数学中考专题训练-二次函数综合题

中考专题训练——二次函数综合题.如图，抛物线y=a(x+2)(x-3)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且过点(4,3).(1)如图1,求抛物线的解析式；(2)如图2,点P为第一象限的抛物线上一点，连接附交y轴于点£>,设点尸的横坐标为r(r>3),CO的长为d,求d与r的函数关系式(不要求写出自变量，的取值范围)；(3)如图3,在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线，垂足为点”，连接CB,并将CB延长交PH于点G,连接OG,点E为抛物线上一点，分别连接OE、CE、EG,若NDEG=90",tanZCED=2,求E点的坐标..如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=f+bx+c"、c为常数)与y轴交于点C,对称轴为直线x=-3,点N(-4,-5)在该抛物线上.(1)求该抛物线的函数表达式：(2)连接CM点P是直线CN下方抛物线上一动点，过点尸作「“〃丫轴交直线CN于点、H,在射线C”上有一点G使得尸H=PG.当△PGH周长取得最大值时，求点P的坐标和△PG”周长的最大值；(3)如图2,在(2)的条件下，直线/：y=」x-3与X轴、y轴分别交于点E、F,将2 2 '原抛物线沿着射线FE方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E,动点M在平移后的抛物线上，点7是平面内任意一点，是否存在菱形ME7P,若存在，请直接写出点7的横坐标，若不存在，请说明理由..已知二次函数y=7-nu+zn(m为常数).（1）当机=4时.①求函数顶点坐标，并写出函数值y随x增大而减小时x的取值范围.②若点P（nyi）和。（5,y2）在其图象上，且时.则实数t的取值范围是.（2）记函数y=/- （xW/w）的图象为G.①当图象G与直线y=-1只有一个交点时，求机的值.②矩形A8CO的对称中心为坐标原点，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2,2-m）,当图象G在矩形ABC。内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小，并且图象G在矩形ABCC内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为2时，直接写出机的值..如图，在平面直角坐标系中，抛物线旷=0?+法+。（acWO）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段04、08、OC的长满足则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线'=/+^+2（aWO）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A,B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C,且04=408.（1）求抛物线的解析式；（2）若P为4c上方抛物线上的动点，过点P作尸OLAC,垂足为O.①求的最大值；②连接PC,当△PC。与△ACO相似时，求点P的坐标..如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+bx+c经过点A（0,-3）,与x轴的交点为B、C,直线/：y=2x+2与抛物线相交于点C,与y轴相交于点。，尸是直线/下方抛物线上一动点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）过点P作线段PM〃x轴，与直线/相交于点M,当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；（3）把抛物线绕点。旋转180。，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以8、E、F、G为顶点、为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来.

.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x交于点E,B.(1)求二次函数＞=0?+加+。的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C,点尸为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作尸。平行于y轴交A8于点Q,当点P在何位置时，四边形4PCO的面积最大？求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，以A,E,N,M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M的坐标..如图，抛物线的对称轴是直线x=l,与x轴交于点4,8(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,点。在抛物线的对称轴上，连接4。，将线段4。以点。为旋转中心顺时针旋转90°,得到线段。E,当点E落在抛物线上，求出此时点。的坐标；(3)如图2,抛物线的对称轴与直线BC相交于点E,于x轴交于点尸，点G在直线BC上，点，在抛物线上，是否存在以E,F,G,〃为顶点的四边形为平行四边形，若存在,请直接写出点”的坐标，若不存在，请说明理由.

8.如图，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0）,交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式;（2）设点尸是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P,使5△以8面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）设点Q（异于C点）是抛物线上的一个动点，是否存在一点。，使SaqabuSacab.若（1）求抛物线的解析式;请说明理由.B(3,0),交y轴于C(0,3).（1）求抛物线的解析式;请说明理由.（2）尸是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为r,P到BC的距离为儿求〃与，的函数关系式，并求出〃的最大值:（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N,使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标..如图1,直线y=2x+3与抛物线y=）交于点A、B,直线y=H-好5与48交于点C,与抛物线交于点。、E.(1)点A、8、C的坐标分别为；(2)如图2,若OC=2CE,求上的值：(3)如图3,直线£>A、BE交于点Q,求0Q的最小值..如图1,在直角坐标系中，抛物线。：y=ax2+bx+3(aWO)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C,已知tanNCAO=2,B(4,0).(1)求抛物线Cl的表达式；(2)若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE〃x轴交BC于点E,求PE的最大值及此时点P的坐标：(3)如图2,点尸是BC上一点，。尸平分△CO8的面积，将抛物线Ci沿射线CB方向平移，当抛物线恰好经过点尸时，停止运动，记平移后的抛物线为C2.已知点M是原抛物线C1上的动点，在抛物线C2的对称轴上是否存在一点M使得以点C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由..数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45。，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角.根据该约定，完成下列问题：(1)如图1,已知正方形ABCO中。是对角线AC上一动点，过O作OPLOD,垂足为O,交BC边于P,△POO是否为一中美三角，并说明理由；(2)如图2,在平面直角坐标系中，点A(-2,0),点8(0,2),点P在第二象限内，且在直线y=-2x-2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；(3)如图3,若二次函数y=-W+2x+3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,P为第二象限上的点，在直线4c上，且NOP8恰好构成一中美角；。为x轴上方抛物线上的一动点，令。点横坐标为m(0<m<3),当m为何值时，△PB。的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积..如图，二次函数y=-7+加什3的图象与x轴交于4、B两点,与y轴交于点C,点O在函数图象上，CC〃x轴且CD=2,直线/是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.(1)则机=、A点的坐标、B点的坐标、E点的坐标；(2)如图1,连接BE,线段OC上的点F关于直线/的对称点户恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图2,抛物线的对称轴上是否存在点T,使得线段以绕点7顺时针旋转90°后，点A的对应点4恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点7的坐标；若不存在，请说明理由.(4)如图3,动点P在线段08上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点。，使得△PQN与AAPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，直接写出。的坐标：若不存在，说明理由..如图，已知二次函数y=/+bx+c经过4,B两点,BC_Lx轴于点C,且点A(-l,0),C(4,0),AC=BC.(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段48上一动点(不与A,B重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点、F,当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S"BF；(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使AAB尸成为直角三角形？若存在，求出所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由..如图，已知抛物线y=/+fcr+c与x轴相交于A(-1,0),BCm,0)两点，与y轴相交于点C(0,-3),抛物线的顶点为。.(1)求抛物线的解析式；(2)若点E在x轴上，且NECB=NCBD,求点E的坐标.(3)若尸是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作尸，，x轴于点4,与BC交于点M.①求线段尸M长度的最大值.②在①的条件下，若「为y轴上一动点，求PH+HF+返CF的最小值.备用图.如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、8(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，过点D作DFLx轴于点F，交直线BC于点£,连接BO、CD.设点。的横坐标为胆，的面积为S.求S关于m的函数解析式及自变量"?的取值范围，并求出S的最大值；(3)已知M为抛物线对称轴上一动点，若是以8c为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标..如图1,在平面直角坐标系中，抛物线丫=--4or-6(a>0)与x轴交于A,B两点，且08=304,与y轴交于点C,抛物线的顶点为。，对称轴与x轴交于点£(1)求该抛物线的解析式，并直接写出顶点。的坐标：(2)如图2,直线y=-1>x+〃与抛物线交于G，H两点,直线4H,4G分别交y轴负半轴于M,N两点，求OM+ON的值；(3)如图1,点P在线段OE上，作等腰△BPQ,使得P8=PQ,且点。落在直线CO上，若满足条件的点。有且只有一个，求点尸的坐标..如图，在平面直角坐标系中，直线y=/x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线了=-_l，+5x+c经过4、C两点，与x轴的另一交点为点B.2(1)求抛物线的函数表达式；(2)点。为直线AC上方抛物线上一动点；①连接8C、CD,设直线8。交线段AC于点E,的面积为Si,/kBCE的面积为S2,求包的最大值；S2②过点D作DFLAC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于N54C的2倍？若存在，求点。的横坐标；若不存在，请说明理由.

备用图备用图.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=/+瓜+3经过A(-3,0)、B(1,0)两点，其顶点为。，连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、。重合).(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点。的坐标；(2)如图1,过点P作PE_Ly轴于点E.求面积S的最大值；(3)如图2,抛物线上是否存在一点。，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出。点坐标，若不存在请说明理由..如图，已知抛物线y=7+2x的顶点为A,直线y=x+2与抛物线交于B,C两点.(1)求A,B,C三点的坐标；(2)作CO_Lx轴于点。，求证：AODC^AABC；(3)若点尸为抛物线上的一个动点，过点P作PMLx轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O,P，M为顶点的三角形与△A8C相似？若存在，请求出这样的P点坐标：若不存在，请说明理由..如图，在平面直角坐标系中，抛物线yuo?+bx+c(a<0)与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C,且OC=2O4.(1)试求抛物线的解析式；(2)直线丫=h+1(%>0)与y轴交于点。，与抛物线交于点P,与直线8c交于点M,记忆=里，试求m的最大值及此时点P的坐标；DM(3)在(2)的条件下，加取最大值时，点。是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N,使得以P、。、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由..如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=a?-2ar-3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C,连接BC,且OB=OC.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,点。为第一象限抛物线上一点，过点。作于点E,设点。的横坐标为f,求d与f的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点尸为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G,连接。凡过。作尸交FG于点H,点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tanN//£»N=」Z,当四边形。"MN为菱形时，求点N的坐标.5图1图1备用图.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=-1^2卷*+2交x轴于A，8两点(A在B的左侧)，交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线的顶点及对称轴：(3)若点。是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+C。是否存在最小值？若存在，求出点。的坐标：若不存在，说明理由：(4)若点P是直线BC上方的一个动点，APBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时APBC的面积；若不存在，说明理由..在平面直角坐标系中，二次函数丫=«?+加+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点。作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点Q,使以点B、。、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，说明理由.参考答案与试题解析1.如图，抛物线y=a(x+2)(x-3)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且过点(4,3).(1)如图1,求抛物线的解析式；(2)如图2,点P为第一象限的抛物线上一点，连接力交)，轴于点。，设点尸的横坐标为r(f>3),CO的长为d,求d与t的函数关系式(不要求写出自变量f的取值范围)；(3)如图3,在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线，垂足为点“，连接C8,并将CB延长交P”于点G,连接OG,点E为抛物线上一点，分别连接OE、CE、EG,若NDEG=90°,tanNCED=2,求E点的坐标.【分析】(1)将点(4,3)代入函数解析式，求出a的值，即可得出函数解析式；(2)过点尸作尸轴于点H,用r表示相应线段，再由得相似三角形的比例线段，求出O。的长，进而可求得“与，的函数关系式：(3)先求出直线BC的解析式，可证明四边形OCG/Z为矩形，得CD=DG,连接EG,过点C作CM1.OE于点M,证明△CMCgZXOEG,得CM=DE,DM=EG,过点E作EQLDG于点Q,再设CM=OE=2/n,0D=y[^m,由勾股定理与三角函数求出EN与E。便可得结果.【解答】解：(1)将点(%3)代入函数解析式y=a(x+2)(x-3),：.a(4+2)X(4-3)=3,解得a=工，2...函数解析式为：y=l(x+2)(x-3)=1?--lx-3.TOC\o"1-5"\h\z,2 2 2(2)由(1)知函数解析式为：y=—x2---x-3.-2 2令y=0,则」■/-工1-3=0,解得x=-2或x=3," 2 2AA(-2,0),B(3,0),令x=0,解得y=-3,：.C(0,-3).过点P作尸轴于点如图所示,点p在抛物线-3±,.,.点P的坐标为(r,—i2-Ar-3),2 2：.PH=^t2-2t-3,OH=t,2・'・A”=/+2,•：OD〃PH,：・1\OADsXhAP,:.PH：AH=OD：OA,即(A?-Ar-3):(f+2)=OD：2,2 2：.OD=t-3,V0C=3,.\CD=3+r-3=r,•.d=t\(3)设直线BC解析式为y=Ax+。(攵£0),•:B(3,0),C(0,-3),.j3k+b=0,1b=-3解得，『，lb=-3；.BC的解析式为：y=x-3,"：PHLx^A,.,.点G纵坐标为t-3,：.GH=t-3=OD,"."OD//GH,：.四边形ODGH为平行四边形，VZDO//=90°,四边形ODG4为矩形,ZCDG=90°,DG=OH=t,'：CD=t,：.CD=DG,如图，连接EG,过点C作CMLOE于点M,VZEDC+ZEDG=90°,ZEDC+ZDCA/=90°,:.NEDG=NDCM,:NCMD=NDEG=90°,:.ACMD出/\DEG(AAS),：.CM=DE,DM=EG,VtanZCED=2,.更=2"ME'设CM=OE=2m,ME=m,：.DM=EG=m,由勾股定理得，CD=^m,：.DG=y/5m,过点E作EQLOG于点Q,作EN，y轴于点N,•.,tanNEZ)Q=区=工=粤DE=2m,E^+D^^ED1,DE2DQ・匚八_2v5八八_4v5・・EQ=---m,DQ=---tn,5 5：.DN=EQ=^^-m,...CN=J?!叵如5二点E的坐标为E(生底⑤/5_m-3),5 5将E点的坐标代入抛物线旷=工(x+2)(x-3)中，得工(^Llm+2)(亚2心3)=2 2 5 53V5々5解得加1=0(舍去)，m2=—,8：.E(立，-9).2 82.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/+bx+c(6、c为常数)与y轴交于点C,对称轴为直线x=-3,点N(-4,-5)在该抛物线上.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)连接CM点P是直线CN下方抛物线上一动点，过点P作2”〃、轴交直线CN于点，，在射线CH上有一点G使得户”=PG.当△PG4周长取得最大值时，求点尸的坐标和△PG”周长的最大值：(3)如图2,在(2)的条件下，直线/：尸去-"!■与x轴、y轴分别交于点E、F,将原抛物线沿着射线FE方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E,动点M在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理【分析】(1)通过对称轴可先求出b的值，再将N点坐标代入，即可求出二次函数的表达式；(2)找出△PGH的三边关系比例，设出点P的坐标之后可列出△PGH的周长的解析式；(3)先设出M点的坐标，利用两点间的距离公式可表示出M尸和ME的关系式，即可求出M点的坐标，最后运用全等三角形可求出T的坐标.住-3【解答】解：(1)根据题意得： 2 ,16-4b+c=-5

解得：产6,1c=3该抛物线的函数表达式为y=7+6x+3；(2)如图1,过点尸作PKLCN于点K,设直线CN交x轴于点M,令x=0,得y=3,：.C(0,3),设直线CN的解析式为丫=履+〃，把C(0,3)、N(-4,-5)代入得:尸，I-4k+n=-5解得：俨2,In=3・•・直线CN的解析式为y=2x+3,令y=0,得2x+3=0,解得：x=-—,2：.M(-3,0),2在RtZ\CMO中，CM=^oc在RtZ\CMO中，CM=^oc2<)M2=/c2./3、2—2+份)—丁'设尸"，P+6什3),则“(62r+3),：.PH=(2f+3)-(»+6r+3)=-z2-4f,:・PG=-P-"*：PH=PG,PKLHG,：.HG=2HK,,:PKA.CN,:・/PKH=/MOC=90°,•・・p”〃y轴，:・/PHK=/MCO,:ZHKsAMCO,.HK=0C日n HK,,PHCM，-t2_4t3752

:(-?-4r),5(-?-4r),5二△PGH周长=PH+PG+HG=(-?-4r)+(-?-4/)+-^^-(-z2-4/)=-+投TOC\o"1-5"\h\z5 5(?+4f)=-4泥+1。G+2)2+16而+40,5 5..._4/5+10<Q>.4</<0i此时点P的坐标为(-2,-5)；此时点P的坐标为(-2,-5)；51 3(3)联立方程组得＜y=Tx(3)联立方程组得＜9x2-^29x2-^2X1=-l解得：.了1=-2：.E'(-1,-2),在y=Lr-旦中，令y=0,得工■工一旦二。，2 2 2 2解得:x=3,：.E(3.0),；原抛物线上的点E'(-1,-2)平移后得到E(3,0),.••原抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位，,原抛物线y=，+6x+3=(x+3)2-6,顶点坐标为(-3,-6),••・平移后的抛物线顶点坐标为(1,-4),二平移后的抛物线解析式为：尸(x-1)2-4=/-2r-3,•.•动点M在平移后的抛物线上，.,.设A/(/n,m2-2zn-3),•菱形METP,和MT为对角线，:.MP=ME,VP(-2,-5),E(3,0),，“户=的-(-2)]2+[m2-2m-3-(-5)]2A/E2=(zn-3)2+(m2-2/n-3-0)2,'：MP=ME,TOC\o"1-5"\h\z解得”?=上近_或上正_,2 2"2-2m-3=或」--52 2点的坐标为（上正，上近_）或（上应，虫二殳），2 2 2 2①当M点的坐标为（上返，返二i）时：2 2如图所示，过点M作轴于J,过r作y轴的平行线与过P点且平行于X轴的平行线交点L,过点M作MV〃x轴与ET交点、V,贝ljj(.lM,0),MV//PL,2:.ME=PT,ME//PT,:"EMV=NTPL,：.NMEJ=NTPL,在△M/E和△?!#中，'NMJE=NTLP-ZMEJ=ZTPL)ME=PL:.XMJE叁NLP(A4S),:"MJ=TL=,PL=JE=,2 2...点T的横坐标为-2+&亚■=返上1,纵坐标为-5+殳返=至返,2 2 2 2TOC\o"1-5"\h\z...T点的坐标为（返良，一旦返），2 2②当M点的坐标为（上巫，旦应）时：2同理①可得T点的坐标为（上逅，近二0）,2 2综上所述，7点的坐标为（运良，原二》）或（上返，在二》）.2 2 2 2图I.已知二次函数y=/-侬+小（机为常数）.（1）当m=4时.①求函数顶点坐标，并写出函数值y随x增大而减小时x的取值范围.②若点尸（f,yi）和Q（5,”）在其图象上，且yi>”时.则实数，的取值范围是」<-1或f>5.（2）记函数y=7- 的图象为G.①当图象G与直线y=-1-/77只有一个交点时，求m的值.②矩形A8CO的对称中心为坐标原点，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2,2-m）,当图象G在矩形ABCO内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小，并且图象G在矩形A8CC内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为2时，直接写出机的值.【分析】（1）①把m=4代入二次函数解析式中，并化为顶点式，再结合函数开口方向可得结论；②由二次函数开口可知，点离对称轴水平距离越大，y值越大，由此可解答；（2）①需要分两种情况，完整抛物线与x轴有一个交点和两个交点的情况求解.②利用数形结合方法，分类讨论抛物线顶点在矩形内部与外部两种情况.【解答】解：（1）①当m=4时，y=x2-4x+4=（x-2）2,函数的顶点为（2,0）,VI>0,...当x<2时，y随x的增大而减小：@'：P(/,yi)和Q(5,y2)在其图象上，yi>”，P(f,yi)到对称轴的距离小于Q(5,y2)到对称轴的距离，/.|r-2|>|5-2|,：.t<-1或>5,故答案为：/V-1或r>5；(2)①当二次函数y=W-mx-^-rn与y=-\-m有两个交点时，即方程7-如+2根+1=0有两个不相等的实数根，可得A=m2-4(2机+1)>0,解得nt<4-2料或用>4+2遥，当二次函数y=/-nvc+m与y=-1-m有一个交点时，即方程7-znr+2/n+l=0有两个相等的实数根，可得人=川-4(2w+l)=0,解得m-4-2%或加=4+2巡，当切=4-2强时，-^=2-75- 此时y=-1-机与图象G无交点；当布=4+2病时，典=2+逐，此时y=-1与图象G有一个交点.2 2当二次函数与直线x=m的交点恰为Cm,-1-m)时，m2-n^+m=-1-w,解得m=_1—-.2综上可知，〃■或〃7=4+2>/^.②抛物线y=f- 〃，经过定点(1,1),点A坐标为(2,2-/W),点3坐标为(2,m-2),当初20时，直线在顶点右侧，当图象G在矩形内部对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，

有典22,即加24,2,图象与矩形最高点的纵坐标为m-2,最低点为y=4-m,'.m-2-(4-m)=2,解得胆=4.当-2</„W叫号时，-2<加40满足题意，此时图象最低点为(m,m),2抛物线与直线x=-2交点为(-2,3/n+4),当3m+4》2-m时，mN-0.5,此时抛物线与矩形交点纵坐标为2-机，.,.2-m-m=2,解得rn=0.当3/n+4V2-m时，a<-0.5,抛物线与矩形交点最高点纵坐标为3m+4,综上所述，机的值为0或-1或4.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=苏+法+<?(acWO)与x轴交于点A和点B(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C.若线段04、OB、0C的长满足O(^=OA・OB,则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线y=aAbx+2(”0)为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A,8(其中8在A的右侧)，与)，轴交于点C,且OA=4O8.(1)求抛物线的解析式；(2)若P为4C上方抛物线上的动点，过点P作尸OLAC,垂足为。.①求PO的最大值；②连接PC,当△PC。与△4CO相似时，求点P的坐标.【分析】(1)求出点A和点B的坐标，然后代入抛物线的关系式求得结果；(2)①作PFL48于F交AC于£求出AC的关系式，然后设点P(m,--lm2-+2),E(m，-^-m+2).表示出PE=--j-m2-2m,求出PE的最值，根据△PCEs4AOC,进而求出尸。的最大值：②当△PCCs^AC。时，作尸FJ_OA于凡交AC于E,可推出PC=PE,进而求得结果,当△尸CQs^cA。时，可得点P与点C关于抛物线对称轴对称，求得点尸的坐标.【解答】解：(1)由题意得，OC=2,OA=4OB,9：OA^OB=OC29.\4OB2=4,0B=1,OA=4,AA(-4,0), (1,0),.(a+b+2=0116a-4b+2=01b.J.123门y=»x3x+2；(2)①如图1,作PFLAB于尸交AC于£・.・OA=4,OC=2,ZAOC=90°,AC=VaO2-K)C2=2遥，可得AC的关系式是：y=/x+2，设点P(加，-/m?-微~ir+2),E(m,/m+2),：・PE=(-/m?-■1_n+2)一(/m+2)=一/m?-2/n=-](m+2)2+2,・•・当加=-2时，PE最大=2,VZPDE=ZAFE=90°,NPED=NAEF,：./DPE=NEAF,•:/PDE=ZAOCf.,.△PDE^AAOC,.PD=PE**0AAC•四陪=舞=酢阳②如图2,当△PC£)s/\CAO时，ZPCD=ZCAB,J.PC//AB,，点P与点C关于抛物线对称轴对称，：.P(-3,2),如图3,当△PC£>sZ\aco时，作尸凡L04于凡交AC于£,由①知：△PE£)sZ\acO,:APCDsAPED,:APCD学APED,：.PC=PE,(-—m2-2m)2=m2+(-—m2-—n)2,TOC\o"1-5"\h\z2 2 2.,.m=--,2当m=-S时，y=--X(-J.)2-J.X(-J.)+2=—,2 2 2 2 2 8：.P(一反，至)，2 8综上所述，符合条件的P的坐标(-3,2)或者(-3,空).5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=7+6x+c经过点4(0,-3),与x轴的交点为8、C,直线/：y=2x+2与抛物线相交于点C,与y轴相交于点O,P是直线/下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的函数表达式;

(2)过点尸作线段PM〃x轴，与直线/相交于点M,当PM最大时，求点尸的坐标及PM的最大值;(3)把抛物线绕点。旋转180。，再向上平移使得新抛物线过(2)中的尸点，E是新抛物线与y轴的交点，尸为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以8、E、/、G为顶点、8尸为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来.【分析】(中一个点G的坐标的过程写出来.【分析】(1)先求出C点坐标为(-1,,0)代入函数解析式y=/+bx+c,求解即可:(2)设P(a,a1-2a-3),因为尸轴且点M在直线/：y=2r+2上，所以M(/cP,~a-—,a?-2a-3),则PM=a-(—a2-a--)=--a2+2a+—="—(x-2)

2 2 2 2 2 22+9,再根据二次函数的最值求法求解即可；2(3)因为抛物线的函数表达式y=7-2x-3,所以顶点坐标(1,-4),与x轴的交点B(3,0),C(-1,0),由旋转可得，新抛物线的项点为(-1,4),与x轴的交点为(-3,0),(1,0),所以设新抛物线解析式为y=-(x+1)2+4,因为向上平移使得新抛物线过(2)中的P(2,-3)点，设平移后解析式为y=-(x+1)2+4+k,所以3=-(2+1/+4+%,解得k=2,所以平移后解析式为y=-(x+1>+4+2=-7-2x+5,所以E(0,5)；设F(1,力，G(.m,n),若以B、E、F、G为顶点，BF为边的四边形是菱形，则需要分线段BE是对角线或BE是边两种情况，分别根据菱形的性质求解即可.【解答】解：(1)•••直线1：y=2x+2与抛物线相交于点C,工。点坐标为(-1,0),把4(0,-3),C(-1,0)代入函数解析式y=/+bx+c得:卜3 ,解得，b“2,Il-b+c=0Ic=-3抛物线的函数表达式y=7-2x-3.(2)设P(a,a2-2a-3),轴，纵坐标为a2-2a-3,;点M在直线/：y=2x+2±,M(—a2-a--,a2-2a-3),2 2'.PM—a-(—a2-a--)=--c^+2a+—=-—(x-2)2+—.2 2 2 2 2 2...当a=2时PM最大，最大值此时P点坐标(2,-3).2(3)•.•抛物线的函数表达式y=7-2x-3,...顶点坐标(1,-4),与x轴的交点B(3,0),C(-1,0),:把抛物线绕点。旋转180°,二旋转前后对应点关于原点对称，二新抛物线的项点为(-1,4),与x轴的交点为(-3,0),(1,0),设新抛物线解析式为y=-(x+1)2+4,二向上平移使得新抛物线过(2)中的P(2,-3)点，设平移后解析式为y=-(x+D2+4+h/.3=-(2+1)2+4+Jt,解得％=2,...平移后解析式为y=-(x+1)*+4+2=-x2-2x+5,♦••E是平移后抛物线与y轴的交点，：.E(0,5),•••尸为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点,.•.设/(1,/),GCm,")(•.•以8、E、F、G为顶点，8尸为边的四边形是菱形，二线段BE可能是对角线也可能是边，①当BE是对角线时，♦.•菱形BFEG对角线BE,FG互相垂直平分，,:E(0,5),B(3,0),的中点坐标为(3,包)，22,:BE的中点坐标也是FG的中点，：.G(2,57),'：GE=GB,：.(2-0)2+(5-r-5)2=(2-3)2+(5-r-0)2,解得：r=卫，即G点坐标(2,2士)；5 5②当BE为边长时，BE=BF,由距离公式得，(3-0)2+(0-5)2=(3-1)2+(0-/)2,解得：r=±V30-•••菱形BFGE对角线互相垂直平分，...由中点坐标公式可得，G(-2,百5+5)或(-2,-V30+5)：综上，满足题意的点G的坐标为：(-2,弋30+5)或(-2,-730+5)或(2,」且).56.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+6x+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x交于点E,B.(1)求二次函数y=o?+bx+c的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C,点尸为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作尸。平行于y轴交A8于点。，当点P在何位置时，四边形4PCO的面积最大？求出最大面积：(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，以A,E,N,M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M的坐标.【分析】(1)设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；(2)先求出直线AB解析式，设出点P坐标(x,-7+4x+5),建立函数关系式S四边形APCD=-Z^+lOx,根据二次函数表达式求出极值：(3)先判断出△“〃可丝△AOE,求出M点的横坐标，从而求出点M的坐标.

【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-2)2+9,•抛物线与y轴交于点A(0,5),，4〃+9=5,•・-1,/+4x+5；y=-(x-2)2+9=-/+4；1+5,即二次函数旷=苏+云+。的表达式是/+4x+5；(2)当y=0时，-/+4x+5=0,Axi=-1,X2=5,：.E(-1,0),B(5,0),设直线AB的解析式为y=mx^n,VA(0,5),B(5,0),由点A、8的坐标得，直线A8的解析式为y=-x+5；设尸(x,-7+4x+5),AD(x,-x+5),:,PD=-x2+4x+5+x-5=-/+5x,VAC=4,，S四边形apcd=1・AC•尸£>=2(-/+5x)=-Z^+lOx,2...当x=S时，2，即点P(—,—)时，S四边彩4PCD版大=空：2 4 2(3)如图，过M作垂直于对称轴，垂足为”,'：MN//AE,HN//OA,：.NHNM=NOAE(两角的两边相互平行，这两角相等).又,；NMHN=NE0A=9Q°,MN=AE,：./\HMN^/\OEA(AAS),：.HM=OE=\,点的横坐标为x=3或x=l,当x=l时，M点纵坐标为8,当x=3时，M点纵坐标为8,点的坐标为(1,8)或(3,8).7.如图，抛物线的对称轴是直线x=l,与x轴交于点A,8(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,点。在抛物线的对称轴上，连接A。，将线段AO以点。为旋转中心顺时针旋转90°,得到线段OE,当点E落在抛物线上，求出此时点。的坐标；(3)如图2,抛物线的对称轴与直线BC相交于点E,于x轴交于点F,点G在直线BC上，点”在抛物线上，是否存在以£,F,G,〃为顶点的四边形为平行四边形，若存在,请直接写出点”的坐标，若不存在，请说明理由.【分析】(1)由抛物线的对称轴为直线x=l,可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+公根据抛物线经过点8(3,0)和点C(0,3),用待定系数法即可解得y=-/+2x+3：(2)过点E作EM_L对称轴，垂足为对称轴交x轴相交于点N,证明TOC\o"1-5"\h\z(AAS),可得AN=£>M,DN=ME,设点。的坐标为(1,M得 2+m),代入y=-f+2x+3上，即可解得，m\=\,mz=-2,故。(1,1)或。(1,-2)；(3)求出E(1,2),F(1,0),设G(〃，-n+3),H(n-?+2f+3),分三种情况：①以EF、G”为对角线，则ERGH的中点重合，可得，(空叵，土叵_)2 2或(2zYI工，二,②以EG、产//为对角线，可得H(2,3),③以EH、FG2 2

为对角线，可得h(3为对角线，可得h(3廿4),7.1V17)(3-/17,jiWrz)2 2 2 2【解答】解：(1)•.•抛物线的对称轴为直线x=l,...设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+上•抛物线经过点B(3,0)和点C(0,3),代入y=a(x-1)2+k,.[4a+k=0,1a+k=3解得：卜=T,\k=4二抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-/+2r+3；(2)过点E作EM,对称轴，垂足为对称轴交x轴相交于点N,，即可得到答案.得:如图:在y=-/+2r+3中令y=0得x=-1或x=3,(-1,0),由已知得：AD=DE,ZADE=9O°,ZAND=ZDME=90°,:.NNDA+NMDE=90°,在RtZ\AN£>中，ZNDA+ZNAD=9O°,：.2NAD=4MDE,：.(AAS),:.AN=DM,DN=ME,设点D的坐标为(1,m),：.AN=DM=2,DN=ME=-m,'.E(1-w.2+/n).点E落在抛物线y=-？+2x+3上，•*.2+m=-(I-zn)2+2(1-zn)+3,即n^+m-2=0,解得，m\=\,W2=-2,：.D(1,1)或O(1,-2)；

（3）存在以E、F、G、，为顶点的四边形是平行四边形.理由如下:由点B(3,0)和点C(0,3)可得直线8c为旷=-x+3,在丫=-x+3中令x=l得y=2,：.E(1,2),对称轴直线x=l与x轴交点尸（1,0）,设G（小-n+3）,H（r,-?+2r+3）,①以EF、GH为对角线，则EF、GH的中点重合，.J1+1=n+t9 ,解得尸受叵或尸生返；2+0=-n+3~t+2t+3 2 2：.h（赳®.zkVS.）或,2 2 2 2②以EG、FH为对角线，1+n=1+t：.\ ,解得r=l（此时G与E重合，舍去）或r=2,2-n+3=-t2+2t+3：.H（2,3）,③以EH、FG为对角线,l+t=l+n2-t2l+t=l+n2-t2+2t+3=-n+3解得好或『喑;H，而,-1W17)或(3海,-1而)2 2 2 2综上所述，，的坐标为（空叵，士叵）或（圭乂立，二1±叵）或（2,3）.2 2 2 28.如图，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0）,交y轴于点B.（1）求抛物线和宜线AB的解析式；（2）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P,使S△以8面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）设点。（异于C点）是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q,使5aqab=5aCab.若存在，直接写出。点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据顶点坐标为点C(l,4)设抛物线的解析式为：y=a(X-1)2+4,代入A点坐标到二次函数解析式中，求出系数。的值，从而求二次函数解析式，再利用A,B两点的坐标求出直线AB解析式；(2)如图2,设尸(X,-x2+2x+3)(0<x<3),利用面积差可表示△以B的面积，配方后可得当x=2■时，△FB有最大面积，由此可得点P的坐标：2(3)分两种情况：根据&qab=SaCab可知：在4B的上方和下方作平行线，这条平行线与抛物线的交点就是。点，建立方程，解方程可得答案.【解答】解：(1)如图1,设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+4,把A(3,0)代入解析式求得a=7,.'.y=-(x-1)2+4=-/+2x+3,当x=0时，y=3,：.B(0,3),设直线A8的解析式为：y=kx^b,把A(3,0),B(0,3)代入中，得：Jb=3l3k+b=0解得：(k=T，lb=3直线A8的解析式为：y=-x+3；(2)存在，如图2,连接OP,设尸(x,-?+2x+3)(0<x<3),=Jl・3x+L・3(-f+2r+3)-2X3X3TOC\o"1-5"\h\z2 2 2=一旦(x2-3x+9-9)2 44=一3(厂3)2+”2 2 8v-J.<o,2.,.当x=3时，△加B的面积最大，此:时—2 2 4(3)存在，分两种情况：①当Q在AB的上方时，如图3,过点C作CD〃A8,交抛物线于Q,连接QB,QA,此时S△ACB=S&Q4B,设CD的解析式为：y=-x+m,把C(1,4)代入得：4=-1+故,••tTl5?:.-/+2x+3=-x+5，解得：XI=1,X2=1)•••点。与点C不重合，：.Q(2,3)；②当。在A8的下方时，由①知：直线CO与y轴的交点为(0,5),即直线AB向上平移2个单位，二将直线AB向下平移2个单位得到y=-x+\,・・-x-+2x+3=-x+1,解得：加=坦血工，也=生义五TOC\o"1-5"\h\z2 2...Q(赳叵士ZH)或(生逗，也豆).2 2 2 2综上，点Q的坐标是(2,3)或(生2叵，上叵)或(3：叵，二1区立).2 2 2 29.如图，抛物线与x轴交于4(-1,0)、8(3,0),交y轴于C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)尸是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设尸的横坐标为，，P到BC的距离为〃，求力与，的函数关系式，并求出〃的最大值；(3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N,使得以点A、C、M.N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标.【分析】(1)由4、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；(2)过点P作PO_Lx轴于点O,交BC于点E,PHLBC于点H,连接P8、PC,可先求得直线BC的解析式，则可用/分别表示出E的坐标，从而可表示出PE的长，再可用f表示出8c的面积，再利用等积法可用r表示出〃，利用二次函数的性质可求得//的最大值；(3)分AM、CM和AC为对角线三种情况，分别根据菱形的性质可求得N点的坐标.【解答】解：(1)\•抛物线y=a?+bx+c过A(-1,0)、8(3,0),C(0,3)三点，a-b+c=0 a=~l:9a+3b+c=0»解得<b=2，c=3 c=3

抛物线的解析式为y=-/+2r+3；(2)如图1,过点P作POJ_x轴于点。，交BC于点E, 于点H,连接尸8、PC,图1图1,:B(3,0)、C(0,3),：.OB=OC=3,fiC=^QB2+oc2= .设直线BC解析式为、=丘+〃，则(3kS=0,解得fk=-lIn=3In=3・♦•直线3。解析式为y=-x+3,:点、P的横坐标为t,且在抛物线y=-/+2x+3上，•*.P(t,-»+2r+3),又•••POLx轴于点3,交BC于点E,：.D(r,0),E(t,-r+3),：.PE=(-a+2r+3)-(-r+3)=-P+3f,TOC\o"1-5"\h\z/.SaPBC=—PE*(xb-xc)=—(-?+3/)X3="—?+—t,2 2 2 2又,：Sapbc=LBC・PH=Lx3小仁汉口，2 2 2...当巨人=-3»+旦/,2 22二〃与r的函数关系式为：〃=-返7+虺返(0<rV3),2 2..V22,3V2回/3x2,9V2.h=-t,1=丁(5万).•.当r=2■时，〃有最大值为也2；2 8(3)存在.①若AM为菱形对角线，如图2,1'：.N(0,-3)；②若CM为菱形对角线，如图3和图4,则CN=AM=AC=、12+32=V10，：.N(-V10>3)或可(V10，3)；③若4c为菱形对角线，如图5,设A/(m,0),由C"2=a/，得川+32=(w+])2解得w=4,:.CN=AM=CM=5,：.N(-5,3).综上可知存在点M使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：(0,-3)或(-VI3，3)或(-/10，3)或(-5,3).10.如图1,直线y=2x+3与抛物线y=,交于点A、B,直线y=fcv7+5与A8交于点C,与抛物线交于点。、E.(1)点A、B、C的坐标分别为(-1,1),(3,9),(1,5)(2)如图2,若DC=2CE,求人的值；(3)如图3,直线D4、BE交于点Q,求OQ的最小值.图1 图2 图3【分析】(1)联立两个函数解析式，可以求出交点4,8的坐标，由直线+5,发现其经过定点(1,5),且直线y=2x+3也经过点(I,5),C即为(1,5)；(2)如图1,利用“斜化直”思想，将0c=2CE,转化成0G=2〃£：,CG=2CH,利用根与系数的关系，得到相关的方程，最后转化成关于人的方程，即可求解：(3)先求出直线AO的解析式，再求出直线8E的解析式，联立两条直线解析式，求得交点。的坐标，发现。在定直线上运动，设。(x,y),用x的式子表示出OQ的长度，用函数思想求出最值.fy=2x+3【解答】解：(1)联立《 ，y=x化简得，/-2%-3=0,，x=3或-1,当x=3时，y=9,当x=-1时，y=\,

•.•直线与抛物线交于A,B两点,且A在8点左侧，(-1,1),B(3,9),'."y=kx-k+5=k(x-1)+5».•.当x=l时，y=5,(1,5)既在直线-A+5上，且满足直线y=2x+3,...点(1,5)是两条直线的交点，：.C(1,5),故答案为(7,1),(3,9),(1,5)；(2)过点。，E分别作x轴平行线，过，作y轴平行线，交两平行线分别于点G,H,如图1,：.ZDGC=ZEHC=90°,又NDCG=NECH,:.△DGCs^EHC,.DGCG=DC门"EH"chCE"2，设O(xi,yi),E(x2,y2)»化简得，x2-kx+k-5=0,・・・xi,r是该方程的两根,••x\^xi=kyx\x2=k-5,VG(1,yi),H(1,yi),.1-x.1-xl5-y1y2-5.•.xi+2x2=3①，yi+2y2=15@,由①得，X2=3-(xi+%2)=3-k,；・xi=2k-3,由②得，Xi2+2x2z=15，:.⑵-3)2+2(3-k)2=5：.0-4k+2=0,•'-k=2±&：⑶由(2)可得，D(X[,x/)，E(x2，X22)设直线4。为丫=,”(x+1)+1.代入点。的坐标得,

m=x\-1,直线AD为y=(xi-1)(x+1)+1,同理，直线8£为丫=(X2+3)(x-3)+9,联立.解得，y=(xj-1)(x+1)+1y=(x2+3)(x-3)+9k+2x2联立.解得，x=2x2-k+47k~20-6y= 2x2-k+4k+2x9 7k-20-6x9・・・o( —, ^)，^2x2-k+4 2x2-k+4.. k+2x27k-20-6x2_•9♦ - =5,2x2-k+4 2x2~k+4・・・Q在直线2x-y=5上运动，设Q(x，y)，O02=x2+y2=5(x-2)2+525.•.OQ的最小值为遥.图111.如图1,在直角坐标系中，抛物线Ci：y=ax1+bx+3(a#0)与x轴交于A,B两点(A在8的左侧)，与y轴交于点C,已知tanNC4O=2,B(4,0).(1)求抛物线。的表达式；(2)若点P是第一象限内抛物线上一点，过点尸作PE〃x轴交8c于点E,求PE的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2,点尸是BC上一点，。尸平分aCOB的面积，将抛物线。沿射线CB方向平移，当抛物线恰好经过点尸时，停止运动，记平移后的抛物线为C2.已知点“是原抛物线。上的动点，在抛物线C2的对称轴上是否存在一点N,使得以点C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图2【分析】(1)利用正切值求出A点坐标，再利用交点式求出二次函数解析式；(2)过点P作尸F〃y轴交直线BC于点凡利用相似，将尸E的最值转化成尸产的最值，再利用配方求尸产的最值即可；(3)平行四边形两定两动问题，①以MN、8c为对角线，则MN的中点即是8c中点，②以NC、为对角线，则NC中点即是8M中点，③以NB、CM为对角线，分别列方程组即可求解.【解答】解：(I)在丁=0?+法+3中，令x=0得y=3,：.C(0,3),OC=3,：tanNCAO=2,：.AO=^-,2,1'A(-y»0).•：B(4,0),.,.设y=a(x垮)(x-4)1将C(0,3)代入得：a=」，2,,y=-(x-^)(x-4),即y=-4^x+3，(2)过点P作PF〃丫轴交直线8c于点凡如图:・.・PE〃x轴，尸尸〃y轴，：・NPEF=NCBO,/EFP=/BCO,:.ACBO〜/\FEP,・PEPF•一.-二,OBOC.PEPF•―= f43. 4・・PE-^PF，o设P(m,~^-in2-^m+3)»由8(4,0)、C(0,3)得直线8C解析式为：y=-lx+3，, 3,,F(m，ym+3)，,:PF=yp-y尸，,•PE=^(-^-m2-♦*pn+3*+^-x-3)»•e,Pe4(-4~m2+2m)=-^~m2+Ym=-z|"(m2-4m)=4(m2-4m+4-4)=- (/n-2)S/ Ooo o O2+a,3二当m=2时，PEmax=|>此时P(2,')；(3)存在，理由如下：；OF平分△COB面积，:.F为BC中点,即F(2,—)»由题意可知，抛物线。沿射线CB平移，且过点F,则C平移至点尸时，向右平移2个单位，再向下平移3个单位，2

，C2解析式为：y=-(x-2) (x-2)即y=- -3,.••C2的对称轴为：X=23,4.•.设N卓，t)-M(〃，-尹+全+3)，而C(0,3),B(4,0),①以MN、BC为对角线，则MN的中点即是BC中点，如图：②以NC、8M为对角线，则NC中点即是中点，如图:

③以NB、CM为对角线，如图:.•.综上所述：满足条件的n点坐标为：(区，-21)或(23,-39)或n(型，4 32 4 32 4359、3212.数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°,最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角.根据该约定，完成下列问题：(1)如图1,已知正方形4BCD中。是对角线AC上一动点，过。作OP_LO£),垂足为0,交BC边于P,△POO是否为一中美三角，并说明理由；(2)如图2,在平面直角坐标系中，点A(-2,0),点8(0,2),点P在第二象限内，且在直线y=-2x-2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；(3)如图3,若二次函数y=-/+2x+3的图象与x轴交于4、B两点、,与y轴交于点C,P为第二象限上的点，在直线AC上，且NOPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令。点横坐标为m(0<m<3),当，”为何值时，△尸8。的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面

【分析】（【分析】（1）过。作EF_L8C于凡交AO于E,证明△OEO乌/XOF尸可得OO=OP,从而△P。。是等腰直角三角形，即△POO为一中美三角；(2)设PCm,-2m-2),4/=(m+2)2+(-2w-2)2=5/n2+12m+8,5/^=//12+(-2m-2-2)2=5w2+16;n+16,AB2=(-2-0)2+(0-2)2=8,/XABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，分三种情况讨论：①若AP、BP为腰，5切2+12切+8=5机2+16加+16且5nr+12m+S+5m2+16m+16=8,②若ARAB为腰，5w2+12/h+8=8且5m2+12w+8+8=5m2+16/n+16,③若BP、48为腰，则5川+16"?+16=8且5/n2+i6/„+16+8=5/„2+i2ni+8,分别解方程即可得答案；（3）连接8C,作BC中点。，连接OP,过。作QM〃y轴交8P于由NOPB=NTOC\o"1-5"\h\zBCO知P、8、C、0共圆，即尸在△BOC的外接圆上，根据P£）=-1bC=W^2,P（t,2 23r+3）,可列（t-3）2+（3什3-2）2=（4巨）2得p（-3,反），从而可得直线

2 2 2 55B尸为y=-2x+l,由Q（/n,-w2+2m+3）.M（m,-—m+\）,有QM=-序+工，"+2,3 3 3故 （xb-xp）=-—（w-—）2+J21.,即可得根=2■时，S^pbq有最大2 5 6 20 6值为121值为121~20【解答】解：（1）△POO为一中美三角，理由如下:过。作EF_LBC于F,交A。于E,如图:

D•.•四边形ABC。是正方形，D•.•四边形ABC。是正方形，EF1BC,.*.ZACfi=45°,四边形EFCC是矩形,...△OFC是等腰直角三角形，ED=FC,：.OF=FC,：.OF=ED,'JOPVOD,•,.Z2=900-Z3=Z1,在△OEO和△OFP中，rZl=Z2<OF=ED>ZDE0=Z0FP：./\DEO^^OFP(ASA),：.OD=OP,又NDOP=90°,...△POO是等腰宜角三角形，即△POO为一中美三角：(2)设P(m,-2/n-2)»,点A(-2,0),点8(0,2),二4产=(m+2)2+(-2m-2)2=5/n2+12/n+8,BP2=m2+(-2m-AB2=(-2-0)2+(0-2)2=8,△AB尸构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图：2-2)2=5m2+16m+16,①若AP、8P为腰，则需满足：AP=BPfiAP2+BP2=AB2,5/n2+12/n+8=5/n2+16/m+16且5/n2+12/n+8+5/n2+16m+16=8,解得m=-2,：.P(-2,2)；②若AP、AB为腰，同理可得：5zn2+12/n+8=8且5zn2+12/n+8+8=5m2+16m+16,满足两个方程的，”=0，此时不存在尸，使△ABP构成一中美三角；③若BP、A8为腰，贝I」5/??+16^+16=8且5%2+16m+16+8=5机2+12m+8,没有，”能同时满足两个方程，故此时不存在P,使△A8P构成一中美三角；综上所述，ZVIB尸构成一中美三角，则P(-2,2)；(3)连接BC,作BC中点£),连接。P,过。作。何〃y轴交BP于M,如图:..}=-7+2r+3的图象与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,(-1,0),8(3,0),C(0,3),：.OB=OC,BC=3近,3(3,—),22；.NBCO=45°,,.•/OPB恰好构成一中美角，即NOP8=45。，:.NOPB=NBCO,：.P.B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，VZBOC=90",：.D为△BOC的外接圆圆心，:.pd=Lbc=^^~,2 2设直线AC为严质+6,则［°i+b,I3=b解得［片3,lb=3*,•直线AC为y=3x+3,设尸(r,3r+3),c-3)2+⑶+3-2)2=2 2解得t=-3或r=0(舍去)，5:.p(-S,且)，55设直线BP为y=sx+r,(6 3—=一，s+p叫55SF,0=3s+r'_1解得.s-万，r=l直线82为丫=--lx+i,•••。点横坐标为加，二Q(/n,-nii+2m+3),M(m,TOC\o"1-5"\h\z.,.QM=(-m2+2/n+3)-(-—m+1)="n^+—m+2,3 3•'•S^pbq=—QM'(.xb-xp)=—(-n^+—m+2)X(3+—)=-—Cm--)2+-^i,2 2 3 5 5 6 20-2<o,5时，Sapbq有最大值为2红，6 20此时Q(2，.6 3613.如图，二次函数y=-f+/nx+3的图象与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,点。在函数图象上，CC〃x轴且CQ=2,直线/是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.(1)则m=2、4点的坐标(-1,0) 、8点的坐标(3,0) 、E点的坐标(1,4)；(2)如图1,连接BE,线段OC上的点尸关于直线/的对称点尸恰好在线段BE上，求点尸的坐标；(3)如图2,抛物线的对称轴上是否存在点T,使得线段以绕点7顺时针旋转90°后，点A的对应点4恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点7的坐标；若不存在，请说明理由.(4)如图3,动点尸在线段08上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点。，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，直接写出。的坐标；若不存在，说明理由.【分析】(1)由抛物线的对称性可求m的值，即可求解；(2)可设F(0,a),则可表示出P的坐标，由8、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F'坐标代入直线BE解析式可得到关于a的方程，可求得F点的坐标；(3)分两种情况讨论，利用旋转的性质和全等三角形的性质可求解；(4)设点尸坐标为(力0),可表示出附、PB.PN的长，作QRJ_PN,垂足为R,则可求得QR的长，用n可表示出。、R、N的坐标，在RtAQRN中，由勾股定理可得到关于”的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时〃的值，则可求得Q点的坐标.【解答】解：(1)轴，CD=2,抛物线对称轴为x=l, ——_-1,2X(-1)•♦机=2,工抛物线解析式为：y=-f+2x+3=-(x-1)2+4,，点E(1,4),・,二次函数y=-/+21叶3的图象与x轴交于A、B两点，，0=-jv2+2x+3,♦Xl=3,X2^-1,...点A(-1,0),点8(3,0),故答案为：2,(-1,0),(3,0),(1,4)；(2)设点F的坐标为(0,a),对称轴为直线x=l,点广关于直线/的对称点尸的坐标为(2,a),直线BE经过点8(3,0),E(1,4),直线BE的表达式为y=-2x+6,;点、F'在BE上，-2X2+6=2,.♦.点F的坐标为(0,2)；(3)如图2-1,若点T在x轴上方时，设对称轴与x轴交点为G点，过点A作EG于H点、,设7(1,c),则TG=c,.,将线段TA绕点T顺时针旋转90°：.AT=A'T,NA7A'=90°,...NATG+NA7H=90°,又；乙476+/窃6=90°,ZA'TH=ZTAG,又•.,NA7/7'=NAG7'=90°,：.^\ATG^£\TA'H(A4S),：.AG=HT=2,TG^A'H=c,.•.点4(1-c,c+2),.•点4在抛物线上，：.c+2=-(1-c-1)2+4,*.Cl=1,C2=-2(舍去)，.,.点7(1,1):若点T在x轴下方时，当AG=GT=GB=2时，，NGAT=ZATG=45°=ZABT=NBTG,：.AT=BT,ZATB=90",线段TA绕点T顺时针旋转90°得到TB,.,.点T（1,-2）,综上所述：点T坐标为（1,1）或（1,-2）；（4）存在点。满足题意.设点P坐标为（〃，0）,则B4=〃+l,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3.作QRJ_PN,垂足为R,图3,•*Sapqn=S〉apm,/.A(n+l)(3-n)=A(-n2+2n+3)•QR,2 2：.QR=1.①点Q在直线PN的左侧时，。点的坐标为(〃-1,-〃2+4”)，r点的坐标为(人.〃2+4〃)，N点的坐标为(”，-/+2〃+3)..•.在RtZ\QRN中，2VQ2=1+(2n-3)2,.•.〃=3时，NQ取最小值1,2此时。点的坐标为(工，至)；2 4②点。在直线PN的右侧时，。点的坐标为(n+l,-M+4).同理，NQ2=i+(2n-1)2,.•.〃=/时，NQ取最小值1,此时。点的坐标为(3,生)；2 4综上所述可得：存在满足题意的点。其坐标为(』，型)或(3,至).2 4 2 4.如图，已知二次函数丫=/+以+。经过4,B两点,8C_Lx轴于点C,且点A(-l,0),C(4,0),AC=BC.(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AB上一动点(不与A,8重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点凡当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的尸点，使AAB尸成为直角三角形？若存在，求出所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)先求得点8的坐标，然后将点A和点8的坐标代入抛物线的解析式可得到关于氏c的方程组，从而可求得氏c的值；(2)设点E的坐标为(/,什1),则点F的坐标为F(r,?-2r-3),则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得AAB尸的面积；(3)存在，设尸(1,m),分三种情况：分别以A,B,P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方程，解方程即可.【解答】解：(1)•.•点4(-1,0),C(4,0),：.AC=5,OC=4,'：AC=BC=5,：.B(4,5),把A(-1,0)和B(4,5)代入二次函数y=/+bx+c中得：］『b+c=0,解得：产-2,116+4b+c=5Ic=-3...二次函数的解析式为：y=7-2r-3；(2)如图1,•..直线AB经过点A(-1,0),B(4,5),设直线AB的解析式为y=kx+b,...「k+b=0,解得"k=l,l4k+b=5Ib=l直线AB的解析式为：y=x+l,:二次函数y=7-2x-3,图1二设点E(r,r+1),则/(r,?-2r-3).：.EF=(z+1)-(?-2r-3)=-(r-J.)2+25,2 4.•.当r=3时，e/的最大值为空，2 4.•.点E的坐标为(旦，5),22SaA"=Jef"(xB-xA)=yX-^-X(4+1)=-^-(3)存在，y=x2--2x-3=(x-1)2-4,...设P(1,m),分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB1+AB1=PA1,：.(4-1)2+(m-5)2+(4+1)2+52=(1+1)2+m2,解得：w=8,:.P(1,8)；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2,：.(1+1)2+w2+(4+1)2+52=(4-1)2+(m-5)2,解得：/n=-2,:.P(1,-2)；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB1+PA1=BA1,：.(1+1)2+m2+(4-1)2+(m-5)2=(4+1)2+52,解得：/W=6或-1,：.P(1,6)或(1,-1)；综上，点尸的坐标为(1,8)或(1,-2)或(1,6)或(1,-1)..如图，已知抛物线y=r+fcr+c与x轴相交于A(-1,0),BCm,0)两点，与y轴相交于点C(0,-3),抛物线的顶点为。.(1)求抛物线的解析式；(2)若点E在x轴上，且NECB=NCBD,求点E的坐标.(3)若尸是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作尸，，x轴于点4,与BC交于点M.①求线段尸M长度的最大值.②在①的条件下，若「为y轴上一动点，求PH+HF+隼CF的最小值.备用图【分析】(1)将A(-1,0)、C(0,-3)代入y=/+bx+c,待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)根据待定系数法，可得BO的解析式，根据平行线的判定和两平行直线的函数解析式的关系，根据待定系数法，可得CE的解析式，进一步可得答案；(3)①根据BC的解析式和抛物线的解析式，设x2-2x-3),则M(x,x-3),表示PM的长，根据二次函数的最值可得：当x=3时，PAf的最大值；2②当PM的最大值时，尸(3,-生)，确定F的位置：在x轴的负半轴了取一点K,2 4使/OCK=45°,过F作FNLCK于N,当N、F、H三点共线时，如图2,FH+FN最小，即PH+4F+返CF的值最小，根据45度的直角三角形的性质可得结论.2【解答】解：(1)把A(-1,0),点C(0,-3)代入抛物线y=x2+bx+c中得：(l-b+c=0lc=-3解得：片2Ic=-3抛物线的解析式为：y=7-2r-3；(2)Vy=x2-2x-3=(x-1)2-4二顶点。(1,-4),当y=0时，x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,x=3或-1,：.B(3,0)；如图1>连接B£>,设8。所在直线的解析式为：y=A（x-3）,将。点坐标代入函数解析式，得-2k=-4,解得％=2,故8力所在直线的解析式为：y=2r-6,'：NECB=NCBD,J.CE//BD,设CE