复合函数的极限运算法则

复合函数的极限运算法则第一页，共三十七页，2022年，8月28日则定理2.5

若(1)(2)若B≠0,则有(3)一、极限的四则运算法则第二页，共三十七页，2022年，8月28日证时,有取则当时,有当(1)由可知使得当时,有因此第三页，共三十七页，2022年，8月28日(2)使得

由

及定理2.2

知，

及

及第四页，共三十七页，2022年，8月28日有

又由

知,使得当取则对于上述>0,有/2C因此时,有当其中第五页，共三十七页，2022年，8月28日(3)

由

及定理2.2知，

及使得当时,有由于

及所以由(2),需证当B≠0时因此从而(3)式成立.第六页，共三十七页，2022年，8月28日若则有注运算法则,有相应的结论.及x→∞时函数极限的四则例如,对于数列极限,对于数列极限有以下结论:数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理2.5直接得出.第七页，共三十七页，2022年，8月28日(极限运算的线性性质)

若

以上运算法则对有限个函数成立.推论和μ是常数，则

于是有——幂的极限等于极限的幂第八页，共三十七页，2022年，8月28日求

解例1极限运算的线性性质结论：

幂的极限等于极限的幂第九页，共三十七页，2022年，8月28日解例2商的极限等于极限的商第十页，共三十七页，2022年，8月28日一般地，

设有分式函数其中都是多项式,注若不能直接用商的运算法则.请看下例:结论：

第十一页，共三十七页，2022年，8月28日解商的极限法则不能直接用例3由极限定义x→1，x≠1,

约去无穷小因子法第十二页，共三十七页，2022年，8月28日“抓大头”分析可以先用x3同时去除分子和分母,然后再取极限.例4解第十三页，共三十七页，2022年，8月28日结论：为非负常数)消去无穷大因子法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以消去无穷大因子,然后再求极限.第十四页，共三十七页，2022年，8月28日例5解分析型，先通分，再用极限法则.第十五页，共三十七页，2022年，8月28日例6解无穷多项和的极限公式求和变为有限项第十六页，共三十七页，2022年，8月28日定理证(有界函数与无穷小的乘积是无穷小)则第十七页，共三十七页，2022年，8月28日例如，=0第十八页，共三十七页，2022年，8月28日二、复合函数的极限运算法则定理2.6设当时,又则有①注1°定理2.6中的条件：不可少.否则，定理2.6的结论不一定成立.原因：第十九页，共三十七页，2022年，8月28日反例虽然所以第二十页，共三十七页，2022年，8月28日则2°定理2.6的其他形式(1)(2)则有第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日由定理2.6，知在求复合函数极限时,可以作变量代换，得到且代换是双向的，即第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日例7求解

令于是从而原式=从左向右用①式①第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日内容小结1.极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去零因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法：设中间变量，变量代换.或先有理化后约分第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么(1)是否一定不存在？为什么?(2)是否一定不存在？(3)又加条件：是否一定不存在？思考题2.第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日答：

一定不存在．由极限运算法则可知：必存在，这与已知矛盾，故假设错误．思考题解答(1)是否一定不存在？为什么?1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日答：不一定.反例：①②(2)是否一定不存在？1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日答：一定不存在.（可用反证法证明）(3)又加条件：是否一定不存在？1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么2.解原式第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日备用题

例3-1解先有理化再约去无穷小

第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日例3-2解因为上式极限存在第三十页，共三十七页，2022年，8月28日第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日解可以先用同时去除分子和分母,然后再取极限.例4-1第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日例4-2解根据前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日例5-1已知试确定常数解∵∴分子的次数必比分母的次数低故即第三十四页，共三十七页，2022年，8月28