考点53-离散型随机变量的分布列、期望与方差课件

53离散型随机变量的分布列、期望与方差53离散型随机变量的分布列、期望与方差1．离散型随机变量的分布列(1)定义设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表为随机变量X的概率分布．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1．离散型随机变量的分布列Xx1x2…xi…xnPp1p2…(2)性质(i)pi≥0(i＝1，2，…，n)．2．两点分布如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．X01P1－pp(2)性质X01P1－pp3．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝①_________，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．3．超几何分布4．离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)称E(X)＝②____________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn4．离散型随机变量的期望与方差Xx1x2…xi…xnPp1p(3)均值与方差的性质(i)E(aX＋b)＝③_________(a，b为常数)；(ii)D(aX＋b)＝④_______(a，b为常数)．(4)两点分布与二项分布的均值与方差(i)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝⑤______，D(X)＝⑥________．(ii)若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝⑦______，D(X)＝⑧_________．aE(X)＋ba2D(X)pp(1－p)npnp(1－p)(3)均值与方差的性质aE(X)＋ba2D(X)pp(1－p考向1离散型随机变量的分布列与期望、方差

离散型随机变量的分布列、期望与方差是高考中常考的题型，主要在解答题中呈现，分值一般12分或13分，题目属于中档题．考向1离散型随机变量的分布列与期望、方差例1(2017·山东，18，12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.例1(2017·山东，18，12分)在心理学研究中，常考点53-离散型随机变量的分布列、期望与方差课件因此X的分布列为X01234P因此X的分布列为X01234P1．求随机变量及其分布列的一般步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．1．求随机变量及其分布列的一般步骤2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”,记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.X012346PX012346P考向2离散型随机变量期望与方差的应用

离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，难度中等．考向2离散型随机变量期望与方差的应用例2(2014·福建，18，13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．例2(2014·福建，18，13分)为回馈顾客，某商场拟X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1元，则X1的分布列为X12060100P以下是对两个方案的分析：X12060100P对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2元，则X2的分布列为由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.X2406080P对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖

解离散型随机变量的期望和方差应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算．(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单．(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时，就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度．即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案． 解离散型随机变量的期望和方差应用问题的方法变式训练

(2018·辽宁沈阳模拟，19，12分)某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天，两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内(含40件)的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家10天的试销情况茎叶图如下：变式训练(2018·辽宁沈阳模拟，19，12分)某商场计划(1)现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；(2)若将频率视作概率，回答以下问题：①记乙厂家的日返利额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场做出选择，并说明理由．解：(1)记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，(1)现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大(2)①设乙厂家的日销售量为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156；当a＝40时，X＝40×4＝160；当a＝41时，X＝40×4＋1×6＝166；当a＝42时，X＝40×4＋2×6＝172.∴X的所有可能取值为152，156，160，166，172，∴X的分布列为X152156160166172P(2)①设乙厂家的日销售量为a，则X152156160166②依题意，甲厂家的日平均销售量为38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5，∴甲厂家的日平均返利额为70＋39.5×2＝149元，由①得乙厂家的日平均返利额为162元>149元，∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．②依题意，甲厂家的日平均销售量为38×0.2＋39×0.4＋53离散型随机变量的分布列、期望与方差53离散型随机变量的分布列、期望与方差1．离散型随机变量的分布列(1)定义设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表为随机变量X的概率分布．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1．离散型随机变量的分布列Xx1x2…xi…xnPp1p2…(2)性质(i)pi≥0(i＝1，2，…，n)．2．两点分布如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．X01P1－pp(2)性质X01P1－pp3．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝①_________，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．3．超几何分布4．离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)称E(X)＝②____________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn4．离散型随机变量的期望与方差Xx1x2…xi…xnPp1p(3)均值与方差的性质(i)E(aX＋b)＝③_________(a，b为常数)；(ii)D(aX＋b)＝④_______(a，b为常数)．(4)两点分布与二项分布的均值与方差(i)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝⑤______，D(X)＝⑥________．(ii)若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝⑦______，D(X)＝⑧_________．aE(X)＋ba2D(X)pp(1－p)npnp(1－p)(3)均值与方差的性质aE(X)＋ba2D(X)pp(1－p考向1离散型随机变量的分布列与期望、方差

离散型随机变量的分布列、期望与方差是高考中常考的题型，主要在解答题中呈现，分值一般12分或13分，题目属于中档题．考向1离散型随机变量的分布列与期望、方差例1(2017·山东，18，12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.例1(2017·山东，18，12分)在心理学研究中，常考点53-离散型随机变量的分布列、期望与方差课件因此X的分布列为X01234P因此X的分布列为X01234P1．求随机变量及其分布列的一般步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．1．求随机变量及其分布列的一般步骤2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”,记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.X012346PX012346P考向2离散型随机变量期望与方差的应用

离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，难度中等．考向2离散型随机变量期望与方差的应用例2(2014·福建，18，13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．例2(2014·福建，18，13分)为回馈顾客，某商场拟X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1元，则X1的分布列为X12060100P以下是对两个方案的分析：X12060100P对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2元，则X2的分布列为由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.X2406080P对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖

解离散型随机变量的期望和方差应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算．(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单．(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时，就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度．即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方