复变函数试卷A的答案

PAGEPAGE5一、 填空题（共30分,其中每空3分）1. Re(z)z。42. 2e2k[cos(ln 2)isin(ln 2)] k0,。，ln 。4 4 4 41 3. 1/2 4.

5.2 2， 6. x2y2z3 4二、 计算积分（共21分，每题7分）计算积分 [2zRe(z)]dz，其中C是从点A(1,0)到B(-1,0)的上半个圆周。C解：C的参数方程为zcostisint，0t，… 2分C [2zRe(z)]dz(3costisint)(sinticost)dt 4C (5sintcost)dti(3cos2t2sin2t)dt0 05 t 5 cos2t4

i sin2t i 7

0z13z3

2 4 202dzz3zz

z2

z41

74和。 , e2k0,1,2,374和。z253 z412前6个奇点都在积分闭路线内，… 2分

dz=iRes

z13

5 3 2

3 2 z25 z41

z25

z41z3 =iRes

1

,0i 7z15z231z42

cosx dx(x2

1)(x21

4)解：有理函数f(z) 的分母次分子次+4，且该函数在实轴上无奇点，而在上半平面仅(z21)(z24)有两个奇点i，2i；故… 2分 cosx dx(x2

1)(x2

4)

eix =Re dx 3

(x21)(x24)

eiz eiz Re2

i(Re

iRe2i]) 5 (z21)(z24) (z21)(z24)

e1 e2

e1 e2Re2

i(6i12i)

( ) 73 6三、解答题（共49分）1kux2ky2u的共轭调和函数f(z)uiv满足fi)1。(10分)u（1）

2x，2ux2

2.u2ky，2u

2k.y y2由调和函数的定义有：2ux2

2uy2

0 3分故2k2k1 4分（2）由C-R方程可知v

2y.x y v2xyy v2xy 7分y另一方面vu

2x.y x 2xy2xyyC, 其中C为常数. v2xyC. f(z)x2y2i2xyC9分再由f(i)1可得C0. f(z)x2y2i2xyz2 10分1将函数f(z) 分别在圆环域0z11，1z1展开成Laurent级数。(12分)1z(z解：在圆环域0z11Laurent级数为1f(z) 1z(z1) 1

1 (2分)11(z1) z1在圆环域1z1Laurent级数为

1 z

n0

(z1)n (4)f(z)

1 1 1 z(z1) (z1)1 z1

（1分） 1

1

（2分）z11

1 z1z11 1 1 ( )n. （2分）z1 z1

n0

z1n2

(1 z1

（1分）1e2z确定f(z) 在有限区域的奇点类型，并求出在这些奇点处和点的留数(12分)z4f(z

1e2z(1ez)(1ez

，z＝0是分子的一级零点，是分母的4级零点，可知z＝0为函数的z4 z4三级极点 (1分)Ref(z),0]1lim[z3f(z)]'' (3分)2!z01 1e2z lim[ ]'' (1分)2!z0 z1lim[(4z4z22)e2z2] （2分）2!z0 z31lim[8z2e2z] (2分)0和

2!z0 3z2＝4 (1分)3Ref(z),]Ref(z),0]

43 (3分)或：1e2zf(z) 在0z邻域内，可展开为z41e2z 1 1 1f(z) 12z (2z)2 (2z)n (3分)z41项系数为4z 3

z422z3 z2

2! n!412 （3分）3z 3（1分）Ref(z),0]43

（2分）由于函数在扩充复平面只有0和两个奇点Ref(z),]Ref(z),0]43

(3分)4（7分）求将上半平面变换到单位圆的分式线性映射wf(z)，且满足f(i)0，argf(i) 。2解：由一般表示式得：所以

wf(z)ei

zi（2分）z if(i)ei

(zi(zi)(zi)(zi)2

121

（2分）argf(i)2

（1分） （1分）ziwf(z) zi

（1分） 5（8分）A3yi2z2jxykBx4kgradAB)解：AB3y*x22z2*0xy*(4)3x2y4xy grad(AB)(AB)(AB)(AB)又有：

x