数学高考真题卷-江苏理数（含答案解析）

2018年普通高等学校招生全国统一考试・江苏卷数学I本试卷均为非选择题(第1题920题，共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟.参考公式：锥体的体积吟S九其中S是锥体的底面积，力是锥体的高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.已知集合4={0,1,2,8},6={-1,1,6,8},那么/口生..若复数z满足i•z=l+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为..已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数g 99为• 9 011.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为.S—1While/<6/4-/+25-2SEndWhilePrintS.函数f(x)、/log2X-l的定义域为..某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为..已知函数尸sin(2"。)(?<。弓)的图象关于直线对称,则。的值是..在平面直角坐标系初中，若双曲线捺W=l(ak,6刈的右焦点小,0)到一条渐近线的距离为小,则其离心率的值是.Icos—0<xv2.函数/'(x)满足/"(xMX/Xx)(>GR),且在区间(-2,2］上,f(x)W 2' -'则/'(/'(15))的值+-|,-2<x<0,为..如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.（第10题）.若函数FCOqf-af+l（aGR）在（0,+*内有且只有一个零点,则/'（*）在［T,1］上的最大值与最小值的和为..在平面直角坐标系x4中，力为直线/:片2x上在第一象限内的点,8（5,0）,以45为直径的圆C与直线1交于另一点D.若希CD-O,则点A的横坐标为..在△/!优中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=12O°,N4/7的平分线交4c于点D,且BD=\,则4a+c的最小值为..已知集合A={x/x=2n-\,〃GN*},8={x/x2", 将4U6的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a.}.记S为数列面}的前n项和,则使得S„>12an.t成立的n的最小值为.二、解答题:本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤..（本小题满分14分）在平行六面体ABCD-ABCR中,AA产AB,ARLBC.求证：（1）48〃平面43C;⑵平面4幽41.平面A.BC.（第15题）.（本小题满分14分）已知。，尸为锐角，tan。3,cos（。+6）=q.⑴求cos2a的值；⑵求tan（"⑶的值..（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆0的一段圆弧极M-为此圆弧的中点）和线段〃V构成.已知圆0的半径为40米，点尸到WV的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚I内的地块形状为矩形4比〃大棚H内的地块形状为归要求46均在线段，斜上，以〃均在圆弧上.设施'与"V所成的角为e.（1）用〃分别表示矩形4氏力和△处的面积，并确定sin。的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚1【内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当夕为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.（第17题）.（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系X。中，椭圆「过点（遍,，焦点£（0），月（V3,0）,圆。的直径为FM.⑴求椭圆，及圆。的方程；(2)设直线/与圆。相切于第一象限内的点尸.①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点。的坐标;②直线1与椭圆。交于A,B两点.若△刃8的面积为蜉,求直线1的方程.(第18题).(本小题满分16分)记F'(X),g'(x)分别为函数F(x),g(x)的导函数.若存在XoGR,满足f(*o)=g(*o)且f7x0)招'(xo),则称X。为函数f(x)与g(x)的一个"S点”.⑴证明：函数f(x)玄与g(x)4+2x2不存在"S点”；(2)若函数/Xx)=afT与g(x)=lnx存在“S点”，求实数a的值；⑶已知函数fix)=Y+a、g(x)#.对任意ak,判断是否存在使函数f(x)与g(x)在区间(0,，㈤内存在“S点”，并说明理由..（本小题满分16分）设仿,,｝是首项为国,公差为d的等差数列，｛&｝是首项为瓦公比为q的等比数列.（1）设&R,U=l,g=2,若仇对n=\,2,3,4均成立,求d的取值范围;⑵若a产仇R,mGN：qG（1,啦］，证明：存在dCR,使得对〃之,3, m+\均成立,并求d的取值范围（用仇，勿,（?表示）.数学n（附加题）.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.［选修4T:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，圆。的半径为2,u为圆。的直径，。为45延长线上一点,过户作圆。的切线,切点为c.若pgg求6c的长.B.［选修4-2:矩阵与变换］（本小题满分10分）23已知矩阵^,12.⑴求｛的逆矩阵4;(2)若点尸在矩阵4对应的变换作用下得到点尸'(3,1),求点夕的坐标.C.［选修4":坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，直线/的方程为0sin(9-")q,曲线。的方程为。Ncos以求直线/被曲线C截得的弦长.D.［选修44:不等式选讲］(本小题满分10分)若x,%z为实数,且x+2y+2z=6,求x+^+z的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤..(本小题满分10分)如图,在正三棱柱ABC-ABC中,小142点P,。分别为AB,欧的中点.(1)求异面直线BP与AG所成角的余弦值；(2)求直线CG与平面AQG所成角的正弦值.(第22题).(本小题满分10分)设〃GN”,对1,2,…,〃的一个排列了5…小如果当s<7时，有八〉九则称(。,九)是排列…。的一个逆序,排列…。的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记£6)为1,2,…，〃的所有排列中逆序数为A的全部排列的个数.(1)求6(2),6(2)的值；(2)求£(2)(〃》5)的表达式(用n表示).1234567891011121314{1,8}2908⑵+8)310n62漫T43-339271.{1,8}【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查考生对概念的理解和应用，考查的核心素养是数学运算.【解析】 由集合的交运算可得/C8={1,8}.【命题分析】本题难度较小,运算的依据是4C序且xGB}.2.2【考查目标】本题主要考查复数的概念、运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】 复数z*=(l也i)(-i)4-i的实部是2.I【答题模板】 确定复数的实部和虚部，首先要利用复数的运算法则将复数化为z=a历i,a,6GR,则a是实部,6是虚部.3.90【考查目标】本题主要考查茎叶图、平均数，考查考生对统计图和平均数的理解和应用，考查的核心素养是数据分析.【解析】由茎叶图可得分数的平均数为吧吧等巴K0.4.8【考查目标】本题主要考查伪代码，考查考生对伪代码的理解和应用，考查的核心素养是数学运算.【解析】该伪代码运行3次，第1次，八3,S2第2次，小5,SN;第3次，IW,S4,结束运行.故输出的S的值为8.【方法总结】 当伪代码的运行次数较少时,一般利用列举法求解,即逐次列出运行结果,直到运行结束..⑵+8)【考查目标】 本题主要考查函数的定义域，考查考生对基本概念的理解和应用，考查的核心素养是数学运算.【解析】 要使函数/'(x)有意义,则logzx-l》。,即x22,则函数/U)的定义域是［2,+8).【误区警示】 二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0,不能忽略等号,另外函数的定义域要写成集合或区间的形式..-【考查目标】本题主要考查古典概型，考查考生对数学知识的应用意识，考查的核心素养是数学运10算.【解析】 记2名男生分别为A,B,3名女生分别为a,b,c,则从中任选2名学生有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,ab,ac,be,共10种情况,其中恰好选中2名女生有ab,ac,be,共3种情况,故所求概【误区警示】古典概型中基本事件的计数一般利用列举法,注意列举要按照一定的顺序,避免重复和遗漏.7.4-【考查目标】 本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查考生的应用意识,考查的核心素养是数学运算.【解析】由函数片8皿(2"0)(《“§)的图象关于直线广^对称,得5曲(?+0)=±1,因为《<0；,【方法总结】正弦函数、余弦函数的图象在对称轴处的函数值取得最大值或最小值.8.2【考查目标】 本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能力和应用意识，考查的核心素养是数学运算.【解析】 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y上工,所以一黑学旁c,所以里,得c=2a,所以双曲aVaW2 4线的离心率e5a【拓展结论】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为6..当【考查目标】 本题主要考查函数的周期性、分段函数,考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】 因为函数f(x)满足AxM)=f(x)(xGR),所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(-2,2](nx上，f(x)]C0S2，0<X-2'所以/(/(15))=/(/(-I))-A;) 当.(|x+i|,-2<x<0, 2 42【误区警示】利用函数的周期性将自变量化为己知解析式的区间内的值,再代入相应的解析式，看清自变量的取值范围..i【考查目标】 本题主要考查空间几何体的体积,考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】 正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体,其中正八面体的所有棱长都是应,则该正八面体的体积为!X(夜)2、2W.【举一反三】求几何体的体积时,先确定几何体的形状,再利用相应的体积公式求解.11.-3【考查目标】 本题主要考查导数的几何意义，考查考生的化归与转化能力,考查分类讨论思想，考查的核心素养是数学运算.【解析】f'3£^-2@产2万(3『2)仁仁［0,当。・0时，/''⑸人在(0,+8)上恒成立，则/•(*)在(0,+8)上单调递增,又/"(0)=1,所以此时f(x)在(0,+8)内无零点,不满足题意.当a3时，由F'(分为得塔,由f'5)<0得00g,则F(x)在(0,会上单调递减，在停+期上单调递增，又/U)在(0,+8)内有且只有一个零点,所以噌4刊引得所以之则f«)Wx(x-l),当xe(-1,0)时，f'(x)也f(x)单调递增，当 (0,1)时，f'(x)<0,F(x)单调递减,则/■(X)皿=/'(0)=1,A-l)--4,AD力,则A^)»in=-4,所以f(x)在［-1,1］上的最大值与最小值的和为-3.【方法总结】利用导数求函数的最值时,首先利用导数研究函数的单调性、极值,再与区间端点的函数值比较大小.12.3【考查目标】 本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】因为南•而R,所以4AL绍又点。为46的中点，所以N为〃N5°.设直线/的倾斜角为〃，直线四的斜率为k,则tan，之,公tan(05)=3又6(5,0),所以直线48的方程为y-3(%-5),又A为直线/:片2x上在第一象限内的点,联立直线仍与直线1的方程,得%二 解得［Z:'所以点A的横坐标为3.【命题分析】本题考查直线与圆的位置关系,利用等价转化思想将问题转化为两直线的交点问题.13.9【考查目标】 本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】因为N46C420°,N48C的平分线交AC于点D,所以//放=/物巧0°,由三角形的面积公式可得2acsinl20°jasin60°-^csin60°,化简得ac-a+c,又aX),cX),所以工足=1,贝"4a+c=(4a+c)(乙足)巧4期2 2 2 ac acac25+2J2•”=9,当且仅当片2a时取等号，故4a+c的最小值为9.7ac【方法总结】应用基本不等式求解最值时,要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验,尤其是等号成立的条件..27【考查目标】 本题主要考查等差数列、等比数列的前〃项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

【解析】所有的正奇数和2"（〃GN）按照从小到大的顺序排列构成｛4｝,在数列｛&｝中,2,前面有16个正奇数，即如切,弧0.当〃刁时，$=1<12生44,不符合题意；当〃之时，S考<12446,不符合题意；当27=3时,S,巧<12aiN8,不符合题意；当片4时,S=10<12aiW0,不符合题意； ；当厅26时，％卫氾！3走出至1司41用2303<12改7行16,不符合题意；当〃切2 1—2时，S卫W幽的尹N84+62而46>12外行40,符合题意.故使得S>12a“”成立的n的最小值为27.2 1—2.【考查目标】 本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.【解题思路】（1）利用平行六面体的性质得线线平行,再利用线面平行的判定定理证明.（2）利用平行六面体的性质和线面垂直、面面垂直的判定定理证明.［解析】（1）在平行六面体ABCD-A\B\C\D\中,4B〃AB.因为力因平面A、B\C,AiRu平面ABC,所以AB//平面A\B\C.⑵在平行六面体ABCD-AB&R中，四边形4比4为平行四边形.又因为AA^AB,所以四边形ABB出为菱形，因此ABxVAxB.又因为ARLBC,BC〃BC,所以留J_6C又因为46。BC=B,4氏平面ABC,BCu平面ABC,所以留J_平面46c因为仍u平面ABB,Ay,所以平面力阴4_L平面A\BC.【解题关键】熟记直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键..【考查目标】 本题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）的正切公式及二倍角的余弦公式,考查运算求解能力.【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解.（2）利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求解.【解析】（1）因为tanatan。当二所以sinaqcosa.3 cosa 3因为sin2o-^cos2a=1,所以cos2a技，因此,cos2a=2cos2a-1--.（2）因为明£为锐角，所以a+BG（0,n）.

又因为cos(a+B)=--t所以sin(a+B) —cos2(a+n)上?，因此tan(a+£)--2.因为tan。金，所以tan2a-2tan：_二卫,3 l-tan2a7因此,tan（…）加［2"（a+£）］三署悬湍与.【考查目标】本题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.【解题思路】（1）利用三角函数的概念建立目标函数；（2）利用导数与函数的单调性和最值求解.【解析】 ⑴设尸。的延长线交脉于〃则的制所以游10.过。作OE1BC于E,则OE//MN,所以N砒'=0,故应'NOcos夕，aHOsin夕，则矩形48勿的面积为2X40cos （40sin^+10）-800（4sin0cos，丸os，），△泌的面积为：X2X40cos （40-10sin夕）=1600（cosO-sin0cos夕）.过“作GNVMN,分别交圆弧和位的延长线于G和K,则GK=KN=1Q.连接必，令NG循既，则sin狐上，％6（0,2）.4 6当，G［狐,J时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sin夕的取值范围是21）.4答:矩形力〃缪的面积为800（4sin0cos0a：os。）平方米,Z\C平的面积为1600（cos0-sin〃cos0）平方米,sin伊的取值范围是1）.（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4；3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k（kM,则年总产值为44X800（4sin®cos9比。s。）+3〃X1600（cosJ-sin夕cos000〃（sin0cos0牝os8）,设f（，）=sin0cos°归os8,夕仁［夕0,1）,则F'（。）气os?。-sirf。-sin0=-（2sin‘。飞in〃-l）=-（2sin0-1）（sin。+1）.令f'（。）力,得。邑o当（九，E）时,/'（，）%,所以A"）为增函数;D

当夕c（3时,/"Y夕）e,所以r（夕）为减函数,因此,当■时，A夕）取到最大值.O答:当夕q时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6.【考查目标】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力.【解题思路】（1）利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程.（2）①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解;②结合①,利用弦长公式、三角形的面积公式求解.【解析】（1）因为椭圆c的焦点为£（75,0）,£（禽,0）,可设椭圆c的方程为捺看=13始0）.又点（8,3在椭圆c上,所以,a2所以,a2,a2-b2=3,b2=1.因此，椭圆c的方程为4因为圆。的直径为FE,所以其方程为V+炉学.⑵①设直线/与圆0相切于P（x0,㈤（加人,开刈，则就质名,所以直线1的方程为尸在（x-M）即y=~XoxQ-xJ.：+V=i,消去八得：+V=i,消去八得Xq.3y=--x+—,yoyo（4诏 殳-24mx+36-Ayl4）. （*）因为直线/与椭圆C有且只有一个公共点,所以4=（-24xo）M（4以从）（36 =48诏（诏-2）-0.因为荀,Jb^O,所以XoWI,%=L因此,点尸的坐标为（四,1）.②因为三角形力6的面积为蜉,所以，止0P当,从而心邛.设A（xi,yi）,B（x2,㈤,因为诏加玛由（*）得X1.2-24x由（*）得X1.2-24x0±2（4君+»）所以初也—2-Ei噜）•黑鬻.所以而燃^磊，即2温/5就+1004解得诏胃(端之0舍去)，则y"因此夕的坐标为呼，争・综上,直线1的方程为y=/x+3V2..【考查目标】本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.【解题思路】(1)利用“S点”的定义证明即可；(2)利用新定义建立方程组求解；(3)利用函数的零点及新定义求解.【解析】 ⑴函数A%)-X,g(x)=x+2x-2,则F'(*)=l,g'(x)2r，2.由f(x)=gB且f'(x)招'(x),得= ：华2此方程组无解，(1=2x4-2,因此,f(x)与g(x)不存在“S点”.⑵函数Ax)=ax-\,g(x)=lnx、则f'(x)尢ax,g'(x)号设刘为/U)与g(x)的“s点”，由/U)=式刘)且f7x0)=g'(x0),得俨“一7°'即『尸尸。，(*)2aa=需，\2axl=1,得In施工4,即Ao^2,贝!ja-\寺2 2(e*2)22当盛时，加工满足方程组(我即胸为/U)与g(x)的“S点”.因此,a的值为((3)对任意5zX),设A(x)=x-^x-ax+a.因为才(0)=&X),力(1)-1~3-a-f-a=-2<0,且力(x)的图象是不间断的，所以存在施£(0,1),使得力(照)4).令令孑、,则gexo(i-xo)函数/'(*)=-x+a,g(x)X,X则/''(*)=~2x,g'(x)由f(x)=g(八且f'(x)招'(x),2. 0e‘-X+Q= x°bex(x-l)-2x=此时,刘满足方程组(四，即刘是函数/U)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.因此对任意a河存在-0,使函数Ax)与g(x)在区间(0,+8)内存在“S点”.20.【考查目标】 本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.【解题思路】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式建立不等式求解；(2)利用等差数列、等比数列的知识，结合推理、导数在研究函数性质中的应用等求解.【解析】(1)由条件知：a.=(〃T)d办21:因为1azi-4|＜占对〃=1,2,3,4均成立，即(n-1)d-2"'|W1对〃=1,2,3,4均成立，即1W1, 后3,3《2虑5,7W3后9,得［W痣*因此,d的取值范围为《引.⑵由条件知：&=队+(〃-1)〃bn=b\d'.若存在d,使得3,…，必修)成立，即/b\+(〃T)d-b\q'Wb\523, m+1),M-i嗓 ji-i即当n23,…，m+\时，"满足一"总公力瓦n-1 n-1因为qG(1,他,则Wg・W2,从而啜一^《0,—bx)Q,对n23,…，m+\均成立.n-1 n-1因此,取cM)时，/4-&/《/»对〃之,3,—,m+\均成立.下面讨论数列｛1｝的最大值和数列｛J｝的最小值(小2,3,…,m+1).n-1 n-1①当2(勿时，止-qn-1-2—nq'-qn-nqiz一讨(时讨+2,'nn-1n(n-l) n(n-l)当19《2土时,有qWq"W2,从而n(q"-q')引+2人.因此当240+1时,数列｛。｝单调递增，故数列｛曰｝的最大值为吧二n-1 m'即-X2+Q=exo(i-xo)x-2%=exo(i-Xo)②设f(x)玄(1-x),当a90时，F*(x)-(In2-1-xln2)2'。所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1.qn i当2《〃时,0总RnT）w25（1二）=f（L）<1,qn nnn-l因此当2〈后m1时，数列｛亡！单调递减，n-l故数列｛丈m的最小值为吧.n-l m因此,d的取值范围为之屈出,皿］.mm21.A.［选修4-1:几何证明选讲］【考查目标】本题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力.【解题思路】先利用勾股定理得。的长,再利用直角三角形的性质得比1的长.【解析】连接0C.因为先与圆。相切,所以OCVPC.又因为PC=2yp3,0C=2, /一^5所以op\pc2+oc2a. L /AVo下p又因为梦2从而6为Rt△aT5斜边的中点，所以BCC.B.［选修4-2:矩阵与变换］【考查目标】本题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.【解题思路】（1）利用逆矩阵的定义求解；（2）利用矩阵与列向量的乘法法则求解.23【解析】（1）因为力二 ，detC4）之X2TX3=1NO,所以力可逆,L12\-322从而4T-32-1⑵设P(i),则23HJ3112jlij所以O即2因此,点尸的坐标为（3,T）.C.［选修4Y:坐标系与参数方程］【考查目标】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.【解题思路】先由直线与圆的极坐标方程得轨迹,再利用直角三角形求解直线被圆截得的弦长.【解析】

因为曲线「的极坐标方程为0=lcoso, / 、所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆. 0(因为直线)的极坐标方程为。sin(/〃)之，则直线，过4(4,0),倾斜角为2，所以A为直线1与圆C的一个交点.设另一个交点为6,则/物6=.连接OB.因为小为直径,从而/倒苫，所以除IcosZ-2Vl6因此,直线/被曲线C截得的弦长为2®D.［选修4七:不等式选讲］【考查目标】本题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.【解题思路】利用柯西不等式求解.【解析】 由柯西不等式，得(「旷筋)(1*2记)》(户2户2犷.因为x+2y3S所以x歹法24,当且仅当彳时，不等式取等号,此时产与z=,所以力的最小值为4.22.【考查目标】 本题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用