力法的原理与方程-资料课件

第六章力法ForceMethod§6－1超静定结构的组成和超静定次数§6－2力法的基本概念§6－3超静定刚架和排架§6－4超静定桁架和组合结构§6－5对称结构的计算§6－9支座移动和温度改变时的计算§6－10超静定结构位移的计算第六章力法ForceMethod§6－1超静定结构的组1a)静定结构是无多余约束的几何不变体系。b)超静定结构是有多余约束的几何不变体系。

由此可见：内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本点。§6－1超静定结构的组成和超静定次数a)静定结构是无多余约束的几何不变体系。b)超静定结构是2

超静定次数确定

超静定次数=多余约束的个数=

多余未知力的个数撤除约束的方式（1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。（2）撤除一个铰支座、撤除一个单铰或撤除一个滑动支座，等于撤除两个约束。（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。把原结构变成静定结构时所需撤除的约束个数=未知力的个数—平衡方程的个数§6－1超静定结构的组成和超静定次数超静定次数确定超静定次数=多余约束的个数=多余未3撤除约束时需要注意的几个问题：（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。（3）内外多余约束都要撤除。外部一次，内部六次共七次超静定举例1撤除支杆1后体系成为瞬变不能作为多余约束的是杆123451、2、5（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系撤除约束时需要注意的几个问题：（1）同一结构可用不同的方式撤4X3X1X2X3X1X2X3X1X1X2X3X3X1X2X3X1X2X3X1X1X2X35撤除一个约束的方式举例：X1X2X1X2X1X3X2撤除一个约束的方式举例：X1X2X1X2X1X3X26撤除两个约束的方式举例：X4X3X1X2X1X2撤除两个约束的方式举例：X4X3X1X2X1X27撤除三个约束的方式举例：X1X2X3X1X1X2X3撤除三个约束的方式举例：X1X2X3X1X1X2X38一、力法基本思路1、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个静定结构（基本体系），然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。§6－2力法的基本概念一、力法基本思路1、超静定结构计算的总原则:欲求超静9一、力法基本思路2、力法的三个基本概念:q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓BRBRB当ΔB=Δ1=0><<<<X1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B>>>=====1δ11Δ1P×X1〓X1+↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B基本未知量—多余未知力X1；基本体系—静定结构(悬臂梁)；基本方程—位移条件（变形协调条件）。Δ1=δ11X1+Δ1P=0力法的特点：由基本体系与原结构变形一致达到受力一致Δ1=Δ11+Δ1P=0一、力法基本思路2、力法的三个基本概念:q↓↓↓↓↓↓↓↓↓10X1=－Δ1P

/

δ11=3ql/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓3ql/8ql2/8M图↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/2MPò=DdxEIMMPP11ò=dxEIMM1111d-=úûùêëé-=EIqlllqlEI843231142=øöççèæ=EIlllEI3322132

ql2/8产生δ11的弯矩图产生Δ1P的弯矩图=1δ11Δ1P×X1Δ1=δ11X1+Δ1P=0〓X1+↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓Bq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓Bll，EIX1=1P=1l求X1方向的位移虚拟的力状态X1=－Δ1P/δ11=3ql/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓11力法的原理与方程-资料课件12力法基本思路力法的三个基本概念:q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓BRB基本未知量—基本体系—RB当ΔB=Δ1=0><<<<X1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B>>>====基本方程—Δ1=δ11X1+Δ1P=0=1δ11Δ1P×X1〓X1+↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B力法基本思路力法的三个基本概念:q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓13例：作图示结构的弯矩图3Pl/165Pl/32MX1=1lEIPl/2l/2Δ1=δ11X1+Δ1p=01）X1PPPl/2MPEIPlP48531-=D1651111PXP=D-=dδ11=例：作图示结构的弯矩图3Pl/165Pl/32MX1=1lE143Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32MΔ1=δ11X1+Δ1p=0X1=1lX1=1δ11=1EIPl/2l/2X12)PΔ1=δ11X1+Δ1p=01）X1PPPl/2MPPPl/4MPEIPlP1621-=DEIPlP48531-=D16-31111PlXP=D-=d1651111PXP=D-=dδ11=同一结构选不同的基本体系进行计算3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32MΔ1=δ153、力法基本体系的选择3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32MΔ1=δ11X1+Δ1p=0X1=1lX1=1δ11=121δ11=EIPl/2l/2X12)PΔ1=δ11X1+Δ1p=0Δ1=δ11X1+Δ1p=01）X1P3)PX1X1=1PPl/2MPPPl/4MPPPl/2MPEIPlP24521-=DEIPlP1621-=DEIPlP48531-=D3251111PlXP=D-=d16-31111PlXP=D-=d1651111PXP=D-=dδ11=同一结构选不同的基本体系进行计算，则：1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；方程中的系数和自由项不同。2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。3、力法基本体系的选择3Pl/165Pl/32M3Pl/1616力法基本体系的选择3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32MΔ1=δ11X1+Δ1p=0EIPl/2l/2X12)PΔ1=δ11X1+Δ1p=0Δ1=δ11X1+Δ1p=01）X1P3)PX1同一结构选不同的基本体系进行计算，则：1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；方程中的系数和自由项不同。2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。力法基本体系的选择3Pl/165Pl/32M3Pl/165P17二、多次超静定结构的计算PP（1）基本结构（2）基本未知力

（3）基本方程（4）系数与自由项悬臂梁P（5）解力法方程（6）内力二、多次超静定结构的计算PP（1）基本结构（2）基本未知力18PP同一结构可以选取不同的基本体系PP？

力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。PP同一结构可以选取不同的基本体系PP？力法基本体系19二、多次超静定结构的计算

对于n次超静定结构有n个多余未知力X1、X2、……Xn，力法基本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，

Δ1=0、Δ2=0、……Δn=0，将它们展开

力法典型方程二、多次超静定结构的计算对于n次超静定结构有n个20n次超静定结构1）的物理意义；δii表示基本体系由Xi=1产生的Xi方向上的位移δij表示基本体系由Xj=1产生的Xi方向上的位移

自由项ΔiP表示基本体系由荷载产生的Xi方向上的位移

计算刚架的位移时，只考虑弯矩的影响。但高层建筑的柱要考虑轴力影响，短而粗的杆要考虑剪力影响。n次超静定结构1）的物理意义；δii表示基本体系由Xi=1产21n次超静定结构1）的物理意义；2）由位移互等定理；3）表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；4）柔度系数及其性质对称方阵系数行列式之值>0主系数副系数5)最后内力位移的地点产生位移的原因13n次超静定结构1）的物理意义；2）由位移互等定理；3）22力法计算步骤可归纳如下：1）确定超静定次数，选取力法基本体系；2）按照位移条件，列出力法典型方程；3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；4）解方程，求多余未知力Xi；5）叠加最后弯矩图。力法计算步骤可归纳如下：1）确定超静定次数，选取力法基本体系23力法计算步骤可归纳如下：1）确定超静定次数，选取力法基本体系；2）按照位移条件，列出力法典型方程；3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；4）解方程，求多余未知力Xi；5）叠加最后弯矩图。力法计算步骤可归纳如下：1）确定超静定次数，选取力法基本体系24↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓I1I2I28m6mq=20kN/mX1基本体系X1=16653.33M图(kN.m)q=20kN/mI2=kI1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓160MP160PX=D+11110d

超静定结构由荷载产生的内力与各杆刚度的相对比值有关，与各杆刚度的绝对值无关。§6-3超静定刚架和排架一、刚架↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓I1I2I22553.3353.338m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mCDFQCD8016080－＋－8.9＋8.9FQ图(kN)8.980FNCAFNCD－－－80808.9FN图(kN)由已知的弯矩求剪力求轴力53.33M图(kN.m)16053.3353.338m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m2616053.33M图(kN.m)由M图画出变形曲线草图16053.33M图(kN.m)由M图画出变形曲线草图27例题：力法解图示刚架。↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIABCDq=23kN/m↑↑↑↑↑↑↑X1X1基本体系X2X2X1X1=166M1X2X2=166M2q=23kN/m↑↑↑↑↑↑↑414MP1）确定超静定次数，选取力法基本体系；2）按照位移条件，列出力法典型方程；δ11X1＋δ12X2＋Δ1P＝0δ21X1＋δ22X2＋Δ2P＝03）画单位弯矩图、荷载弯矩图，4）求系数和自由项(取EI=1)5）解方程，求多余未知力144X1+108X2－3726=0108X1+288X2=0X1=36，X2=－13.56）叠加最后弯矩图198103.581135MkN.m例题：↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIAB28§6-3超静定刚架和排架一、刚架3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341、基本体系与基本未知量：2、基本方程14§6-3超静定刚架和排架一、刚架3m3m3m3mq=1k293m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I123418279663663、系数与自由项153m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341304、解方程5、内力2.6721.333.564.335.662.673.331.111.93.331.113.331.9164、解方程5、内力2.6721.333.564.335.631二、超静定排架计算排架主要分析柱子柱子固定于基础顶面不考虑横梁的轴向变形不考虑空间作用JIIIIJ2.1m4.65m6.75m2.6m二、超静定排架计算排架主要分析柱子柱子固定于基础顶面不考虑横32↑↑↑↑↑↑↑↑12kN/m2m4mEIEI2EI2EI↑↑↑↑↑↑↑↑12kN/mX1基本体系24216MPX1=1622M16二、超静定排架计算136.925479.08MkN.m↑↑↑↑↑↑↑↑12kN/m2m4mEIEI2EI2EI↑↑33aEI2aEI1allEI2aEI2—+allEI2aEI1=aEI1aEI2aEI1allEI2aEI2—+allEI2aEI134例题：用力法解图示刚架。EI=常数。l/2l/2l/2lPABEDCPABEDCX1X1=1PABEDCPl/2MPll2ll353EIl=32225.02lllúûù··+232223225.0111llllllEIêëé··+··=d()42322221131EIPllllPlEIp-=+·-=D2031111PXp=D-=d37×Pl/2043M例题：用力法解图示刚架。EI=常数。l/2l/2l/2lPA35↓↓↓↓↓↓↓↓PlllX1=1PMP↓↓↓↓↓↓↓↓PlllX1=1PMP36↓↓↓↓↓↓↓↓↓MPX1=111.5X2=111/22l/3↓↓↓↓↓↓↓↓↓EI=常数llqql2/8ql2/14ql2/28M↓↓↓↓↓↓↓↓↓MPX1=111.5X2=111/22l/37llPX1X1=111111PPP0000P－Δ1=δ11X1+Δ1P=0基本体系FN1FNPΔ1P=∑P396.0-=P244)221(++-=X1111D-=d-0.396P0.603P-0.852P0.560P-0.396P-0.396P§6-4超静定桁架和组合结构的计算llPX1X1=111111PPP0000P－Δ1=δ38X1=1超静定组合结构的计算。分析图示加劲梁X1基本体系c/2hc/2hl/4&ql2/8MP,

FNP=0-1l/2l/2hE1I1E2A2E3A3E3A3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓c↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓解:δ11X1+Δ1P=0计算δ11Δ1P时,可忽略梁的FQ和FN对位移的影响。332322113248AEhcAEhIEl++δ11=()()332222221AEcAEhhc+-+1143224212lllIE=2N12111EAlFdxEIM+=òåd1143485IEql-=211048528322llqlIE+-=N111EAlFFdxEIMMNPPP+=DòåX1=1超静定组合结构的计算。分析图示加劲梁X1基本体系c/39由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。如E2A2和E3A3都趋于无穷大，则X1趋于5ql/8，横梁的弯矩图接近于两跨连续梁的弯矩图。如E2A2或E3A3趋于零，则X1都趋于零，横梁的弯矩图接近于简支梁的弯矩图。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/32↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8

c/2hX1c/2hX1-X1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。↓↓↓↓↓↓↓40力法的原理与方程-资料课件41§6－5对称结构(symmetricalstructure)的计算对称结构是几何形状、支座、刚度都对称.EIEIEI1、结构的对称性：对称轴对称轴l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI22、荷载的对称性：

对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。

反对称荷载——绕对称轴对这后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。对称轴对称轴EIEI对称轴↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑qPP1

P1

m反对称荷载对称轴↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPP1P1对称荷载§6－5对称结构(symmetricalstructu42任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。PP1P2一般荷载aP/2FF对称荷载aaP/2WW反对称荷载P/2aaP/2P1=F+W，P2=W—F

任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。PP1P2一般荷载433、利用对称性简化计算：1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法)PP2一般荷载X3X2X1X2X1=1X2=1X2X3=1力法方程降阶2）取（反）对称荷载如果荷载对称，MP对称，如果荷载反对称，MP反对称，对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。Δ3P=0，X3=0；Δ1P=0，Δ2P=0，X1=X2=0。3、利用对称性简化计算：1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用448kN/m3m3m↑↑↑↑↑↑↑3m3kN/m↑↑↑↑↑↑↑X1=133X2=13333用力法计算作图示结构的弯矩图。184.54.59M图(kN.m)X2X1368kN/m3m3m↑↑↑↑↑↑↑3m3kN/m↑↑↑↑↑45§6－9温度改变、支座移动时超静定结构的内力

由于超静定结构由多余约束，所以在无荷载作用时，只要有发生变形的因素，都可以产生内力（自内力）。b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差a）荷载作用；产生位移（变形）的主要原因：§6－9温度改变、支座移动时超静定结构的内力46有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aX1=1lX1=Δ1c=－θlδ11=a1）X1EI

θM有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aX1=47有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=θX1=11Δ1c=δ11=X1=MEIlaX12)1/la（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力仅由多余未知力产生讨论:有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=θX1=148有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=δ11x1+Δ1c=θΔ1=δ11x1+Δ1c=0X1=1lX1=11Δ1c=δ11=X1=X1=1.51l/32l/3Δ1c=－θlδ11=a1）X1δ11=Δ1c=X1=MEIlaX12)aX13)X1=13)1/l1.5/l

θaθa2）系数计算同前；自由项ΔiC=－∑R·cc是基本体系支座位移。所以，基本体系的支座位移产生自由项。与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边。3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度EI的绝对值成正比。

支座移动时的力法计算特点：1）取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也可能不一样，方程的右边可不为零（＝±与多余未知力对应的支座位移）。有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=49（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力仅由多余未知力产生（4）内力与EI的绝对值有关讨论:（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力仅由多50一、支座移动时的计算hl1h1基本方程的物理意义？基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。一、支座移动时的计算hl1h1基本方程的物理意义？基本结构在511h1（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力仅由多余未知力产生（4）内力与EI的绝对值有关讨论:1h1（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力52用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11D=D=DlCC21=-=·-=EIllEI6312112112dd==·=EIllEI3322112211ddúûùêëéD-+=úûùêëéD-+=llEIXllEIXABBA32232221qqqq=D++-=D+-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121qqΔθAθBX2X1用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M153θθl/32l/3X2X1θX1=11/2θX23/21qlEIX21=qlEIX22-=qC232=DqC21-=DdEIl4322=dEIl411=θ4iθ2iθM

当杆件两端为刚结或固定，且无相对侧移时，可在一端及距该端2/3处加铰选基本体系，可使相应副系数等零。θθl/32l/3X2X1θX1=11/2θX23/21ql54§7－10超静定结构位移计算↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIABq=23kN/mX1基本体系↑↑↑↑↑↑↑X1X2X2=36=－13.5X=116M求ΔDH、虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，计算结果相同。GΔGVAB原结构与基本体系受力和变形相同求原结构的位移就归结求基本体系的位移。§7－10超静定结构位移计算↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m55§7－10超静定结构位移计算↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIAB198103.581135MkNmq=23kN/mX1基本体系↑↑↑↑↑↑↑X1X2X2=36=－13.5X=16MCDDD求ΔDH16=——（2×6×135－6×81）

EI61134=——EIΔGVGG13M6×1.581729=－———·—=－——2EI24EI11.5虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，计算结果相同。§7－10超静定结构位移计算↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m561）重视校核工作，培养校核习惯。2）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核；或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算。3）计算书要整洁易懂，层次分明。4）分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工。力法校核1）阶段校核：①计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否几何不变。②求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号。③解方程后校核多余未知力是否满足力法方程。§7－11超静定结构计算的校核力法校核§7－11超静定结构计算的校核572）最后内力图总校核：a）平衡条件校核4m2m2m4m200kN751251522.511.3＋＋＋－－FQ图（kN)147.522.5－－＋＋3.711.3FN图（kN)1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)B6040100∑M=02003.77515147.511.322.5∑X=3.7+11.3－15=0∑Y=75+147.5－200－22.5=02）最后内力图总校核：a）平衡条件校核4m2m2m4m20058

力法基本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，(荷载作用下)Δ1=0、Δ2=0、……Δn=0将它们展开得到力法方程

Δi=∑δijXj+Δ

iP=0i，j=1，2，……n其中：2)变形条件的校核+=åòòPijjidxEIMMdxXEIMM()+=òåPjjidxMXMEIMEIòidxMM0=Di=0=D+åiPjijXd即：δijΔiPδijΔiPδijΔiPδijΔiP

这样，荷载作用下，超静定结构的最后弯矩图，与任意基本体系的任一多余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零，则满足变形条件。

变形条件的一般校核方法是：任选一基本体系，任选一多余未知力，由最后内力图计算出Xi方向的位移，并检查是否与原结构对应位移相等。力法基本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，(荷载594m2m2m4m200kN1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)BAXA=144200380-=12402044-·+3422410024úûù··-VA2420021êëé·=DA040¹=úûù14215301êëé·-+úûù142603021êëé·-+4220401úûùêëé·-=ò1dsIM=DåòdsEIMM0==òdsEIM封闭框当结构只受荷载作用时,沿封闭框形的M/EI图形的总面积应等于零。AX1=11114m2m2m4m200kN1501006020301540I60静定结构超静定结构荷载作用支座移动温度改变内力变形位移内力变形位移由平衡条件求不产生内力不产生变形综合考虑平衡条件和变形连续条件来求κM=——EI＋αΔt——h……静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表静定结构超静定结构荷载作用支座移动温度改变内力变形位移内力变61超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算c1c2MNQMNQRP=1MNQt1t2MNQP=1GAkQEANEIM===gekhtD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算c1c2MN62å-cR综合影响下的位移计算公式aEIlM例9-7求例9-5中超静定梁跨中挠度。P=1l/41/2P=1l/2l/2å-cR综合影响下的位移计算公式aEIlM例63第六章力法ForceMethod§6－1超静定结构的组成和超静定次数§6－2力法的基本概念§6－3超静定刚架和排架§6－4超静定桁架和组合结构§6－5对称结构的计算§6－9支座移动和温度改变时的计算§6－10超静定结构位移的计算第六章力法ForceMethod§6－1超静定结构的组64a)静定结构是无多余约束的几何不变体系。b)超静定结构是有多余约束的几何不变体系。

由此可见：内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本点。§6－1超静定结构的组成和超静定次数a)静定结构是无多余约束的几何不变体系。b)超静定结构是65

超静定次数确定

超静定次数=多余约束的个数=

多余未知力的个数撤除约束的方式（1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。（2）撤除一个铰支座、撤除一个单铰或撤除一个滑动支座，等于撤除两个约束。（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。把原结构变成静定结构时所需撤除的约束个数=未知力的个数—平衡方程的个数§6－1超静定结构的组成和超静定次数超静定次数确定超静定次数=多余约束的个数=多余未66撤除约束时需要注意的几个问题：（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。（3）内外多余约束都要撤除。外部一次，内部六次共七次超静定举例1撤除支杆1后体系成为瞬变不能作为多余约束的是杆123451、2、5（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系撤除约束时需要注意的几个问题：（1）同一结构可用不同的方式撤67X3X1X2X3X1X2X3X1X1X2X3X3X1X2X3X1X2X3X1X1X2X368撤除一个约束的方式举例：X1X2X1X2X1X3X2撤除一个约束的方式举例：X1X2X1X2X1X3X269撤除两个约束的方式举例：X4X3X1X2X1X2撤除两个约束的方式举例：X4X3X1X2X1X270撤除三个约束的方式举例：X1X2X3X1X1X2X3撤除三个约束的方式举例：X1X2X3X1X1X2X371一、力法基本思路1、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个静定结构（基本体系），然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。§6－2力法的基本概念一、力法基本思路1、超静定结构计算的总原则:欲求超静72一、力法基本思路2、力法的三个基本概念:q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓BRBRB当ΔB=Δ1=0><<<<X1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B>>>=====1δ11Δ1P×X1〓X1+↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B基本未知量—多余未知力X1；基本体系—静定结构(悬臂梁)；基本方程—位移条件（变形协调条件）。Δ1=δ11X1+Δ1P=0力法的特点：由基本体系与原结构变形一致达到受力一致Δ1=Δ11+Δ1P=0一、力法基本思路2、力法的三个基本概念:q↓↓↓↓↓↓↓↓↓73X1=－Δ1P

/

δ11=3ql/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓3ql/8ql2/8M图↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/2MPò=DdxEIMMPP11ò=dxEIMM1111d-=úûùêëé-=EIqlllqlEI843231142=øöççèæ=EIlllEI3322132

ql2/8产生δ11的弯矩图产生Δ1P的弯矩图=1δ11Δ1P×X1Δ1=δ11X1+Δ1P=0〓X1+↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓Bq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓Bll，EIX1=1P=1l求X1方向的位移虚拟的力状态X1=－Δ1P/δ11=3ql/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓74力法的原理与方程-资料课件75力法基本思路力法的三个基本概念:q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓BRB基本未知量—基本体系—RB当ΔB=Δ1=0><<<<X1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B>>>====基本方程—Δ1=δ11X1+Δ1P=0=1δ11Δ1P×X1〓X1+↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B力法基本思路力法的三个基本概念:q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓76例：作图示结构的弯矩图3Pl/165Pl/32MX1=1lEIPl/2l/2Δ1=δ11X1+Δ1p=01）X1PPPl/2MPEIPlP48531-=D1651111PXP=D-=dδ11=例：作图示结构的弯矩图3Pl/165Pl/32MX1=1lE773Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32MΔ1=δ11X1+Δ1p=0X1=1lX1=1δ11=1EIPl/2l/2X12)PΔ1=δ11X1+Δ1p=01）X1PPPl/2MPPPl/4MPEIPlP1621-=DEIPlP48531-=D16-31111PlXP=D-=d1651111PXP=D-=dδ11=同一结构选不同的基本体系进行计算3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32MΔ1=δ783、力法基本体系的选择3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32MΔ1=δ11X1+Δ1p=0X1=1lX1=1δ11=121δ11=EIPl/2l/2X12)PΔ1=δ11X1+Δ1p=0Δ1=δ11X1+Δ1p=01）X1P3)PX1X1=1PPl/2MPPPl/4MPPPl/2MPEIPlP24521-=DEIPlP1621-=DEIPlP48531-=D3251111PlXP=D-=d16-31111PlXP=D-=d1651111PXP=D-=dδ11=同一结构选不同的基本体系进行计算，则：1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；方程中的系数和自由项不同。2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。3、力法基本体系的选择3Pl/165Pl/32M3Pl/1679力法基本体系的选择3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32MΔ1=δ11X1+Δ1p=0EIPl/2l/2X12)PΔ1=δ11X1+Δ1p=0Δ1=δ11X1+Δ1p=01）X1P3)PX1同一结构选不同的基本体系进行计算，则：1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；方程中的系数和自由项不同。2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。力法基本体系的选择3Pl/165Pl/32M3Pl/165P80二、多次超静定结构的计算PP（1）基本结构（2）基本未知力

（3）基本方程（4）系数与自由项悬臂梁P（5）解力法方程（6）内力二、多次超静定结构的计算PP（1）基本结构（2）基本未知力81PP同一结构可以选取不同的基本体系PP？

力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。PP同一结构可以选取不同的基本体系PP？力法基本体系82二、多次超静定结构的计算

对于n次超静定结构有n个多余未知力X1、X2、……Xn，力法基本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，

Δ1=0、Δ2=0、……Δn=0，将它们展开

力法典型方程二、多次超静定结构的计算对于n次超静定结构有n个83n次超静定结构1）的物理意义；δii表示基本体系由Xi=1产生的Xi方向上的位移δij表示基本体系由Xj=1产生的Xi方向上的位移

自由项ΔiP表示基本体系由荷载产生的Xi方向上的位移

计算刚架的位移时，只考虑弯矩的影响。但高层建筑的柱要考虑轴力影响，短而粗的杆要考虑剪力影响。n次超静定结构1）的物理意义；δii表示基本体系由Xi=1产84n次超静定结构1）的物理意义；2）由位移互等定理；3）表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；4）柔度系数及其性质对称方阵系数行列式之值>0主系数副系数5)最后内力位移的地点产生位移的原因13n次超静定结构1）的物理意义；2）由位移互等定理；3）85力法计算步骤可归纳如下：1）确定超静定次数，选取力法基本体系；2）按照位移条件，列出力法典型方程；3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；4）解方程，求多余未知力Xi；5）叠加最后弯矩图。力法计算步骤可归纳如下：1）确定超静定次数，选取力法基本体系86力法计算步骤可归纳如下：1）确定超静定次数，选取力法基本体系；2）按照位移条件，列出力法典型方程；3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；4）解方程，求多余未知力Xi；5）叠加最后弯矩图。力法计算步骤可归纳如下：1）确定超静定次数，选取力法基本体系87↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓I1I2I28m6mq=20kN/mX1基本体系X1=16653.33M图(kN.m)q=20kN/mI2=kI1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓160MP160PX=D+11110d

超静定结构由荷载产生的内力与各杆刚度的相对比值有关，与各杆刚度的绝对值无关。§6-3超静定刚架和排架一、刚架↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓I1I2I28853.3353.338m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mCDFQCD8016080－＋－8.9＋8.9FQ图(kN)8.980FNCAFNCD－－－80808.9FN图(kN)由已知的弯矩求剪力求轴力53.33M图(kN.m)16053.3353.338m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m8916053.33M图(kN.m)由M图画出变形曲线草图16053.33M图(kN.m)由M图画出变形曲线草图90例题：力法解图示刚架。↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIABCDq=23kN/m↑↑↑↑↑↑↑X1X1基本体系X2X2X1X1=166M1X2X2=166M2q=23kN/m↑↑↑↑↑↑↑414MP1）确定超静定次数，选取力法基本体系；2）按照位移条件，列出力法典型方程；δ11X1＋δ12X2＋Δ1P＝0δ21X1＋δ22X2＋Δ2P＝03）画单位弯矩图、荷载弯矩图，4）求系数和自由项(取EI=1)5）解方程，求多余未知力144X1+108X2－3726=0108X1+288X2=0X1=36，X2=－13.56）叠加最后弯矩图198103.581135MkN.m例题：↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIAB91§6-3超静定刚架和排架一、刚架3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341、基本体系与基本未知量：2、基本方程14§6-3超静定刚架和排架一、刚架3m3m3m3mq=1k923m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I123418279663663、系数与自由项153m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341934、解方程5、内力2.6721.333.564.335.662.673.331.111.93.331.113.331.9164、解方程5、内力2.6721.333.564.335.694二、超静定排架计算排架主要分析柱子柱子固定于基础顶面不考虑横梁的轴向变形不考虑空间作用JIIIIJ2.1m4.65m6.75m2.6m二、超静定排架计算排架主要分析柱子柱子固定于基础顶面不考虑横95↑↑↑↑↑↑↑↑12kN/m2m4mEIEI2EI2EI↑↑↑↑↑↑↑↑12kN/mX1基本体系24216MPX1=1622M16二、超静定排架计算136.925479.08MkN.m↑↑↑↑↑↑↑↑12kN/m2m4mEIEI2EI2EI↑↑96aEI2aEI1allEI2aEI2—+allEI2aEI1=aEI1aEI2aEI1allEI2aEI2—+allEI2aEI197例题：用力法解图示刚架。EI=常数。l/2l/2l/2lPABEDCPABEDCX1X1=1PABEDCPl/2MPll2ll353EIl=32225.02lllúûù··+232223225.0111llllllEIêëé··+··=d()42322221131EIPllllPlEIp-=+·-=D2031111PXp=D-=d37×Pl/2043M例题：用力法解图示刚架。EI=常数。l/2l/2l/2lPA98↓↓↓↓↓↓↓↓PlllX1=1PMP↓↓↓↓↓↓↓↓PlllX1=1PMP99↓↓↓↓↓↓↓↓↓MPX1=111.5X2=111/22l/3↓↓↓↓↓↓↓↓↓EI=常数llqql2/8ql2/14ql2/28M↓↓↓↓↓↓↓↓↓MPX1=111.5X2=111/22l/100llPX1X1=111111PPP0000P－Δ1=δ11X1+Δ1P=0基本体系FN1FNPΔ1P=∑P396.0-=P244)221(++-=X1111D-=d-0.396P0.603P-0.852P0.560P-0.396P-0.396P§6-4超静定桁架和组合结构的计算llPX1X1=111111PPP0000P－Δ1=δ101X1=1超静定组合结构的计算。分析图示加劲梁X1基本体系c/2hc/2hl/4&ql2/8MP,

FNP=0-1l/2l/2hE1I1E2A2E3A3E3A3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓c↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓解:δ11X1+Δ1P=0计算δ11Δ1P时,可忽略梁的FQ和FN对位移的影响。332322113248AEhcAEhIEl++δ11=()()332222221AEcAEhhc+-+1143224212lllIE=2N12111EAlFdxEIM+=òåd1143485IEql-=211048528322llqlIE+-=N111EAlFFdxEIMMNPPP+=DòåX1=1超静定组合结构的计算。分析图示加劲梁X1基本体系c/102由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。如E2A2和E3A3都趋于无穷大，则X1趋于5ql/8，横梁的弯矩图接近于两跨连续梁的弯矩图。如E2A2或E3A3趋于零，则X1都趋于零，横梁的弯矩图接近于简支梁的弯矩图。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/32↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8

c/2hX1c/2hX1-X1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。↓↓↓↓↓↓↓103力法的原理与方程-资料课件104§6－5对称结构(symmetricalstructure)的计算对称结构是几何形状、支座、刚度都对称.EIEIEI1、结构的对称性：对称轴对称轴l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI22、荷载的对称性：

对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。

反对称荷载——绕对称轴对这后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。对称轴对称轴EIEI对称轴↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑qPP1

P1

m反对称荷载对称轴↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPP1P1对称荷载§6－5对称结构(symmetricalstructu105任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。PP1P2一般荷载aP/2FF对称荷载aaP/2WW反对称荷载P/2aaP/2P1=F+W，P2=W—F

任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。PP1P2一般荷载1063、利用对称性简化计算：1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法)PP2一般荷载X3X2X1X2X1=1X2=1X2X3=1力法方程降阶2）取（反）对称荷载如果荷载对称，MP对称，如果荷载反对称，MP反对称，对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。Δ3P=0，X3=0；Δ1P=0，Δ2P=0，X1=X2=0。3、利用对称性简化计算：1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用1078kN/m3m3m↑↑↑↑↑↑↑3m3kN/m↑↑↑↑↑↑↑X1=133X2=13333用力法计算作图示结构的弯矩图。184.54.59M图(kN.m)X2X1368kN/m3m3m↑↑↑↑↑↑↑3m3kN/m↑↑↑↑↑108§6－9温度改变、支座移动时超静定结构的内力

由于超静定结构由多余约束，所以在无荷载作用时，只要有发生变形的因素，都可以产生内力（自内力）。b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差a）荷载作用；产生位移（变形）的主要原因：§6－9温度改变、支座移动时超静定结构的内力109有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aX1=1lX1=Δ1c=－θlδ11=a1）X1EI

θM有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aX1=110有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=θX1=11Δ1c=δ11=X1=MEIlaX12)1/la（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力仅由多余未知力产生讨论:有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=θX1=1111有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=δ11x1+Δ1c=θΔ1=δ11x1+Δ1c=0X1=1lX1=11Δ1c=δ11=X1=X1=1.51l/32l/3Δ1c=－θlδ11=a1）X1δ11=Δ1c=X1=MEIlaX12)aX13)X1=13)1/l1.5/l

θaθa2）系数计算同前；自由项ΔiC=－∑R·cc是基本体系支座位移。所以，基本体系的支座位移产生自由项。与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边。3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度EI的绝对值成正比。

支座移动时的力法计算特点：1）取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也可能不一样，方程的右边可不为零（＝±与多余未知力对应的支座位移）。有支座移动时的弯矩图aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=112（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力仅由多余未知力产生（4）内力与EI的绝对值有关讨论:（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力仅由多113一、支座移动时的计算hl1h1基本方程的物理意义？基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。一、支座移动时的计算hl1h1基本方程的物理意义？基本结构在1141h1（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力仅由多余未知力产生（4）内力与EI的绝对值有关讨论:1h1（1）等号右端可以不等于零（2）自由项的意义（3）内力115用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11D=D=DlCC21=-=·-=EIllEI6312112112dd==·=EIllEI3322112211ddúûùêëéD-+=úûùêëéD-+=llEIXllEIXABBA32232221qqqq=D++-=D+-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121qqΔθAθBX2X1用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1116θθl/32l/3X2X1θX1=11/2θX23/21qlEIX21=qlEIX22-=qC232=DqC21-=DdEIl4322=dEIl411=θ4iθ2iθM

当杆件两端为刚结或固定，且无相对侧移时，可在一端及距该端2/3处加铰选基本体系，可使相应副系数等零。θ