江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件

第二十章曲线积分§1第一型曲线积分§2第二型曲线积分第二十章曲线积分§1第一型曲线积分§2第二型曲线积分1§2

第二型曲线积分一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算§2第二型曲线积分一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概2一、问题的提出实例:

变力沿曲线所作的功常力所作的功分割一、问题的提出实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割3求和取极限近似值精确值求和取极限近似值精确值4二、对坐标的曲线积分的概念1.定义二、对坐标的曲线积分的概念1.定义5类似地定义类似地定义62.存在条件：3.组合形式2.存在条件：3.组合形式74.推广4.推广85.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.9三、对坐标的曲线积分的计算定理三、对坐标的曲线积分的计算定理10特殊情形特殊情形11江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件12(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上13可用向量表示有向曲线元；可用向量表示有向曲线元；14例1解例1解15江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件16例2解例2解17问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同18例3解例3解19江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件20问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相21例4计算第二型曲线积分

解==例4计算第二型曲线积分解==22解ⅰ）=解ⅰ）=23==ⅱ）

==注：这里不同路径积分值不同．

==ⅱ）==注：这里不同路径积分值不同．24例6计算曲线积分例6计算曲线积分25则

则26或或27注1这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.它们的区别在于注1这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.28同理

故

同理故29方法1利用球面的参数方程方法1利用球面的参数方程30注2这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0.值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的.注2这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积31上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的.上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产32方法2利用柱面的参数方程代入球面方程

取方法2中的参数方程进行计算略.

方法2利用柱面的参数方程代入球面方程取方法2中的参数33四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、34思考题思考题35思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.36第二十章曲线积分§1第一型曲线积分§2第二型曲线积分第二十章曲线积分§1第一型曲线积分§2第二型曲线积分37§2

第二型曲线积分一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算§2第二型曲线积分一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概38一、问题的提出实例:

变力沿曲线所作的功常力所作的功分割一、问题的提出实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割39求和取极限近似值精确值求和取极限近似值精确值40二、对坐标的曲线积分的概念1.定义二、对坐标的曲线积分的概念1.定义41类似地定义类似地定义422.存在条件：3.组合形式2.存在条件：3.组合形式434.推广4.推广445.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.45三、对坐标的曲线积分的计算定理三、对坐标的曲线积分的计算定理46特殊情形特殊情形47江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件48(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上49可用向量表示有向曲线元；可用向量表示有向曲线元；50例1解例1解51江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件52例2解例2解53问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同54例3解例3解55江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件56问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相57例4计算第二型曲线积分

解==例4计算第二型曲线积分解==58解ⅰ）=解ⅰ）=59==ⅱ）

==注：这里不同路径积分值不同．

==ⅱ）==注：这里不同路径积分值不同．60例6计算曲线积分例6计算曲线积分61则

则62或或63注1这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.它们的区别在于注1这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.64同理

故

同理故65方法1利用球面的参数方程方法1利用球面的参数方程66注2这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0.值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的.注2这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积67上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的.上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产68方法2利用柱面的参数方程代入球面方程

取方法2中的参数方程进行计算略.

方法2利用柱面的参数方程代入球面方程取