大学物理 刚体力学基础习题思考题及答案

习题55-1mr的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2mmmr2/22mm成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程：2mgT2

2ma┄① TTmgma┄②1(TT)rJ┄③2

)rJ┄④1ar ，Jmr2/2┄⑤ 联立，解得：a g，T mg 。4 85-2lm的水平桌面上，设开始时杆以角速度

0绕过中心O（1）作用于杆的摩擦力矩（）经过多长时间杆才会停止转动。（1）设杆的线密度为：擦力：dfdmggdx，

mdmdx，有微元摩ldMgxdx考虑对称性，有摩擦力矩：lM22l0

gxdx

1mgl；4（2）根据转动定律MJ

d，有：tMdt

Jd，dt1 1

0 mglt ml24 12

，∴t30g。1或利用：MtJJ0

，考虑到0J

ml2，12t

l03g。05-3．mMR惯量为MR2

/2解：受力分析如图，可建立方程：mgTma┄①TRJ┄②aR ，J

12mR2┄③2mg Mmg联立，解得：a ，T ，M2m M2m考虑到a

dv，∴vdv

2mg

dtv

2mgt。dt 0

M2m M2m5-4．M/4AMB系了一质量为M/4OJMR2/4，设人从静止开B端重物上升的加速度？解一：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程MgT1

Ma人ATMgMa物2 4 4 BTRTRJ滑轮1 2由约束方:a aA B

R和JMR

/4,解上述方程组得到ag.2解二：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重物上升的速度，注意到u为匀速，du0，系统对轴的角动量为：dt1 3L MvRM(uv)R( R2) MvRMuR1 34 4 2(B物体) (人) (A物体)vM

MgRMgR MgR，1 4 41 dL3d 3 gR ( MvRMuR)，∴dL3d 3 gR ( MvRMuR)，∴adt4dt 225-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。解：设球的半径为R，总重量为m，体密度

3m，4R3，dmr2sindrdd由定义：考虑微元到轴的距离为rsinJ(rsin)2dm，有：J2R(rsin)2r2sindrdd0 0 01 2 r5R[ (1cos2)dcos]

mR2。5 0 0 55-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k40N/m，当0时弹簧无形变，细棒的质量m5.0kg，求在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度0~900时，考虑机械能守恒，那么：0时的机械能为： mg 重力势能) （ml2(转动动能)，12 2 31900时的机械能为：kx22 有：mg （ml

kx212 2 3 21根据几何关系：(x0.5)2

1.52

12，得：3.28rads15-7．如图所示，一质量为mR的圆盘，可绕O盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；在虚线位置轴对圆盘的作用力。1）设虚线位置的C下降过程机械能守恒，1 1 3mgR

J2 ，而J mR2mR2 mR216Rg32 2 216Rg34g3R∴4g3Rc

R v4Rg4Rg3

2R（2）Fy

重力

向心力

7mg，方向向上。35-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可1绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l3

2l．轻杆原来3静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以1v2 0

的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。解：根据角动量守恒，有：2 1 2 2l lmv lm v lm( )22m( )20 3 2

3 3 34 2 2 1有：( l2 l2 vl vl9 9 3 0 3 03v∴ 02l5-9．MR，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转m的子弹以水平速度v盘边缘并嵌在盘边上，求（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度（）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为1MR2，忽21）利用角动量守恒：mvR

1MR2mR22

2mv(2mM)R；（2）选微分dmrdrd，其中：面密度

M，R2，M grdmRgr M 2rdr2MgR f 0 R2 3∴由Mf

tJ有：MgRt( MR2mR20，2 3 22 t

2M2m4Mg将

2mvM2mR

t

3mv 。2Mg5-10．有一质量为m1

、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2

A相碰撞，设碰撞时间极v v短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1

和v，如图所示。求碰撞后从细棒开2始转动到停止转动的过程所需的时间。1(已知棒绕OJv3

ml2)1解：由碰撞时角动量守恒，考虑到v1

v和v方向相反，以逆时针为正向，有：21

3m2

v)2mvl ml2

m

l，得： 121 3 1 22 ml1又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：1M lmgxdx11

gl，利用M

Jd

，有：f 0 l 2 1

f dtt 0 1ml2t 011

2l 2m

v)dt0

1mg2 1

t

3g

2 1 2 。mg1m27cm5kg，用一细绳与劲度系数k200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为x 。max1由机械能守恒：22mg

kx2max

mgxmax

，有：xmax

0.49m；k

1 1 1

kx2 mv2 J2mgx，2 2 2v 1 1 1考虑到 ，有：kx2 mR22 J2R 2 2 2

mgx，欲求速度最大值，将上式两边对xd0，有：dx d d kx(mRJ)2 mg将 0代入有：x 0.245(m)，dx dx kx0.245m时物体速度达最大值，有：mgx1kx2v2 max

2(m

)

max

1.31m/s 。2 r25-12．设电风扇的功率恒定不变为P度成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度（）电扇稳定转动时的转速为多大？3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？1）已知Mfk，而动力矩MP，MMf

Jddt代入两边积分有：

tdt

J

PkeJPkeJ2k)0 0Pk2Pk见上式，当t时，电扇稳定转动时的转速： PkPkPk断开电源时，电扇的转速为 0

作用，那么：fk

d d，考虑到

dk

d

d，dt dt

0 J JkPk得：JJkPkk 0AARB的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以 绕其转轴转0A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A和转轮B转轴圆柱形中心角动量守恒，J JRmv0

，又vA

R，J

1mR2213 0（2）物体A运动后，由牛顿定律：Tmgma （1）对转轮B，由定轴转动定律：TR（）约束关系：aR（）可求出：T1mg。35-14.质量为m的小孩站在半径为RJ的可以自由转动的水平平台当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度为多少？mRvJ0

mRvJ 。5-15．在半径为R1R处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度2 0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆运动，如图所示． 已知圆盘对中心轴的转动惯量为RRRR/2vMR2．求：圆盘对地的角速度．1欲使圆盘对地静止，人应沿着R圆周对圆盘的速 2度v的大小及方向？解：(1)设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为，则人对与地固联的转轴的角速度为 v ①1R R2人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒．设盘的质量为M，则人的质量为M/10，有：11MR2M1R2 11

MRM1R2 ②2 102

2 102 将①式代入②式得：0

③21R(2)欲使盘对地静止，则式③必为零．即 +2v/0得： /20式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．答案：0

/20式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．思考题5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质m和m1

mm1 2

)，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？解：mgT1

ma （1）1Tm2

gm2

a （2）(TT1

)rJ （3）ar （4）联立方程可得T、T，TT 。1 2 2 15-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向转动，若如图F同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化？答：增大5-3把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒，角动量守恒）机械能守恒，角动量不守恒；（C）机械能不守恒，角动量守恒（）（）5-4．在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的6个质点，如图所1如图a）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b所示。答：以Ⅰ为轴转动惯量J9ma2；以Ⅱ为轴转动惯量J2；以Ⅲ为轴转动惯量J7.5ma2．如图aRR1 2

JJ1 2

的两个圆柱体，可绕垂