河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期第一次统一考试数学（文）试卷及答案解析

洛阳市2021-2022学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（文）本试卷分第1卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。共15。分。第1卷1至2页，第n卷3至4页.考试时间120分钟。第I卷（选择题，共60分）注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。.考试结束，将答题卡交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知复数z=sin：+icos 则|z|=A.4 B.3 C.2 D.1.已知全集为R,集合A={x|-2<x<l),集合B={x|—f+xVO}.则AU(CrB)=A.(-2,1] B.(-1,1]C.(—8,—2)U[1,+oo)D.(—oo,0]U(1,+oo).某种游戏棋盘形状如图，已知大正方形的边长为12.每个小正方形的边长均为2.在游戏棋盘上随机取一点，则该点取自小正方形的概率为4.已知数列是等差数列，且2痣一痣12=4.则其前七项和8=4.已知数列是等差数列，且2痣一痣12=4.则其前七项和8=42352821.已知命题p:X/x£R,x2+x+1>0；命题q：若a>b,贝6Vl.卜列命题为真的是A.（「p）Vq八B.（「〃）八（->［） C.p）八gD.p\Jq.若右面框图所给的程序运行结果为28,那么判断框中应填入的关于女的条件是A.Z26B.kFA.Z26B.kF2 17.若〃=（小户,b=3,c=log3e.则7.8.9.A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>h2jt,己知函数人工）=§皿3+于）8.9.A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>h2jt,己知函数人工）=§皿3+于）在［—兀，c・普川上的图象如图所示。则y（x）的最小正周期是D4兀B・32冗D.-y直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于4,3两点，点尸在圆。-2）2+产=2上运动，则AABP面积的最小值为A.6B.4C.2D.4-2^2.如图，AB,C。分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB_LC£>.O”。分别为上、下底面圆心，若圆柱的轴截而为正方形，且三楼锥A—88的体积为4小，则该圆柱的侧面积为A.97t B.lOn C.127t D.14ti.已知双曲线x2一炉=1的左、右焦点分别为Ft，F2,点A在双曲线上且•才亮=0,则△AFiB的内切圆的半径为A.小一啦 B.5+啦 C.小+1 D.巾—1..已知函数y(x)=lnx,g(x)=x—sinx,若存在为，X2£[l,兀](加仑2)使得贝制)一_/(X2)|<Ag(xi)-g(X2)|成立.则实数k的取值范围是A・(二上？ B.(0,5)C.盘+oo) D.(-p^,+oo)第II卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共20分。.若向量》i=(2k,«+1)与向量"=(4,1)共线，则.已知数列｛a“｝的前"项和为S,,且&=2小-1,则数列｛%｝的通项公式为=..已知函数y=/(x)的图象关于直线x=l对称，且/(x+l)+«-x)=O,若")=一1,则次2022).已知正方形4BCD的边长为2,AB中点为E,现将△AOE与△BEC分别沿E。，EC向上翻折，使A,8重合于。点.则三棱锥O-DEC外接球的表面积$=.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

.(本小题满分12分)J3在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且反osAsinC+asin8cosc=争.(1)求角B的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，b=3,求a+c的取值范围.18(本小题满分12分)为了响应国家节电号召，某小区欲对全体住户进行节电设施改造，在大规模改造前，为预估改造效果，先在该小区中随机抽取了100户进行改造，并统计出了这100户在改造前后的月均用电量(单位：度).得到的频数分布表如下：改造前这100户月均用电量频数分布表月均用电量[25,75)[75,125)[125,175)[175,225)[225,275)[275,3251频数12183022126改造后这100户月均用电量频数分布表月均用电量[25,75)[75,125)[125,175)[175,225)[225,275]频数122440168(1)补全改造后这100户的月均用电量的频率分布直方图;0.0080-0.0072•0.0064•0.0056-0.0048-0.0040•0.0032■0.0024-0.0016*0.0008*月用电度*0-月用电度(2)利用以上数据估计该小区在改造完成后，月均用电量低于150度的概率：(3)该小区现有2000户，若全部改造完成后，估计一个月能节约多少度电？(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点的值作代表).(本小题满分i2分)已知底面是菱形的四棱锥尸一ABCD中，△外。是等边三角形，平面用。，平面ABCD,E、尸分别是棱FC、A8上的点.(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①尸是A8的中点；②E是PC的中点；③BE〃平面尸尸。(只需选择一种组合进行解答即可)(2)若A£>=2,ZDAB=60°,PE=EC.求三棱锥P—80E的体积..(本小题满分12分)已知直线/与抛物线C：/=4y交于A、8两点，M是线段4B的中点.(1)若直线A8的斜率为1,求点M的横坐标；(2)若HB|=8,求点M纵坐标的最小值..(本小题满分12分)已知函数_/(x)=lnx—/ar^aGR).(1)若火x)存在唯一极值点，且极值为0,求〃的值；(2)讨论函数於)在区间［1,e］上的零点个数。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑..(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方fx=2cos0 _程为《 (夕为参数)，直线I的极坐标方程为pcos夕一psin9+5=0.ly=sin9(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2)已知M(一小，0),直线/与曲线C交于A、8两点，求忘]+日面的值•.(本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲(1)证明：a+b+c^y[ab+yfbc+yfac；(2)若a+b+c=3,证明：工+占+——*.a-vbb-rca-rc2洛阳市2021—2022学年高中三年级第一次统一考试数学（文）试卷参考答案一、选择题1-5DABCD6-10CABCC11-12AC二、填空题13,-17 14.2i 15.1 16.yn-三、解答题17.解：(1) ,•*bcosAsinC+asinBcosC=TOC\o"1-5"\h\z由正弦定理得sinBcosAsinC+sinAsinBcosC=-^-sinB, 2分***sinB/0, /.cosAsinC+sinAcosC=坐,**.sin(A+C)=-^, 3分sinB=室, 4分又B£(0,3・・・3=等或票 ……5分⑵•・・AABC为锐角三角形，知B由正弦定理得a=2V^siaA,c=2V3^sinC. 7分・・・A+C=/.a+c=2^3[sinA+sin(.—A)]=2/X(gsin人H—^cosA)=6sin(A+工)，3 2 2 6 9分又为锐角三角形，则0VAV手，且0VC<3，又C=警一A,则qVA<9 ……11分3 6 2告VA+qV驾，坐<sin(A+?)41.

3 6 3 I 6...a+c的取值范围是(3伍,61. 12分.解：(1) 4分（2）该小区在采取节电措施后，月均用电量低于150度的频率为0.12+0.24+0.2=0.56.估计该小区在采取节电措施后，月均用电量低于150度的概率为0.56. ……8分

(3)该小区100户在改造前的月均用电量的平均数为12X50+18X100+30X150+22X200+12X250+6X300100该小区100户在改造后的月均用电量的平均数为12X50+24X100+40X150+16X200+8X250估计该小区2000估计该小区2000户居民在全部改造完成后，一个月能节约(161-142)X2000=38000度.解：(1)①②—③取PD中点G.连接EG.FG,在△PDC中,EG/ 2分又FBJL：DC,EGJLFB,四边形FBEG是平行四边形./.BE//FG,又：EB0平面PFD,FGU平面PFD.：.BE//平面PFD.①③今②设PDf］平面FBE=G,连结FG,EG,：BE//平面PFD,平面PFD平面FBE=FG.：.BE//FG.又：FB〃DC.FB0平面PDC,DCU平面PDC,FB〃平面PDC,又V平面PDCn平面FBE=GE,：.FB//GE.••四边形FBEG是平行四边形./.GEJLyDC,,••E是PC的中点.②③，①设PDA平面FBE=G.连结FG,EG,VBE//平面PFD.平面PFDfl平面FEB=FG,：.BE//FG,又•:FB〃DC,FB0平面PDC,DCU平面PDC,J.FB〃阜面PDC又阜面PDC：n平面FBE=GE,：.FB//GE.J.四边形FBEG是平行四边形.GE//DC,•••E是PC的中点，/.GE4《DC,-2/.FB=GE=}DC=yAB,••F是AB的中点.(2)取AD中点O,V△PAD是等边三角形，12分6分2分312分6分2分3分4分5分6分2分3分4分/平面P4D_L平面ABCD,且平面PADQ平面ABCD=AD,•・PO_L平面ABCD. 7分/AD=2,・・・PO=V3,

又・・•E为PC的中点，TOC\o"1-5"\h\z・•・E到平面3DC的距离等于9R）=冬 ……8分在菱形ABCD中，NDAB=60°,/.△BDC是等边三角形，又AD=2,・・・S.bdc=jXyX22=E，Ve—BDC=；・S^BDC• =]Xa/3X4=J, 10分o 乙。 乙 乙由E为PC的中点可得，点P到平面BDE的距离等于点C到平面BDE的距离，.1P-BDE=^C-liDE=E-BDC=了，即三棱锥P-BDE的体积为十..解：（1）设A（^i』）・3（工2，“），M（«Zo,y（））,£12_£?则kw=-也=丁丁=红詈=等JCi-JC9JC\一乃 4 Z由直线AB的斜率为1,得芸=1.工。=2.即点M的横坐标为2.(2)设直线/方程为y=公'+6,由广？=,431,得/一4心一奶=0,I>=fcr+o由△=(一兼"-4X(-46)>0得公+〃>0, (1)设A(jj,“)B(zz，")，则为+xi=44，工1亚=—4/),由IAB1=81# IAB|=，(1+&2)[5+h?)z-41口J=，(1+/)[(41)2—4(-4Z))]=4，(1+0)2(I：+b)=8,:.(1+公)(公+分)=4. (2)又由4+工2=4k，得“+”=石(了1+4)+2b=4公+2b,故点M的坐标为(24，2二+6),由(1)(2)得2/+/>=(二+1)+(公+6)—1)2，(〃+1)(1+6)-1=3.当且仅当1+〃=〃+〃，即。=1时取等，号，故点M纵坐标的最小值为3.TOC\o"1-5"\h\z.解：（1）由题知—（%）=-ax=空-（z>0）.x x①当a<0时J'（z）>0恒成立，/（工）在（0,+8）上是增函数,没有极值,不符合题意；②当a>0时，令/（x）>0,得0〈①V风令X（x）V0,得工>3a a/（X）在（0,且）上是增函数，在（9,+8）上是减函数，a a12分>・3分分分分

4512分>・3分分分分

456分分分分分分891212a由f（-）=In- =0,a ala=. 5分e（2）由f（T）=0得:.a=?- 6 分x令g（/）=冬，则函数/（7）在区间[1㈤上零点的个数等价于直线y=a与函数g（z）图

TOC\o"1-5"\h\z象交点的个数. ……7分g'（N）=———，，令g'（Z）=0。7=&，令/（/）>0,得1&zV&,令/（z）V0,得7?V工&c.・・・g（i）在口，石）上是增函数，在（石,口上是减函数. ……8分又g（l）=0,在g（=L,g（e）=马， 9分e e・•・当aV0或。>工时•函数八外在区间［1,门上没有零点； ……10分e9 1当0&a<4或。=2■时，函数八户在区间［1，口上有1个零点；e e