核，记为A-1(0)或Ker

A

，即AV

的维数称为A

的秩，A-1(0)的维数称为A

的零度。定理1

设AV

与A-1(0)都是V的子空间。

Im

A，即线性变换§6线性变换的值域与核§6线性变换的值域与核一、37线性变换§6线性变换的值域与核二、值域与核的性质的一组基，A

在这组基下的矩阵为A，则2)A的秩

=

A的秩定理3

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，则AV的一组基的原像与A-1(0)的一组基合起来就是V的一组基，由此有A

的秩+A

的零度=n注意：不一定有AV+A-1(0)=V推论：有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是定理2

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，是V1)它也是满射。线性变换§6线性变换的值域与核二、值域与核的性质的一组基，38线性变换§6线性变换的值域与核例1

证明：是线性空间V

=

P

n

的一个线性变换，而且An=0，求A的值例2

设A

是一个n阶矩阵，A2=A，证明A

相似于一个对角矩阵域和核的维数。幂等矩阵线性变换§6线性变换的值域与核例1证明：是线性空间V39线性变换§6线性变换的值域与核例3

设V1，V2是n维线性空间V的任意两个子空间，维数之和为n，证明：存在线性变换A，使得AV

=

V1，A-1(0)

=

V2。间，证明：存在唯一的幂等变换A使得AV

=

V1，A-1(0)

=

V2。例5

设A

是有限维线性空间V的线性变换，W是V的子空间，例6

设A

，B

是n维线性空间V的两个线性变换，证明：例4

设,其中V是n维线性空间,V1,V2为V的真子空证明：线性变换§6线性变换的值域与核例3设V1，V2是n维线性40线性变换§7不变子空间§7不变子空间一、不变子空间的概念定义1

设A

是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果W中的向量在A中的像仍在W

中，即则称W是A

的不变子空间，简称为A–子空间。例1线性空间V和零空间{0}是V上任意线性变换的不变子空间。平凡不变子空间例2线性变换A的值域AV和核A-1(0)都是A的不变子空间。例3

线性变换A

的特征子空间是A

的不变子空间。例4

任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。线性变换§7不变子空间§7不变子空间一、不变子空间的概念41线性变换§7不变子空间二、不变子空间的性质性质1

设A，B都是线性空间V的线性变换，若AB=BA，则ImB

和KerB

都是A

的不变子空间。性质2

设W1，W2

都是A

的不变子空间，则子空间W1+W2

和W1∩W2

也是A的不变子空间。例5设A是有限维线性空间V的可逆线性变换，设W是V中A

的不变子空间，则W也是线性变换A-1的不变子空间。线性变换§7不变子空间二、不变子空间的性质性质1设A，42线性变换§7不变子空间例6在

R4

中，线性变换A在基e1，e2，e3，e4下的矩阵为证明由向量e1+2e2和e2+e3+2e4生成的子空间是A

的不变子空间。线性变换§7不变子空间例6在R4中，线性变换A在43线性变换§7不变子空间三、不变子空间与矩阵的简化设A

是有限维线性空间V的线性变换，设W是V中A

的不变子空间，由于W中所有的向量在A下的像仍在W中，因此，我们可以只在W中考虑A

的作用，即把A

看作是W上的一个线性变换，这称为A

在不变子空间W上引起(诱导)的变换，或称为A

定理1

设A

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，W

是A

的一个非平凡不变子空间，则A在V的某组基下的矩阵是其中A1是A|W

在某组基下的矩阵。在W

上的限制，记作A|W。线性变换§7不变子空间三、不变子空间与矩阵的简化设A是44线性变换§7不变子空间例7

设V是数域P上的n维线性空间，A

是V上的线性变换，A

其中设(1)证明:V1是A

的不变子空间。(2)证明:V2是A

的不变子空间的条件是什么？下的矩阵是在基线性变换§7不变子空间例7设V是数域P上的n维线性空间，45线性变换§7不变子空间定理2

设A

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，如果A

有k个非平凡不变子空间W1，W2，…,Wk，则的充要条件是在V中存在一组基，使得A

在这组基下的矩阵为其中Ai(i=1,2,…,k)是A|Wi在Wi

的某组基下的矩阵。定理2表明矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的。线性变换§7不变子空间定理2设A是数域P上n维线性空46线性变换§7不变子空间则

V

可分解成不变子空间的直和其中定理3

设线性变换A

的特征多项式为它可分解为一次因式的乘积线性变换§7不变子空间则V可分解成不变子空间的直和其中47线性变换§8若当标准形介绍§8若当标准形介绍定义1

形式为的矩阵称为若当(Jordan)块，其中为复数，t

为该若当块的阶数。线性变换§8若当标准形介绍§8若当标准形介绍定义1形式48线性变换§8若当标准形介绍由多个若当块组成的准对角矩阵称为若当矩阵，其一般形式为其中这里的可以相等。线性变换§8若当标准形介绍由多个若当块组成的准对角矩阵称为49线性变换§8若当标准形介绍例如：都是若当块，也是若当矩阵。是由三个若当块组成的若当矩阵。线性变换§8若当标准形介绍例如：都是若当块，也是若当矩阵。50线性变换§8若当标准形介绍定理1

设A

是复数域C上n维线性空间V的一个线性变换，在V且这个若当形矩阵除去若当块的排列次序外，是由A

唯一确定的，因此这个矩阵称为A的若当标准形。用矩阵语言叙述为：定理2

每个n阶复矩阵A都与一个若当标准形相似，这个若当标这个矩阵称为矩阵A的若当标准形。中必存在一组基，使得A

在这组基下的矩阵是若当形矩阵，准形除去若当块的排列次序外，是由矩阵A唯一确定的，因此线性变换§8若当标准形介绍定理1设A是复数域C上n维51线性变换§9最小多项式§9最小多项式一、最小多项式的定义定义1设f

(x)∈P

[x]，A∈P

n×n，若f

(A)=0，则称f

(x)以A为根。最小多项式。注：矩阵A的最小多项式一定存在。例1

求数量矩阵kE的最小多项式。以A为根的多项式中次数最低且首项系数为1的多项式称为A的线性变换§9最小多项式§9最小多项式一、最小多项式的定义52线性变换§9最小多项式二、最小多项式的性质性质1

矩阵A的最小多项式是唯一的。性质2

设g(x)为矩阵A的最小多项式，则f(x)以A为根的充要条件是g(x)整除

f

(x)。推论:矩阵A的最小多项式必定是A的特征多项式的一个因式。例2

求矩阵的最小多项式。线性变换§9最小多项式二、最小多项式的性质性质1矩阵A的53线性变换§9最小多项式性质3

相似矩阵有相同的最小多项式。注意:具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。性质4

k

阶若当块的最小多项式为线性变换§9最小多项式性质3相似矩阵有相同的最小多项式。54线性变换§9最小多项式三、最小多项式与矩阵的对角化定理1

设矩阵A是一个准对角矩阵设A1，A2的最小多项式分别为g1(x)，g2(x)，则A的最小多项式为g1(x)，g2(x)的最小公倍式[g1(x)，g2(x)]。这个定理可以推广到一般的情形。线性变换§9最小多项式三、最小多项式与矩阵的对角化定理155线性变换§9最小多项式当且Ai的最小多项式为gi(x)，i=1，2，…，s，则A的最小多项式

为g(x)

=

[g1(x)，g2(x)，…，gs(x)]。特别地，若多项式gi(x)，i=1，2，…，s两两互素，则A的最小多项式为

g(x)=g1(x)g2(x)…gs(x)。线性变换§9最小多项式当且Ai的最小多项式为gi(x)，i56线性变换§9最小多项式定理2

数域P上n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的最推论复数域C上n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的最小多项式是数域

P

上互素的一次因式的乘积。小多项式没有重根。线性变换§9最小多项式定理2数域P上n阶矩阵A与对角矩阵57线性变换

第七章线性变换线性变换第七章线性变换58线性变换§1线性变换的定义§1线性变换的定义一、线性变换的定义定义1

设V与W是数域P上的线性空间，A

是V到W的一个映射，如果下列两个条件满足，则称A是V到W的一个线性映射：特别：当W

=

V时，A称为线性空间V的一个线性变换。(1)(2)线性变换§1线性变换的定义§1线性变换的定义一、线性变换59线性变换§1线性变换的定义例1

判断下列所定义的变换A

是否为线性变换。(1)在线性空间V中，A

x

=

x+a，a为V中一固定向量；(2)在线性空间V中，A

x

=

a，a为V中一固定向量；(3)在P

[x]中，A

f

(x)

=

f

(x+1)；(4)在P

[x]中，Af

(x)

=

f

(x0)，x0为P中一固定数；例2在P

3中，下面定义的变换A是否为线性变换。(1)(2)(3)(4)线性变换§1线性变换的定义例1判断下列所定义的变换A60线性变换§1线性变换的定义二、线性变换的性质性质1

设A

是V的线性变换，则性质2

线性变换保持线性组合与线性关系式不变。性质3

线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的

向量组。性变换。证明：例3

设是线性空间V的一组向量，A

是V的一个线线性变换§1线性变换的定义二、线性变换的性质性质1设A61线性变换§2线性变换的运算§2线性变换的运算一、线性变换的加法和数量乘法定义1设A，B∈L(V)，对A与B的和

A+B定义为：结论1

对∀A，B∈L(V)，有A+B∈L(V)。线性变换的加法满足以下运算规律：(1)

A

+(B+C)=(A+B)+C(2)A+B=B+A线性变换§2线性变换的运算§2线性变换的运算一、线性变换62线性变换§2线性变换的运算定义2

设A∈L(V)，k∈P，对k与A

的数量乘积

kA

定义为：结论2对∀A∈L(V)，k∈P

有kA∈L(V)。线性变换的数量乘法满足以下运算规律：(1)(kl)A=k(lA)(2)(k+l)A=kA+lA(3)k(A+B)=kA

+kB(4)1A=A结论3

设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。线性变换§2线性变换的运算定义2设A∈L(V)，k∈P63线性变换§2线性变换的运算定义3设A,B∈L(V)，对A与B的乘积

AB定义为：结论4对∀A,B∈L(V)，有AB∈L(V)。线性变换的乘法满足以下运算规律：(1)A(

B+C

)=AB+AC(2)(B

+C)A

=BA

+CA(3)A(BC)=(AB)C(4)k(

AB)=(kA

)B=A

(kB)注意：线性变换的乘积不满足交换律。例1在R

2中，设A(x,y)=(y,x)，B(x,y)=(0,x)，则A,B是R2中的线性变换，求A+B，AB，BA，3A-2B。二、线性变换乘法线性变换§2线性变换的运算定义3设A,B∈L(V)，64线性变换§2线性变换的运算三、可逆的线性变换定义4

设A∈L(V)，若存在B∈L(V)，使得AB=BA=E，则称A

是可逆的，且B是A

的逆变换，记为：B=A-1。结论5

若A∈L(V)，且A

是可逆的，则A-1唯一，且A-1∈L(V)。简单性质：(1)(A-1)-1=A

(2)(AB)-1=B-1A-1例3

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，V1与V2是V的子空例2

设是线性空间V的一组基，A

是V的一个线性变换，证明：A

可逆当且仅当线性无关。证明：A

可逆当且仅当间，且线性变换§2线性变换的运算三、可逆的线性变换定义4设A65线性变换§2线性变换的运算四、线性变换的多项式线性变换的幂设A∈L(V)，由于线性变换的乘法满足结合律，线性变换，记为:An。若A是可逆的，定义A-n

=

(A-1)n。对任意的A∈L(V)，定义A0=E。根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。注意：由于线性变换的乘法不满足交换律，故(AB)n

≠

AnBn。因此对任意取定的正整数n，n个A

的乘积AA…A是一个确定的线性变换§2线性变换的运算四、线性变换的多项式线性变换的幂66线性变换§2线性变换的运算定义5

设则对∀A∈L(V)，称为线性变换A

的多项式。结论6设f(x),g(x)∈P[x],A∈L(V),若h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x)，则h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)g(A)。特别地,f(A)g(A)=g(A)f(A)，即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。例4设A是n维线性空间V的一个线性变换,A3=2E,B=A2-2A+2E，证明：A，B都是可逆变换。线性变换§2线性变换的运算定义5设则对∀A∈L(V)67线性变换§3线性变换的矩阵§3线性变换的矩阵在这组基下的作用完全相同，即则有A=B。定理1

设是线性空间V的一组基,对V中任意n个向量存在唯一的线性变换A∈L(V)使得结论1

设是线性空间V的一组基,对任意一组向量一定存在一个线性变换

A∈L(V)使得结论2

设是线性空间V的一组基，若线性变换A与B任何元素都可以是基的像，只要选取适当的线性变换一个线性变换完全被它的一组基上的作用所决定线性变换§3线性变换的矩阵§3线性变换的矩阵在这组基下的68线性变换§3线性变换的矩阵V中的一个线性变换，则用矩阵表示为：其中矩阵定义1

设是数域P上n维线性空间V的一组基，A是称为线性变换A

在基下的矩阵。注意与过渡矩阵的异同线性变换§3线性变换的矩阵V中的一个线性变换，则用矩阵表示69线性变换§3线性变换的矩阵例1

在P3中，设线性变换A

为：例2

六个函数：的所有实系数线性组合构成实数域上的一个六维线性空间，例3

在P2×2中定义线性变换求其在基下的矩阵。求微分变换

D

在基下的矩阵。求线性变换A

在基下的矩阵。线性变换§3线性变换的矩阵例1在P3中，设线性变换A70线性变换§3线性变换的矩阵A,B∈L(V),且A,B在这组基下的矩阵分别为A和B，则在该(1)A+B

的矩阵是A+B；(2)AB

的矩阵是AB；(3)kA

的矩阵是kA；(4)若A

是可逆的，则矩阵A

也可逆，且A-1的矩阵是A-1。例5设V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P

n×n同构。例6设A1，A2是

n

维线性空间

V

的两个线性变换，证明：A2V⊂A1V

的充要条件是存在线性变换A使得

A2=A1A。定理2

设是数域

P

上

n

维线性空间

V

的一组基，组基下：A可逆的充要条件是它在一组基下的矩阵A可逆线性变换§3线性变换的矩阵A,B∈L(V),且A,71线性变换§3线性变换的矩阵定理3

设线性变换A

在基下的矩阵是

A，向量ξ在基下的坐标是，则Aξ在该组基下的坐标为：给定线性变换下，像与原像的坐标关系：像的坐标原像坐标线性变换的矩阵注意与坐标变换公式的区别线性变换§3线性变换的矩阵定理3设线性变换A在基下72线性变换§3线性变换的矩阵的过渡矩阵为X，于是定义2

设A，B为数域P上的两个n阶矩阵，如果可以找到数域P上的n阶可逆矩阵X使得B=X

-1AX，则称A相似于B，记为A~B。定理4设线性空间

V

中线性变换A在两组基和下的矩阵分别是A和B，从到线性变换在不同基下的矩阵之间的关系：B=X

-1AX。线性变换§3线性变换的矩阵的过渡矩阵为X，于是定义2设73线性变换§3线性变换的矩阵(1)反身性：A~A；矩阵相似的运算性质：(1)如果B1=X

-1A1X，B2=X-1A2X，则A1+A2~B1+B2，A1A2~B1B2。相似是同阶矩阵之间的一种关系，具有如下三个性质：(2)对称性：如果

A~B，则有

A~B；(3)传递性：如果

A~B，且B~C，则有

A~C；相似是同阶矩阵之间的等价关系(2)如果

A~B，且f(x)是数域P上的多项式，那么f(A)~f(B)。线性变换§3线性变换的矩阵(1)反身性：A~A74线性变换§3线性变换的矩阵由定理4知，线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，则它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵。定理5设B=X-1AX，若线性变换A在基下的矩阵为A，且则B为线性变换A在基下的矩阵。AAABB=X1AX.矩阵的相似性是由线性变换所决定的线性变换§3线性变换的矩阵由定理4知，线性变换在不同基下的75线性变换§3线性变换的矩阵例7设A为R2上的线性变换,A对基的矩阵是线性变换B

对基的矩阵是(1)求A+B

在基下的矩阵。(2)求AB

在基下的矩阵。(3)设ξ

=

(3,

3)，求Aξ在基下的坐标。(4)求Bξ在基下的坐标。线性变换§3线性变换的矩阵例7设A为R2上的线性变换,76线性变换§4特征值与特征向量§4特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义定义1

设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于注意：(1)属于同一特征值的特征向量不是唯一的；(2)属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征(3)特征值是由特征向量唯一确定的。数域P中的一数存在一个非零向量使得那么称为线性变换A的一个特征值，而称为A的属于特的一个特征向量。征值值的特征向量；线性变换§4特征值与特征向量§4特征值与特征向量一、特征77线性变换§4特征值与特征向量二、求特征值与特征向量的方法定义2

设A=(aij)n×n是数域P上的n阶矩阵，是一个文字，矩阵的行列式称为矩阵A的特征多项式，它是数域P上关于的一个n次多项式。线性变换§4特征值与特征向量二、求特征值与特征向量的方法定78线性变换§4特征值与特征向量步骤：这就是A在数域P中的所有特征值。的基础解系，这就是关于该特征值的几个线性无关的特征(1)在线性空间V中取定一组基写出A在这组基下的矩阵A；(2)求A

的特征多项式在数域P中的所有根，(3)把所求得的特征值逐个代入方程组求出相应下的坐标，其所有非零的线性组合就向量在基是所有属于该特征值的特征向量。线性变换§4特征值与特征向量步骤：这就是A在数域P中的所有79线性变换§4特征值与特征向量注意：矩阵A的特征多项式的根也称为矩阵A的特征值，而相应的齐的非零解称为矩阵A的属于该特征次线性方程组值的特征向量。线性变换§4特征值与特征向量注意：矩阵A的特征多项式的根也80线性变换§4特征值与特征向量求A

的特征值与特征向量。例2

在线性空间P[x]n中，定义线性变换求微商变换的特征值与特征向量。(3)若A2=E，证明：A的特征值为-1和1。例1

设线性变换A

在基下的矩阵是例3设

A

是n阶方阵，是

A

的特征值，证明：(1)对任意正整数k，是

Ak

的特征值。(2)若A可逆，则而且

A-1

的特征值为线性变换§4特征值与特征向量求A的特征值与特征向量。例81线性变换§4特征值与特征向量上式中的不等式是否严格成立？定义3

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，是A

的一个特征值，称为A

的关于特征值的特征子空间。例4

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，是A

的一个特征值，证明：的维数的重数特征值的代数重数特征值的几何重数线性变换§4特征值与特征向量上式中的不等式是否严格成立？定82线性变换§4特征值与特征向量三、特征多项式的性质设A=(aij)n×n是数域P上的n阶矩阵，其特征多项式可展开为：由根与系数的关系知：其中称为矩阵A的迹。线性变换§4特征值与特征向量三、特征多项式的性质设A=(a83线性变换§4特征值与特征向量例5

设n阶方阵A=(aij)n×n的特征多项式为：证明：系数bk为A的一切k阶主子式的和乘以(-1)k，即例6

求n阶方阵的特征值。线性变换§4特征值与特征向量例5设n阶方阵A=(aij)84线性变换§4特征值与特征向量定理1

相似的矩阵具有相同的特征多项式。注意：具有相同特征多项式的矩阵不一定相似。定理2(Hamilton-Caylay定理)

设A是数域P上的n阶矩阵，是矩阵A的特征多项式，则推论设A

是有限维线性空间V的线性变换，是A

的特征多项式，那么线性变换§4特征值与特征向量定理1相似的矩阵具有相同的特85线性变换§4特征值与特征向量例7设证明：当n

≥3时有An=An-2+A2-E，并求A100。例8设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：(1)在P[x]中有一个次数≤n2的多项式f

(x)，使得f

(A)

=

0；(2)若

f

(A)=0，g(A)=0，则d(A)=0，其中d(x)是f

(x)和g(x)(3)A可逆的充要条件是有一常数项不为零的多项式f

(x)使的最大公因式；得f

(A)=0；线性变换§4特征值与特征向量例7设证明：当n≥3时有A86线性变换§5对角矩阵§5对角矩阵一、线性变换可对角化的条件定义1

设A

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，如果V中存在一组基，使得它在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称该线性变换A

是可对角化的。定义1'设A是数域P的一个n阶矩阵，若A与数域P上的一个对角矩阵相似，即存在可逆矩阵T，使得T

-1AT

为对角矩阵，则称矩阵A在数域P上可对角化。线性变换§5对角矩阵§5对角矩阵一、线性变换可对角化的条87线性变换§5对角矩阵定理1

设A

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，则A可对角化的充要条件是A

有n个线性无关的特征向量。定理1'数域P上n阶矩阵A可对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。判断特征向量线性无关的一些充分条件。定理2

属于不同特征值的特征向量必定线性无关。推论1

n维线性空间V中的线性变换A

有n个不同的特征值，则

A

是可对角化的。推论2

在复数域C上的线性空间中，如果线性变换

A

的特征多项式没有重根，那么A

是可对角化的。线性变换§5对角矩阵定理1设A是数域P上n维线性空间88线性变换§5对角矩阵例1

判断复数域C上的矩阵可否对角化？线性变换§5对角矩阵例1判断复数域C上的矩阵可否对角化？89线性变换§5对角矩阵线性无关。定理4

设V是n维线性空间，线性变换A

的全部特征值为定理3

设V是n维线性空间，如果是线性变换A

的是属于特征值的特征向量，不同特征值，而i

=

1，2，…，s，则向量组于是A

可对角化的充要条件是

A

的特征子空间的维数之和等于线性空间V的维数n。线性变换§5对角矩阵线性无关。定理4设V是n维线性空间，90线性变换§5对角矩阵例2

设A是一个n阶下三角矩阵，证明：1)若A的对角元素各不相同，则A与一个对角矩阵相似。2)若A的对角元素均为a，而且至少有一个aij≠0(i>j)，则A不例3

设A是一个复数域上的n阶方阵，证明：1)存在n阶可逆矩阵Q，使得2)复数域上任意一个n阶方阵都相似于一个上三角矩阵。可对角化。线性变换§5对角矩阵例2设A是一个n阶下三角矩阵，证明：91线性变换§5对角矩阵二、矩阵对角化的方法n阶矩阵A对角化的方法步骤：1)求出A的全部特征值；4)将线性无关的解向量为列作成一个n阶矩阵Q，则Q

-1AQ为对角矩阵，其对角线上的元素就是相应的特征值。2)对每一个特征值求齐次线性方程组的基础解系；3)如果对每一个特征值相应齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数等于的重数，则A可对角化；线性变换§5对角矩阵二、矩阵对角化的方法n阶矩阵A对角化的92线性变换§5对角矩阵例4

设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，2是A的一个二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P

-1AP为对角矩阵。例5

设求

An(n为自然数)。线性变换§5对角矩阵例4设矩阵已知A有3个线性无关的特征93线性变换§6线性变换的值域与核§6线性变换的值域与核一、值域与核的概念定义1

设A

是数域P上线性空间V的一个线性变换，V中全体向量在A

下的全体像组成的集合称为A

的值域，记为AV

或V中所有被A

变成零向量的原像组成的集合称为A

的核，记为A-1(0)或Ker

A

，即AV

的维数称为A

的秩，A-1(0)的维数称为A

的零度。定理1

设AV

与A-1(0)都是V的子空间。

Im

A，即线性变换§6线性变换的值域与核§6线性变换的值域与核一、94线性变换§6线性变换的值域与核二、值域与核的性质的一组基，A

在这组基下的矩阵为A，则2)A的秩

=

A的秩定理3

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，则AV的一组基的原像与A-1(0)的一组基合起来就是V的一组基，由此有A

的秩+A

的零度=n注意：不一定有AV+A-1(0)=V推论：有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是定理2

设A

是n维线性空间V的一个线性变换，是V1)它也是满射。线性变换§6线性变换的值域与核二、值域与核的性质的一组基，95线性变换§6线性变换的值域与核例1

证明：是线性空间V

=

P

n

的一个线性变换，而且An=0，求A的值例2

设A

是一个n阶矩阵，A2=A，证明A

相似于一个对角矩阵域和核的维数。幂等矩阵线性变换§6线性变换的值域与核例1证明：是线性空间V96线性变换§6线性变换的值域与核例3

设V1，V2是n维线性空间V的任意两个子空间，维数之和为n，证明：存在线性变换A，使得AV

=

V1，A-1(0)

=

V2。间，证明：存在唯一的幂等变换A使得AV

=

V1，A-1(0)

=

V2。例5

设A

是有限维线性空间V的线性变换，W是V的子空间，例6

设A

，B

是n维线性空间V的两个线性变换，证明：例4

设,其中V是n维线性空间,V1,V2为V的真子空证明：线性变换§6线性变换的值域与核例3设V1，V2是n维线性97线性变换§7不变子空间§7不变子空间一、不变子空间的概念定义1

设A

是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果W中的向量在A中的像仍在W

中，即则称W是A

的不变子空间，简称为A–子空间。例1线性空间V和零空间{0}是V上任意线性变换的不变子空间。平凡不变子空间例2线性变换A的值域AV和核A-1(0)都是A的不变子空间。例3

线性变换A

的特征子空间是A

的不变子空间。例4

任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。线性变换§7不变子空间§7不变子空间一、不变子空间的概念98线性变换§7不变子空间二、不变子空间的性质性质1

设A，B都是线性空间V的线性变换，若AB=BA，则ImB

和KerB

都是A

的不变子空间。性质2

设W1，W2

都是A

的不变子空间，则子空间W1+W2

和W1∩W2

也是A的不变子空间。例5设A是有限维线性空间V的可逆线性变换，设W是V中A

的不变子空间，则W也是线性变换A-1的不变子空间。线性变换§7不变子空间二、不变子空间的性质性质1设A，99线性变换§7不变子空间例6在

R4

中，线性变换A在基e1，e2，e3，e4下的矩阵为证明由向量e1+2e2和e2+e3