数学思想和数学方法之割补法第2课

中学数学解题思想方法--割补法（2）1内容概述在求不规则的几何体的体积时，有些题目采用“补形法”比较容易；有些题目采用“分割法”更为恰当；还有些题目既能采用“补形法”解决，也能采用“分割法”解决；还有些题目既要采用“补形法”，同时采用“分割法”才易解决.本讲将重点讲解割补法的灵活应用以及专题总结.2例题示范例1如图1-1,A'A丄底面ABC,AA7/BB7/CC，且AB二3,BC二4,AC二5,AA二6,BB'二2,CC'二4，求几何体ABC-ABfCC的体积.图1-1V新=2VV新=2V原.因为AA丄底面ABC,⑷函心，所以新几何体ABC-def为直三棱柱’且图1-2因为AA'=6,BB'=2,CC'=4，所以新几何体底面ABC的高AD—8.图1-2AB—3,BC—4,AC—5,AB2+BC2—AC2,••/.ZABC—90。••.V=S-AD—1AB-BC-AD—48新AABC2所以原几何体的体积为24.

解：（法二）在AA'上取一点D使AD=BB'=2，在CC'上取一点E使CE=BBf=2,图1-3连结DB',B'E,DE平面如图1-3所示,图1-3AA7/BB7/CC',人仏丄底面ABCABC—DBfE为直三棱柱IAB=3，BC=4，AC=5，AB2+BC2=AC2，••/.ZABC=90。•••V=S-AD=1AB-BC-AD=12,ABC—DB'EAABC2图1-4过点B'作BfF丄DE于F，如图1-4所示,图1-4AA丄底面ABC,••AAA丄底面DBfE:.A'A丄BfFAAcDE=D.B'F丄平面DEC'A'•••所以四棱锥B'—DEC'A'的体积为V=1S-BF=1丄(A'D+C'E)-DE-BF=12B—DECA3DECA32所以几何体ABC-A'B'C'的体积为VB'—DEC'A+VABC—DB厂24评析：本题所给几何体不是一个规则的几何体，可以看成一个直三棱柱被一个平面所截而成的.根据题目特点我们既可以选择“补形法”补成直三棱柱，如图1-2所示，计算出直三棱柱的体积，再利用直三棱柱和已知几何体的关系求解；也可以采用“分割法”，把所给几何体分割成直三棱柱和四棱锥，如图1-3所示来解决.本题解法一采取的解题方法为补形法，解法二所采取的解题方法为分割法.两种方法都比较自然，由于题目所给条件，本题采用解法一较为简捷.例2如图2-1，A'A丄平面ABC，AA7/BB7/CC7/DD'，四边形ABCD为正方形，且AB=AA'=CC'=2，BB'=1，DD'=3,图2-1

解：在DD上截取DE=AA'=CC，延长BBf至F，使BBf=CC.A'A丄平面ABC,AA7/BB7/CC7/DD',四边形ABCD为正方形,且AB=AA=CC'=2,.•丁ABCD-A'ECF正方体.S二SAACEAACFBB'=1,DD'=3B所以所求几何体的体积V二VABCD-AECF—V+VF-ABCB所以所求几何体的体积V二VABCD-AECF—V+VF-ABCD-ACE图2-2=AB3--•S-DDE+--S-BDF=AB3=83AACE3AACF评析：本题所给几何体可以看成用一个平面截长方体而成.由于AAD=CCD，因此可以考虑在DDD上截取DE=AAD=CC，延长BBD至F，使BBD=CCD，这样就出现了一个正方体ABCD-AECF.与几何体ABCD-ABCD相比，正方体ABCD-AECF多出一个三棱锥F-ADBDCD,少了一个三棱锥DD-ADCDE，这样我们用正方体ABCD-ADECDF的体积减去三棱锥F-ADBDCD的体积同时加上三棱锥DD-ADCDE的体积就是所求不规则几何体的体积.本题灵活运用“割补思想”采用“补形法”与“分割法”相结合的解题策略，化难为易.近几年高考中求几何体体积经常以三视图的形式呈现，这样既考察三视图，又考察空间几何体的体积计算.本题可以用三视图的形式呈现，这样更符合近几年高考趋势，具体如下：一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积.例3例3某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为解：由几何体的三视图还原成直观图如图3-1，可知DA丄平面ABC,ADIICEIIBF,AC丄AB,AD二CE二5BF=2,AC=3,AB=4.延长BF至G,使BG二AD，连结DG,EG.所以原几何体可以看成三棱柱ABC-DEG,割去三棱锥F-DEG而成，如图3-2。因为V=S-AD=1AC-AB-AD=30,ABC-DEGABC2V=1S-FG=1丄AC-AB-FG=6F-DEG3ABC32所以所求几何体的体积卩二Vabc-DEG-VF-DEG二评析：本题难点之一是把三视图还原成直观图,实际还原成几何体后我们选择的方法就比较灵活了.我们既可以有上面解法中“补形法”,也可以用如图3-3中的“分割法”.近几年的高考中这种呈现方式比较流行.图3-3专题总结：立体几何中割补思想的运用常见的方法有三种：补形法、分割法、补形与分割相结合.三种方法共同之处都是将复杂的、不规则的、不易认识的几何体，通过“分割”或者“补形”转化为简单的、规则的、易于计算体积的几何体.补形法中将原图形补成一个新的几何体体现了构造的方法，需要对常见的几何体模型有深刻的认识.分割法中可以从几何体的外部或者内部进行分割，再利用部分与整体的关系来解决问题.近几年的高考中割补法的题目常以三视图的形式呈现，一般要根据三视图先画出直观图，再利用割补法求解.3配套练习一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）B.7C.6B.7C.6D.5一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（2'正涨删fl2'正涨删fl152347A.7B.TC.TD.6

3•如图，在三棱台ABC-A'B'C'中，ar丄底面ABC,B'B丄BC,A'A二A'B'二B'C'二a，且BBB和底面成45°，求这个棱台的体积.BB课后练习答案1.D2.D课后练习答案1.D2.D〖分析〗本题可以直接运用棱台的体积公式.由于棱台的体积公式很少使用，因此很多学生不容易记住棱台的体积公式.由于台体是椎体截得的，因此可以把三棱台补形成三棱锥如图1所示；的三棱锥的体积计算.此外由于学生对于棱柱、棱锥比较熟悉，因此本题还可以从分割的角度进行思考，考虑把三棱台分割为两个三棱柱和一个三棱锥如图2所示〖解法一〗将三棱台ABC-AB'C补形还原为三棱锥O-ABC如图1所示，由条件底面ABC,OB丄BC,ZOBA=45°，从而AB丄BC,C图1因此所求棱台的体积V因此所求棱台的体积V=Vo-abc-Vo-ABC1111=—x—x(2a)2x2a——x—xa2xa=3232K解法二〗过点B'作BD丄AB于D，点C作CE丄AC于E，连结DE.过点E作EF丄BC于F，连结CF，如图2示.由条件知OA丄底面ABC,OB丄