高等数学(经管类)第4章-导数的应用-课件

第四章导数的应用4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.2函数的极值与最值4.3曲线的凹凸与拐点4.4洛比达法则4.5应用与实践4.6拓展与提高第四章导数的应用4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性1一知识结构第四章导数的应用一知识结构第四章导数的应用2二教学基本要求和重点、难点1.教学基本要求（1）拉格朗日中值定理；（2）利用洛必达法则求函数极限的方法；（3）极值的概念，极值存在的必要条件；（4）判别函数单调性，判别极值的方法；第四章导数的应用二教学基本要求和重点、难点1.教学基本要求（1）拉格朗3（5）曲线凹凸性判别方法与拐点的求法；（6）求函数最大值最小值的方法；（7）求函数渐近线，描绘简单函数图形；（8）边际与弹性概念，边际分析、弹性分析与优化分析。第四章导数的应用（5）曲线凹凸性判别方法与拐点的求法；第四章导数的应用4（1）重点用导数判断函数单调性，函数图形的凹向与拐点，经济函数的优化分析。（2）难点用导数判断函数单调性，描绘函数图形及在经济方面的应用。2.教学重点与难点第四章导数的应用（1）重点2.教学重点与难点第四章导数的应用54.1拉格朗日中值定理与函数的单调性第四章导数的应用4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性第四章导数的应用64.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.1拉格朗日中值定理定理4.1设函数f(x)满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导。则在(a,b)内至少存在一点，使得

4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.1拉格朗74.1拉格朗日中值定理与函数的单调性例1验证函数f(x)=ln(x+1)在[0,1]上是否满足拉格朗日中值定理的三个条件，如满足求出。解：f(x)=ln(x+1)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，满足拉格朗日中值定理，从而存在一点，使4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性例184.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.2函数的单调性4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.2函数的单94.1拉格朗日中值定理与函数的单调性1．函数单调性的必要条件设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导.如果f(x)在[a,b]单调增加(减少)，则在(a,b)内。4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性1．函数单调性的必要104.1拉格朗日中值定理与函数的单调性2．函数单调性判定法定理4.2设函数f(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果在区间(a,b)内有，则f(x)在

(a,b)内单调增加。(2)如果在区间(a,b)内有，则f(x)在

(a,b)内单调减少．4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性2．函数单调性判定法114.1拉格朗日中值定理与函数的单调性例2讨论函数f(x)=lnx-x的单调性。解：此函数的定义域为。函数的定义域分成两个区间：当0<x<1时，，故f(x)在(0,1)内单调增加；当时，，故f(x)在内单调减少。4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性例2讨论函数f124.2函数的极值与最值4.2.1函数的极值：1.极值的定义

定义4.1

设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对该邻域内任一点x(x≠x0)，都有f(x)<f(x0)

（或f(x)>f(x0)），则称f(x0)为函数的极大值（或极小值），x0为函数的极大值点（极小值点）。第四章导数的应用4.2函数的极值与最值4.2.1函数的极值：1.极值134.2函数的极值与最值极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。4.2函数的极值与最值极大值和极小值统称144.2函数的极值与最值定理4.3极值的必要条件若函数f(x)在x0处取得极值，且导数存在，则必有定理4.3的逆定理不成立4.2函数的极值与最值定理4.3极值154.2函数的极值与最值2.极值判别法判别法1设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，若或在点x0处导数不存在但在x0处连续。(1)当x逐渐增大的通过点x0时，若导数值由正变负，则函数f(x)在点x0处取极大值f(x0)；若导数值由负变正，则函数f(x)在点x0处取极小值f(x0)。(2)当x逐渐增大的通过点x0时，若导数值不变号，则x0不是函数f(x)的极值点。4.2函数的极值与最值2.极值判别法判164.2函数的极值与最值求函数极值的一般解题步骤为：(1)求出导数；(2)求出函数的可疑极值点；(3)用极值判别法1判定以上的点是否为极值点；(4)求出极值点处的函数值，即为极值。4.2函数的极值与最值求函数极值的一般解题步骤为：174.2函数的极值与最值例3求函数的单调区间和极值。解：函数f(x)的定义域为得到驻点-14.2函数的极值与最值例3求函数的单调区间和极值。解：184.2函数的极值与最值判别法2：若，存在，

(1)若，则f(x0)为极小值。(2)若，则f(x0)为极大值。4.2函数的极值与最值判别法2：若194.2函数的极值与最值例4求函数的极值。解：此函数的定义域为因此函数f(x)在x1处取得极小值

4.2函数的极值与最值例4求函数204.2函数的极值与最值4.2.2函数的最值定义4.2设函数f(x)在闭区间I上连续，若x0∈I，且对所有x∈I，都有f(x0)>f(x)(或f(x)<f(x))，则称f(x0)为函数f(x)的最大值（或最小值）。4.2函数的极值与最值4.2.2函数的最值214.2函数的极值与最值实际问题求解最值的一般解题步骤为：(1)分析问题，建立目标函数

把问题的目标作为因变量，把它所依赖的量作为自变量，建立二者的函数关系，即目标函数，并确定函数的定义域。(2)解极值问题

确定自变量的取值，使目标函数达到最大值或最小值。4.2函数的极值与最值实际问题求解最值的一22例5堆料场的材料使用问题

欲围建一个面积为288平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三面墙壁新建，现有一批高为若干、总长度为50米的用于围建围墙的建筑材料，问这批建筑材料是否够用？

4.2函数的极值与最值例5堆料场的材料使用问题欲围建一个面积为288平方23解：设场地的宽为x

，为使场地面积为288

平方米，则场地的长应为288/x若以l表示新建墙壁总长度，则目标函数为

（1）求导数：

4.2函数的极值与最值解：设场地的宽为x，为使场地面积为288平若以l表示24（2）求驻点和不可导点：令得驻点为x=12

（3）求二阶导数：

所以，x=12是极小值点。

即当宽12米，长为24米时，用料最少。4.2函数的极值与最值（2）求驻点和不可导点：令得驻点为x=12（3）求二阶导数254.3曲线的凹凸与拐点4.3.1曲线的凹凸及其判别法

定义4.3

若曲线弧位于其每一点切线的上(下)方，则称曲线弧是凹(凸)的。第四章导数的应用4.3曲线的凹凸与拐点4.3.1曲线的凹凸及其判别法264.3曲线的凹凸与拐点如果曲线是凹的，那么其切线的倾斜角随x的增大而增大。4.3曲线的凹凸与拐点如果曲线是凹的，那274.3曲线的凹凸与拐点如果曲线是凸的，那么其切线的倾斜角随x的增大而减少。4.3曲线的凹凸与拐点如果曲线是凸的，那么284.3曲线的凹凸与拐点曲线凹凸的判定法

设f(x)在(a,b)内具有二阶导数(1)如果在(a,b)内有，则曲线在(a,b)

内是凹的；(2)如果在(a,b)内有，则曲线在(a,b)内是凸的。4.3曲线的凹凸与拐点曲线凹凸的判定法(1)如果在(a,294.3曲线的凹凸与拐点4.3.2曲线的拐点一般地连续曲线凹凸两段弧的分界点称为曲线的拐点。

求连续曲线的拐点步骤如下：(1)求出函数f(x)的或不存在的点。(2)在求出点的左、右两边，若异号，则该点就是拐点，否则，就不是拐点。4.3曲线的凹凸与拐点4.3.2曲线的拐点304.3曲线的凹凸与拐点例6求曲线的凹向区间与拐点。

解：

拐点为和4.3曲线的凹凸与拐点例6求曲线的凹向区间与拐点314.3曲线的凹凸与拐点4.3.3曲线的渐近线

若曲线y=f(x)上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某直线L的距离趋于零，则L称为该曲线的渐近线。渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。4.3曲线的凹凸与拐点4.3.3曲线的渐近线324.3曲线的凹凸与拐点1.垂直渐近线

若，则c是f(x)的垂直渐近线。4.3曲线的凹凸与拐点1.垂直渐近线若334.3曲线的凹凸与拐点2.水平渐近线

，则y=b是f(x)的水平渐近线。x=-1为垂直渐近线

y=1为水平渐近线

4.3曲线的凹凸与拐点2.水平渐近线，则y=b是f344.3曲线的凹凸与拐点4.3.4作函数图形的一般步骤1．确定函数的定义域、间断点；2．确定函数的特性，如奇偶性、周期性等；3．求出函数的一二阶导数，确定极值点、拐点；4．确定曲线的渐近线；5．计算一些特殊点的坐标；6．间断点、极值点与拐点把定义域分为若干区间，列表说明这些区间上函数的增减性与凹凸性；7．作图。4.3曲线的凹凸与拐点4.3.4作函数图形的一般步骤1354.3曲线的凹凸与拐点例6作出函数的图形。解:函数的定义域为，非奇非偶函数，没有渐近线；又x=3时一阶导数不存在

4.3曲线的凹凸与拐点例6作出函数364.3曲线的凹凸与拐点4.3曲线的凹凸与拐点374.4洛比达法则1.型未定式

法则1

设函数f(x)和g(x)满足条件：第四章导数的应用(2)在点a的某个空心邻域内，，存在，且；(1)(3)存在（或为）4.4洛比达法则1.型未定式法则1384.4洛比达法则例7

4.4洛比达法则例7392.型未定式

法则2

设函数f(x)和g(x)满足条件：(2)在点a的某个空心邻域内，，存在，且；(1)(3)存在（或为）4.4洛比达法则2.型未定式法则2设函数f(x)和g(404.4洛比达法则例8

4.4洛比达法则例8414.5

应用与实践第四章导数的应用4.4.1应用1．边际分析边际成本边际收入边际利润4.5应用与实践第四章导数的应用4.4.1应用1．边424.5应用与实践例9

某糕点厂生产某种糕点的收入函数为

(千元)，成本函数为(千元)，x的单位是百公斤．问应生产多少公斤糕点才不赔钱？解：利润函数

4.5应用与实践例9某糕点厂生产某434.5应用与实践当x=9（百公斤）时，L(x)=0，不赔钱。当x<9（百公斤）时，L(x)<0，赔钱。当x>9（百公斤）时，L(x)>0，赚钱。

边际利润，表明多生产可以提高总利润。当边际利润大于零时，仅表明总利润在递增，并不表明赚钱。

4.5应用与实践当x=9（百公斤）时，L(x)=0，不赔444.5应用与实践例10

若某产品每天生产x单位时，总成本函数（元），销售单价为25元。设产品能全部售出，问每天生产多少单位时，才能获得最大利润。解：总收益函数

总利润函数

4.5应用与实践例10若某产品每天454.5应用与实践由于L(x)是单峰曲线，x=30就是L(x)的最大值点，最大值为L(30)=225（元）。所以产量为30单位时，能获得最大利润225元。为获得最大利润，应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平。

4.5应用与实践由于L(x)是单峰曲线，464.5应用与实践例11

设每月产量为x吨时，总成本函数（元）。求(1)最低平均成本；(2)相应产量的边际成本。解：(1)平均成本函数为

4.5应用与实践例11设每月产量为x474.5应用与实践此时，所以AC最小，最小值为78（元）。(2)边际成本函数为，当产量为140吨时，边际成本为78(元）。最低平均成本与相应产量的边际成本相等。

4.5应用与实践此时，所以AC最小484.5应用与实践2．弹性分析用需求弹性去分析总收益（或市场销售总额）的变化。总收益R是商品价格p与销售量Q的乘积，即R=pQ，则4.5应用与实践2．弹性分析用需求弹性去494.5应用与实践例12

设某商品的需求函数为Q=2-0.1p(Q是需求量，p是价格），(1)求需求弹性；(2)讨论需求弹性的变化对总收益的影响。解：

(1)需求弹性为4.5应用与实践例12设某商品的需求函504.5应用与实践

(2)令，得p=10。当0<p<10时，（低弹性），此时应采用提高价格的手段使总收益增加；当10<p<20时，（高弹性），此时应采用降低价格的手段使总收益增加。4.5应用与实践(2)令，得p=1514.5应用与实践4.4.2在Mathematica中作图在指定区间上按选项定义值画出函数在直角坐标系中的图形，其格式如下：Plot[f，{x，xmin，xmax}，option->value]

在指定区间上按选项定义值同时画出多个函数在直角坐标系中的图形，其格式如下：Plot[f1，f2，f3，…{x，xmin，xmax}，option->value]

4.5应用与实践4.4.2在Mathematica中作524.5应用与实践例13

描绘函数的图像。解：

4.5应用与实践例13描绘534.6拓展与提高第四章导数的应用1.用函数单调性的判定法证明不等式例14

试证：当x>0时，有x>ln(1+x)。

4.6拓展与提高第四章导数的应用1.用函数单调性的判544.6拓展与提高2.利用极值判别法1和极值判别法2在判别极值为极大值还是极小值时，应注意以下原则：

(1)若较简单，则极值判别法2更方便些；反之，则应选用极值判别法1。(2)若，则极值判别法2失效，须用极值判别法1判别。4.6拓展与提高2.利用极值判别法1和极值判别法2在判别554.6拓展与提高例15求函数的极值。解：此函数的定义域为函数在x=1处导数等于零，在x=0，x=2处导数不存在。列表如下：

4.6拓展与提高例15求函数564.6拓展与提高3.斜渐近线，则y=ax+b是f(x)的斜渐近线。求函数的斜渐近线，就是要确定参数a，b的值.可以推出：4.6拓展与提高3.斜渐近线574.6拓展与提高例16求函数的渐近线。解：x=0为曲线的垂直渐近线。y=x为曲线的斜渐近线。4.6拓展与提高例16求函数584.6拓展与提高4.其他常见未定式均可以通过转化用洛比达法则计算。

4.6拓展与提高4.其他常见未定式均可以通过转化用洛比达594.6拓展与提高例174.6拓展与提高例17604.6拓展与提高5.利用洛比达法则求极限时的两点说明

(1)应用洛比达法则后，若算式较繁须进行化简，若算式中有非未定式，应将其分离出来。此外用洛比达法则求极限时，要注意结合运用以前学过的方法。例184.6拓展与提高5.利用洛比达法则求极限时的两点说明614.6拓展与提高(2)若不存在或不可求,不能因此得出极限不存在的结论。出现这种情况，说明洛比达法则失效，这时需改用其它方法求极限。例194.6拓展与提高(2)若不存在或62第四章导数的应用4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.2函数的极值与最值4.3曲线的凹凸与拐点4.4洛比达法则4.5应用与实践4.6拓展与提高第四章导数的应用4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性63一知识结构第四章导数的应用一知识结构第四章导数的应用64二教学基本要求和重点、难点1.教学基本要求（1）拉格朗日中值定理；（2）利用洛必达法则求函数极限的方法；（3）极值的概念，极值存在的必要条件；（4）判别函数单调性，判别极值的方法；第四章导数的应用二教学基本要求和重点、难点1.教学基本要求（1）拉格朗65（5）曲线凹凸性判别方法与拐点的求法；（6）求函数最大值最小值的方法；（7）求函数渐近线，描绘简单函数图形；（8）边际与弹性概念，边际分析、弹性分析与优化分析。第四章导数的应用（5）曲线凹凸性判别方法与拐点的求法；第四章导数的应用66（1）重点用导数判断函数单调性，函数图形的凹向与拐点，经济函数的优化分析。（2）难点用导数判断函数单调性，描绘函数图形及在经济方面的应用。2.教学重点与难点第四章导数的应用（1）重点2.教学重点与难点第四章导数的应用674.1拉格朗日中值定理与函数的单调性第四章导数的应用4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性第四章导数的应用684.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.1拉格朗日中值定理定理4.1设函数f(x)满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导。则在(a,b)内至少存在一点，使得

4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.1拉格朗694.1拉格朗日中值定理与函数的单调性例1验证函数f(x)=ln(x+1)在[0,1]上是否满足拉格朗日中值定理的三个条件，如满足求出。解：f(x)=ln(x+1)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，满足拉格朗日中值定理，从而存在一点，使4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性例1704.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.2函数的单调性4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.2函数的单714.1拉格朗日中值定理与函数的单调性1．函数单调性的必要条件设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导.如果f(x)在[a,b]单调增加(减少)，则在(a,b)内。4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性1．函数单调性的必要724.1拉格朗日中值定理与函数的单调性2．函数单调性判定法定理4.2设函数f(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果在区间(a,b)内有，则f(x)在

(a,b)内单调增加。(2)如果在区间(a,b)内有，则f(x)在

(a,b)内单调减少．4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性2．函数单调性判定法734.1拉格朗日中值定理与函数的单调性例2讨论函数f(x)=lnx-x的单调性。解：此函数的定义域为。函数的定义域分成两个区间：当0<x<1时，，故f(x)在(0,1)内单调增加；当时，，故f(x)在内单调减少。4.1拉格朗日中值定理与函数的单调性例2讨论函数f744.2函数的极值与最值4.2.1函数的极值：1.极值的定义

定义4.1

设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对该邻域内任一点x(x≠x0)，都有f(x)<f(x0)

（或f(x)>f(x0)），则称f(x0)为函数的极大值（或极小值），x0为函数的极大值点（极小值点）。第四章导数的应用4.2函数的极值与最值4.2.1函数的极值：1.极值754.2函数的极值与最值极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。4.2函数的极值与最值极大值和极小值统称764.2函数的极值与最值定理4.3极值的必要条件若函数f(x)在x0处取得极值，且导数存在，则必有定理4.3的逆定理不成立4.2函数的极值与最值定理4.3极值774.2函数的极值与最值2.极值判别法判别法1设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，若或在点x0处导数不存在但在x0处连续。(1)当x逐渐增大的通过点x0时，若导数值由正变负，则函数f(x)在点x0处取极大值f(x0)；若导数值由负变正，则函数f(x)在点x0处取极小值f(x0)。(2)当x逐渐增大的通过点x0时，若导数值不变号，则x0不是函数f(x)的极值点。4.2函数的极值与最值2.极值判别法判784.2函数的极值与最值求函数极值的一般解题步骤为：(1)求出导数；(2)求出函数的可疑极值点；(3)用极值判别法1判定以上的点是否为极值点；(4)求出极值点处的函数值，即为极值。4.2函数的极值与最值求函数极值的一般解题步骤为：794.2函数的极值与最值例3求函数的单调区间和极值。解：函数f(x)的定义域为得到驻点-14.2函数的极值与最值例3求函数的单调区间和极值。解：804.2函数的极值与最值判别法2：若，存在，

(1)若，则f(x0)为极小值。(2)若，则f(x0)为极大值。4.2函数的极值与最值判别法2：若814.2函数的极值与最值例4求函数的极值。解：此函数的定义域为因此函数f(x)在x1处取得极小值

4.2函数的极值与最值例4求函数824.2函数的极值与最值4.2.2函数的最值定义4.2设函数f(x)在闭区间I上连续，若x0∈I，且对所有x∈I，都有f(x0)>f(x)(或f(x)<f(x))，则称f(x0)为函数f(x)的最大值（或最小值）。4.2函数的极值与最值4.2.2函数的最值834.2函数的极值与最值实际问题求解最值的一般解题步骤为：(1)分析问题，建立目标函数

把问题的目标作为因变量，把它所依赖的量作为自变量，建立二者的函数关系，即目标函数，并确定函数的定义域。(2)解极值问题

确定自变量的取值，使目标函数达到最大值或最小值。4.2函数的极值与最值实际问题求解最值的一84例5堆料场的材料使用问题

欲围建一个面积为288平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三面墙壁新建，现有一批高为若干、总长度为50米的用于围建围墙的建筑材料，问这批建筑材料是否够用？

4.2函数的极值与最值例5堆料场的材料使用问题欲围建一个面积为288平方85解：设场地的宽为x

，为使场地面积为288

平方米，则场地的长应为288/x若以l表示新建墙壁总长度，则目标函数为

（1）求导数：

4.2函数的极值与最值解：设场地的宽为x，为使场地面积为288平若以l表示86（2）求驻点和不可导点：令得驻点为x=12

（3）求二阶导数：

所以，x=12是极小值点。

即当宽12米，长为24米时，用料最少。4.2函数的极值与最值（2）求驻点和不可导点：令得驻点为x=12（3）求二阶导数874.3曲线的凹凸与拐点4.3.1曲线的凹凸及其判别法

定义4.3

若曲线弧位于其每一点切线的上(下)方，则称曲线弧是凹(凸)的。第四章导数的应用4.3曲线的凹凸与拐点4.3.1曲线的凹凸及其判别法884.3曲线的凹凸与拐点如果曲线是凹的，那么其切线的倾斜角随x的增大而增大。4.3曲线的凹凸与拐点如果曲线是凹的，那894.3曲线的凹凸与拐点如果曲线是凸的，那么其切线的倾斜角随x的增大而减少。4.3曲线的凹凸与拐点如果曲线是凸的，那么904.3曲线的凹凸与拐点曲线凹凸的判定法

设f(x)在(a,b)内具有二阶导数(1)如果在(a,b)内有，则曲线在(a,b)

内是凹的；(2)如果在(a,b)内有，则曲线在(a,b)内是凸的。4.3曲线的凹凸与拐点曲线凹凸的判定法(1)如果在(a,914.3曲线的凹凸与拐点4.3.2曲线的拐点一般地连续曲线凹凸两段弧的分界点称为曲线的拐点。

求连续曲线的拐点步骤如下：(1)求出函数f(x)的或不存在的点。(2)在求出点的左、右两边，若异号，则该点就是拐点，否则，就不是拐点。4.3曲线的凹凸与拐点4.3.2曲线的拐点924.3曲线的凹凸与拐点例6求曲线的凹向区间与拐点。

解：

拐点为和4.3曲线的凹凸与拐点例6求曲线的凹向区间与拐点934.3曲线的凹凸与拐点4.3.3曲线的渐近线

若曲线y=f(x)上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某直线L的距离趋于零，则L称为该曲线的渐近线。渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。4.3曲线的凹凸与拐点4.3.3曲线的渐近线944.3曲线的凹凸与拐点1.垂直渐近线

若，则c是f(x)的垂直渐近线。4.3曲线的凹凸与拐点1.垂直渐近线若954.3曲线的凹凸与拐点2.水平渐近线

，则y=b是f(x)的水平渐近线。x=-1为垂直渐近线

y=1为水平渐近线

4.3曲线的凹凸与拐点2.水平渐近线，则y=b是f964.3曲线的凹凸与拐点4.3.4作函数图形的一般步骤1．确定函数的定义域、间断点；2．确定函数的特性，如奇偶性、周期性等；3．求出函数的一二阶导数，确定极值点、拐点；4．确定曲线的渐近线；5．计算一些特殊点的坐标；6．间断点、极值点与拐点把定义域分为若干区间，列表说明这些区间上函数的增减性与凹凸性；7．作图。4.3曲线的凹凸与拐点4.3.4作函数图形的一般步骤1974.3曲线的凹凸与拐点例6作出函数的图形。解:函数的定义域为，非奇非偶函数，没有渐近线；又x=3时一阶导数不存在

4.3曲线的凹凸与拐点例6作出函数984.3曲线的凹凸与拐点4.3曲线的凹凸与拐点994.4洛比达法则1.型未定式

法则1

设函数f(x)和g(x)满足条件：第四章导数的应用(2)在点a的某个空心邻域内，，存在，且；(1)(3)存在（或为）4.4洛比达法则1.型未定式法则11004.4洛比达法则例7

4.4洛比达法则例71012.型未定式

法则2

设函数f(x)和g(x)满足条件：(2)在点a的某个空心邻域内，，存在，且；(1)(3)存在（或为）4.4洛比达法则2.型未定式法则2设函数f(x)和g(1024.4洛比达法则例8

4.4洛比达法则例81034.5

应用与实践第四章导数的应用4.4.1应用1．边际分析边际成本边际收入边际利润4.5应用与实践第四章导数的应用4.4.1应用1．边1044.5应用与实践例9

某糕点厂生产某种糕点的收入函数为

(千元)，成本函数为(千元)，x的单位是百公斤．问应生产多少公斤糕点才不赔钱？解：利润函数

4.5应用与实践例9某糕点厂生产某1054.5应用与实践当x=9（百公斤）时，L(x)=0，不赔钱。当x<9（百公斤）时，L(x)<0，赔钱。当x>9（百公斤）时，L(x)>0，赚钱。

边际利润，表明多生产可以提高总利润。当边际利润大于零时，仅表明总利润在递增，并不表明赚钱。

4.5应用与实践当x=9（百公斤）时，L(x)=0，不赔1064.5应用与实践例10

若某产品每天生产x单位时，总成本函数（元），销售单价为25元。设产品能全部售出，问每天生产多少单位时，才能获得最大利润。解：总收益函数

总利润函数

4.5应用与实践例10若某产品每天1074.5应用与实践由于L(x)是单峰曲线，x=30就是L(x)的最大值点，最大值为L(30)=225（元）。所以产量为30单位时，能获得最大利润225元。为获得最大利润，应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平。

4.5应用与实践由于L(x)是单峰曲线，1084.5应用与实践例11

设每月产量为x吨时，总成本函数（元）。求(1)最低平均成本；(2)相应产量的边际成本。解：(1)平均成本函数为

4.5应用与实践例11设每月产量为x1094.5应用与实践此时，所以AC最小，最小值为78（元）。(2)边际成本函数为，当产量为140吨时，边际成本为78(元）。最低平均成本与相应产量的边际成本相等。

4.5应用与实践此时，所以AC最小1104.5应用与实践2．弹性分析用需求弹性去分析总收益（或市场销售总额）的变化。总收益R是商品价格p与销售量Q的乘积，即R=pQ，则4.5应用与实践2．弹性分析用需求弹性去1114.5