电动力学复习总结第三章稳恒磁场2012答案解读

第三章稳恒磁场、填空题1、已知半径为“圆柱形空间的磁矢势‘ 1、已知半径为“圆柱形空间的磁矢势‘ Z（柱坐标,该区域的磁感应强度为（）.答案：2、稳恒磁场的能量可用矢势表示为（）•答案：-3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（）.在经典物理中甲A-dl矢势的环流一 表示（）•答案：或求解区是无电流的单连通区域4、无界空间充满均匀介质，该区域分布有电流，密度为,空间矢势-!的解析表达式（）•-!的解析表达式（）•5、磁偶极子的矢势等于（）；标势.等于（）•他屈兴用 他屈兴用 mRA= _串=—一;答案：4 4.-；■6、在量子物理中，矢势」具有更加明确的地位，其中是能够完全恰当地描述磁场物理量的（）.答案：相因子，7、磁偶极子在外磁场中受的力为（），受的力矩（）.8、电流体系'「的磁矩等于（）•答案：J'9、无界空间充满磁导率为^均匀介质，该区域分布有电流，密度为"'■:,空间矢势!的解析表达式（）!的解析表达式（）•二、选择题1、 线性介质中磁场的能量密度为A.B.C.“hD.J，答案：A2、稳恒磁场的泊松方程'° "成立的条件是A.介质分区均匀B•任意介质C•各向同性线性介质D•介质分区均匀且答案：DD.D.3、 引入磁场的矢势的依据是A.i口：；；B.\门■■;C.\ ” ■■ ;D.\廿：：答案：D4、电流」处于电流」产生的外磁场中，外磁场的矢势为'，则它们的相互作用能为[Ac-Jdv Ac-Jdv .-Jcdv [A-Jdv答案：A5、对于一个稳恒磁场二，矢势有多种选择性是因为A.!的旋度的散度始终为零;B.在定义•1时只确定了其旋度而没有定义散度;C.•!的散度始终为零；答案：B6、磁偶极子的矢势-I和标势分别等于A=R.―处冬;恥斤肌冠斤A. 斗护声厂■心尺b4；护，s丄収厂-卅或币乂丘 帀斤 A=^-心=少只_C. 厂用'卩_滋丈D.斗齐尺厂 4叭用答案：C7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布B.该区域是没有自由电流分布的单连通区域C.该区域每一点满足D.该区域每一点满足'人；答案：B三、问答题1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？答：稳恒电流请况下，因稳恒电流是闭合的，则有'"，由电荷守恒定律：，知：，即：「 宀：'守恒定律：，知：，即：「 宀：'所以导电介质中电荷的分布不随时间改变，为一守恒量，至于厂处p值幷7-dS=0 <r聊E-dS=0大小由介质形状、大小等决定。若是均匀导电介质，由‘‘ 得，"根据高斯定理,导体内处处无净余电荷分布,电荷分布于表面及不均匀处.2、 判定下述说法的正确性，并说明理由：（1） 不同的矢势，描述不同的磁场；（2） 不同的矢势，可以描述同一磁场；（3） •打二的区域，“也为零。答：（1）（3）不正确，（2）的说法是正确的，理由如下：因为任意函数申的梯度的旋度恒为零，贝y：'「，‘'-■ 说明：不同的矢势，可以描述同一磁场。B=0的区域，若“可以表为某一函数的梯度，即■ T 十A…，则亦满足――A=Q，所以矢势可以不为零。

3、 在空间充满介质与无介质两种情况下，若电流分布相同，它们的磁场强度是否相同？答：对于各向同性的均匀非铁磁介质，有：八*“答：对于各向同性的均匀非铁磁介质，有：八*“即又牯巴严二占八乂二鬥岁姑所以。即：若电流分布相同，它们的磁场强度也相同。但若所以。即：若电流分布相同，它们的磁场强度也相同。但若不满足以上条件，即非均匀介质或非静磁场，即则门一般不同。4、由—RH，4、由—RH，有人认为静磁场的能量密度是- ，-AJ有人认为是- ，你怎么认为，为什么？丄4方 丄入了答:能量密度是" 而不是" ，因为-AJ有人认为是- ，你怎么认为，为什么？丄4方 丄入了答:能量密度是" 而不是" ，因为仅对电流分布区域积分,磁场能量是分布于整个磁场中，而不是仅在电流分布区域内。5、 试比较静电场和静磁场。答:静电场和静磁场的比较静电场：无旋场\ I■静磁场：无源场微分方程’■-微分方程微分方程’■-微分方程■ 1边值关系：■ ■, ■ '■能量能量6、描述磁场B的、满足'1"的矢势，是什么性质的矢量场？它是否是唯一的？理由是什么？答：依题意有：X答：依题意有：X?1=Z?J4=0知“为一个有旋无源的场，既为横场，但不是唯一的，还需“在边界上的法向分量。7、我们知道，在J=0的区域，磁场强度满足■-- “，如果我们把它表示成"，此方程仍能成立。试述这样引入.所存在的问题。答：若对静磁场，时,' ::答：若对静磁场，时,' ::，在此引入门■--只考虑了」「即没有自由电流分布，但只有在没有自由电流分布的单连通区域内"的环量才为零,<pHdf=0只有对任意回路，都有时「•门"一定成立,才可以引入磁标势。

8、 磁标势微分方程是否说明存在真正的磁荷?答:磁标势微分方程^2屮=-pm20。不是，这是一种假设,把电流圈看成磁偶极子，它即磁场是由磁偶极子产生的。而磁偶极子可看成极性不同的两个“磁荷”形成，因而“磁荷”是磁偶极子的等效的假设。9、 对于直长导线的磁场，在什么样的区域可以引入磁标势？答：可以在除去以直长导线为边线的半平面以外的区域引入磁标势。10、 试用磁荷观点与分子电流观点求一个磁化矢量为川「的永磁体在空间激发的磁场，并证明所得结果是一致的。答：①依磁荷观点：整个空间中■■■■'■'■ 1'■'■“ 1由、门"引入•，即门可表为‘‘-"二养一叫可％十黑而，其中可心亦=o ⑴②依分子电流观点：广 ，而依照题意有:—=.W-V广 ，而依照题意有:—=.W-V如比较⑴⑵知，所得结果是一致的。11、试说明：分布于有限区域的电流系，在时，其矢势感应强度感应强度解：因有限区域的电流系可以分成许多闭合流管，撵…•时，其失势场主要由闭合流管的磁偶极势和场决定即：气tn^：R=即：气tn^：R=4”炉12、 我们知道，对于闭合电流圈，在场点离其很远的情况下，其矢势和场由其磁偶极势和场所决定。因此，在上述条件下，人们常说小闭合电流圈与一磁偶极子等效。试问，当场点离电流圈不是很远时，闭合电流能否与某种分布的磁偶极子等效？dm=idSI在介质中''门" |；: <■■■:: k，所以，介质界面上的磁化电流密度为：仪=Afm /如一I妞*6=（人2卅）（戸「气-1此JMJ/-J（和2府厂启吧「_儿卅址_1）总的感应电流： ^ ^ ，电流在z<0区域内，沿z轴流向介质分界面。4、设x<0半空间充满磁导率为的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电漩沿Z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。

解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作它满足边界条件：八界‘八':及■'■■■1 !- 「。由此可得介质中：H2=8/解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作它满足边界条件：八界‘八':及■'■■■1 !- 「。由此可得介质中：H2=8/fi=3"如g由■■■■ ；，：-得：在x<0的介质中If所以则：町:曲+0广即=农一吋再由 可得川八:;1::',b=牛抄M3_从」府，打=（卫+附）（沿z轴）5、某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知

，其中•'为常量。试求该处的'。提示：用—并验证所得结果满足八—。解：由于〃具有对称性，设— 「，其中打■■-…--〉；',，即：卩比、-czp'--〉；',，即：卩比、-czp'+常数）。当时，"为有限，所以…;1）B-czpep+［场-c(/-p1⑵］1）因为丿=0,D=0，所以・B=0,即它B“辰-6叩即、轨=0直接验证可知，（）式能使（2）式成立，所以卩=呦,（c为常数6、两个半径为a的同轴圆形线圈，位予二十匸面上。每个线圈上载有同方向的电漩。（1）求轴线上的磁感应强度。（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的和a的关系。提示：用条件八1解：1）由毕一萨定律，L处线圈在轴线上z处产生的磁感应强度为同理，-L处线圈在轴线上z处产生的磁感应强度为:所以，轴线上的磁感应强度：8-1)同理，-L处线圈在轴线上z处产生的磁感应强度为:所以，轴线上的磁感应强度：8-1)2）因为■■-- ::，所以'| |厲■-* |：；又因为'宀；'，所以1o代入（1）式并化简得：5（L-zf[（L-z}2十a']?/I-|（£-z}1十a:|'5/2十5（£■十亦|"十z）1十a']72-[（£■<忑}"q/「'=0将z=0带入上式得：：、1' ； •'， -7、半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程。设导体的磁导率为，导体外的磁导率为。解：矢势所满足的方程为：*认卜=0n自然边界条件：；，时，有限。

边值关系：' '边值关系：' '；选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与z无关。令代入微分方程得：；■■■.■，■‘9解得：；■■(解得：；■■(9由自然边界条件得，一可X血「._■=州Ir-jC=-—7J-由， ■- 得：' 并令其为零，得:C.-' 并令其为零，得:C.-— -In解：解：8、假设存在磁单极子，其磁荷为,它的磁场强度为八"’。给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。可KA=D=/f,il=2^J由 得:(1令(2(1令(2显然'满足（1式，所以磁单极子产生的矢势讨论：当 时，-V";当§T兀门时，貝T巳Qm心丹；时，当"r"时，，故的表达式在具有奇异性，此时不合理。时，m。9、m。解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H0的方向为。，此球体被外加磁场磁化后，产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。本题所满足的微分方程为：二0・（/?<1'：|1A，■1；1（1）自然边界条件：衔接条件：在R"处满足“r及由自然边界条件可确定方程组（1）的解为卩就=-地尺怒—工吒尺曲比伽汀）w-fl由两个衔接条件，有：■K -XI£片疋耳（cos0}=-H^Rcos^+£比尺心川代広％■K -XI£片疋耳（cos0}=-H^Rcos^+£比尺心川代広％9）rr-0 肌CJ比较■■'■:--"的系数，解得:99即.％=-切冏，恥03白心十切』，（恥毘）m吕在RvRO区域内，■■■' ■■■' ；:■- ■-|；/ ::' 「10、有一个内外半径为*和'的空心球，位于均匀外磁场内,球的磁导率为，求空腔内的场.'：，讨论：’ ：’时的磁屏蔽作用。解：根据题意，以球心为原点，取球坐标，选取H0的方向为乞，在外场H0的作用下，空心球被磁化，产生一个附加磁场，并与原场相互作用，最后达到平衡，B的分布呈现轴对称。磁标势的微分方程为：\ I'川&'. \ 'X■■■- 「用应：9 9自然边界条件：胡却自然边界条件：胡却为有限；軒屈衔接条件：%5=月加机心尺由轴对称性及两个自然边界条件，可写出三个泛定方程的解的形式为：r?-0%二工叫尺匕（啦① ％二乞［&疋+订曲］耳（血即r?-090*的二-凤忧cos9+2£0呦氏(COfig)jt-0因为泛定方程的解是把产生磁场的源H0做频谱分解而得出的，分解所选取的基本函数系是其本征函数系J'""•:。在本题中源的表示是：-Rcofi丹=-叽碍(cosi9)所以上面的解中'，"，：1；解的形式简化为：-''27；卩El=（勺用十°|克-）亡OS百爭亦=一H口 卩十£ -COA0

代入衔接条件得:八:-；?C,戈鸟十右巴'=-巴足十哲Rj如％〜心-绍和），戸国-恥瞭”-也凤-2旳听忆解方程组得：解方程组得：“2（fj-/!（!）■尺-（2/J+比J（為5+狀）尺;，'2（fi'2（fi-心尸R；-（2/i+卢J（2心+p）/?；,从而，空间各点磁标势均可确定。空腔内：绚=心八=一曲％=哲*刖「一叭sin8et>=一心心当心仇时，论，所以终"。即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。11、设理想铁磁体的磁化规律为'' ：■■'' '■''■,，，其中是恒定的与：'无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（为常值）浸入磁导率为的无限介质中，求磁感应强度和磁化电流分布。解：根据题意，取球心为原点，建立球坐标系，以M0的方向为•’，本题具有轴对称的磁场分布，磁标势的微分方程为：自然边界条件：9自然边界条件：9由轴对称性及两个自然边界条件，可写出拉普拉斯方程通解的形式为：%二Z心尺乜品⑴%二Z心尺乜品⑴％=Z休尺9ja-Off-0代入衔接条件，比较各项的系数，得:兀=此=0（打HI丨.和=Nil /（ 讯）；h_=拦何*R：«2//十月）7 ， ，■■-5=如岖耘储白/门屮十戸），〔恥禺）卩曲=叫叫尺曲*幷龙沙小炉,（尺>尺」由此归」由此归」=.如丿人+ =却r片陆/（2“»）心，（其中弋-1）将B的表达式代入，得:12、12、将上题的永磁球置入均匀外磁场"中，结果如何?解：根据题意假设均匀外场‘‘的方向与M0的方向相同，定为坐标z轴方向。磁标势的微分方程为：自然边界条件：冊II为有限;9

自然边界条件：冊II为有限;9解得满足自然边界条件的解是：卩mi=%Rg&& (<殆=-Z7bZ?cosi9+J,/¥1cos0 (R>J?b)代入衔接条件，得：八'八：-'■■乩％十“同十Ml=解得：£=［如忧十（戸-S）Q|］尺;2十巾訂-■■%=0(]陆-3旳码)j?ws3心+2叭)(R<尺J卩曲=-叫尺曲日1■［如A/厂（P-如）叽闵01»鮎［3十2如）宜訂，（尺a此）占I=-vJ=-如(Mq- 十2心呂=津码十气见=3冲乜比心十2牛）十2血呵.2十2牛），［R<H、=-可甲g=叽十3{rn -m/R"其中讯其中讯=［叫忆|十汕- 心+认）乩=片H、=/j(i[H*十3(tnR\R• -tn/ ] {^>R*)13、有一个均匀带电的薄导体壳其半径为，总电荷为L,今使球壳绕自身某一直径以角速度宀转动，求球内外的磁场人：。提示：本题通过解或.的方程都可以解决，也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。解：根据题意，取球体自转轴为z轴，建立球坐标系。磁标势的微分方程为：'■‘ 111K用：；■■■■'.:■■■ 111R9自然边界条件：

衔接条件：R・f衔接条件：R・f其中■ ■;":'11■■ ■;＜是球壳表面自由面电流密度。解得满足自然边