数学史概论上-课件

第4讲日照东方—古代与中世纪的东方数学一、中国传统数学二、印度数学三、阿拉伯数学四、中国与印度、阿拉伯的数学交流第4讲日照东方—古代与中世纪的东方数学一、中国传统数学1中世纪数学的主角：

中国、印度与阿拉伯地区的数学。东方数学特色：强烈的算法精神

所谓“算法”并不是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性计算方法。

注：东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。中世纪数学的主角：21中国数学的起源与体系形成2中国数学理论的深化3中国数学发展的高峰4中国传统数学的式微一、中国传统数学1中国数学的起源与体系形成一、中国传统数学31中国数学的起源与体系形成史前至两汉时期1.1中国传统数学的奠基

萌芽（石器时代、青铜时代）原始社会、夏商周积累与奠基（春秋战国时代、秦、西汉）1.2《周髀算经》与数理天文学1.3《九章算术》与中国传统数学的体系1中国数学的起源与体系形成史前至两汉时期1.1中41.2《周髀算经》与数理天文学盖天说勾股定理宋版书影日高术

《周髀算经》:数学著作,天文学著作.

“盖天说”的代表.

约成书于西汉时期(公元前2世纪).

数学内容:学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等.1.2《周髀算经》与数理天文学盖天说勾股定理宋版书影日高术5“勾广三,股修四,径隅五”商高定理-----勾股定理返回“……以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日.”“勾广三,股修四,径隅五”商高定理-----勾股定理返回“…6勾股定理的证明弦图abcaa2b2勾股定理的证明弦图abcaa2b27影差d=后影长BD—前影长AC=b—a表距AB=e日前表后表前影后影南戴日下日远日高A’B’OAaCBbDSO’hhhc日高公式（重差术）影差d=后影长BD—前影长AC=b—a表距AB81.3《九章算术》与中国传统数学的体系返回（1）汉简《算数书》《算数书》:1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的竹简,收有许多应用的数学问题.现已整理出版(包括竹简照片和释文).1.3《九章算术》与中国传统数学的体系返回（1）汉简《算9

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。（2）《九章算术》

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。10

1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作。2.粟米：组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题。3.衰（读作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。4.少广：主要讲开平方和开立方的方法。5.商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主。6.均输：计算税收等更加复杂的比例问题。7.盈不足：双设法的问题。8.方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现。9.勾股：勾股定理的应用。《九章算术》的内容1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界《11《九章算术》的数学成就（1）算术方面

（i）分数四则运算法则（ii）比例算法:“今有术”：a:b=c:xx=bc/a（iii）盈不足:是以盈亏类问题为原型,通过两次假设来求繁琐、困难的算术问题的解的方法.如:今有共买物,人出八盈三,人出七不足四,问人数、物价各几何？→设人数为x,物价为y,每人出钱a1盈b1,出钱a2不足b2.则的“盈不足术”相当于给出如下解法：《九章算术》的数学成就（1）算术方面→设人数为x,物价为y12(ii)正负术:正、负数的加减运算法则同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之.其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.（2）代数方面

(i)方程术:线性方程组的解法今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？问题相当于解一个三元一次线性方程组：注：关键算法:遍乘直除,即Gauss消元法.(ii)正负术:正、负数的加减运算法则（2）代数方面注：关13(iii)开方术:开平方和开立方的算法

本质:减根变换

过程:开方术相当于解方程:x2=A.设解x是一个k位数,令x=10k

-1x1,方程变为:102k-2x12=A,仪得x1的整数部分,记为,令,则方程变为:,其中再议得x2的整数部分,记为,令,则方程变为:,其中上述过程一直下去.(iii)开方术:开平方和开立方的算法本质:减根变换14二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法”.“开方术”指出了开方有开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开”。不尽根数专门的名字——面（3）几何方面

几何问题具有很明显的实际背景.所有直线形的面积、体积公式都是准确的.如:正方形、矩形、三角形、梯形、长方体、正方体、底面为长方形而有一棱与底面垂直的锥体、上下底面都是长方形的棱台等.二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法”.（3）几何方面15

刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：abcd羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：圆面积公式：这里圆周率取3.abhl刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：abcd羡除（三162中国数学理论的深化——从刘徽到祖冲之学术界思辨之风再起在数学上也兴起了论证的趋势最杰出代表:刘徽、祖冲之父子2中国数学理论的深化——从刘徽到祖冲之学术界思辨之风再起172.1刘徽与《九章算术》注最主要成就：割圆术面积、体积理论生卒不详公元263年撰《九章算术注》2.1刘徽与《九章算术》注最主要成就：生卒不详18（一）刘徽的割圆术-----极限方法

割圆术的要旨是用圆内接正多边形逼近圆。

指出:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.ECFAGBOrrr设圆面积为Sn,半径为r,圆内接正n边形的边长为ln,周长为Ln,面积为Sn,将边数加倍后,得到圆内接正2n边形,其边长,周长,面积分别记为l2n,L2n,S2n.刘徽注意到当ln已知,由勾股定理可以求出l2n.即：（一）刘徽的割圆术-----极限方法割圆术的要旨是用19化为分数即为:157/50,这就是著名的“徽率”.在内接n边形的每边上作一高为CG的矩形,则刘徽取半径为一尺的圆,计算到192边形,得出精确到两位小数的圆周率的近似值化为分数即为:157/50,这就是著名的“徽率”.在内20（二）刘徽的面积理论极限方法出入相补原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后,面积或体积的总和保持不变。（二）刘徽的面积理论极限方法出入相补原理：一个几何图形（平面21勾股定理的证明勾股定理的证明22（三）刘徽的体积理论-----阳马术（三）刘徽的体积理论-----阳马术23堑堵=阳马+鳖臑阳马=2鳖臑立方=2堑堵堑堵=阳马+鳖臑阳马=2鳖臑立方=2堑堵24堑堵阳马鳖臑堑堵=阳马

+鳖臑阳马=立方1

361

鳖臑=立方堑堵=立方1

2阳马=2鳖臑阳马术堑堵阳马鳖臑堑堵=阳马+鳖臑阳马=立方1325阳马

鳖臑鳖臑堑堵堑堵阳马立方阳马堑堵堑堵阳马=1小立方+2小堑堵+2小阳马=2小立方+2小阳马鳖臑=2小堑堵+2小鳖臑=1小立方+2小鳖臑阳马鳖臑鳖臑堑堵堑堵阳马立方阳马堑堵堑堵阳马=1小立26不易之率：阳马体积Y与鳖臑体积B之比为2:1对每个小阳马和每个小鳖臑作同样的剖分,则n次剖分后有:阳马中除去两个小阳马部分的体积(记为)为鳖臑中除去两个小鳖臑部分的体积(记为)的2倍,他们合在一起的体积应占原壍堵体积的3/4(刘徽称为“已知”部分),因而剩余部分(即两个小阳马和两个小鳖臑)的体积应占原壍堵体积的1/4(称为“未知”部分).若分别用记每个小阳马和小鳖臑的体积,则不易之率：阳马体积Y与鳖臑体积B之比为2:1对每个小阳马27已知部分属阳马的体积为,属鳖臑的体积为,两者之比恒为2:1.未知部分的体积,若记为,并不妨设原壍堵体积为1,则刘徽认为无限剖分下去,则得不易之率：

Y:B=2:1已知部分属阳马的体积为28（四）球体积公式证明的尝试（四）球体积公式证明的尝试29外切立方体积牟合方盖体积=？4内切球体积牟合方盖体积=πDDDD刘徽结论刘徽:敢不阙疑,以俟能言者！外切立方体积牟合方盖体积=？4内切球体积牟合方盖体积=π30内棋外棋1外棋2外棋3问题关键：如何求外三棋体积和与小立方体积关系内棋外棋1外棋2外棋3问题关键：如何求外三棋体积和31

最初是附于他所注的《九章算术》(263)之后,唐初开始单行,体例亦是以应用问题集的形式.全书共9题,全是利用测量来计算高深广远的问题,首题测算海岛的高、远,故得名.《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作,亦为地图学提供了数学基础.（五）刘徽著《海岛算经》最初是附于他所注的《九章算术》(263)之后322.2祖冲之父子的数学成就祖冲之与祖暅主要数学成就：(1)圆周率(2)祖氏原理与球体积2.2祖冲之父子的数学成就祖冲之与祖暅33（一）祖冲之--《缀术》与圆周率割圆术:

正六边形出发,连续算到正24576边形,恰好可以得到祖冲之的结果.3.1415926(朒(nv)数)<π<3.1415927(盈数)圆周率分数形式的近似值：约率：密率：现代数论中,如果将圆周率表示成连分数,其渐近分数为:（一）祖冲之--《缀术》与圆周率割圆术:正六边形出发,连34（二）祖暅--球体积公式与祖暅原理祖暅原理：幂势既同,则积不容异意即:位于两平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个立体的体积相等.（二）祖暅--球体积公式与祖暅原理祖暅原理：幂势既同,则积不35外棋3外棋2外棋1内棋外棋3外棋2外棋1内棋36ABDCEFHGIPJLKMNOQSRTVUWXZYhaaaaaaahahhh因为

IJ2

—

MN2=

AB2

—

IP2=

AP2

—

(AP2—AI2)

=

AI2

=

h2

SSIPNMSSWXYZQNOKPJQN=++故A37谢谢！38谢谢！38第4讲日照东方—古代与中世纪的东方数学一、中国传统数学二、印度数学三、阿拉伯数学四、中国与印度、阿拉伯的数学交流第4讲日照东方—古代与中世纪的东方数学一、中国传统数学39中世纪数学的主角：

中国、印度与阿拉伯地区的数学。东方数学特色：强烈的算法精神

所谓“算法”并不是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性计算方法。

注：东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。中世纪数学的主角：401中国数学的起源与体系形成2中国数学理论的深化3中国数学发展的高峰4中国传统数学的式微一、中国传统数学1中国数学的起源与体系形成一、中国传统数学411中国数学的起源与体系形成史前至两汉时期1.1中国传统数学的奠基

萌芽（石器时代、青铜时代）原始社会、夏商周积累与奠基（春秋战国时代、秦、西汉）1.2《周髀算经》与数理天文学1.3《九章算术》与中国传统数学的体系1中国数学的起源与体系形成史前至两汉时期1.1中421.2《周髀算经》与数理天文学盖天说勾股定理宋版书影日高术

《周髀算经》:数学著作,天文学著作.

“盖天说”的代表.

约成书于西汉时期(公元前2世纪).

数学内容:学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等.1.2《周髀算经》与数理天文学盖天说勾股定理宋版书影日高术43“勾广三,股修四,径隅五”商高定理-----勾股定理返回“……以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日.”“勾广三,股修四,径隅五”商高定理-----勾股定理返回“…44勾股定理的证明弦图abcaa2b2勾股定理的证明弦图abcaa2b245影差d=后影长BD—前影长AC=b—a表距AB=e日前表后表前影后影南戴日下日远日高A’B’OAaCBbDSO’hhhc日高公式（重差术）影差d=后影长BD—前影长AC=b—a表距AB461.3《九章算术》与中国传统数学的体系返回（1）汉简《算数书》《算数书》:1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的竹简,收有许多应用的数学问题.现已整理出版(包括竹简照片和释文).1.3《九章算术》与中国传统数学的体系返回（1）汉简《算47

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。（2）《九章算术》

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。48

1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作。2.粟米：组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题。3.衰（读作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。4.少广：主要讲开平方和开立方的方法。5.商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主。6.均输：计算税收等更加复杂的比例问题。7.盈不足：双设法的问题。8.方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现。9.勾股：勾股定理的应用。《九章算术》的内容1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界《49《九章算术》的数学成就（1）算术方面

（i）分数四则运算法则（ii）比例算法:“今有术”：a:b=c:xx=bc/a（iii）盈不足:是以盈亏类问题为原型,通过两次假设来求繁琐、困难的算术问题的解的方法.如:今有共买物,人出八盈三,人出七不足四,问人数、物价各几何？→设人数为x,物价为y,每人出钱a1盈b1,出钱a2不足b2.则的“盈不足术”相当于给出如下解法：《九章算术》的数学成就（1）算术方面→设人数为x,物价为y50(ii)正负术:正、负数的加减运算法则同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之.其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.（2）代数方面

(i)方程术:线性方程组的解法今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？问题相当于解一个三元一次线性方程组：注：关键算法:遍乘直除,即Gauss消元法.(ii)正负术:正、负数的加减运算法则（2）代数方面注：关51(iii)开方术:开平方和开立方的算法

本质:减根变换

过程:开方术相当于解方程:x2=A.设解x是一个k位数,令x=10k

-1x1,方程变为:102k-2x12=A,仪得x1的整数部分,记为,令,则方程变为:,其中再议得x2的整数部分,记为,令,则方程变为:,其中上述过程一直下去.(iii)开方术:开平方和开立方的算法本质:减根变换52二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法”.“开方术”指出了开方有开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开”。不尽根数专门的名字——面（3）几何方面

几何问题具有很明显的实际背景.所有直线形的面积、体积公式都是准确的.如:正方形、矩形、三角形、梯形、长方体、正方体、底面为长方形而有一棱与底面垂直的锥体、上下底面都是长方形的棱台等.二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法”.（3）几何方面53

刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：abcd羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：圆面积公式：这里圆周率取3.abhl刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：abcd羡除（三542中国数学理论的深化——从刘徽到祖冲之学术界思辨之风再起在数学上也兴起了论证的趋势最杰出代表:刘徽、祖冲之父子2中国数学理论的深化——从刘徽到祖冲之学术界思辨之风再起552.1刘徽与《九章算术》注最主要成就：割圆术面积、体积理论生卒不详公元263年撰《九章算术注》2.1刘徽与《九章算术》注最主要成就：生卒不详56（一）刘徽的割圆术-----极限方法

割圆术的要旨是用圆内接正多边形逼近圆。

指出:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.ECFAGBOrrr设圆面积为Sn,半径为r,圆内接正n边形的边长为ln,周长为Ln,面积为Sn,将边数加倍后,得到圆内接正2n边形,其边长,周长,面积分别记为l2n,L2n,S2n.刘徽注意到当ln已知,由勾股定理可以求出l2n.即：（一）刘徽的割圆术-----极限方法割圆术的要旨是用57化为分数即为:157/50,这就是著名的“徽率”.在内接n边形的每边上作一高为CG的矩形,则刘徽取半径为一尺的圆,计算到192边形,得出精确到两位小数的圆周率的近似值化为分数即为:157/50,这就是著名的“徽率”.在内58（二）刘徽的面积理论极限方法出入相补原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后,面积或体积的总和保持不变。（二）刘徽的面积理论极限方法出入相补原理：一个几何图形（平面59勾股定理的证明勾股定理的证明60（三）刘徽的体积理论-----阳马术（三）刘徽的体积理论-----阳马术61堑堵=阳马+鳖臑阳马=2鳖臑立方=2堑堵堑堵=阳马+鳖臑阳马=2鳖臑立方=2堑堵62堑堵阳马鳖臑堑堵=阳马

+鳖臑阳马=立方1

361

鳖臑=立方堑堵=立方1

2阳马=2鳖臑阳马术堑堵阳马鳖臑堑堵=阳马+鳖臑阳马=立方1363阳马

鳖臑鳖臑堑堵堑堵阳马立方阳马堑堵堑堵阳马=1小立方+2小堑堵+2小阳马=2小立方+2小阳马鳖臑=2小堑堵+2小鳖臑=1小立方+2小鳖臑阳马鳖臑鳖臑堑堵堑堵阳马立方阳马堑堵堑堵阳马=1小立64不易之率：阳马体积Y与鳖臑体积B之比为2:1对每个小阳马和每个小鳖臑作同样的剖分,则n次剖分后有:阳马中除去两个小阳马部分的体积(记为)为鳖臑中除去两个小鳖臑部分的体积(记为)的2倍,他们合在一起的体积应占原壍堵体积的3/4(刘徽称为“已知”部分),因而剩余部分(即两个小阳马和两个小鳖臑)的体积应占原壍堵体积的1/4(称为“未知”部分).若分别用记每个小阳马和小鳖臑的体积,则不易之率：阳马体积Y与鳖臑体积B之比为2:1对每个小阳马65已知部分属阳马的体积为,属鳖臑的体积为,两者之比恒为2:1.未知部分的体积,若记为,并不妨设原壍堵体积为1,则刘徽认为无限剖分下去,则得不易之率：

Y:B=2:1已知部分属阳马的体积为66（四）球体积公式证明的尝试（四）球体积公式证明的尝试67外切立方体积牟合方盖体积=？4内切球体积牟合方盖体积=πDDDD刘徽结论刘徽:敢不阙疑,以俟能言者！外切立方体积牟合方盖体积=？4内切球体积牟合方盖体积=π68内棋外棋1外棋2外棋3问题关键：如何求外三棋体积和与小立方体积关