大一上-第四章

第四章不定积分

4.1不定积分的概念和性质

4.2换元积分法

4.3分部积分法

4.4几种特殊类型函数的积分

定义：4.1不定积分的概念和性质一.原函数与不定积分的定义问题：(1)

原函数的存在性,若存在是否唯一？若不唯

一它们之间有什么联系？具有怎样的结构?(2)

具体怎样求原函数？原函数存在定理：(下一章证明)初等函数在其定义区间上都存在原函数.注意:并不是每一个定义在区间上的函数都存在原函数.一般地

,凡具有第一类间断点的函数,在包含这些间断点的任何区间上都没有原函数.关于原函数的说明：（1）若的一个原函数，则对任意常（2）若是的一个原函数，（为常数）证则的任一原函数具有形式：即任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量定义记作：例如：

不定积分的几何意义y=F(x)的图形是一条曲线，称为f(x)的积分曲线；曲线y=F(x)+C,称为f(x)的积分曲线族.

由于(F(x)+C)´=f(x),故积分曲线族上对应于同一个x

的点处的切线是相互平行的.例1

求解解例2

求例3

设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为显然，求不定积分得到一族积分曲线

.二.不定积分的性质由不定积分的定义，可得结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.性质1性质2证证（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）性质3由

既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.三.基本积分公式由

积分公式

求导公式由由由由由由由由由由由由例4

求下列不定积分问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令4.2换元积分法一.第一换元积分法（凑微分法）（凑微分法）定理1证例1

求解（二）解（三）三种积法，所得结果形式不同，如何验证？注意:使用第一换元公式的关键在于将凑成例2

求下列不定积分(分母有理化)常见凑微式:例考虑作代换令二.第二换元积分法（拆微法）用凑微分法积分很困难!用凑微分法可积出结果.（拆微分法）定理2使用第二换元法的关键在于根据被积函数的特点,选择一个适当的变换,使其得到的关于

的积分容易求出,最后再代回原变量

.若被积函数含有根式时,选择适当的变换可设法去掉根式!一般地，当被积函数中含有令令令令例3

求注意:当被积函数含有两种或两种以上的根式

（其中为各根指数的最小公倍数）则令令例4

求解令例5

求解令例6

求解令例7

求解令

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换，并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.注意:例8

求（若用三角代换很繁琐）令另外：当分母的次数较高时,可采用倒代换：例9

求解

令

基本积分公式Ⅱ问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式4.3分部积分法应用分部积分公式需要解决两个问题：1、哪些类型的不定积分用分部积分公式容易积分；2、具体用分部积分公式时如何正确选择例1

求显然，选择不当，取++右边的积分更难进行.例4求例6

求例7（1）求（2）求有些积分需要连续应用若干次分部积分法！例8

求例9

求例10

同理例11

求

分部积分法还有另一种作用：对某些积分利用若干次分部积分后，常常会重新出现原来要求的那个积分，从而成为所求积分的一个方程式（或方程组的形式），只要把原来要求的那个积分作为该方程的未知量，解出这个方程就得到了所求的积分。“指三”型例12

求例13

求同理还有一种值得注意的情况：分项积分分项后虽然每一项都不是初等函数，但通过非初等部分的相互抵消，最后却有可能积出初等函数。例14

求[四川联合大学2000年考研题]注意：“顺序选择法”虽好，但也有“失灵”的时侯，遇到这种情况，应灵活地进行调整。例15

显然比原积分更复杂一.有理函数的积分两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.假定分子与分母之间没有公因式有理真分式；有理假分式；

利用多项式除法,有理假分式可以化成一个多项式和一个有理真分式之和.例4.4几种特殊类型函数的积分（2）分母中若有因式，其中则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1）分母中若有因式，则分解后为有理真分式的不定积分可归结为下列两类积分：令则

第一项凑微分即可得结果第二项换元用分部积分结论有理函数的不定积分都是初等函数：故得递推公式即有理函数，对数函数，反正切函数

.例1例2解这种求待定常数的方法称为待定系数法

.例3解例4

求解例5

求解