分类讨论思想优秀课件

同学们,当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键.同学们,当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上的暂停键1分类讨论思想镇江市实验高级中学杨勇分类讨论思想分类讨论思想镇江市实验高级中学杨勇分类讨论思想2一、分类讨论的概念二、分类讨论的诱因三、分类讨论的原则四、分类讨论的范例五、分类讨论的反思一、分类讨论的概念二、分类讨论的诱因三、分类讨论的原则四、分3一、分类讨论的概念

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，很难从整体上加以解决．这时需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论．分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．

分类讨论的问题是高考中的热点问题，它对学生数学思维的严谨性、全面性、有序性、深刻性等方面起着重要的检测作用．

一、分类讨论的概念一、分类讨论的概念在解答某些数学问题时，有时会遇到4二、分类讨论的诱因

1.概念型：由定义引起．有些问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的．如|a|的定义分就分为a>0

、a=0

、a<0三种情况，这种分类讨论可以称为概念型．二、分类讨论的诱因二、分类讨论的诱因1.概念型：由定义引起．二、分类讨论52.性质型：由性质引起．有些问题中涉及到的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件限制或者是分类给出的，若不进行分类，就不能利用性质来解决．如等比数列的前n项和公式，要分为q＝1和q≠1两种情况，这种分类讨论可以称为性质型．2.性质型：由性质引起．6

3.判定型：由条件引起．有些数学问题中所给的条件隐含不确定的数量关系、图形形状或位置关系，我们一下子不能判定结论的确定性.比如两直线没有公共点，就包含平行或异面两种情况，要通过分类讨论，使之具有确定性，这种分类讨论可以称为判定型．3.判定型：由条件引起．7４.含参型：由变量引起．有些数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果.如解不等式ax>2时要分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论，这种分类讨论可以称为含参型．４.含参型：由变量引起．85.应用型：由多样性引起．数学应用题中有的变量要符合现实要求，必须根据实际情况采取分类讨论的解题策略来加以解决，如：促销购物、移动话费等，这种分类讨论可以称为应用型．5.应用型：由多样性引起．9三、分类讨论的原则三、分类讨论的原则1、对所讨论的全域分类要

既不重复，也不遗漏；2、在同一次讨论中只能按

所确定的一个标准进行；3、若是对于多级讨论则应逐级进行，不能越级．三、分类讨论的原则三、分类讨论的原则1、对所讨论的全域分类要10四、分类讨论的范例四、分类讨论应用举例一、填空题训练二、解答题剖析四、分类讨论的范例四、分类讨论应用举例一、填空题训练二、解答11基础题训练一、基础训练1.已知集合若则实数取值的集合为则实数取值范围为2.若，B为空集不可忘需对底a进行讨论基础题训练一、基础训练1.已知集合若则实数取值的集合为则123.在中，若则该三角形的形状为等腰或直角三角形

4.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，

则an

=仅是2A=2B吗？n=1时需单独验证

5.在中，若则实数k的值为

-1或-6三角都可能为直角一、基础训练3.在中，若则该等腰或直角13或7.若一椭圆的长半轴与短半轴之和为10，焦距为则该椭圆的标准方程为8.一个矩形铁皮长是2m,宽是4m，把它作为一正三棱柱的侧面，则这个正三棱柱的体积为焦点的位置不确定三棱柱的高可选择

6.若一条直线过点(5，2)，且在x轴，

y轴上的截距相等,则此直线的方程为

2x－5y=0x+y－7=0或截距为0不可遗漏一、基础训练或7.若一椭圆的长半轴与短半轴之和为10，焦距为则该14［点评］通过刚才的8道题，我们可以看出，有关分类讨论的试题涉及的知识面非常广，既可与集合、函数、数列、向量、三角、不等式等内容相结合，还可与立体几何、解析几何等内容相结合.几乎贯穿了整个高中数学的始终.从类型上可作如下的归类：6属于概念型的；2、4属于性质型的；3、5、7属于判定型的；1属于含参型的；8属于应用型.［点评］通过刚才的8道题，我们可以看出，有关分类讨论的试题涉15典型例题1例1、已知函数在区间最大值为4，求实数a的值．（3）当时综上所述：或二、典型例题时（2）当解：（1）当时，不合题意.该函数的类型不确定，需要对a进行讨论，当a=0时，为常函数，不合题意；当a不为0时，虽然抛物线对称轴已定，但开口方向在变，函数在闭区间[-1，2]上单调性在变，最大值就随之而变.典型例题1例1、已知函数在（16例1变式1变题１：

设f(x)=x2－2ax－a在区间［0,2］上的最大值为2，求a的值．与矛盾，故舍去．解：（1）当时时（2）当综上所述：虽然该抛物线的开口方向已定,但对称轴是动的，因此,随着a的变化,函数在区间[0,2]上单调性也随之变化，故要分对称轴与区间端点的相对位置去讨论.例1变式1变题１：设f(x)=x2－2ax－a在区间17例1变式2

解：f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.当t+1≤1时，t≤0，g(t)=f(t+1)=t2-2;当t<1<t+1时，0<t<1，g(t)=f(1)=－2;当t≥1时，g(t)=f(t)=t2-2t-1.变题２：设f(x)=x2-2x-1在区间［t,t+1］上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．该抛物线的开口方向和对称轴都是定已，但随着t的变化,区间[t,t+1]的位置随之变化，故也要分对称轴与区间端点的相对位置去讨论.例1变式2解：f(x)=x2-2x-1=(18［点评］［点评］

例1及其变式给出了含参数的二次函数在闭区间上的最值问题的三种类型：（1）“定轴动开口”；（2）“动轴定区间”；（3）“定轴动区间”。因为随着对称轴与区间相对位置的改变，函数的单调性会发生改变，求解该类问题的关键是抓住顶点的横坐标是否属于所给区间进行分类.［点评］［点评］例1及其变式给出了含参数的二次函数在闭区19典型例题2二、典型例题例2、解关于的不等式

这是一个含参数a的不等式.首先要对二次项系数a分类：①a=0

②a≠0

，对于①

不等式易解；［解析］对于②又需再次分为：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；a>0是在两根之间，a<0是在两根之外．而确定这一点之后，又会遇到两根谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论．故而解本题时，需要作三级分类．典型例题2二、典型例题例2、解关于的不等式20不等式的解集为：不等式的解集为：21［点评］［点评］对于含参数不等式的求解问题首先要确定好分类的标准，在同一次讨论中要按照同一个标准进行，若需多级讨论则应逐级进行，不能越级.比如本题就作了三级分类，要求同学们要十分的细心，做到各分类之间“不重复，更不能遗漏”.［点评］［点评］对于含参数不等式的求解问题首先要确定好分类的22典型例题3二、典型例题例3、已知向量，其中O为坐标原点．（1）若，求向量与的夹角；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．(1)可以通过向量的数量积求出夹角的余弦值;由于向量模中含有参数,故需要针对参数作出讨论.(2)可以先根据条件转化为不等式恒成立问题,再通过分类讨论求解.典型例题3二、典型例题例3、已知向量23解（1）设向量与的夹角为，则

当时，

当时，

（2）由对任意实数都成立得：对任意实数都成立.解（1）设向量与的夹角为，则当时，24对任意实数都成立即：所以：解得：

故实数的取值范围是．

若令,则该不等式即可转化为求关于t的一次函数在[-1,1]上的最小值问题.对任意实数都成立即：所以：解得：故实数的取值范围是25［点评］［点评］本题第一问在求向量夹角时需要根据绝对值的定义去分类讨论，而第二问是个恒成立问题，需要转化为一次函数在闭区间[-1,1]上的最小值问题，因此要对一次项系数进行分类讨论.本题还可以用:得出:再通过分类讨论去绝对值求解.［点评］［点评］本题第一问在求向量夹角时需要根据绝对值的定义26典型例题4二、典型例题表示该数列的前n项和.例4、有一个项数为10的实数等比数列，（1）当时,若成等差数列，求证也成等差数列；（2）能否成等差数列，如果能，请求出公比；如果不能，请说明理由.典型例题4二、典型例题表示该数列的前n项和.例4、有一个项27解⑴当时,由得则不成等差数列.

当时,由得,即也成等差数列.解⑴当时,由得28①当时②当时③当时上面三种情况证明了方程无解.综上所述:

不成等差数列

（2）若成等差数列,则当时,当时,得到关于的方程:①当时②当时③当时上面三29［点评］本题中涉及等比数列的前n项和公式的运用，由于该公式是分情况给出的，我们一定不要忘记分和去讨论，否则很容易遗漏情况；第二问是关于的高次方程，要讨论是否有解，在分类讨论的基础上对两加以适当的放缩不失为一种有效的方法。［点评］本题中涉及等比数列的前n项和公式的运用，由于该公式30典型例题5二、典型例题

例5、某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额范围（元）获得奖券金额（元）[200，400）30[400，500）60[500，700）100[700，900）130典型例题5二、典型例题例5、某商场在促销期间规定：商场31

根据上述促销方法顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2+30=110(元).设购买商品得到的优惠率=试问：根据上述促销方法顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购32（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500,800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？(1)可以通过题中所给公式直接算出.(2)由于标价在［500,800］的商品打折以后的消费金额为［400,640］跨越两个获得奖券的区间,

因此要分类讨论.（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多33分类讨论思想优秀课件34［点评］［点评］本题为实际应用问题，在解题过程中，由于实际超作的多样性，其中隐含着分类讨论：

，根据条件，分两步讨论，使问题得以解决。［点评］［点评］本题为实际应用问题，在解题过程中，由于实际35五、分类讨论的反思五、分类讨论总结反思分类讨论思想是中学数学的基本思想方法之一.它是数学教学中的重点，也是历年高考中的热点.题型多样、内涵丰富，有时很难分清是哪一类型的分类讨论，很多时候一道题中还会经常涉及到多种类型的讨论，我在此只能点到为止,不免挂一漏万.五、分类讨论的反思五、分类讨论总结反思分类讨论思想是中学36熟练掌握基础知识，做到融会贯通，是解决分类讨论问题的前提;搞清分类的原因，确定好分类的标准，是掌握分类讨论思想的关键;恰当分类、逐步讨论、归类总结是解决分类讨论问题的基本模式．只要我们树立分类讨论的意识，不断地积累方法、总结经验教训，克服分类讨论时思想上的主观性、盲目性和畏惧心理，就一定能掌握好分类讨论思想在解题中的运用，为我们数学成绩的提升助一臂之力！

熟练掌握基础知识，做到融会贯通，是解决分类讨论问题的前37祝同学们学习进步，祝同学们学习进步，38二、典型例题例3、已知求解：二、典型例题例3、已知39

解：

∵=(2,1),=(3,k)

则＝(1,k－1).即有6＋k＝0，得k=－6；即有2+(k－1)＝0，得k=－1；即有3＋k(k－1)＝0，该方程无解.∴k＝－6或k＝－1．解：∵=(2,1),40［点评］截距实质上表示坐标的意义，有正、负、零三种情况，解题中，应根据截距是否为零进行分类讨论.

［解析］设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y=x，即2x－5y=0；当a≠0时，设直线方程为=1,则求得a=7,方程为x+y－7=0.［点评］截距实质上表示坐标的意义，有正、负、零三种情况，解题4119、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。

20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。

21、理想是反映美的心灵的眼睛。

22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。

24、生当做人杰，死亦为鬼雄。

25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。

26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。

27、生活中没有理想的人，是可怜的。

28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。

29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。

30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。

31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。

32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况

33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。

34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。

35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。

36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。

37、理想的书籍是智慧的钥匙。

人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。——鲁迅

2人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。——席慕蓉

3做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。——萧楚女

4所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。——鲁迅

5人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。——巴金

6我们是国家的主人，应该处处为国家着想。——雷锋

7我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。——周恩来

8春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。——吴玉章

9学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。——毛泽东

10错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。——毛泽东

38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。

9．君子欲讷于言而敏于行。——《论语》

译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。

10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。——《周易》

译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。

11．君子藏器于身，待时而动。——《周易》

译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。

12．满招损，谦受益。——《尚书》

译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。

13．人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》

译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人

14．言必信，行必果。——《论语》

译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。

15．毋意，毋必，毋固，毋我。——《论语》

译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。

16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》

译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。

17．君子求诸己，小人求诸人。——《论语》

译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧

1．天行健，君子以自强不息。——《周易》

译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。

2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——《三国志》刘备语

译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。

3．见善如不及，见不善如探汤。——《论语》

译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。

4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。——《论语》

译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。

5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。——《论语》

译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。

6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。——《论语》

译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是不是也有他那样的缺点或不足。

7．己所不欲，勿施于人。——《论语》

译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加到别人身上去。

8．当仁，不让于师。——《论语》

译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。

18．君子坦荡荡，小人长戚戚。——《论语》

译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定，1.书到用时方恨少，事非经过不知难。——陈廷焯

译：知识总是在运用时才让人感到太不够了，许多事情如果不亲身经历过就不知道它有多难。

72、笨鸟先飞早入林，笨人勤学早成材。——《省世格言》

译：飞得慢的鸟儿提早起飞就会比别的鸟儿早飞入树林，不够聪明的人只要勤奋努力，就可以比别人早成材。

73.书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。——《增广贤文》

译：勤奋是登上知识高峰的一条捷径，不怕吃苦才能在知识的海洋里自由遨游。

74.学如逆水行舟，不进则退。——《增广贤文》

译：学习要不断进取，不断努力，就像逆水行驶的小船，不努力向前，就只能向后退。

75.吾生也有涯，而知也无涯。——《庄子》

译：我的生命是有限的，而人类的知识是无限的。

76.天下兴亡，匹夫有责。——明•顾炎武

译：国家的兴旺、衰败，每一个人都负有很大的责任。

77.生于忧患，死于安乐。——孟子

译：逆境能使人的意志得到磨炼，使人更坚强。相反，时常满足于享受，会使人不求上进而逐渐落后。

78.位卑未敢忘忧国。——陆游《病起书怀》

译：虽然自己地位低微，但是从没忘掉忧国忧民的责任。

79.人生自古谁无死，留取丹心照汉青。——宋•文天祥《过零丁洋》

译：自古以来，谁都难免会死的，那就把一片爱国的赤胆忠心留在史册上吧！

80.先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——宋•范仲淹《岳阳楼记》

译：为国家分忧时，比别人先，比别人急；享受幸福，快乐时，却让别人先，自己居后。知缘斋主人

81.小来思报国，不是爱封侯。——唐•岑参《关人赴安西》

译：从小就想着报效祖国，而不是想着要封侯当官。）

82.有益国家之事虽死弗避。——明•吕坤《呻吟语•卷上》

译：对国家有利的事情要勇敢地去做，就算有死亡的危险也不躲避译：风声、雨声、琅琅读书声，都进入我们的耳朵，所以，作为一个读书人，家事、国事，天下的事情，各种事情都应该关心，不能只是死读书。

87.生当作人杰，死亦为鬼雄。——宋•李清照《夏日绝句》

译：活着的时候要做英雄，死后也要当英雄。

88.利于国者爱之，害于国者恶之。——《晏子春秋》

译：对于国家有利的事就要热心地去做，对国家有害的事就要憎恶它，远离它。

89.读书本意在元元。——宋•陆游

译：读书的目的应该是掌握了知识后为社会和大众服务，而不是为了自己的升官发财。

90.时穷节乃现，一一垂丹青。——宋•文天祥

译：历史上许多忠臣义士，在国家有难时，他们的节操就显现出来，一个个名垂史册。

91.哀哀父母，生我劬劳。——《诗经》

译：想起父母，做子女的是多么为他们感到心痛啊！他们生我育我，花费了多少辛勤的劳动啊！

92.报国之心，死而后已。——宋•苏轼

译：报效祖国的志向到死都不会变。

93.忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。——三国•曹植《求自诚表》

译：忧虑国家大事忘记小家庭，为拯救国家危难而捐躯献身，这都是忠臣的志向。

94.大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？——汉•陈蕃语

译：有志气的人活在世上，应当敢于跟各种不利于国家的行为作斗争，哪能只满足于处理好自己小家的小事呢？

95.君子之交淡如水，小人之交甘若醴。——《庄子》

译：君子之间的交往，像水一样的平淡、纯净，这样的友谊才会持久；往小人之间的交像甜酒一样的又浓又稠，但不会长久。

96.老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。——《孟子》

译：尊敬、爱戴别人的长辈，要像尊敬、爱戴自己长辈一样；爱护别人的儿女，也97.见侮而不斗，辱也。——《公孙龙子》

译：当正义遭到侮辱、欺凌却不挺身而出，是一种耻辱的表现。

98.天下皆知取之为取，而莫知与之为取。——《后汉书》

译：人们都认为只有获取别人的东西才是收获，却不知道给予别人也是一种收获。

99.人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。——汉•司马迁《史记》

译：人终究免不了一死，但死的价值不同，为了人民正义的事业而死就比泰山还重，而那些自私自利，损人利已的人之死就比鸿毛还轻。知缘斋主人

100.羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。——《增广贤文》

译：羊羔有跪下接受母乳的感恩举动，小乌鸦有衔食喂母鸦的情义，做子女的更要懂得孝顺父母

83.一寸山河一寸金。——金•左企弓语

译：祖国的每一寸山河比一寸黄金还要宝贵，是绝不能让给外人的。

19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。42同学们,当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键.同学们,当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上的暂停键43分类讨论思想镇江市实验高级中学杨勇分类讨论思想分类讨论思想镇江市实验高级中学杨勇分类讨论思想44一、分类讨论的概念二、分类讨论的诱因三、分类讨论的原则四、分类讨论的范例五、分类讨论的反思一、分类讨论的概念二、分类讨论的诱因三、分类讨论的原则四、分45一、分类讨论的概念

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，很难从整体上加以解决．这时需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论．分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．

分类讨论的问题是高考中的热点问题，它对学生数学思维的严谨性、全面性、有序性、深刻性等方面起着重要的检测作用．

一、分类讨论的概念一、分类讨论的概念在解答某些数学问题时，有时会遇到46二、分类讨论的诱因

1.概念型：由定义引起．有些问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的．如|a|的定义分就分为a>0

、a=0

、a<0三种情况，这种分类讨论可以称为概念型．二、分类讨论的诱因二、分类讨论的诱因1.概念型：由定义引起．二、分类讨论472.性质型：由性质引起．有些问题中涉及到的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件限制或者是分类给出的，若不进行分类，就不能利用性质来解决．如等比数列的前n项和公式，要分为q＝1和q≠1两种情况，这种分类讨论可以称为性质型．2.性质型：由性质引起．48

3.判定型：由条件引起．有些数学问题中所给的条件隐含不确定的数量关系、图形形状或位置关系，我们一下子不能判定结论的确定性.比如两直线没有公共点，就包含平行或异面两种情况，要通过分类讨论，使之具有确定性，这种分类讨论可以称为判定型．3.判定型：由条件引起．49４.含参型：由变量引起．有些数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果.如解不等式ax>2时要分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论，这种分类讨论可以称为含参型．４.含参型：由变量引起．505.应用型：由多样性引起．数学应用题中有的变量要符合现实要求，必须根据实际情况采取分类讨论的解题策略来加以解决，如：促销购物、移动话费等，这种分类讨论可以称为应用型．5.应用型：由多样性引起．51三、分类讨论的原则三、分类讨论的原则1、对所讨论的全域分类要

既不重复，也不遗漏；2、在同一次讨论中只能按

所确定的一个标准进行；3、若是对于多级讨论则应逐级进行，不能越级．三、分类讨论的原则三、分类讨论的原则1、对所讨论的全域分类要52四、分类讨论的范例四、分类讨论应用举例一、填空题训练二、解答题剖析四、分类讨论的范例四、分类讨论应用举例一、填空题训练二、解答53基础题训练一、基础训练1.已知集合若则实数取值的集合为则实数取值范围为2.若，B为空集不可忘需对底a进行讨论基础题训练一、基础训练1.已知集合若则实数取值的集合为则543.在中，若则该三角形的形状为等腰或直角三角形

4.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，

则an

=仅是2A=2B吗？n=1时需单独验证

5.在中，若则实数k的值为

-1或-6三角都可能为直角一、基础训练3.在中，若则该等腰或直角55或7.若一椭圆的长半轴与短半轴之和为10，焦距为则该椭圆的标准方程为8.一个矩形铁皮长是2m,宽是4m，把它作为一正三棱柱的侧面，则这个正三棱柱的体积为焦点的位置不确定三棱柱的高可选择

6.若一条直线过点(5，2)，且在x轴，

y轴上的截距相等,则此直线的方程为

2x－5y=0x+y－7=0或截距为0不可遗漏一、基础训练或7.若一椭圆的长半轴与短半轴之和为10，焦距为则该56［点评］通过刚才的8道题，我们可以看出，有关分类讨论的试题涉及的知识面非常广，既可与集合、函数、数列、向量、三角、不等式等内容相结合，还可与立体几何、解析几何等内容相结合.几乎贯穿了整个高中数学的始终.从类型上可作如下的归类：6属于概念型的；2、4属于性质型的；3、5、7属于判定型的；1属于含参型的；8属于应用型.［点评］通过刚才的8道题，我们可以看出，有关分类讨论的试题涉57典型例题1例1、已知函数在区间最大值为4，求实数a的值．（3）当时综上所述：或二、典型例题时（2）当解：（1）当时，不合题意.该函数的类型不确定，需要对a进行讨论，当a=0时，为常函数，不合题意；当a不为0时，虽然抛物线对称轴已定，但开口方向在变，函数在闭区间[-1，2]上单调性在变，最大值就随之而变.典型例题1例1、已知函数在（58例1变式1变题１：

设f(x)=x2－2ax－a在区间［0,2］上的最大值为2，求a的值．与矛盾，故舍去．解：（1）当时时（2）当综上所述：虽然该抛物线的开口方向已定,但对称轴是动的，因此,随着a的变化,函数在区间[0,2]上单调性也随之变化，故要分对称轴与区间端点的相对位置去讨论.例1变式1变题１：设f(x)=x2－2ax－a在区间59例1变式2

解：f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.当t+1≤1时，t≤0，g(t)=f(t+1)=t2-2;当t<1<t+1时，0<t<1，g(t)=f(1)=－2;当t≥1时，g(t)=f(t)=t2-2t-1.变题２：设f(x)=x2-2x-1在区间［t,t+1］上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．该抛物线的开口方向和对称轴都是定已，但随着t的变化,区间[t,t+1]的位置随之变化，故也要分对称轴与区间端点的相对位置去讨论.例1变式2解：f(x)=x2-2x-1=(60［点评］［点评］

例1及其变式给出了含参数的二次函数在闭区间上的最值问题的三种类型：（1）“定轴动开口”；（2）“动轴定区间”；（3）“定轴动区间”。因为随着对称轴与区间相对位置的改变，函数的单调性会发生改变，求解该类问题的关键是抓住顶点的横坐标是否属于所给区间进行分类.［点评］［点评］例1及其变式给出了含参数的二次函数在闭区61典型例题2二、典型例题例2、解关于的不等式

这是一个含参数a的不等式.首先要对二次项系数a分类：①a=0

②a≠0

，对于①

不等式易解；［解析］对于②又需再次分为：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；a>0是在两根之间，a<0是在两根之外．而确定这一点之后，又会遇到两根谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论．故而解本题时，需要作三级分类．典型例题2二、典型例题例2、解关于的不等式62不等式的解集为：不等式的解集为：63［点评］［点评］对于含参数不等式的求解问题首先要确定好分类的标准，在同一次讨论中要按照同一个标准进行，若需多级讨论则应逐级进行，不能越级.比如本题就作了三级分类，要求同学们要十分的细心，做到各分类之间“不重复，更不能遗漏”.［点评］［点评］对于含参数不等式的求解问题首先要确定好分类的64典型例题3二、典型例题例3、已知向量，其中O为坐标原点．（1）若，求向量与的夹角；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．(1)可以通过向量的数量积求出夹角的余弦值;由于向量模中含有参数,故需要针对参数作出讨论.(2)可以先根据条件转化为不等式恒成立问题,再通过分类讨论求解.典型例题3二、典型例题例3、已知向量65解（1）设向量与的夹角为，则

当时，

当时，

（2）由对任意实数都成立得：对任意实数都成立.解（1）设向量与的夹角为，则当时，66对任意实数都成立即：所以：解得：

故实数的取值范围是．

若令,则该不等式即可转化为求关于t的一次函数在[-1,1]上的最小值问题.对任意实数都成立即：所以：解得：故实数的取值范围是67［点评］［点评］本题第一问在求向量夹角时需要根据绝对值的定义去分类讨论，而第二问是个恒成立问题，需要转化为一次函数在闭区间[-1,1]上的最小值问题，因此要对一次项系数进行分类讨论.本题还可以用:得出:再通过分类讨论去绝对值求解.［点评］［点评］本题第一问在求向量夹角时需要根据绝对值的定义68典型例题4二、典型例题表示该数列的前n项和.例4、有一个项数为10的实数等比数列，（1）当时,若成等差数列，求证也成等差数列；（2）能否成等差数列，如果能，请求出公比；如果不能，请说明理由.典型例题4二、典型例题表示该数列的前n项和.例4、有一个项69解⑴当时,由得则不成等差数列.

当时,由得,即也成等差数列.解⑴当时,由得70①当时②当时③当时上面三种情况证明了方程无解.综上所述:

不成等差数列

（2）若成等差数列,则当时,当时,得到关于的方程:①当时②当时③当时上面三71［点评］本题中涉及等比数列的前n项和公式的运用，由于该公式是分情况给出的，我们一定不要忘记分和去讨论，否则很容易遗漏情况；第二问是关于的高次方程，要讨论是否有解，在分类讨论的基础上对两加以适当的放缩不失为一种有效的方法。［点评］本题中涉及等比数列的前n项和公式的运用，由于该公式72典型例题5二、典型例题

例5、某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额范围（元）获得奖券金额（元）[200，400）30[400，500）60[500，700）100[700，900）130典型例题5二、典型例题例5、某商场在促销期间规定：商场73

根据上述促销方法顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2+30=110(元).设购买商品得到的优惠率=试问：根据上述促销方法顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购74（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500,800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？(1)可以通过题中所给公式直接算出.(2)由于标价在［500,800］的商品打折以后的消费金额为［400,640］跨越两个获得奖券的区间,

因此要分类讨论.（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多75分类讨论思想优秀课件76［点评］［点评］本题为实际应用问题，在解题过程中，由于实际超作的多样性，其中隐含着分类讨论：

，根据条件，分两步讨论，使问题得以解决。［点评］［点评］本题为实际应用问题，在解题过程中，由于实际77五、分类讨论的反思五、分类讨论总结反思分类讨论思想是中学数学的基本思想方法之一.它是数学教学中的重点，也是历年高考中的热点.题型多样、内涵丰富，有时很难分清是哪一类型的分类讨论，很多时候一道题中还会经常涉及到多种类型的讨论，我在此只能点到为止,不免挂一漏万.五、分类讨论的反思五、分类讨论总结反思分类讨论思想是中学78熟练掌握基础知识，做到融会贯通，是解决分类讨论问题的前提;搞清分类的原因，确定好分类的标准，是掌握分类讨论思想的关键;恰当分类、逐步讨论、归类总结是解决分类讨论问题的基本模式．只要我们树立分类讨论的意识，不断地积累方法、总结经验教训，克服分类讨论时思想上的主观性、盲目性和畏惧心理，就一定能掌握好分类讨论思想在解题中的运用，为我们数学成绩的提升助一臂之力！

熟练掌握基础知识，做到融会贯通，是解决分类讨论问题的前79祝同学们学习进步，祝同学们学习进步，80二、典型例题例3、已知求解：二、典型例题例3、已知81

解：

∵=(2,1),=(3,k)

则＝(1,k－1).即有6＋k＝0，得k=－6；即有2+(k－1)＝0，得k=－1；即有3＋k(k－1)＝0，该方程无解.∴k＝－6或k＝－1．解：∵=(2,1),82［点评］截距实质上表示坐标的意义，有正、负、零三种情况，解题中，应根据截距是否为零进行分类讨论.

［解析］设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y=x，即2x－5y=0；当a≠0时，设直线方程为=1,则求得a=7,方程为x+y－7=0.［点评］截距实质上表示坐标的意义，有正、负、零三种情况，解题8319、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。

20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。

21、理想是反映美的心灵的眼睛。

22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。

24、生当做人杰，死亦为鬼雄。

25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。

26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。

27、生活中没有理想的人，是可怜的。

28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。

29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。

30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。

31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。

32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况

33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。

34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。

35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。

36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。

37、理想的书籍是智慧的钥匙。

人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。——鲁迅

2人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。——席慕蓉

3做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。——萧楚女

4所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。——鲁迅

5人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。——巴金

6我们是国家的主人，应该处处为国家着想。——雷锋

7我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。——周恩来

8春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。——吴玉章

9学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。——毛泽东

10错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。——毛泽东

38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。

9．君子欲讷于言而敏于行。——《论语》

译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。

10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。——《周易》

译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。

11．君子藏器于身，待时而动。——《周易》

译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。

12．满招损，谦受益。——《尚书》

译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。

13．人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》

译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人

14．言必信，行必果。——《论语》

译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。

15．毋意，毋必，毋固，毋我。——《论语》

译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。

16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》

译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。

17．君子求诸己，小人求诸人。——《论语》

译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧

1．天行健，君子以自强不息。——《周易》

译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。

2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——《三国志》刘备语

译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。

3．见善如不及，见不善如探汤。——《论语》

译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。

4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。——《论语》

译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。

5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。——《论语》

译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。

6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。——《论语》

译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是不是也有他那样的缺点或不足。

7．己所不欲，勿施于人。——《论语》

译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加