大工春《复变函数与积分变换》开卷考试期末复习题

PAGEPAGE12/20大工15春《复变函数与积分变换》开卷考试期末复习题一、单项选择题（本大题共60小题，每小题2分，共120分）1i2i12i

的共轭复数是（ ）2A、12C、

1 1i

B、02D、2

1 1i22答案：D2、下列选项中为解析函数的是（22答案：D2、下列选项中为解析函数的是（）A、f(z)x2yiB、Cf(z)xy2x2yiD、f(z)2x33y2if(z)sinxchycosxshyi答案：D3、设C为正向圆周||2,f(z)

sin6 d，则f（ ）C(z)2A、336

1

3B36i

C、

32i6

D、 i24、设z i 1iA、15C、2答案：C

，则zz（ ）

B、-1D、525、设C为正向圆周|z1，则

zdz（ ）CA、i

B、i C、i D0答案：C6f(z

Rez|z|

，当z0时的极限为（ ）A、0答案：C7、12（ ）

B、1 C、不存在 D、-122A、cos isin22B、cos(2 2k)isin(2 2k)2C、isin28、设C为正向圆周|z1|2，则 ezCz2

D、cos2dz（ ）2A、e2 B、e2i C、答案：B9、设f(z)在单连通区域D内解析为D内一条正向闭曲线，则必有（

D、2e2iA、Im[f(z)]dz0B、Re[f(z)]dz0C、[f(z)]2dz0D、f(z)dz0CCCC答案：D10、Ln(-1)=（）A、1答案：CB、2C、πiD、1+πi11、将函数f(z)1(1z2)2在z0处展成泰勒级数，其收敛区域为（）A、|z1 B、|z1 C、|z1答案：A12、幂级数!zn的收敛半径是（ ）n0A0 B、1 C、2答案：A

D、不确定D、313、幂级数

1

1n2 zn的收敛半径是（ ）n1

nA0 B、1C、e 1D、e1答案：D114、点z1是f(z)(z1)5sin 的（ ）z1A、可去奇点 B、二阶极点 C、五阶零答案：D

D、本性奇点15、设C为正向圆周|z1，则 dzCz2A0 C、iB、1答案：A

（ ）

D、i16、函数eiazeibz(a,b为实数，ab)在z0处的留数为（ ）z2A、i(bC、ab答案：D17、映射wez2在点zi处的伸缩率为（ ）

B、baD、i(ab)A1 2B、e答案：B

1 D、eC、e18、函数tanzz

处的留数为（ ）2A、-1 B、2答案：A

C、3 D1 19、z 0是f(z) 的（ ）zA、可去奇点 B、本性奇答案：A

C、二阶极点 D、都不正确20、函数w

1的奇点是（ ）zA1 B、-1答案：C

C、0 D2t2,|t21、函数f(t)0,|t1

的傅氏变换为（ ）A、2sin-4cos4sin B、4sin4cos 2 3 2 2C、4sin-4cos D、4sin4cos 答案：A22、下列变换中不正确的是（ ）A、F[u(t)]1i

()

B、F(t1C、F(1答案：D23、若F[f(t)]F)，则F[F(t)]（ ）A、f() B、f答案：B24、下列选项中不正确的是（ ）

D、F-1[cost)0 0 0C、f() D、fAL[u(t1(Res0)1s1C、L[eat] (ResRea)s-a

B、L[(t)]1DL[t1(Ress答案：D25、cos2at的拉氏变换为（ ）A、 s 1 B、 s -12(s24a2) 2s 2(s24a2) 2ss 1C、s2 4a2 s答案：A

s 1D、 -s2 4a2 s26、设f(t)cost，则其傅氏像函数F[f(t)]（ ）0A、(-0

)-)0

B、iC、[(0

)-)]0

D、[(0

)--)]0答案：C27、函数(t)的傅氏变换F(t)]（ ）A、-2 B、-1答案：C28、在下列函数中不存在拉氏变换的是（ ）

C、1 D2A、et2答案：A

sin2C B、u(t) D、eat(aC 29、若F[f(t)]F),t为实常数，则F[f(t-t)]（ ）0 0A、e-it0F) B、eit0F) C、e-2it0F) D、e2it0F)答案：A30、函数t22的拉氏变换为（ ）A、232

B、2-32

C、2-3-2

D、23-2s3 s2 s答案：A

s3 s2 s

s3 s2 s

s3 s2 s1 31、已知z 1 i 1iA、0答案：C

，则Rez（ ）B、12

C、32

D、无法确定32、下列函数中，为解析函数的是（ ）Ax2y22xyi

Bx2

xyiC、2(x1)yi(y2x22x) D、x3iy3答案：C33、设zA、3答案：A

i,z2，则arg（ ）33B、6

C、6

D、334z

(1 3i)(1i)(i1)2

的模为（ ）2A0 C、22B、1 D、答案：D35、 ez|z2|1z2

dz（ ）A、2e B、e C、e2答案：Di B、 i C、 i Di B、 i C、 i D、 ixyyxx xyxA、

D、e2i答案：B37、设ez1i，则Imz（ ）A、4

B、2k4

C4

D、2k4x1i(y38、若等式 5

1i成立，则(x,y)的值是（ ）A、(1,11) B、(0,11) C、(1,10)答案：A

D、(0,10)a39、数列

1 )enin

的极限为（ ）A0 B、1 C、-1答案：B

D、240z

11

，则z100z75z50

（ ）A、i B、i C、1答案：B41、设C为正向圆周|z|1，则 coszdz（ ）C z

D、-1A、i答案：B42、Re

B、i C、0D1z ,2i]（ ）(z2i)2A、2i答案：D

B、

C、-1 D143、设f(z)

f(z)azn在|z| R内解析，k为正整数，那么Re,0] （ ）n zkn0A、a B、k!a C、ak k k答案：C

D、(k1)!ak144、映射3zizzi

2i处的旋转角为（ ）A0 C、B、2

D、2答案：D45、若幂级数n0

czn在z1处收敛，那么该级数在z2处（ ）nA、绝对收敛 B、收敛 C、发答案：A

D、不能确定46C为正向圆周：|z|2，则 ezCz(z1)2

dz（ ）A、i B、2i C、i答案：B47、将点zi,1分别映射为点的分式线性变换为（ ）z1

D、4i22、A、22、

z1 C

eiz1

D eiz1B、z11z

1z

z1答案：C48z0

sinzz3

的极点，其阶数为（ ）A1 B、2 C、3答案：B49、以z0为本性奇点的函数是（ ）

D、4sinzA、z B

1z(z1)2

1C、ez1D、ez1答案：C50、设f(z)的罗朗展开式为

2 (z1)2(z1)2n(z1)n2

，则(z1)2 z1Ref（ ）A、-2答案：B

B、-1 C、1 D251、已知f(t)costsint，则F[f(t)]（ ）A、i2)2)] B、i2)2)]2C、2)2)]答案：A52、已知f(t)sin3t，则F[f(t)]（ ）Ai1B、 --1)1)-C、 -1)1)D、 -1)-1)-4答案：B

2D、i[(2)(2)]53、已知f(t)sin(5t3

)，则F[f(t)]（ ）Ai52Bi5523Ci5323Di532答案：C

3[(5)(5)]23[(5)(5)]25)]25)]2t254f(tt2u(tg(t

其他

，则函数的卷积f(t)g(t)（ ） t1 2A、 3(t1)3t223[t)3t3],t2 t1 2B、 3(t1)3t223[t)3t3],t2 t1 2C、 3(t1)3t223[t)3t3],t2 t1 2D、 3(t1)3t223[t)3t3],t2答案：D

2,0t255f(t1

t

，则f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]（ ）1 1 1A、(2e2s)

B、(2e2s) C、(2e2s)

D、(2e2s)s s s s答案：A56f(t2

t，则f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]（ ）2C、2 2 1C、A4s21

B、4s21 2s21

D4s21答案：B57F(s

1s(s1)2

f(t的拉普拉斯逆变换

1[F(s)]（ ）A、1

tet

B、1s

tet

C、1

tet

D、1

tet58F(s

(sa)(s

f(t的拉普拉斯逆变换

1[F(s)]（ ）1Aa

(eataebtb)

1Ba

(eataebtb)

1Ca

(eataebtb)

1Da

(eataebtb)答案：D59、像函数A1sinaC、sinat答案：A

1s2a2

的拉氏逆变换为（ ）

B1sinaD、sint60、在区间[0,]上的卷积sinktsinkt(k0)（ ）sinktA、tcoskt2kC、1tcosktsinkt2 2k答案：B

B、1tcosktsinkt2 2ksinktD、tcoskt2k二、判断题（本大题共60小题，每小题2分，共120分）1、z1

55i,z2

34i，则z1z12

71i。5 5A、正确答案：A

B、错误1 22、设f(z)(z32z1)5 ，z2A、正确答案：A

f(z)5(3z22)(z32z1)4 。z3B、错误3、积分

sinz|z|2(z1)2

dz2icos14、 zezdzei1A、正确答案：B

B、错误B、错误5、当n

时，zn

n zA、正确答案：A6zz。

B、错误A、正确答案：B

B、错误7、设C为从点z1

i至点z2

0I

zdz1。C 2A、正确答案：A

B、错误8zxiyx1iy2)1i)(1iz3。A、正确答案：A

B、错误9、方程|zi2所表示的曲线为中心为i2的圆。A、正确答案：A10Ln(34iln5i(2karctan4)3A、正确答案：A

B、错误B、错误11、区域0argz4

在映射wz3下的像为0argz34A、正确答案：A12f(zA、正确答案：B

1z3z2z1

1在奇点处的留数只有4

B、错误B、错误13f(z

1z2(1z)

在圆环域0|z1内的罗朗展开式为znn2A、正确答案：A14、幂级数

()nn!

zn的收敛半径为

B、错误A、正确答案：A

n1

B、错误15、幂级数 znn3

的收敛半径是1n1A、正确答案：A

B、错误16、幂级数(z)nn

的收敛半径R1n1A、正确答案：A

B、错误17、设lim

an1

1i，则幂级数

an zn

12的收敛半径为 。2nanA、正确答案：A1

n0

n11

B、错误18f(z

cos1z

在其奇点z k

k

(k0,1,)处的留数2Ref(z),zkA、正确答案：A

] (1)k(k )22

(k0,1,)

B、错误19、映射wez将带形域0ImzA、正确答案：A

映射为角形域0argw4 4B、错误20A

1z

在点z4处的泰勒级数的收敛半径为R2B、错误0,-t-1t0 2(1-cos)21f(t

t1

的傅氏变换F[f(t)]iA、正确答案：A

1t

B、错误122f(te2t

(t的拉氏变换Lf(t5

s-2

(Res2)A、正确答案：A

B、错误23yyy(0)1y(t3et

-2。A、正确答案：A

B、错误

6 6 3 1524f(t1)25e-2tsin3t的拉普拉斯变换Lf(t

s3 s2 s (s2)29A、正确答案：A25、函数u(1-e-t)的拉氏变换为sA、正确答案：B

B、错误B、错误t026f(tt1的傅氏变换Ff(t

2i(cos-1)A、正确答案：A

其他

B、错误27、cost的拉氏变换L[costA、正确答案：A

s (Ress21

B、错误28FpLy(ty(ty(00，则Ly(tF(s。A、正确答案：B

y-y2cost

B、错误29、已知常微分方程的初值问题 ，则利用拉氏变换解得y(t)sint-costet。 y(0)0A、正确答案：A30（t-1)2etA、正确答案：A

s2-4s5(s-1)3

B、错误B、错误31、33i

27e2k(cosln3isinln3)(k为整数）A、正确答案：A32、设C为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分A、正确答案：B

B、错误(z)3zdz1i。CB、错误33、积分A、正确答案：A

1 2 |z|4z1 z3

i

B、错误534、复数方程ez1 3i的解为ln2i(2k)(k)3A、正确答案：A352i(3z1)dz137i

B、错误0 2A、正确答案：A

B、错误A、正确A、正确B、错误PAGE14/2036、已知f(z)i是解析函数，其中

1ln(x2y22

x 。y x2y2A、正确答案：A37、在复数域内，方程cosz0的全部解为2A、正确答案：A

B、错误k(k0,1,)。B、错误38f(zA、正确答案：B

zcosz，则 f(z)dzi。z2 |z|1

B、错误39f(0f(01i，则z0

f(z11i。zA、正确 B、错误答案：A40、|z-2i|=|z+2|所表示的曲线的直角坐标方程是x=-y。A、正确 B、错误答案：A41、设C为正向圆周|z2A、正确答案：A

1，则 coszC(z 2

dz0。B、错误42、F(z)zed在z0处的泰勒展开式为0n0A、正确答案：A

z2n1,|z。 1 n!(2n 1 B、错误43、函数tanz在zA、正确答案：A

2处的留数为-1

B、错误44z=0f(zA、正确答案：A

sinzz

的可去奇点

B、错误45、函数wA、正确答案：A

10z

B、错误146、函数 在点z=4处的泰勒级数的收敛半径为R=2。z 2147、函数sinz的极点是一阶极点。A48ω=z+bA、正确49ω=az,a≠0是一个平移映射。A、正确

B、错误B、错误B、错误50、分式线性映射wA、正确

1通常称为反演映射。z

B、错误51(tf(t)dtf(t)-A、正确答案：B52、(t)(t)

B、错误A、正确答案：A53、F(t(teitdteitA、正确

1t0

B、错误B、错误154、F1A、正确答案：A

eitdt)

B、错误55、F)0A、正确答案：B56、积分te2tdt1

B、错误0 4A、正确答案：A1

B、错误57f(tektA、正确答案：A

s

(ResRek)

B、错误58、函数1u(t在区间[0,上的卷积为tPAGEPAGE20/2059f(t(t6)，则Lf(te6s。1A、正确答案：A160、设F(s) ，则s(s4)A、正确答案：A

B、错误11[F(s (1e4t。14B、错误三、填空题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1、将幂函数51i表示成三角形式 答案：eln5[cos(ln5)isin(ln5)]考点：复数各种表示方法及其运算课件出处：第1章复数与复变函数，第二节复数几何表示2、将幂函数ii表示成指数形式 e2k(k答案： 2 为整)考点：复数各种表示方法及其运算课件出处：第1章复数与复变函数，第二节复数几何表示3、设C为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分 (z)3zdz 。C答案：1+i考点：复变函数积分的计算课件出处：第3章复数函数的积分，第一节复变函数积分的概4、Ln(2)的主值 答案：ln2考点：复变函数积分的计算课件出处：第3章复数函数的积分，第一节复变函数积分的概念eiz5f(z

1z2

在极点处的留数

i 和ie2e 2考点：留数定理课件出处：第5章留数，第二节留数6、

(2z2ez

cosz)dz |z|5答案：0考点：柯西—古萨基本定理课件出处：第3章复变函数的积分，第二节柯西—古萨基本定7、函数1u(t)在区间[0,]上的卷积 答案：t考点：卷积定理课件出处：第7章傅里叶变换，第四节卷积定理与相关函数8、当

nzn

zn 的极限是 。z答案：不存在考点：复变函数的极限课件出处：第1章复数与复变函数，第六节复变函数的极限与连续性9、区域0argz

在映射wz3下的像为40argz34考点：分式线性映射课件出处：第6章共形映射，第二节分式线性映射10、假设C是圆周|z1|1的下半圆周，z从-2到0，则积分答案：sin2考点：复变函数积分的计算

coszdz C课件出处：第3章复数函数的积分，第一节复变函数积分的概念11、i)6的值答案：考点：复数的乘幂课件出处：第1章复数与复变函数，第三节复数的乘幂与方根12、2的三角形式为 。 4答案：2 2(cos isin )ln5i(arctan )4 4 3考点：复数各种表示方法及其运算课件出处：第1章复数与复变函数，第二节复数几何表示1 v13f(zuiv是解析函数，其中u

2ln(x2y2

。答案：

xx2y2考点：复变函数求导课件出处：第2章解析函数，第二节函数解析的充要条件14f(0f(01i，则z0

f(z1 z答案：1i考点：复变函数求导课件出处：第2章解析函数，第一节解析函数的概念15、判断级数inn1答案：条件收敛

的敛散性为（若收敛，请回答是绝对收敛还是条件收敛） 。考点：复变函数求导课件出处：第2章解析函数，第一节解析函数的概念16z1f(z)

z的 级极点。(z 答案：2考点：极点课件出处：第5章留数，第一节孤立奇点17、分式线性映射答案：反演考点：分式线性映射

1通常称为 映射。z课件出处：第6章共型映射，第二节分式线性映射18、映射wz2在z 1下的旋转角为0，伸缩率。0答案：2考点：伸缩率课件出处：第6章共型映射，第三节唯一决定分式线性映射的条件2,0t219f(t

3,t2

，则f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] 。答案：

1(2e2s)s考点：伸缩率课件出处：第6章共型映射，第三节唯一决定分式线性映射的条件20F(s

1s(s1)2

F(s的拉普拉斯逆变换

[F(s 。答案：1ettet考点：拉普拉斯变换与其逆变换的方法课件出处：第8章拉普拉斯变换，第三节拉氏逆变换四、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）1、解方程组

2zz i1 2i)ziz 43i1 2

2x

2iy

iy i解：

xiy,z

x

，所给方程组可写为

1 1 2 21 1 1 2 2 2

i)(xiy)i(x iy)43i1 1 2 2 2x

i(2

y)i1即xyy11 1

2 1i(xx1

2y)41

（2分） 2xx 0 21 2利用复数相等的概念可知

yy 11 21xyy 1

（2分）xx

1 2y 31 2 13 6 6 17解得x （1分）y 1分）x （1分）y （1分）1 5 1 5 2 5 2 53 6 6 17故z i1分）z1 5 5

5 5

i（1分）考点：复数运算课件出处：第1章复数与复变函数，第一节复数及其代数运算2I

zdz

，其中C

是（1）|z1

1（）|z3。C(2z1)(z2) 2（）被积函数在|z11内处处解析，故I05分）21（2）被积函数在|z3内有两个奇点z ,z2，由复合闭路原理，知12z zI

z2 dz

2z1dzi1( z )

i( z )

（3分）2C C C21

2(z

1)2

C z22

2 z2 z12

2z1

z2i

i

i（2分）5 5考点：复合闭路定理课件出处：第3章复变函数的积分，第三节基本定理的推广—复合闭路定理3、求函数 1 分别在圆环1z2及2z内的洛朗级数展式(z1)(z2)1解：因为

1z

1zz2z3zn |z1z 1（1）由1z2，有| 1（2分）2 z所以 1

1 1

1 1

zn

1（3分）(z1)(z2) z2 z1 2(1z) z(112 z

n0

2n1

n0

zn1（2）由2|z|，有|

1（2）22所以 1

1 1 1

1

2n

1（3分）(z1)(z2) z2 z1 z(12) z(11z z

n0

zn1

n0

zn1考点：用间接方法将简单的函数在圆环域内展开为洛朗级数课件出处：第4章解析函数的级数，第四节洛朗级数1 14F(s

s1 s

的拉普拉斯逆变换L

1[F(s)]解：由拉普拉斯变换性质1 1L1[F(s)]L

]（5）ets1 s1

et（5）考点：拉普拉斯变换与其逆