江苏地区数学科空间的角资料

《立体几何》专题复习2空间的角编辑ppt一、概念名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。编辑pptaαbo.aˊO是空间中的任意一点

点o常取在两条异面直线中的一条上bˊθooooo编辑ppt一、概念名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α所成的角是直角，若L//α或Lα，则L与α所成的角是0º的角。编辑pptoLθαBA编辑ppt一、概念名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBA平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α所成的角是直角，若L//α或Lα，则L与α所成的角是的角。编辑pptAαβLBO编辑ppt一、概念名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBAAαβLBO平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α所成的角是直角，若L//α或Lα，则L与α所成的角是的角。编辑ppt二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.方法：3.步骤：b.求直线与平面所成的角：a.求异面直线所成的角：c.求二面角的大小：①作（找）②证③点④算1.数学思想：平移构造可解三角形找（或作）射影构造可解三角形找（或作）其平面角构造可解三角形编辑pptA1ABB1CDC1D1FEG解：如图，取AB的中点G，O（证）A1D1FGAD又ADA1D1FG四边形A1GFD1为平行四边形A1GD1FA1G与AE所成的锐角（或直角）就是AE与D1F所成的角。（点）（算）FG，A1G

，A1G与AE交于O连结（作）三、例题例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点。求AE与D1F所成的角。即直线AE与D1F所成的角为直角。E是BB1的中点tRA1AGABEAOG=90GA1A=GAO编辑ppt例2.已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边上的中点，沿AE折成60º的二面角，分别求DE、DC与平面AC所成的角。ABDE34C34DEABC2二面角D—AE—B为60º编辑ppt编辑ppt解：如图（1），作DM⊥AE于M，延长DM交CB于N，ABCD2234MEMDEACBNDDDDDDDFN图（1）图（2）过D作DF⊥平面ABCE,连结EF、DC、CF.沿AE折成60º的二面角后如图（2）于是∠DEF是DE与平面ABCE所成的角，

∠DCF是DC与平面ABCE所成的角.编辑pptABCD2234MEN图（1）EACBMNF图（2）D∵DM⊥AE，MN⊥AE∴∠DMN=60º，且AE⊥平面DMN又∵AE⊂平面ABCE∴平面DMN⊥平面ABCE,从而垂足F在MN上.F如图（1）在Rt△ADE中，DM=ME=编辑ppt在Rt∆DFM中，∴∠DEF=即DE与平面AC所成的角为ABCD2234MENEACBMNF图（2）D图（1）在Rt∆EFM中，在Rt∆DFE中，Cos∠DEF=F编辑ppt在图（1）中，设∠EDM=α，在Rt∆DME中，∵DF=DM+MF=在∆DFC中，由余弦定理得：CF²=DF²+DC²-2DF·DC·Cosα=73/13在Rt∆DFC中，即DC与平面AC所成的角为：∴ABCD2234MENEACBMNF图（2）D图（1）F∵DF=在图（2）中编辑pptABCD2234MENEACBMNF图（2）D图（1）F另外，过D作DF⊥平面ABCE于F；过F作FM⊥AE于M；连结DM，则DM⊥AE，从而∠DMF=60°也可。编辑ppt注：在求解图形翻折问题时，（1）分别画好平面图形和翻折后的立体图，字母一定要一致；（2）弄清平面图中的量与位置关系在翻折后的变与不变的情况；（3）按题意作出包含已知与未知的图形，然后计算和证明。编辑pptB1A1C1ABC例3：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90º，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30º的角，求二面角BB1CA的余弦值。分析：求二面角BB1CA的度数，要作出平面角，显然二面角的棱为B1C，故需在B1C上取一点，然后分别在两个面内作垂直于棱的两条射线。编辑pptC1AA1B1BC解：作ANBC于N，则AN平面BCC1B1，作NQB1C于Q，则AQB1CAQN是二面角BB1CA的平面角。ANBC=ABACAN=ABACBC=36123=ANAQ又ACAB1AQB1C=ACAB1

AQ===1AB1ACB1C22233SinCosAQN==36AQN=QN编辑pptABCA1C1B1另解：ACABACAA1

AC平面AA1B1B又AC平面ACB1

平面ACB1平面AA1B1B设E为AB1的中点，连接BE则BE平面ACB1作EFB1C于F，连接BF，则BFB1CEFB是二面角B—B1C—A的平面角。33即二面角B—B1C—A的平面角的余弦值为ABBB1=AB1BEBE=ABBB1AB1=112又BCBB1=B1CBF=22BF=BC

BB1B1C=321=23SinEFB=BEBF=2322=36CosEFB=33FE编辑pptB1B1例4：如图，已知在正三棱柱ABC-中，侧棱长大于底面边长，M、N分别在侧棱AA1、B上，且N==2M，求截面MN与底面所成的二面角的大小。A1B1C1B1A1A1C1

A1B1C1分析：由题意平面MN与平面的公共点是，但二面角没有棱，需要作出，再找平面角。C1C1B1

A1C1A1B1C1ABCNM编辑pptA1B1C1ABCNMD解：连结NM并延长交的延长线于点D，连结D，则截面MN与底面所成二面角的棱为D。C1

A1B1C1

A1B1C1C1在ND中，N=2M，且NM，D=2DD==又为等边三角形D=180-60=120D=30，又=60D=90，即D又C平面CDD平面BC

A1B1B1

A1B1C1

A1C1B1A1B1B1A1A1C1A1C1A1B1A1C1A1C1B1C1C1B1C1

A1B1C1C1C1C1C1B1又N平面，DNN是平面MN与底面所成二面角的平面角。C1C1