平面向量与空间向量 专题训练-2023届高考数学一轮复习（含解析）

平面向量与空间向量专题一．选择题（共18小题）1．（2021春•湖北期末）已知向量，，则下列结论正确的是（）A．向量是单位向量 B．与不能作为基底 C． D．与的夹角为2．（2021•庐阳区校级模拟）已知向量，满足，，，则＝（）A．2或0 B． C． D．或03．（2021春•十堰期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且CF＝2DF，AE与BF交于点P，若，则λ＝（）A． B． C． D．4．（2021春•十堰期末）如图，在等腰△ABC中，已知||＝||＝1，∠A＝120o，E，F分别是边AB，AC的点，且＝λ，＝μ，其中λ，μ∈（0，1）且λ+2μ＝1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值是（）A． B． C． D．5．（2021春•湖北期末）已知，是不共线的向量，，，，若M，N，Q三点共线，则实数λ的值为（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．56．（2022春•三门峡期末）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D是BC的中点，，则＝（）A． B． C． D．7．（2020•聊城模拟）已知△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则（）A．＝+ B．＝﹣+ C．＝﹣ D．＝﹣﹣8．（2020•甘肃模拟）如图，在△ABC中，M是AC的中点，N在边BC上，且，BM与AN交于点P，若，则的值是（）A． B． C． D．39．（2021春•湖北期末）O为▱ABCD两条对角线的交点，＝4，＝6，则＝（）A．2+ B．2﹣ C．2+3 D．2﹣310．（2021•浙江学业考试）已知△ABC的重心为O，则向量＝（）A． B． C． D．11．（2021秋•湖北期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，2，1），点A关于平面Oxy对称的点为B，点A关于x轴对称的点为C，则△ABC的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．1612．（2021秋•湖北期中）在棱长为1的正四面体A﹣BCD中，点M满足＝x+y+（1﹣x﹣y），点N满足＝﹣（λ﹣1），当线段AM、DN的长度均最短时，＝（）A． B． C． D．﹣13．（2021秋•蕲春县期中）已知、分别为直线l1、l2的方向向量（l1、l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（）A．∥⇔l1∥l2 B．⊥⇔l1∥α C．⊥⇔α⊥β D．∥⇔α∥β14．（2021秋•沙市区校级期中）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．15．（2016秋•黄石港区校级期中）已知向量＝（1，2，3），＝（﹣2，﹣4，﹣6），||＝，若（+）•＝7，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°16．（2017秋•福清市期末）三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则•等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．217．（2020秋•张家口期末）在三棱锥O﹣ABC中，M是OA的中点，P是△ABC的重心，设，则＝（）A． B． C． D．18．（2020秋•滨海新区校级期中）如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为（）A． B． C． D．二．多选题（共9小题）（多选）19．（2021春•岳阳县校级期末）已知平面向量，，都是单位向量，且•＝0，则（﹣）•（﹣）的值可能为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2（多选）20．（2021春•湖北期末）已知平面四边形ABCD，O是ABCD所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（）A．若，则ABCD是平行四边形 B．若，则ABCD是矩形 C．若，则△ABC为直角三角形 D．若动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心（多选）21．（2021春•黄冈期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．＝（0，2），＝（，0） B．＝（0，0），＝（1，﹣2） C．＝（1，3），＝（﹣2，﹣6） D．＝（3，5），＝（5，3）（多选）22．（2021春•武汉期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D是边AC上的点，且，E是AB的中点，BD与CE交于点O，那么（）A． B． C． D．（多选）23．（2021秋•蕲春县期中）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），则正确的有（）A．与是共线向量 B．的单位向量是（1，1，0） C．与夹角的余弦值是﹣ D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣1，3）（多选）24．（2021秋•下陆区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论正确的是（）A． B． C．存在实数λ，使得 D．（多选）25．（2021春•福州期中）定义空间两个向量的一种运算⊗＝||•||sin＜，＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．⊗＝⊗ B．λ（⊗）＝（λ）⊗ C．（+）⊗＝（⊗）+（⊗） D．若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则⊗＝|x1y2﹣x2y1|（多选）26．（2020秋•济宁期末）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（）A．＝﹣2 B．cos＜，＞＝﹣ C．点O到直线BC的距离为 D．O，A，B，C四点共面（多选）27．（2021秋•浦城县期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则以下说法正确的是（）A．当λ＝μ时，BP∥平面CB1D1 B．当时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为 C．当λ+μ＝1时，CP长度的最小值为 D．当λ+μ＝1时，CP与平面BCC1B1所成的角不可能为三．填空题（共12小题）28．（2021春•湖北期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为．29．（2021•宁夏模拟）若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足•（+﹣2）＝0，则△ABC的形状为．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）30．（2021•雅安三模）已知向量，，，则向量与夹角的余弦值为．31．（2021春•湖北期末）已知点M是边长为4的正方形ABCD内部（包括边界）的一动点，点P是边CD的中点，则的最大值是；的最小值是．32．（2021春•武昌区校级期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是．33．（2021春•黄冈期末）如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，O是梯形ABCD的外接圆的圆心，M是边BC上的中点，则的值为．34．（2018•乐山二模）已知向量＝（﹣2，3），＝（4，m），若（）∥（），则实数m＝．35．（2021秋•武汉期中）已知直线l的一个方向向量为（﹣，1），且经过点P（2，﹣1），则直线l的方程为．36．（2021秋•洪山区校级月考）已知V为矩形ABCD所在平面外一点，VA＝VB＝VC＝VD，P，M，N分别为VC，VB，VD上的点．且满足，，，则VA与平面PMN的位置关系是．37．（2018秋•衢州期末）已知共面的三个单位向量，，满足＝＝＝，若空间向量满足＝，且对于任意x，y∈R，恒有|﹣（x+y）|≥||＝，则||＝．38．（2019春•湖南期末）如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为．39．（2022春•连云港期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于．四．解答题（共3小题）40．（2021春•十堰期末）（1）已知平面向量、，其中．若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足||＝2，||＝1，与的夹角为，且（+λ）⊥（2），求λ的值．41．（2021春•孝感期末）已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（2，3），D（﹣2，﹣1）．（1）求向量的坐标和；（2）若，其中O为坐标原点，求实数t的值．42．（2022春•儋州校级期末）已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝，（1）求和夹角的余弦值；（2）设||＝3，∥，求的坐标．

参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2021春•湖北期末）已知向量，，则下列结论正确的是（）A．向量是单位向量 B．与不能作为基底 C． D．与的夹角为【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，平面向量的基本概念，得出结论．【解答】解：∵向量，∴||＝，∴不是单位向量，故A错误；由于，不共线，故它们可以作为平面向量的一个基底，故B错误；∵（﹣）＝﹣＝1+0﹣2＝﹣1≠0，故C错误；∵cos＜，＞＝＝＝，∴＜，＞＝，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，平面向量的基本概念，属于基础题．2．（2021•庐阳区校级模拟）已知向量，满足，，，则＝（）A．2或0 B． C． D．或0【考点】向量的概念与向量的模．【分析】由题意可得||＝±||，代入即可求解．【解答】解：由题意||＝±||，所以＝|2|＝2||＝2，或＝0．故选：D．【点评】本题考查向量的表示以及模长计算，考查计算能力，属于基础题．3．（2021春•十堰期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且CF＝2DF，AE与BF交于点P，若，则λ＝（）A． B． C． D．【考点】向量数乘和线性运算；平面向量的基本定理．【分析】设＝m+（1﹣m）＝m+（1﹣m）（+），求得＝+（1﹣m），求出＝+＝+，再利用向量相等列方程即可求解λ的值．【解答】解：连接AF，因为B，P，F三点共线，所以＝m+（1﹣m）＝m+（1﹣m）（+），因为CF＝2DF，所以＝＝，所以＝+（1﹣m），因为E是BC的中点，所以＝+＝+，因为，所以+（1﹣m）＝λ（+），则，解得λ＝．故选：A．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量的基本定理，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．4．（2021春•十堰期末）如图，在等腰△ABC中，已知||＝||＝1，∠A＝120o，E，F分别是边AB，AC的点，且＝λ，＝μ，其中λ，μ∈（0，1）且λ+2μ＝1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值是（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理．【分析】直接利用向量的数量积和向量的线性运算的应用和模的运算的应用整理成关于以μ为变量的二次函数的形式，进一步利用二次函数的性质的应用求出结果．【解答】解：在等腰△ABC中，已知||＝||＝1，∠A＝120o，所以：；E，F分别是边AB，AC的点，所以：＝，，而＝，两边平方得：＝，且λ+2μ＝1，所以＝，其中λ，μ∈（0，1），即，当时，的最小值为，所以：||的最小值是．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，二次函数性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．5．（2021春•湖北期末）已知，是不共线的向量，，，，若M，N，Q三点共线，则实数λ的值为（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5【考点】向量相等与共线．【分析】把M，N，Q三点共线，转化为，再利用两向量共线的等价条件，列出方程组即可求解．【解答】解：由，，可得，因为M，N，Q三点共线，所以，所以存在唯一的实数k，使得，即，∴，解得，λ＝﹣10．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．6．（2022春•三门峡期末）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D是BC的中点，，则＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】根据已知条件代入化简，通过向量的数量积的定义求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D是BC的中点，，∴＝（）•（﹣）＝（）•（﹣（））＝（）•（﹣﹣）＝﹣﹣﹣＝﹣×32﹣×22﹣×3×2×＝﹣．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．7．（2020•聊城模拟）已知△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则（）A．＝+ B．＝﹣+ C．＝﹣ D．＝﹣﹣【考点】平面向量的基本定理．【分析】由已知结合向量的线性表示及共线定理可求．【解答】解：＝＝+，故＝+．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．8．（2020•甘肃模拟）如图，在△ABC中，M是AC的中点，N在边BC上，且，BM与AN交于点P，若，则的值是（）A． B． C． D．3【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】设AB＝m，AC＝n，且AB⊥AC，进而建立平面直角坐标系，表示出各点的坐标，再求出直线AN及直线BM的方程，进而得出点P的坐标，再根据题设条件，建立方程可得，由此得出答案．【解答】解：不妨设AB＝m，AC＝n，且AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如下图，则，直线AN的方程为，直线BM的方程为，联立直线AN的方程与直线BM的方程可得，即，∴，又，，∴，化简得，∴．故选：A．【点评】本题考查平面向量的综合运用，将问题转化为坐标来解决是解题的关键，考查了转化思想及运算求解能力，属于中档题．9．（2021春•湖北期末）O为▱ABCD两条对角线的交点，＝4，＝6，则＝（）A．2+ B．2﹣ C．2+3 D．2﹣3【考点】平面向量的基本定理．【分析】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质化简即可求解．【解答】解：由已知可得＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．10．（2021•浙江学业考试）已知△ABC的重心为O，则向量＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理．【分析】由△ABC的重心为O，为三条中线交点，得++＝，＝+，取AC中点D，得＝+＝2＝2×，然后＝（+）可求解．【解答】解：取AC中点D，连接OD，∵O是△ABC的重心，∴B、O、D三点共线，由重心特点得++＝，∴＝+＝2＝2×＝×（+）＝﹣+（﹣）＝﹣+．故选：C．【点评】本题考查平面向量基本定理、三角形重心，考查数学运算能力，属于中档题．11．（2021秋•湖北期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，2，1），点A关于平面Oxy对称的点为B，点A关于x轴对称的点为C，则△ABC的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】空间中的点的坐标．【分析】根据题意，求出点B、C的坐标，进而可得∠B和||、||的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，已知点A（2，2，1），点A关于平面Oxy对称的点为B，则B的坐标为（2，2，﹣1）点A关于x轴对称的点为C，C的坐标为（2，﹣2，﹣1），则＝（0，0，2），＝（0，﹣4，0），则有•＝0，故⊥，即∠B＝90°，则||＝2，||＝4，则△ABC的面积S＝×2×4＝4，故选：B．【点评】本题考查空间点的坐标，涉及三角形的面积计算，属于基础题．12．（2021秋•湖北期中）在棱长为1的正四面体A﹣BCD中，点M满足＝x+y+（1﹣x﹣y），点N满足＝﹣（λ﹣1），当线段AM、DN的长度均最短时，＝（）A． B． C． D．﹣【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由题知M∈平面BCD，N∈直线BC，故当AM、DN最短时，AM⊥平面BCD，DN⊥BC，再根据向量的关系计算即可得答案．【解答】解：因为M满足＝x+y+（1﹣x﹣y），点N满足＝﹣（λ﹣1）所以﹣＝x（）+y（），﹣＝λ（），即＝x+y，＝，所以M∈平面BCD，N∈直线BC，所以当AM、DN最短时，AM⊥平面BCD，DN⊥BC，所以M为△BCD的中心，N为线段BC的中点，故AM⊥平面BCD，DN⊥BC，因为正四面体棱长为1，所以AM＝，AN＝，在直角三角形AMN中，cos∠MAN＝＝，所以＝||||cos∠MAN＝××＝，故选：A．【点评】本题考查了平面向量基本定理，平面向量数量积的性质及其应用，属于中档题．13．（2021秋•蕲春县期中）已知、分别为直线l1、l2的方向向量（l1、l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（）A．∥⇔l1∥l2 B．⊥⇔l1∥α C．⊥⇔α⊥β D．∥⇔α∥β【考点】平面的法向量．【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量的定义求解．【解答】解：对于选项A：因为l1、l2不重合，所以⇔l1∥l2，故选项A正确，对于选项B：若，则有可能l1⊆α，故选项B错误，对于选项C：因为α，β不重合，所以⇔α⊥β，故选项C正确，对于选项D：因为α，β不重合，所以⇔α∥β，故选项D正确，故选：B．【点评】本题主要考查了直线的方向向量和平面的法向量的概念，是基础题．14．（2021秋•沙市区校级期中）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可．【解答】解：如图，设＝，＝，＝，棱长均为1则＝，＝，＝，∵＝，＝＝，∴＝（）•（）＝＝＝＝1，||＝＝＝，||＝＝＝，∴cos＜，＞＝＝＝，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．15．（2016秋•黄石港区校级期中）已知向量＝（1，2，3），＝（﹣2，﹣4，﹣6），||＝，若（+）•＝7，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】先求出+的坐标，设＝（x，y，z），根据题中的条件求出x+2y+3z＝﹣7，即•＝﹣7，再利用两个向量的夹角公式，设、的夹角等于θ，求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：∵向量＝（1，2，3），＝（﹣2，﹣4，﹣6），∴+＝（﹣1，﹣2，﹣3）．设＝（x，y，z），由（+）•＝7，可得（﹣1，﹣2，﹣3）•（x，y，z）＝﹣x﹣2y﹣3y＝7，∴x+2y+3z＝﹣7，即•＝﹣7，设、的夹角等于θ，则cosθ＝＝＝﹣．再由0°≤θ≤180°，可得θ＝120°．故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出•＝﹣7是解题的关键，属于中档题．16．（2017秋•福清市期末）三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则•等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】用表示出，再计算数量积．【解答】解：∵，∴•＝•（）＝﹣＝2×2×cos90°﹣2×2×cos60°＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量线性运算的三角形法则，属于基础题．17．（2020秋•张家口期末）在三棱锥O﹣ABC中，M是OA的中点，P是△ABC的重心，设，则＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理．【分析】利用重心的性质、及空间向量的加减运算法则，即可求解．【解答】解：因为点P为△ABC的重心，所以＝＝＝+﹣，故＝+＝++﹣＝﹣++＝﹣，.故选：C．【点评】本题考查空间向量的加减法，以及向量用不共线的基底进行表示，是基础题．18．（2020秋•滨海新区校级期中）如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为（）A． B． C． D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由＝++，可得＝+++2+2+2，再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：＝16，＝9，＝9，＝4×3×cos90°＝0，＝4×3×cos60°＝6，＝3×3×cos60°＝．∵＝++，∴＝+++2+2+2＝16+9+9+2×0+2×6+2×＝55，∴＝，故选：A．【点评】本题考查了向量的平行六面体法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．多选题（共9小题）（多选）19．（2021春•岳阳县校级期末）已知平面向量，，都是单位向量，且•＝0，则（﹣）•（﹣）的值可能为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】本题先根据题干已知条件计算出||＝，再根据向量的运算法则计算得到（﹣）•（﹣）＝1﹣cos＜，＞，然后根据两向量夹角的取值范围为[0，π]，进行不等式的推导运算可得其取值范围，然后结合选项即可得到答案．【解答】解：由题意，可知：||²＝||²+||²+2＝2，则||＝，所以（﹣）•（﹣）＝﹣﹣+＝0+1﹣（）•＝1﹣||•||cos＜，＞＝1﹣cos＜，＞∵0≤＜，＞≤π，∴﹣1≤cos＜，＞≤1，∴﹣+1≤1﹣cos＜，＞≤+1，∴﹣+1≤（﹣）•（﹣）≤+1，∴0，1，2均在取值范围内，属于可能的值，故选：ABD．【点评】本题主要考查向量的运算，以及与不等式的综合．考查了转化思想，整体思想，不等式的运算，向量的夹角，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．（多选）20．（2021春•湖北期末）已知平面四边形ABCD，O是ABCD所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（）A．若，则ABCD是平行四边形 B．若，则ABCD是矩形 C．若，则△ABC为直角三角形 D．若动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接利用向量的相等，向量的模，三角形形状的判定和重心定理的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：由，可得四边形ABCD有一组对边平行且相等，故ABCD是平行四边形，所以A正确；由，平方可得，即AB⊥AD，但ABCD不一定是矩形，所以B错误；由，可得，即，所以△ABC为直角三角形，所以C正确；作AE⊥BC于E，由于，所以，即，故P的轨迹一定通过△ABC的重心，所以D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，重心在三角形中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．（多选）21．（2021春•黄冈期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．＝（0，2），＝（，0） B．＝（0，0），＝（1，﹣2） C．＝（1，3），＝（﹣2，﹣6） D．＝（3，5），＝（5，3）【考点】平面向量的基本定理．【分析】利用基底的定义，判断两个向量是否共线，即可得到结果．【解答】解：∵0×，∴与不共线，∴A正确，∵0×（﹣2）＝0×1，∴与共线，∴B错误，∵1×（﹣6）＝3×（﹣2），∴与共线，∴C错误，∵3×3≠5×5，∴与不共线，∴D正确，故选：AD．【点评】本题考查向量共线的坐标运算，考查基底的定义，属于基础题．（多选）22．（2021春•武汉期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D是边AC上的点，且，E是AB的中点，BD与CE交于点O，那么（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】用，表示出，根据三点共线可判断O为CE中点，进而可判断A，C，根据AB⊥CE判断B，计算DE判断D．【解答】解：∵E是AB的中点，∴＝+，设＝λ，则＝+＝+，∵B，O，D三点共线，∴+＝1，故λ＝，∴O是CE的中点，∴＝，故A正确；∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴CE＝，∴||＝|2+|＝||＝＝，故C正确；∵AB⊥CE，∴＝0，故B错误；在△ADE中，AE＝1，AD＝，∠A＝60°，由余弦定理可得：DE＝＝，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的基本定理，属于中档题．（多选）23．（2021秋•蕲春县期中）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），则正确的有（）A．与是共线向量 B．的单位向量是（1，1，0） C．与夹角的余弦值是﹣ D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣1，3）【考点】空间向量运算的坐标表示；平面的法向量．【分析】由≠λ，可判断选项A；的单位向量为±，可判断选项B；由cos＜，＞＝，可判断选项C；设平面ABC的一个法向量为＝（x，y，z），由，求得，即可．【解答】解：由题意知，＝（1，1，0），＝（﹣1，2，1），＝（﹣2，1，1），因为≠λ，所以与不是共线向量，即A错误；的单位向量为±＝±，所以的单位向量为（，，0）或（﹣，﹣，0），即B错误；cos＜，＞＝＝＝﹣，所以与夹角的余弦值为﹣，即C正确；设平面ABC的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝﹣1，z＝3，所以＝（1，﹣1，3），即D正确．故选：CD．【点评】本题考查空间向量的坐标运算，法向量的求法，熟练掌握空间向量的线性运算和数量积运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．（多选）24．（2021秋•下陆区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论正确的是（）A． B． C．存在实数λ，使得 D．【考点】空间向量及其线性运算；棱柱的结构特征．【分析】由题意建立空间直角坐标系，由空间向量数量积，空间向量线性运算，空间向量基本定理，逐项分析判断即可．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B1（a，a，a），C1（0，a，a），B（a，a，0），D1（0，0，a）．，故A错误；，故B正确；∵，∴与垂直，不平行，故C错误；，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查空间向量的运算和空间向量基本定理，属于基础题．（多选）25．（2021春•福州期中）定义空间两个向量的一种运算⊗＝||•||sin＜，＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．⊗＝⊗ B．λ（⊗）＝（λ）⊗ C．（+）⊗＝（⊗）+（⊗） D．若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则⊗＝|x1y2﹣x2y1|【考点】空间向量的数量积运算．【分析】A和B需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C由定义验证若，且λ＞0，结论成立，从而得到原结论不成立；D根据数量积求出cos＜，＞，再由平方关系求出sin＜，＞的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A，⊗＝||•||sin＜，＞，⊗＝||•||sin＜，＞，故⊗＝⊗恒成立；对于B：λ（⊗）＝λ（||•||sin＜，＞），（λ）⊗＝|λ|||•||sin＜λ，＞，故λ（⊗）＝（λ）⊗不会恒成立；对于C，若，（+）⊗＝（1+|λ|）||•||sin＜，＞，（⊗）+（⊗）＝||•||sin＜，＞+||•||sin＜，＞＝（1+|λ|）||•||sin＜，＞，显然（+）⊗＝（⊗）+（⊗）不会恒成立；对于D，cos＜，＞＝，sin＜，＞＝，即有⊗＝||•||•＝||•＝•＝＝＝|x1y2﹣x2y1|．则⊗＝|x1y2﹣x2y1|恒成立．故选：AD．【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模的公式，利用给出的定义进行证明结论，计算量很大．（多选）26．（2020秋•济宁期末）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（）A．＝﹣2 B．cos＜，＞＝﹣ C．点O到直线BC的距离为 D．O，A，B，C四点共面【考点】命题的真假判断与应用；空间向量的数量积运算．【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】解：空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则，，所以，，对于A：，故A正确；对于B：＝﹣，故B错误；对于C：由于，，所以，故，所以点O到直线BC的距离d＝，故C正确；对于D：根据已知的条件求出：，，，易知：不共线，假设共面，则存在实数λ和μ使得，所以，无解，故不共面，故D错误；故选：AC．【点评】本题考查的知识要点：空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．（多选）27．（2021秋•浦城县期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则以下说法正确的是（）A．当λ＝μ时，BP∥平面CB1D1 B．当时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为 C．当λ+μ＝1时，CP长度的最小值为 D．当λ+μ＝1时，CP与平面BCC1B1所成的角不可能为【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当λ＝μ时，P的轨迹为线段DA1，证明BP∥平面CB1D1即可判断A；当时，点P的轨迹为线段EF，可得当P与E重合时，DP与直线CB1所成角最大，求出最大角判断B；当λ+μ＝1时，P点轨迹为线段D1A，分别求出CP长度的最小值与CP与平面BCC1B1所成的角的最大值判断C与D．【解答】解：当λ＝μ时，如图（1），P的轨迹为线段DA1，由正方体的结构特征，可知平面CB1D1∥平面A1BD，而BP⊂平面A1BD，∴BP∥平面CB1D1，故A正确；当时，如图（1），点P的轨迹为线段EF，直线CB1∥直线DA1，当P与E重合时，DP与直线DA1所成角最大，即DP与直线CB1所成角最大，最大为，故B错误；当λ+μ＝1时，如图（2），P点轨迹为线段D1A，当P为D1A的中点时，CP长度最小，此时CP＝，故C正确；当点P在线段D1A上运动时，P在平面BB1C1C上的射影在C1B上，P到平面BB1C1C的距离为定值为1，当P为D1A的中点时，CP的射影最短，则CP与平面BCC1B1所成的角的正切值最大，其正切值为＜，∴CP与平面BCC1B1所成的角不可能为，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查共线向量基本定理的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．三．填空题（共12小题）28．（2021春•湖北期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据平面向量的垂直关系和数量积运算，即可求出两向量的夹角．【解答】解：因为≠0，且，所以（﹣）•（3+2）＝3﹣•﹣2＝3﹣||×||×cosθ﹣2×＝0，解得cosθ＝﹣，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的垂直关系和数量积运算问题，也考查了两向量的夹角计算问题，是基础题．29．（2021•宁夏模拟）若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足•（+﹣2）＝0，则△ABC的形状为等腰三角形．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角形的形状判断．【分析】先将题意进行化简得到，进而可得到边BC与BC边上的中线垂直，从而得出△ABC是等腰三角形．【解答】解：∵，∴，设M为边BC的中点，则，即，由此可得△ABC中，边BC与BC边上的中线垂直，∴△ABC为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，考查数学运算的核心素养，属于基础题．30．（2021•雅安三模）已知向量，，，则向量与夹角的余弦值为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由＝＝（1，t﹣3），||＝＝1，解得t＝3，从而＝（1，0），由此能求出向量与夹角的余弦值．【解答】解：∵向量，，，∴＝＝（1，t﹣3），∴||＝＝1，解得t＝3，∴＝（1，0），∴向量与夹角的余弦值为：cos＜＞＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查两个向量的夹角余弦值的求法，考查数量积表示两个向量的夹角公式、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．31．（2021春•湖北期末）已知点M是边长为4的正方形ABCD内部（包括边界）的一动点，点P是边CD的中点，则的最大值是；的最小值是﹣8．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】由，取AB中点Q，连接PQ，取PQ的中点为N，连接MN，根据，即可得出所求的答案．【解答】解：，当点M与点B重合时等号成立；如图所示，取AB中点Q，连接PQ，取PQ的中点为N，连接MN，则．又因为点M为正方形ABCD内部（包括边界）一动点，所以，当点M与点N重合时，取得最小值﹣8．故答案为，﹣8．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属中档题．32．（2021春•武昌区校级期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是[1，2]．【考点】平面向量的基本定理．【分析】首先根据梯形所在的位置，建立平面直角坐标系，进一步利用||＝，建立单位圆的参数方程，再利用三角函数关系式，求出λ+μ的关系式，最后求出函数的关系式的取值范围即可求解答结论．【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系：直角梯形ABCD中，CB⊥CD，AD∥BC，△ABD是边长为2的正三角形，解得：BC＝1，CD＝，AB＝BD＝AD＝2，所以A（﹣2，0），B（﹣1，），C（0，），D（0，0），则＝（2，0），＝（1，）由||＝，可得点P在以C为圆心，为半径的圆上运动，该圆方程为x²+（y﹣）²＝，设P（cosα，sinα+），则＝（cosα+2，sinα+），由于，则：（cosα+2，sinα+）＝λ（2，0）+μ（1，），整理得：，所以，所以λ+μ＝sinα+cosα+＝sin（α+）+，因为﹣1≤sin（α+）≤1，所以1≤sin（α+）+≤2，所以λ+μ的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．【点评】本题考查知识要点：平面直角坐标系向量坐标运算中的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，考查坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．33．（2021春•黄冈期末）如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，O是梯形ABCD的外接圆的圆心，M是边BC上的中点，则的值为16．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，即可求解结论．【解答】解：设，∵M是边BC上的中点，∴λ＝，则，又∵，∴，∵O是△ABC的外心，∴，∴＝＝＝，即，故答案为：16．【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．34．（2018•乐山二模）已知向量＝（﹣2，3），＝（4，m），若（）∥（），则实数m＝﹣6．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的坐标公式进行求解，结合向量共线的公式进行求解即可．【解答】解：∵＝（﹣2，3），＝（4，m），∴＝（﹣2，3）+2（4，m）＝（6，2m+3），＝（﹣2，3）﹣（4，m）＝（﹣6，3﹣m），若（）∥（），则6（3﹣m）﹣（﹣6）×（2m+3）＝0，得18﹣6m+12m+18＝0，即6m＝﹣36，得m＝﹣6，故答案为：﹣6【点评】本题主要考查向量共线的应用，根据条件求出向量坐标，结合共线的坐标公式是解决本题的关键．35．（2021秋•武汉期中）已知直线l的一个方向向量为（﹣，1），且经过点P（2，﹣1），则直线l的方程为2x+y﹣3＝0．【考点】直线的点斜式方程．【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率k的值，代入点斜式方程，求出直线方程即可．【解答】解：直线l的一个方向向量为（﹣，1），即（1，﹣2），故直线l的斜率k＝﹣2，故直线方程为：y+1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3＝0，故答案为：2x+y﹣3＝0．【点评】本题考查了求直线方程问题，考查直线的方向向量，是基础题．36．（2021秋•洪山区校级月考）已知V为矩形ABCD所在平面外一点，VA＝VB＝VC＝VD，P，M，N分别为VC，VB，VD上的点．且满足，，，则VA与平面PMN的位置关系是平行．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据题意，连接AC，延长PM，PN分别交CB、CD于点E，F，连接EF交AC于点O，连接OP．由空间向量的运算可得＝，即EF也在平面平面PMN上，由此分析VA∥OP，即可得结论．【解答】解：根据题意，如图所示，连接AC，延长PM，PN分别交CB、CD于点E，F，连接EF交AC于点O，连接OP．＝﹣＝（﹣）＝，同理：＝，即EF也在平面平面PMN上，则有＝，＝，O为线段AC上靠近点A的三等分点，又由，P为线段VC上靠近点V的三等分点，则VA∥OP而VA⊄平面PMN，OP⊂平面PMN，∴VA∥平面PMN；故答案为：平行．【点评】本题考查空间向量的实际应用，涉及空间向量平行的判断，属于基础题．37．（2018秋•衢州期末）已知共面的三个单位向量，，满足＝＝＝，若空间向量满足＝，且对于任意x，y∈R，恒有|﹣（x+y）|≥||＝，则||＝．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】由共面的三个单位向量，，满足＝＝＝，求出三个向量的夹角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．【解答】解：∵由共面的三个单位向量，，满足＝＝＝，∴三个向量彼此夹角为120°，如图，以起点为坐标原点O，所在直线为x轴，以共面的所在平面为xoy面，在xoy平面中以与垂直的方向为y轴，过点O作平面xoy的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，＝（1，0，0），＝（﹣，0），＝（﹣，0），设＝（m，n，z），∵