数学高考真题卷-北京理数（含答案解析）

2018年普通高等学校招生全国统一考试•北京卷(理)本试卷共150分.考试时长120分钟.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合4={川|x|⑵，庐{-2,0,1,2},贝(3=(A){0,1} (B){-1,0,1)(C){-2,0,1,2} (D){-1,0,1,2)(2)在复平面内，复数三的共朝复数对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为TOC\o"1-5"\h\z(A)i (B)|L 6(C)； (D)白6 12“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于】短.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(A)\[2f (B)\[?7f(C)i密f (D)(5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(A)l俯视图(B)2俯视图(C)3(D)4⑹设a”均为单位向量，则“|a-3引=|3a%”是“a_L6”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos",sin到直线的距离.当。，勿变化时,d的最大值为TOC\o"1-5"\h\z(A)l (B)2(C)3 (D)4(8)设集合A=｛(x,y)| 1,ax+y>\, ,则(A)对任意实数a,⑵1)《力(B)对任意实数a,(2,1)⑥(C)当且仅当a<0时，(2,1)3(D)当且仅当ag时，(2,1)3第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分.(9)设｛aj是等差数列，且囱%,则｛4｝的通项公式为.(10)在极坐标系中，直线pcos""sin，=a(a>0)与圆p=2cos9相切，则.(11)设函数f｛x)=cos(Qx-看)(。刈.若/U) 对任意的实数x都成立,则3的最小值为.(12)若x,y满足则2y-x的最小值是.(13)能说明“若/U)»(0)对任意的xW(0,2］都成立，则f(x)在［0,2］上是增函数”为假命题的一个函数是.(14)已知椭圆〃:彳+为=1(a»刈，双曲线MJ-J二L若双曲线N的两条渐近线与椭圆〃的四个交点及椭圆〃的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆〃的离心率为;双曲线N的离心率为.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题13分)在△R8C中,a=7,b=8,cosB='⑴求N4(II)求然边上的高.(16)(本小题14分)如图，在三棱柱ABC-4BC中，CC_L平面ABC,D,E,F,G分别为AAitAC,4C,防的中苴，AB=BC$,AC=AA\之.(I)求证平面BEF\(II)求二面角B-CD-C、的余弦值;(III)证明：直线用与平面时相交.(17)(本小题12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:电第第第第第第影一二三四五六类、M-类类类类类类电影'14050300200800510部数好0.10.2评0.40.2 0.20.155率好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(II)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(III)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“f*=l”表示第4类电影得到人们喜欢，“加力”表示第4类电影没有得到人们喜欢(女可，2,3,4,5,6).写出方差〃。,〃鼻,〃乙,〃"〃鼻,〃黑的大小关系.(18)(本小题13分)设函数f{x)=[af-(4a+l)XT[4a+3]e*.(I)若曲线片/G)在点(1,f(D)处的切线与x轴平行,求a;(II)若M在x=2处取得极小值,求a的取值范围.(19)(本小题14分)已知抛物线经过点P(l,2).过点。(0,1)的直线1与抛物线。有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线加交y轴于N.(I)求直线/的斜率的取值范围；(II)设0为原点，丽=我而，丽=〃丽,求证:*■为定值.(20)(本小题14分)设〃为正整数,集合A={a|a={tut2,…，t), {0,1},A=l,2,…,〃}.对于集合A中的任意元素a=(*i,鸟…，素和£=(%，％, 素,记Ma, =1[(^+yix-yx|)+{x2+y2-\x2-y2\)+,•,+{x„+y„-\x„-y„|)].(I)当〃=3时，若a=(1,1,0),£=(0,1,1),求"(%a)和〃(明£)的值；(II)当〃力时，设8是4的子集,且满足:对于6中的任意元素a,£,当£相同时，欣a,B)是奇数；当。，£不同时,〃(a,⑶是偶数.求集合6中元素个数的最大值；(III)给定不小于2的〃，设5是力的子集,且满足:对于6中的任意两个不同的元素£)4).写出一个集合B,使其元素个数最多，并说明理由.141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12142 f(x)=sinx(答案不\f3-ADBDCCCDa,W〃-31 — 33 唯一)1,2(DA【考查目标】本题主要考查集合的交运算、集合的表示方法、简单的绝对值不等式的解法，考查的核心素养是数学运算.【解析】7Hxi|x|<2}=(-2,2),层{-2,0,1,2},."Cl6={0,1},故选A.【解题规律】关于集合及其运算的问题，首先要从本质上认识集合，即集合的代表元素是什么(点、数、图形等)，都有什么样的特征，其次认真理解集合的交集、并集、补集的概念及其表示方法，集合与元素的关系及其表示方法，集合与集合的关系及其表示方法，子集、真子集和集合相等的定义等，这些概念、关系和表示方法,都可以作为求解集合问题的依据、出发点,甚至是突破口.(2)D【考查目标】本题主要考查复数的除法运算、共胡复数等基础知识，考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】白若=看/,其共施复数为;对应的点为白―),故选D.(3)B【考查目标】本题主要考查程序框图中的直到型循环结构，考查考生识图、读图、用图的能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】运行程序框图,kAs=l;s=l+(T”X衿,公2;s=+(T)2x衿,满足条件,跳出循环,输出的22 2 36故选B.6(4)D【考查目标】本题以音律体系中的“十二平均律”为背景，有机将我国古代音律方面的成就与数学中的等比数列结合在一起,考查考生的阅读理解能力、运算求解能力和分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学建模、数学运算.【解析】从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于‘好,第一个单音的频率为f,由等比数列的概念可知,这十三个单音的频率构成一个首项为f,公比为।好的等比数列,记为{4},则第八个单音频率为女=碟也产制可£故选D.【解后反思】1.等比数列的判定方法：⑴定义法:皿=g(常数)是等比数列；(2)等比中项法:a〃W0,成+i=a”•a.eSeN")。®}是等比数列；⑶通项公式法:a,,二H(c,斤0且都是常数,= 是等比数列；2.由a*qa,»a0,并不能立即断言{a.}为等比数列,还要验证(5)C【考查目标】本题主要考查三视图以及线面垂直的证明等知识，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,如图所示.易知，BC//AD,BC=LAD^AB=PA=2,ABVAD,必，平面ABCD,故△为〃△必6为直角三角形，「以，平面ABCD,BCu平面ABCD,.".PALBC,又BCLAB,且阳。48勺，%LL平面PAB,又PBa平面PAB,；.BC1PB,为宜角三角形,容易求得PCACD+,PDM,故△尸切不是直角三角形,故选C.(6)C【考查目标】本题主要考查单位向量、向量的模、向量的数量积，向量垂直的条件,考查的核心素养是数学运算.【解析】 ：1a-^b\=\3a+b\,,".(a-3b)2=(3a+ti)2,.*a2-6a,b拎S力a?母a,b+S,X**la|=lb\=\,.\a,b=0,.：aJ_b;反之也成立.故选C.【名师点睛】 本题属于基础题，解决本题的关键在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，熟练掌握数量积的运算性质.解决向量的问题，归纳起来就是:见模就平方，见向量相乘就展开，见特殊图形就建系.(7)C【考查目标】本题主要考查点到直线的距离公式，三角函数的辅助角公式，函数求最值等问题，试题比较新颖,考查考生化归与转化思想,运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.［解析］由题意可得d」cos”ms.-2|」ms吧-cosO+21_Nm2+“滞歪―诉mCOs8)+2|」加2+皿11("⑺+2"其中cosVm2+1 Vm2+1 Vm2+1 Vm2+1^,sin0^4=)，：'TWsin( .：当加上时，dVm2+1 Vm2+1 Vm2+1 Vm2+1 Vm2+1 Vm2+1取最大值3,故选C.(8)D【考查目标】本题主要考查线性规划问题，考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理能力和运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】点(2,1)在直线x-y-1上,ax+y^A.表示过定点(0,4),斜率为-a的直线,当aWO时,x-ayC表示过定点(2,0),斜率为工的直线,不等式x-a0表示的区域包含原点,不等式ax+y乂表示的区域不包含原点.a直线ax+y=^与直线x-ayt互相垂直.显然当直线ax+y=4的斜率-a>0时,不等式ax+yX表示的区域不包含点(2,1),故排除A;点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为当-aG1,即时,ax+y>\表示的区域包含点(2,1),

此时x~ay<2表示的区域也包含点(2,1),故排除B;当直线ax+y=A的斜率-a'即a弓时,ax+yA表示的区域不包含点(2,1),故排除C,故选D.(9)/4"-3【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式等基础知识，考查的核心素养是数学运算.【解析】设等差数列的公差为d,az依陷d=6%/36,."-6,.：a/3+(〃T)•6W〃-3.(10)1^/2【考查目标】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程，点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系等知识,考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】利用X-coso,y=psin"，可得直线的方程为x+y-aW,圆的方程为(xT)2+/=l,所以圆心(1,0),半径r=l,由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即詈=1,.：a=l"2或172,又a>0,a=\a/2.(11)1【考查目标】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由于对任意的实数都有成立,故当•时,函数f(x)有最大值,故4 4 4 4 6n(ASZ),.：3=84*(4WZ),又3Mli卷(12)3【考查目标】本题主要考查线性规划问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】作出不等式组丫所表示的平面区域如图中阴影部分所示,令作出直线2y-x=Q,平移该直线,当直线过点4(1,2)时,2y-x取得最小值,最小值为2X2-13.【解后反思】解决线性规划问题的方法是图解法,解题的一般步骤是:①由约束条件作出可行域;②作出目标函数对应的直线;③数形结合求出最优解.(13)f(x)-sina•(答案不唯一)【考查目标】本题主要考查函数的单调性，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象.【解析】这是一道开放性试题,答案不唯一,只要满足/'(x)》f(O)对任意的xG(0,2］都成立,且函数/tr)在［0,2］上不是增函数即可.如/'(x)=sin 答案不唯一.(14)73-1,2【考查目标】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查数形结合思想，考查考生的逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】设椭圆的右焦点为尸(c,0),双曲线力的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为4由题意可知zf(p亨)，由点/在椭圆"上得，靠嗡=1,.'.b'c~-f-3a2c'=4alf,"."b'~a-c, (a-c)c+3a2c'^4a2 ~c),Z4a'-8a2c*c4), .'.6^=4±2^3,e机舍去)或e怖45-1,.：椭圆"的离心率为6-1,：•双曲线的渐近线过点苧)，.:渐近线方程为ym^x,.二用,故双曲线的离心率ew=(15)【考查目标】 本题主要考查正弦定理、同角三角函数的关系、诱导公式等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I)先求出sin8,再利用正弦定理求出sin4由cos8<0得出N6为钝角，进而得出N4为锐角，求出角4；(II)利用诱导公式求出sinC再解三角形求出边上的高.【解析】(I)在△46。中，因为cos8=—,所以sin—cos2F由正弦定理得sin力鬻号.由题设知/,所以0<Z/f<y.所以乙写.(H)在△/)况中，因为sinC=sin(A+助

=sinJcosB忆osJsinB_35/314，所以〃'边上的高为asinC3X咨当.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.基本步骤是：第一步,定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向；第二步,定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边、角之间的互化；第三步，求结果.(16)【考查目标】本题主要考查点、线、面的位置关系，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算和逻辑推理.【解题思路】对于第(I)问，根据CG1■平面｛阳£尸分别为4C4G的中点，从而证明力仪防又由得ACLBE,从而得证;对于第(II)问，可以建立空间直角坐标系,分别求出平面腼与平面加的法向量,再利用向量的数量积公式求解即可;对于第(UD问,可通过向量方和平面及力的法向量的关系判断.【解析】(I)在三棱柱ABC-ARG中，因为⑶J_平面46G所以四边形4/CG为矩形.又E,尸分别为AC,4G的中点，所以/CLH：因为AB=BC,所以AC1.BE.所以平面BEF.(II)由(I)知 4CL班用〃O；.又CGJ_平面ABC,所以既1.平面ABC.因为比t:平面力附所以EFA.BE.如图建立空间直角坐标系E-xyz.由题意得8(0,2,O),C(-1,0,0),〃(1,0,1),尸(0,0,2),(7(0,2,1).所以阮=(T,-2,0),BD=(l,-2,1).设平面阅9的法向量为〃=(刖,％,zb),则fn•BC=0,fx0+2y0=0,'In«BD=0,lxo-2yo+z()=0.令Jb=T,则照之，2o--4.于是〃=(2,T,~4).又因为平面CG〃的法向量为方=(0,2,0),由题知二面角8-必-G为钝角，所以其余弦值为-詈.(HI)由(H)知平面时的法向量为〃=(2,T,-4),FG-(0,2,-1).因为〃•布之X0+(T)X2+(M)X(T)-2W0,所以直线小与平面腼相交.(17)【考查目标】本题将电影好评率与概率统计知识相结合，考查了古典概型、互斥事件等统计知识，问题源自生活实际，高于生活，突出了数学的应用价值,考查考生分析问题、解决问题的能力以及数据处理能力和应用意识.考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、数据分析.【解题思路】(I)读表,可看出是在2000部电影中随机抽取1部,而第四类电影中获得好评的有50部，结合古典概型，可求得概率；(H)从第四类和第五类电影中各随机选出1部,恰好有1部获得好评包含第四类获得好评的同时第五类没有获得好评和第五类获得好评的同时第四类没有获得好评,从而可求得概率；(HI)这是典型的两点分布，随机变量的期望是以C=p,队f)予(1m),很容易得〃和，〃夕入f5,〃久之间的大小关系.【解析】(I)由题意知,样本中电影的总部数是140巧0+300+200对00拈102000,第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25-50.故所求概率为就025.(H)设事件［为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件6为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.故所求概率为P(AB+AS=P(AB)+P(AS)=P(A)(1-P⑵)+(1-P(A))P⑷.由题意知:尸(⑷估计为0.25,P(而估计为0.2.故所求概率估计为0.25X0.8X).75X0.24.35.(W)D€、>D&,〉D，=D&QDg3>Dg(18)【考查目标】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值问题、导数的几何意义等知识内容,考查考生的运算求解能力、推理论证能力,考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.【解题思路】(I)对函数/V)求导，利用F'⑴老求出a的值；(H)分吗aWg两种情况讨论函数/Xx)的极值情况即可.【解析】(I)因为f(x)<ax2-(4a+l)x-Ma*3]e',所以F"(%)=\_ax x+2]e\f,(1)-(l-a)e.由题设知F'⑴电即(l-a)e4解得a=l.此时HDdeKO.所以a的值为L(H)由(I)得f'(x)=[ax-(2a^l)x+2]e”=(axT)(*-2)eT.若外则当XS(i2)时,f'(*)<0;当xG⑵+8)时，f，(x)X.所以/Xx)在尸2处取得极小值.若aW3则当xG(0,2)时，X-2<0,axT<]T<0,所以F'(⑼人.所以2不是F(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是G，+8).(易错点睛】(1)本题利用导数的几何意义求曲线在点(1,AD)处的切线方程,切记,需检验切线是否与X轴重合；(2)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点；(3)解决求参数范围的问题,首选方法是参变量分离,这样可避免不必要的讨论.(19)【考查目标】 本题主要考查抛物线的方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I)先利用点在抛物线上求出。，设出直线的方程，直线方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程,利用判别式及已知条件求出斜率〃的范围；(II)根据条件写出直线PA的方程,进而求得点”的纵坐标，同理得点力的纵坐标，利用而=4而，丽=〃而，得出九〃，结合根与系数的关系，求出定值.【解析】(I)因为抛物线"N勿过点(1,2),所以2与4,即片2.故抛物线C的方程为yNx.由题意知,直线1的斜率存在且不为0.设直线1的方程为y=kx+l(kW0).由('=产，得"+(2Dx+lR.(y=kx+1依题意/=(24y)2yx〃xi人,解得k<0或oaa又PA,PB与7轴相交,故直线1不过点(1,-2).从而2-3.所以直线/斜率的取值范围是(-8,-3)U(-3,0)U(0,1).(H)设/f(xi,%),B(X2,y2).由(I)知Xl/质*^,X\X2=^.直线PA的方程为y-2岑(x-1).令x4),得点M的纵坐标为Xi-1 %丁1同理得点儿的纵坐标为"①r+2.x2-l由丽=4而，丽=〃而得4=1一尸6U-1-7V.xrlx2-l(61)必(k-l)x2二.25必・(乙+“2)k・lxxx2所以9△为定值.【方法总结】定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇.解决此类问题的关键是引进参变量并用参变量表示所求问题.求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是:把直线或曲线方程中的变量当作常数,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关,始终是一个确定的值，对于定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；②可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等.(20)【考查目标】 本题主要考查以二元码0,1为背景