数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)

高中平面几何叶中豪几何问题的转化圆幕与根轴PJtolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel点垂足三角形与等角共辄反演与配极，调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法EF丄BC,且1・四边形ABCD中，AB=BC,DE丄AB,CD丄BC,^^•tan(/9+/)=lo求证：EF丄BC,且E已知相交两圆O和O交于A、B两点，且O恰在圆O上，P为圆O的ACVB弧段上任意一点。ZAPB的平分线交圆CT于Q点。求证：PQ2=PAXPBo(10092401-1.gsp)设三角形ABC的Fennat点为R,连结AR,BR,CR,三角形ABR,BCR,ACR的九点圆心分别为D,E,F,则三角形DEF为正三角形。(10082602.gsp)ABC在AABC中，己知ZA的角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E,点A关于D、E的对称点分别为F、G,AADG和AAEF的外接圆交于A和另一点P。求证：AP//BCo(10092102.gsp)

圆Oi和圆02相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线,分别切圆01和圆02于点C、D,乂两圆的一条外公切线分别切圆01和圆02于点E,Fo求证：AB、CE、DF共点。(1009220l.gsp)四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD,过C、D分别作BC、AD的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ±AB于Qo求证：ZPQC=ZPQDo(10081601-26.gsp)DMQB

己知RTAABD^RTAADC,M是BC中点，AD与BC交于E,自C作AM垂线交AD于F。求证：DE=EFo(10083001.gsp)&在Z\ABC中，AB=AC,D为BC边的中点，E是AABC外一点，满足CE丄AB,BE=BDo过线段BE的中点M作直线MF丄BE,交AABD的外接圆的劣弧AD于点F。求证：ED丄DFo(2010年女子竞赛)(100816014gsp)9.设圆Ii是AABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I】D与EF交于P点。求证：AP平分底边BC。(10082001-8.gsp)A10・如图，00切Z\ABC的边AB于点D,切边AC于点C,M是边BC上一

点，AM交CD于点N.求证：M是BC中点的充要条件是ON丄BC。(09031302・gsp)已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MP丄AB于Pc求P点的轨迹。(10081601-4.gsp)AABC外接圆为圆6P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T,与AB交于M、N。求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。(10081601-3.gsp)在AABC中AC>BC,F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得i)i)C、E在AB同一侧，乂过C做AB的平行线交DE于L。求证:(AC+BC)2=4DLXEFo(09011003.gsp)已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD丄BC于D,PE丄CA于E,PF丄AB于F。求证：(BC/PD)=(AC/PE)+(AB/PF)□(09012201-7丄gsp)已知O是AABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足DO=DB,E、F分别是AB、AC边上的点，满足ZMEA=ZMFA=ZAo求证：AD丄EFo(10080302.gsp)

已知AABC中，AB=AC,线段AB上有一点D,线段AC延长线上有一点E,使得DE=ABo线段DE与AABC的外接圆交于点T,P是线段AT延长线上的一点。求证：点P满足PD+PE=AT的充要条件是P在AADE的外接圆上。(2000年国家集训队)(10082201-l.gsp)己知厶虹。中，心I关于BC边中点M的对称点为T,S是BC弧(不含A点)中点，直线ST交AABC的外接圆于另一点P。求证：P点到AABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。(10082201・5.gsp)S在外作△DBC^AECA^AFAB,联结AD、BE、CF。求证：AF+FB+BD+DC+CE十EA2AD十BE+CF。(10081601-2.gsp)过△ABC—点0引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、F、G、H、I、K,过0作厶ABC的外接圆的弦AL。求证：OE•OF+OG•OH+OI•OK=OA•OL。(09042002.gsp)20-一小圆切大圆于点N,BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M,劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P,乂设△BQK、ABPM外接圆的另一个交点为Bi°求证:BPBiQ为平行四边形。(10082001-1.gsp)21.圆O与圆Oi、圆Ch同时相切，切点为S、T,圆Oi与圆Ch交于A、B两点，且圆02的圆心恰在圆O1上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆Oi于P和Qo求证：PQ与圆02相切。(40届imo)(10082001-12.gsp)OtOU02DOtOU02D22.设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆0交于P,作NQ丄LM于Q。求证：ZMPQ=2ZNMLo(98年伊朗竞赛)(10081601-5、6.gsp)(09022203.gsp)23-交AC延长线于23-交AC延长线于G。过G作圆O的切线GT,T为切点。求证:TF丄GE°(10092104.gsp)24.已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF,M是EF上一点，联结BM延长交圆O于C。求证：AC//PEF的充要条件是M为EF中点。(10092401-6.gsp)ccMM25-过点P任作圆O的两条割线PAB.PCD,直线AD与BC交于Q,弦DE//PQ,BE交PQ延长线于M。求证：OM丄PQo(10092103-l.gsp)26-如图，设OOi与002交于AB两点。AC是OCh的切线，交OOi于C点。AD是OO1的切线，交002于D点。过A任作直线，交OOh002及经过A、C、D三点的圆分别于M、N、P。求证：AM=NPo(10091002-6.gsp)两圆圆Oi和圆O2相交于M、P,过M作圆Ch的切线交圆Oi于A；乂过M作圆01的切线交圆02于B,在直线MP上截取PH=MPo求证：四边形MAHB接于圆。(10091002-l・gsp)已知两个半径不等的圆Oi和圆02相交于M、N两点，且圆Oi和圆02分别与圆O切于S、T两点。求证：0M丄MN的充要条件是S、N、T三点共线。(1997年全国联赛)(10090301-3.gsp)设以O为圆心的圆经过AABC的两个顶点A和C,且与边AB、BC分别交于K和N,乂设AABC和的外接圆交于B和另一点M。求证：ZOMB=90°o(1985年IMO)(10090301-l.gsp)R30-己知：在△OAB与AOCD中，OA=OB,OC=OD,直线AE与CD交于点P,APAC与厶PBD的外接圆交于P、Q两点。求证：OQ丄PQ。(09022301・gsp)

己知半圆圆心为0,直径为AB,—直线交半圆于C、D,交AB延长线于P,设M是AAOC与ABOD外接圆除O点外的另一交点。求证：OM丄MP。(1009100i.gsp)凸四边形ABCD接于圆0,两组对边所在直线分别交于点E、F,对角线AC、BD交于G,作GH丄EF于H,圆O的弦MN经过G点。求证：GH与圆O交点恰是AJIMN的心。(10092103-2.gsp)G>O为AABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长线上的点，BE、CF交于D,PE、PF分别交00于S、R。若AD、BC、RS共点,求证：点D在OO±o(1009080l.gsp)(10092103-8.gsp)FD,共点,求证：点D在OO±o(1009080l.gsp)(10092103-8.gsp)FD,0是厶34.35.如图，设N是AABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是AABC的心。求证：ZANI=2ZIMCo(0902170l.gsp)36-设T为△ABC的切圆与BC边的切点，D为BC±任一点，I】、b分别为△ABD、AACD的心。求证:TIi±TI2o(10081701-9.gsp)A37.矩形ABCD中，AB=V2ACoP是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、Eo求证：AE2+BF2=AB2o(09013001.gsp)CD3&AB是圆0的直径，P是过B所作切线上的任一点，过P作圆O的割线PCE,联结直线PO分别交AC、AD于E、F。求证：OE=OFo(10081001-4.gsp)39-自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD,自C作PA的平行线，分别交AB、AD于ExFo求证：CE=EFo(10081001-5.gsp)

cEBDcEBDA为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D,DE垂直AO于E,DE分别交AB、AC于F、Go求证：DF=FGO(0904200l.gsp)P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证:D为BF中点°(09031302・gsp)

已知P、Q是等腰三角形ABC(AB=AC)两点，满足ZABP=ZQCB,且ZACP=ZQBCo求证：A、P、Q三点共线。(10090101gsp)43-已知锐角AABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P,自P作PE丄AB于E,PF丄AC于F。求证：DEPF是平行四边形。(10091701.gsp)44•已知E、F是圆接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求iiE：MP=MQo(10091701-l.gsp)45-AD为AABC角平分线，11、匕为厶ABD、AACD的心，以1伍为底向BC

边作等腰△EI1I2,使得ZIiEl2=|zBACo求证:DE丄BC。(10081701-l.gsp)46-已知P是凸四边形一点，满足ZPAB=ZCAD,ZPCB=ZACD。求证：PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。(2004年IMO)(10091701-6.gsp)(0903080l.gsp)47.己知D是AABC底边BC±任一点，P是形一点，满足Z1=Z2,Z3=Z4o求证：(PB/PC)=(AB/AC)o(0903080l.gsp)4&已知：D是△AEC的BC中垂线上一点，11、12是厶ABD、AACD的心，E是AABC外接圆弧BAC的中点。求证:A、E、Ii、l2四点共圆。(08081201.gsp)

BEAhCDBEAhCD49.如图，AABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。求证:DM丄BCo(09013101.gsp)50・已知：OO两切线PA、PB和一割线PCD,AD、AP交C处的切线于E、F,BE交DF于K。求证：K在圆O上。(0902220l.gsp)设OOi与OO2交于C、Do过D的直线交OOi与002于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M,Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N,O为AABC夕卜心。求证：MN丄OD是P、Q、M、N四点共

圆的充要条件。(0902040l.gsp)设X是P点的Simson线关于Z\ABC的垂极点。求证：XP被Simson线所平分。(09031903.gsp)己知：AD是高，0、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。求证：ZDHE=ZCo(09022202・gsp)

54-AABC中，AD为边BC±的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的点，且A、E、G、F四点共圆。设ABDE外心为Oi、半径为门；ACDF外心为02、半径为T2。求证:G0i2+G022=ri2+r22o(09031401.gsp)己知戸是厶ABC—点，Ai、Bi、Ci分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。求证:P、Ai、Bi、Ci四点共圆。(09042401.gsp)给定AABC,D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点，M、N分别是△BDF、ACDE的外心°P、Q分别是BC、MN上的点，满足(BP/PC)=(MQ/QN)oAP与OAEF相交于R点。求证：(1)QR=QD；(2)ZRQD=2ZAPCO(09042601.gsp)

己知OOi与(DO?交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA=PB,E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四点共圆□(0902200l.gsp)58-AABC中，D、E、F是边BC、CA、AB的中点，X、Y、Z是各边上高的垂足，EZ与FY交于L,FX与DZ交于M,DY与EX交于N。求证：L、M、N三点共线。(10092101.gsp)MABXD59-设AABC的切圆分别与三边切于D、E、F,联结AD交切圆于另一点P,联PB、PE、PF。求证:PF/7BC的充要条件是ZBPD=ZEPDo(10091002-7.gsp)A已知AABC和任意直线d,自A、B、C作d的垂线，垂足分别为A*B\C；再自AlB\C分别作对边BC、CA、AB的垂线，设这三条垂

线共点于H。在d上任取一个动点M,自M作d的垂线，分别交AB、AC所在直线于K、Lo在线段BK、CL及HA逛长线上分别取分点P、Q、X,满足(BP/PK)=(CQ/QL)=(HA7ArX)c求证：XM丄PQ。(09031602.gsp)己知ABCD是等腰梯形，P是其底边BC±任意一点，E、F两点分别位于AB、AC上，满足EB=EP,FP=FCo联接EF,并作P点关于EF的轴对称点Q。求证:DQ丄PQo(0904140l.gsp)设D、E分别为AABC的边AB、BC±的点，P是厶ABC—点，且PE=PC,ADEP^APCAo求证：BP是APAD的外接圆的切线o(0904060l.gsp)63•在