国开（中央电大）本科《复变函数》网上形考（任务1至3）试题及答案

国开（中央电大）本科《复变函数》网上形考（任务1至3）试题及答案国开(中央电大)本科《复变函数》网上形考(任务1至3)试题及答案形考任务1试题及答案一、选择题1.若z1=（a，b），z2=（c，d），则z1·z2=（）。[答案]（ac-bd，bd+ad）2.若R>0，则N（∞，R）={z：（）}。[答案]丨z丨>R若z=x+iy，则y=（）。若，则丨A丨=（）]1二、填空题若z=x+iy，w=z2=u+iv，则v= 答6.复平面上满足Rez=4的点集7. 称为区域。[答案]连通的开集8.设z0=x0+iy0，zn=xn+iyn（n=1，2，…），则{zn}以z0为极限的充分必要条件= = 。三、计算题9.求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角.[答案]解：Re(-1-i)=-1Im(-1-i)=-1|-1-i|=写出复数-i的三角式.[答案]解：四、证明题13.证明：若，则a2+b2=1.证明：14.证明：证明：形考任务2试题及答案一、选择题1.若f（z）=x2-y2+2xyi，则=（）。[答案]2x+2yi若 f（z）=u（x，y）+iv（x，y），则柯西—黎曼条件为（）。[答]若f（z）=z+1，则f（z）在复平面上（）。若f（z）在复平面上连续，则（z）在复平面上（）。[答案]连续二、填空题若f（z）在点a ，则称a为f（z）的奇答]不解析若f（z）在点z=1 ，则f（z）在点z=1解析.[答]不解析7.若f（z）=z2+2z+1，则f＇(z)= 2z+28.若，则f＇(1)= 三、计算题设求。解：=设f（z）=excosy+iexsiny，求f＇(z)。解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosyv=exsinyf(z)=u+iv∴f(z)在复平面解析，且=excosy+iexsiny设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，f（i）=0，f（z）。解：依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2则V（x1y）=3x2y-y3+c(c故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic=z3+ic，为使f(i)=0,当x=0,y=1时，f(i)=0,有f(0)=-i+ic=0∴c=1∴f(z)=Z3+i设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2（x-1）y，f（2）=-if（z）。解：依C-R条件有Vy=ux=2y∴V==y2+(x)∴Vx=∴(x)=V=y2-x2+2x+c(c为常数)∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2y=0时,f(2)=ci=-i∴c=-1∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)=-(z-1)2i四、证明题f(z)=u+ivz=x+iy则iz=i(x+iy)=-y+ix∴u=-yv=x于是ux=0uy=-1Vx=1Vy=0∵ux、uy、vx在复平面内处处连接又Ux=VyUy=-Vx。∴f(z)=iz在复平面解析。试证：若函数f（z）在区域G内为解析函数，且满足条件f＇(z)=0，z∈G，f（z）在G证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G∵f(z)在G内解析，Ux=Vy,Uy=-Vx又（z）=0,（z）=Ux+iVx解:解:Ux=0Vx=0Uy=-Vx=0Ux=Vy=0U为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G内为常数。形考任务3试题及答案一、选择题1.z=（）]02.z=（）是函数的支点[答案]03.ei=（）。[答案]cos1+isin14.sin1=（）。二、填空题5.cosi= [答]6.= 。7.= 。8.= k为整数三、计算题z=x+iy，计算∴∴==设z=x+iy解:∵z=x+iy∴∴∴求方程Inz=πi解:∵lnz=∴Z=∴所给方程的解为z=i求方程的解。∵=根据指数函数的定义有:z=Ln(1