高中数学新版必修一课时跟踪检测（三十一） 弧度制

课时跟踪检测（三十一）弧度制A级——学考合格性考试达标练1.eq\f(3π,4)对应的角度为()A．75° B．125°C．135° D．155°解析：选C由于1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，所以eq\f(3π,4)＝eq\f(3,4)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝135°，故选C.2．与角－eq\f(π,6)终边相同的角是()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(2π,3)解析：选C与角－eq\f(π,6)终边相同的角为2kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，当k＝1时，此角等于eq\f(11π,6).故选C.3．把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为()A．－3π－eq\f(1,6)π B．－4π＋150°C．－3kπ－30° D．－4π＋eq\f(5,6)π解析：选D因为－570°与eq\f(5,6)π的终边相同，所以把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π)的形式为－4π＋eq\f(5,6)π.4．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是()A.eq\f(π,3) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D．－eq\f(π,6)解析：选B分针拨快10分钟，决定了分针转动的方向是顺时针，即转过的弧度数是负的．因为分针拨快60分钟时转过弧度数为－2π，所以拨快10分钟转过的弧度数为－eq\f(π,3).5．终边在y轴的非负半轴上的角的集合是()A．{α|α＝kπ，k∈Z} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))C．{α|α＝2kπ，k∈Z} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))解析：选DA选项表示的角的终边在x轴上，B选项表示的角的终边在y轴上；C选项表示的角的终边在x轴的非负半轴上；D选项表示的角的终边在y轴的非负半轴上．故选D.6．－105°化为弧度为________，eq\f(11π,3)化为角度为________．解析：－105°＝－105×eq\f(π,180)＝－eq\f(7,12)π，eq\f(11,3)π＝eq\f(11,3)×180°＝660°.答案：－eq\f(7,12)π660°7．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则该扇形的周长为________cm解析：因为1°＝eq\f(π,180)rad，所以54°＝eq\f(π,180)×54＝eq\f(3π,10)，则扇形的弧长l＝αr＝eq\f(3π,10)×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm.答案：40＋6π8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α(0<α<2π)，则现在的圆的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β(0<β<2π)，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝eq\f(1,3)α.答案：eq\f(1,3)9．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1500°；(2)eq\f(23,6)π.解：(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－10π＋eq\f(5π,3)，∴－1500°与eq\f(5π,3)终边相同，是第四象限角．(2)∵eq\f(23,6)π＝2π＋eq\f(11,6)π，∴eq\f(23,6)π与eq\f(11,6)π终边相同，是第四象限角．10.如图，扇形AOB的面积是4cm2，它的周长是10cm，求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB解：设弧AB长为lcm，扇形半径为rcm，则由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝10，,\f(1,2)l·r＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝8))(不合题意，舍去)或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝4，,l＝2.))∴α＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)(rad)．∴弦AB的长为2rsineq\f(α,2)＝2×4×sineq\f(1,4)＝8sineq\f(1,4)(cm)．B级——面向全国卷高考高分练1．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(αr＝6，,\f(1,2)αr2＝6，))解得α＝3，故选C.2．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，则eq\f(α,2)的终边在()A．第一象限 B．第四象限C．x轴上 D．y轴上解析：选D∵eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴eq\f(α,2)＝3kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．当k为奇数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非负半轴上．综上，eq\f(α,2)的终边在y轴上，故选D.3．若角α与角x＋eq\f(π,4)有相同的终边，角β与角x－eq\f(π,4)有相同的终边，那么α与β间的关系为()A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)解析：选D∵α＝x＋eq\f(π,4)＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－eq\f(π,4)＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝eq\f(π,2)＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．4.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150mm，从动轮N的直径为300mm，若主动轮M顺时针旋转eq\f(π,2)，则从动轮N逆时针旋转()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．π解析：选B设从动轮N逆时针旋转θrad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以eq\f(150,2)×eq\f(π,2)＝eq\f(300,2)×θ，解得θ＝eq\f(π,4)，选B.5．若角α的终边与eq\f(8,5)π角的终边相同，则在[0，2π)上，终边与eq\f(α,4)角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0，1，2，3，得eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).答案：eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)6．在直径为10cm的轮上，有一长为6cm的弦，P为该弦的中点，轮子以每秒5rad的角速度旋转，则经过5s后点P解析：点P在以轮的中心为圆心，半径为4cm的圆上，5s后点P转过的圆心角为25rad，由弧长公式知，该弧长为100答案：1007．已知α＝1690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq\f(25,18)π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋eq\f(25,18)π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(25,18)π<4π(k∈Z)．解得－eq\f(97,36)<k<eq\f(47,36)(k∈Z)，∴k＝－2，－1，0，1.∴θ的值是－eq\f(47,18)π，－eq\f(11,18)π，eq\f(25,18)π，eq\f(61,18)π.8.用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在图中阴影部分的角的集合．解：以射线OB为终边的225°角与－135°角的终边相同，－135°＝－135×eq\f(π,180)＝－eq\f(3π,4)，而135°＝eq\f(3π,4)，阴影部分(包括边界)位于－eq\f(3π,4)与eq\f(3π,4)之间且跨越x轴的非负半轴．所以，终边在阴影部分(包括边界)的角的集合为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ≤α≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))).C级——拓展探索性题目应用练如图，一长为eq\r(3)dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为eq\f(π,6)，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)解：在扇形ABA1中，圆心角恰为eq\f(π,2)，弧长l1＝eq\f(π,2)·AB＝eq\f(π,2)·eq\r(3＋1)＝π，面积S1＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·AB2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·4＝π.在扇形A1CA2中，圆心角也为eq\f(π,2)，弧长l2＝eq\f(π,2)·A1C＝eq\f(π,2)·1＝eq\f(π,2)，面积S2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·A1C2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·12＝eq\f(π,4).在扇形A2DA3中，圆心角为π－eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，弧长l3＝eq\f(π,3)·A2D＝eq\f(π,3)·eq\r