数学中考专题训练-勾股定理的应用

中考专题训练——勾股定理的应用.如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，求此时水杯中的水深为多少？（结果用根式表示）.《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在某城市街道直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A（观测点）正前方30米处的C处，过了2秒钟后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，问：这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1而s=3.6k“/〃）小汽车 小汽车b»-- qc点~.数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面还多1米，当同学们把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好接触地面，请你根据题意画出图形，并求旗杆的高度.A.如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处（图中B点位置）就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在这条路上通行吗？.甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东40°方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知8、C两岛相距100海里，判断乙船航行的方向，并说明理由..如图，有一个三角形花圃，NC=90°,AC=2Qm,BC=\0m,两个人同时从点8处出发，以相同速度沿着花圃四周散步，一个沿着D4方向走，另一个沿着BC,CA方向走，结果他们在点A处首次相遇，你能据此求出AO的长吗？试试看..如图是校园内的一块菜地，数学活动小组的同学量得：ZADC=90°,AD=40m,CD=30m,BC=l20m,AB=\30m,求这块菜地的面积..如图，是位于公路边的电线杆，高为10米，为了使电线。E不影响汽车的正常行驶,电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD,用于撑起电线.已知两杆之间的距离是8米，电线力£的长度为10米，求水泥撑杆8。的高度（电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）..某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，ZACB=90°,AC=80w,BC=60m.线段CD是一条水渠，且。点在边AB上，已知水渠的造价为1000元/〃?，问：当水渠的造价最低时，CO长为多少米？最低造价是多少元？

.如图，一棵树CD在其6〃?高的点B处有两只猴子，它们都要到4处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树12根处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶。后直线跃向池塘的A处.如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？.如图，是斜坡AC上的一根电线杆A8用钢丝绳8C进行固定的平面图.已知斜坡AC的长度为4m,钢丝绳BC的长度为5胆，48,40于点A,COLAO于点O,若CD=2m,则电线杆AB的高度是多少.（结果保留根号）B.如图，要修建一个育苗棚，棚高〃=3〃?，棚宽a=4,",棚长d=12m,现要在育苗棚的整个表面（除底面外所有的面）覆盖一层塑料薄膜，试求至少需要多少平方米塑料薄膜？（接缝处不计）.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5c7",高为12cm,吸管放进杯里，杯口外面露出5°n.问吸管要做多长?.如图，一架10米长的梯子A8,斜靠在一竖直的墙AC上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米.(1)求它的底端滑动多少米？(2)为了防止梯子下滑，保证安全，小强用一根绳子连接在墙角C与梯子的中点。处,你认为这样效果如何？请简要说明理由..如图，已知4C、BO为数值的墙面，一架梯子从点O竖起，当靠在墙面AC上时，梯子的另一端落在点A处，此时NAOC=60°,当靠在墙面8。上时，梯子的另一端落在点B处，此时NBOO=45°,且00=3&米.(1)求梯子的长：(2)求OC、AC的长..如图一架云梯AB斜靠在一面墙上，梯子的底端8离墙根。的距离08长为7米，梯子的顶端A到地面的距离0A为24米.(1)求这个梯子A8的长：(2)如果梯子的顶端A下滑4米到A'点，梯子的底端B向右滑动到夕点，试求的长..如图，有两条公路OM,ON相交成30°角.沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A,当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校4的距离越近噪声影响越大.若已知重型运输卡车产沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.■0°8眯.某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.(1)求尸Q、PR的长.(2)如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？.如图所示，A、8两块试验田相距200米，C为水源地，AC=\60m,BC=l2Qm,为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠.甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H,先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从”分别向A、8进行修筑.(1)请判断△A8C的形状(要求写出推理过程)；(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.水源池.中国对南沙群岛及其附近海域拥有无可争辩的主权.2015年10月27日，美国拉森号军舰未经中国政府允许，非法进入中国南沙群岛有关岛礁邻近海域.中国海军盐城舰加大南沙海域的巡航维权力度.如图，OALOB,0A=45海里，08=15海里,渚碧礁位于。点，盐城舰在点8处发现美国拉森号军舰，自A点出发沿着AO方向匀速驶向渚碧礁所在地。点，盐城舰立即从8处出发以相同的速度沿某直线去拦截拉森号军舰，结果在点C处截住了拉森号军舰.(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求盐城舰行驶的航程BC的长.参考答案：1.如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，求此时水杯中的水深为多少？（结果用根式表示）【分析】直接利用勾股定理得出尸8的长，再利用三角形面积求出答案.【解答】解：过P作于在RtZXAB尸中，N4BP=30°则”=8义工=42由勾股定理得：PB=(82_42=4炳,由得：2 2工X8•尸M=1X4X4百，2 2解得：尸M=2百，故水深为(10-273)cm,答：此时水杯中的水深为(10-2百)cm.2.《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在某城市街道直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A(观测点)正前方30米处的C处，过了2秒钟后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，问：这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：lm/s=3.6h〃友)小汽车 小汽车 3cTOC\o"1-5"\h\z''、、、 ：、 t、、 ■、 II 、'±观测点【分析】直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么8C的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC,那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了.【解答】解：在RtZ\4BC中，AC=30m,AB=50m,由勾股定理可得：bc=-7ab2-ac2=40(m)，.•.小汽车的速度为v=40+2=20(mis)=20X3.6(km/h)=72(km/h),V72(km/h)>70(.km/h'),•••这辆小汽车超速行驶.答：这辆小汽车超速了..数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面还多1米，当同学们把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好接触地面,请你根据题意画出图形，并求旗杆的高度.【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为X米，则绳子的长度为（X+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度.【解答】解：设旗杆的高度为X米，则绳子的长度为（X+1）米，根据勾股定理可得：/+5?=（x+1）2,解得，x=l2.答：旗杆的高度为12米..如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处（图中B点位置）就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在这条路上通行吗？一5^ 7—马路,居民楼【分析】先根据勾股定理求出8c及OC的长，进而可得出BO的长，根据载重汽车的速度是4/n/s即可得出受噪音影响的时间，与25秒相比较即可得出结论.【解答】解：如图，过点4作47_13。于点C,•由题意得4c=9,AB=AO=41,ACLBD,.♦.RtZXACB中，尤二山三产,RtAACO中，DC=^412_g2,，80=80,/.804-4=20（5）,・•・受影响时间为20s；V20<25,・•・可以通行..甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东40°方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达8岛，己知B、C两岛相距100海里，判断乙船航行的方向，并说明【分析】根据题意得出AC,AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出△BAC是直角三角形，进而得出答案.【解答】解：由题意可得：AC=15X4=60（海里），AB=20X4=80（海里），AC2+AB1=602+802=10000,BC2=10000,ti（.AC2+AB2=BC2,...△BAC是直角三角形，4c=90°,180°-40°-90°=50°,，乙船航行的方向是南偏东50°..如图，有一个三角形花圃，ZC=90°,AC=20m,BC=\0m,两个人同时从点B处出发，以相同速度沿着花圃四周散步，一个沿着BD,"4方向走，另一个沿着BC,C4方向走，结果他们在点4处首次相遇，你能据此求出40的长吗？试试看.【分析】设BO=x,AD=y,再由及勾股定理列出关于x、y的方程组,

求出y的值即可.【解答】解：设BO=x,AD=y,VBD+AD=BC+AC,AC2+CD2=AD1,AC=20m,BC=\Om,\-br=30,20\-br=30,202+(10+x)22

=y，解得y=25m,即40=25%.如图是校园内的一块菜地，数学活动小组的同学量得：ZADC=90°,AD=40m,CD=30m,BC=\20m,AB=l30m,求这块菜地的面积.【分析】连接AC,先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB的形状，根据SnniKABC=S^ACB-S&acd即可得出结论【解答】解：连接AC,【解答】解：连接AC,VAD=40,CD=30,ZADC=90°,,ac=V402+302=50,VAB=130,BC=120,.\AC2+BC2=AB2,.1△ACB是直角三角形，四边阳abc=SaAC8-Sa4CD=2X50X120-工><30X40=3000-600=2400(m2),2 2答：这块菜地的面积为2400届..如图，AE是位于公路边的电线杆，高为10米，为了使电线COE不影响汽车的正常行驶,电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD,用于撑起电线.已知两杆之间的距离是8米，电线OE的长度为10米，求水泥撑杆8。的高度(电线杆、水泥杆的粗细忽略不计).【分析】作。匚LAE于凡在RtZkEFD中，DF=AB=8,DE=10,由勾股定理求出EF,即可得出结果.【解答】解：作OFLAE于F,如图所示：则在RtZ\EF£）中，。尸=AB=8,DE=10,EF=VdE2-DF2=V102-82=6'/.BD=AF^AE-EF=10-6=4（米）：答：水泥撑杆8。的高度为4米..某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，ZACB=90°,AC=80m,BC=60m.线段CO是一条水渠，且。点在边AB上，已知水渠的造价为1000元/〃?，问：当水渠的造价最低时，CO长为多少米？最低造价是多少元？【分析】当C。为斜边上的高时，C。最短，从而水渠造价最低，根据已知条件可将C3的长求出，在RtaACC中运用勾股定理可将AO边求出.【解答】解：当C。为斜边上的高时，CO最短，从而水渠造价最低，VZACB=90°,AC=80米，BC=60米，,A8=VaC2+BC2=7602+802=10。米,'：CD-AB=AC'BC,即100=80X60,/.CD=48米，.•.在RtZXACO中，AC=80,CD=48,所以，CO长为48米，水渠的造价最低，其最低造价为48000元..如图，一棵树CC,在其6M高的点8处有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶O后直线跃向池塘的A处.如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？【分析】由题意知AD+O8=BC+CA,设BO=x米，则AO=(18-x)米，且在直角4ACD+CD1+CA1=Ab1,代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CO=6+x.【解答】解：由题意知AO+O8=8C+CA,且CA=12米，8c=6米，设B£)=x米，贝ijA£)=(18-x)米，在Rtz^ACD中：C£>2+ca2=a£>2,即(18-x)2=(6+x)2+122,解得x=3,故树高为C£>=6+3=9米.答：树高为9米..如图，是斜坡4c上的一根电线杆AB用钢丝绳BC进行固定的平面图.已知斜坡AC的长度为4处钢丝绳BC的长度为5m,A8_LAO于点A,CDLAD于点D,若CD=2m,则电线杆AB的高度是多少.(结果保留根号)【分析】过点C作CE//AD交AB于点E,得到矩形ADCE,那么AE=CD=2,CE=AD.先在直角△ACO中利用勾股定理求出AO,然后在直角△BCE中利用勾股定理求出BE,那么问题得解.【解答】解：过点C作CE〃AO交AB于点E,,.,4B_LAO于点A,CL»_LA。于点。，二四边形4OCE是矩形，：.AE=CD=2,CE=AD.在直角△ACO中，VZADC=90°,：.AD=y]AC2-CD2=2V3>：.CE=AD=2yf3,在直角△BCE中，VZBEC=90°,BE=VbC2-CE2=*^^13，：.AB=AE+BE=2+2>/13.即电线杆AB的高度是（2+J石）m..如图，要修建一个育苗棚，棚高〃=3切，棚宽a=4〃?，棚长d=12m,现要在育苗棚的整个表面（除底面外所有的面）覆盖一层塑料薄膜，试求至少需要多少平方米塑料薄膜？（接缝处不计）【分析】在侧面的直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜边长.棚顶是以侧面的斜边为宽，棚的长为长的矩形，依据矩形的面积公式即可求解，进而可求出需要多少平方米塑料薄膜.【解答】解：'：h=3m,a=4m,•'-^fi=VAC2+BC2=5（m），需要多少平方米塑料薄膜=5X12+2义工X3X4+3X12=108（m2）.CaB.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5cm,高为12cm吸管放进杯里，杯口外面露出5c〃7.问吸管要做多长？【分析】在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长.【解答】解：如图所示：•杯子底面直径为高为12cm,BC=5cm,AB=12cm,•••吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，'-AC=yjAB?+BC2=13cvn，•杯口外面至少要露出5cm,...吸管的长为：13+5—18cm..如图，一架10米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙4c上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米.(1)求它的底端滑动多少米？(2)为了防止梯子下滑，保证安全，小强用一根绳子连接在墙角C与梯子的中点。处，你认为这样效果如何？请简要说明理由.【分析】(1)在直角△ABC中，根据勾股定理求得BC的长度；然后在直角△48iC中,根据勾股定理求得81c的长度，则BBi=8iC-8C：(2)因为在直角三角形中：斜边上的中线等于斜边的一半，斜边为梯子的长度不变，所以绳子的长度不变，并不拉伸，对梯子无拉力作用.【解答】解：(1)在直角△ABC中，/ACB=90°,AB=10米，AC=8米，由勾股定理得8C=1ab2-AC2=6米.在直角△4B1C中，NACBi=90°,Aifii=10,A\C=1,由勾股定理得8iC=J比.所以 BC=y/^i-6答：它的底端滑动(相-6)米.(2)并不稳当，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，梯子若下滑，绳子的长度不变，并不拉伸，对梯子无拉力作用..如图，已知AC、8。为数值的墙面，一架梯子从点。竖起，当靠在墙面AC上时，梯子的另一端落在点A处，此时NAOC=60°,当靠在墙面BO上时，梯子的另一端落在点B处，此时NBOO=45°,且0。=3加米.(1)求梯子的长；【分析】(1)先根据题意得出△BO。是等腰直角三角形，再由勾股定理即可得出08的长；(2)先根据直角三角形的性质求出OC的长，再由勾股定理即可得出4c的长.【解答】解：(1)•.•由题意得，NBOO=90°,/800=45°,AZB=45°.：.OD=BD=3近(米).在中，08=4002+802=6(米)，二梯子的长是6米；(2)VZACO=90°,NAOC=60°，0A=0B=6米，•,.ZCAO=30",.•.OC=1aO=3米.2在RtZ\ACO中，*=〃02_0,2=^7=3百米.16.如图一架云梯AB斜靠在一面墙上，梯子的底端8离墙根0的距离08长为7米，梯子的顶端4到地面的距离0A为24米.(1)求这个梯子AB的长；(2)如果梯子的顶端A下滑4米到A'点，梯子的底端8向右滑动到夕点，试求88'的长.【分析】(1)在△R/AOB中依据勾股定理可知人群=。42-0^2=242+72=625,两边同时开方即可求得AB的长；(2)在RtZXA'OB'中依据勾股定理可求得OB'的长，从而可求得BB'的长.【解答】解：(1)在RtZ\AOB中,VOA=24,08=7,由勾股定理得：AB1=OA1-OB2=242+72=625=252.AAB=25；(2)OA'=OA-AA'=24-4=20,在在△A'OB'中，B'=25,OA'=20,由勾股定理得：OB'2-OA'2=252-202=225=152,：.OB'=15,：.BB'=OB'-08=15-7=8.17.如图，有两条公路OM,ON相交成30°角.沿公路OM方向离。点80米处有一所学校A,当重型运输卡车尸沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车户与学校4的距离越近噪声影响越大.若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.【分析】(1)作AO_LON于O,求出AO的长即可解决问题.(2)如图以A为圆心505为半径画圆，交ON于B、C两点，求出BC的长，利用时间=尊善计算即可.速度【解答】解：（1）作AOLON于£>,；NMON=30°,AO=80m,：.AD=^OA=40m,2即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校4的距离40m.（2）如图以A为圆心50根为半径画圆，交ON于8、C两点，\'AD.LBC,:.bd=cd=Lbc,2在RtAABD中，BD=^/ab2_ad2=7502-402=30,n,:.BC=6Qm,•.•重型运输卡车的速度为18千米/时=300米/分钟，重型运输卡车经过8c的时间=60+300=0.2分钟=12秒，答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒.18.某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.（1）求尸Q、PR的长.（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？【分析】（1）根据路程=速度X时间计算即可.(2)利用勾股定理的逆定理证明NQPR=90°即可.【解答】解：根据题意，得P(2=16X1.5=24(海里)，12X1.5=18(海里)，P^+PR2=242+182=900,0/?2=900:.pq1+pr2=qr2,:.NQPR=90°.由“远航号”沿东北方向航行可知，NQPS=45°,则NSPR=45°,即“海天”号沿西北方向航行.19.如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC=l60m,BC=\20m,为了方便灌溉，现有两种方案