高考最后30天抢分必备数学专题三-数列（文理合卷）

2021高考最后30天抢分必备数学专题三数列【押题1】公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：〔1〕求通项；〔2〕假设数列是等差数列，且，求非零常数.【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕设数列的公差为,由题意得：解得或〔舍去〕所以：.〔2〕,由于是一等差数列故对一切自然数都成立即：解得或〔舍去〕所以.【方法与技巧】此题考查了等差数列的根本知识，第二问，判断数列是等差数列的条件，要抓住它的特征，充分应用等差数列的判断条件，转化为恒成立问题。解答数列问题,必须首先熟记等差与等比数列的相关公式.【押题2】数列的前项和，且．〔I〕求；〔II〕求证：数列是等差数列；〔III〕试比拟与的大小，并说明理由．13分∵当时，，即，∴．即．14分【方法与技巧】本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等差、等比数列前n项和公式、不等式的性质及证明等根底知识，考查运算能力和推理论证能力【押题3】数列的前n项和为，对于一切的正整数n，点都在函数的图象上，且过点的切线的斜率为．〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕假设，求数列的前n项和；〔Ⅲ〕设集合，，等差数列的任何一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式【押题指数】★★★★★【解析】〔Ⅰ〕由题意，得．∴当时，，１分当时，，２分∴数列的通项公式为．３分〔Ⅱ〕∵，∴，即∴．５分∴，，∴，7分∴．8分〔Ⅲ〕由题意，，．易知中的数是正偶数，且最小数是，即．11分又是等差数列，设其公差为，那么必为偶数．由题意，得．∴．13分∴．即的通项公式为．14分【方法与技巧】数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.【押题4】直线过点P〔斜率为，与直线：交于点A，与轴交于点B，点A，B的横坐标分别为，记.〔Ⅰ〕求的解析式；〔Ⅱ〕设数列满足，求数列的通项公式；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，当时，证明不等式.【押题指数】★★★★★【解析】〔Ⅰ〕直线的方程为，令，得由，得，因此，的解析式为：〔Ⅱ〕时，,,即①当时，，数列是以0为首项的常数数列，那么②当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，，解得综合①、②得【方法与技巧】数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解【押题5】函数f〔x〕＝2x＋1，g〔x〕＝x，x∈R，数列{}，{}满足条件：a1＝1，＝f〔〕＝g〔〕，n∈N﹡．〔Ⅰ〕求证：数列{＋1}为等比数列；〔Ⅱ〕令＝，是数列{}的前n项和，求使>成立的最小的n值.【押题指数】★★★★★【解析】〔Ⅰ〕由题意得，，……3分又，4分所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．(Ⅱ)解：由⑴知，，，…7分故．……9分．…10分由，且，解得满足条件的最小的值为．…………12分【方法与技巧】递推公式为〔其中p，q均为常数，〕，把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。在数列求和中常见的方法有公式法、分组法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等，方法的选择由数列通项公式的特点来决定.【押题6】数列满足〔1〕求证：数列〔〕是等比数列；〔2〕设，数列的前n项和，求证：对任意的，【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕，，又，所以数列〔〕是以3为首项，-2为公比的等比数列……〔6分〕〔2〕由〔1〕知，当，那么=又对任意的，…〔12分〕【方法与技巧】此题所给的递推关系式是要分别“取倒〞再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。递推式为〔p、q为常数〕时，可同除，得，令从而化归为〔p、q为常数〕型．【押题7】函数。〔1〕数列满足，假设对任意恒成立，求的取值范围；〔2〕数列满足，记，为数列前项和，为数列的前项积，求证：。【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕为等比数列从而＜故………6分〔2〕，又由得＜＜。…13分【方法与技巧】此题考查等比数列、数列求和、不等式等根底知识和根本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。考查数列的相关知识，具有一定难度，与不等式的证明相结合，带有一定的技巧性【押题8】各项均不为零的数列，首项，且对于任意均有〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设数列的前项和为，证明：当时，【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕由得， 那么 所以是以3为公比，为首项的等比数列4分〔2〕当时， 令 那么 所以……13分【方法与技巧】这个题目通过代换转化为形如a=pa+q〔p≠1，pq≠0〕型的递推式，通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p〔a+k〕与原式比拟系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}到达解决问题的目的。【押题9】函数的图象过原点，且关于点〔1,1〕成中心对称．〔1〕求函数的解析式；〔2〕假设数列满足：，求数列的通项；〔3〕假设数列的前项和为,判断与2的大小关系，并证明你的结论．【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕因为函数的图象过原点，所以c=0，即．又函数的图象关于点〔-1，1〕成中心对称，所以。5分〔2〕由题意，开方取正得：，即．∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．∴，即。…9分〔3〕当n≥2时，．所以故。…13分【方法与技巧】形如:递推式，考虑函数倒数关系有令那么可归为型。(取倒数法)——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中.【押题10】函数=ln(1+x)-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．〔Ⅰ〕求实数a的值；〔Ⅱ〕假设方程=在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；〔参考数据：e=2.71828…〕〔Ⅲ〕设常数p≥1，数列{an}满足〔n∈N*〕，a1=lnp，求证：≥．【押题指数】★★★★★【解析】〔I〕∵，∴．由题知，解得a=1．…3分〔II〕由〔I〕有f(x)=ln(1+x)-x，∴原方程可整理为4ln(1+x)-x=m．令g(x)=4ln(1+x)-x，得，∴当3<x≤4时，当2≤x<3时，，即g(x)在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，∴在x=3时g(x)有最大值4ln4-3．…6分∵g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4，∴g(2)-g(4)==2．由9e≈24.46<25，于是．∴g(2)<g(4)．∴a的取值范围为．9分〔III〕由

=ln(1+x)-x〔x>-1〕有，显然0，当x∈(0，+∞)时，，当x∈(-1，0)时，，∴在(-1，0)上是增函数，在上是减函数．∴在(-1，+∞)上有最大值，而=0，∴当x∈(-1，+∞)时，≤0，因此ln(1+x)≤x．(*)11分由有p>an，即p-an>0，所以p-an-1>-1．∵an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an)，∴由〔*〕中结论可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1(n∈N*)．∴当n≥2时，-an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0，即≥an．当n=1，a2=a1+ln(p-lnp)，∵lnp=ln(1+p-1)≤p-1，∴a2≥a1+ln[p-(p-1)]=a1，结论成立．∴对n∈N*，an+1≥an．【方法与技巧】此类题目除了考查根底知识之外，还考查了我们对教材中各知识间的联系的理解与综合运用，难度较大.但题目一般以简单的设问开始，因此考生还是可以拿到该题的局部分数的.解这种题目的能力不是短期能培养出来的，要顺其自然，相信功到自然成.【押题11】设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有.〔1〕求的值；〔2〕一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在正数，使对一切成立？假设存在，求出M的取值范围；假设不存在，说明理由.【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕∵，令，有，∴.再令，有，∴，∴…4分【押题12】〕函数时，的值域为，当时，的值域为，…，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且〔1〕假设k=1，求数列的通项公式；〔2〕假设m=2，问是否存在常数，使得数列满足假设存在，求k的值；假设不存在，请说明理由；〔3〕假设，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求。【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕因为所以其值域为于是 又〔2〕因为所以法一：假设存在常数，使得数列，得符合。法二：假设存在常数k＞0，使得数列满足当k=1不符合。当，那么当 〔3〕因为所以的值域为于是 那么又那么有进而有【方法与技巧】探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求。总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.备选题【押题1】设等比数列的首项为a1，公比为q，且q>0，q≠1.〔1〕假设a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项；〔2〕假设数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且m≥－1，使得a1=qm.【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕设为等比数列中不同的两项，由，得．…2分又，且，所以．所以是数列的第项．…6分〔2〕等比数列中任意不同两项之积仍为数列中的项，令，由，，，得，．令整数，那么．…9分下证整数．假设设整数，那么．令，由题设，取，使，即，所以，即．………12分所以q>0，q≠1，，与矛盾!所以．…15分【押题2】是一个公差大于0的等差数列，且满足,.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设数列和数列满足等式：，求数列的前项和．【押题3】曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为.〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕设，求数列{}的前n项和【押题指数】★★★★★【解析】〔Ⅰ〕∵∴直线的方程为,令,得.〔Ⅱ〕∵,∴∴∴∴【押题4】数列中，a1=1，且满足递推关系[来源:]〔1〕当m=1时，求数列的通项〔2〕当时，数列满足不等式恒成立，求m的取值范围；〔3〕在时，证明【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕m=1，由，得：是以2为首项，公比也是2的等比例数列。于是 …3分由依题意，有恒成立。，即满足题意的m的取值范围是〔3〕时，由〔2〕知设数列故 ……9分即在成立……12分【押题5】各项全不为零的数列的前项和为,且,〔1〕求数列的通项公式；〔2〕求证：对任意的不小于2的正整数，不等式＞都成立。【押题指数】★★★★★【解析】由〔1〕S1==a1,知a1=11分当n≥2时，an=Sn-Sn-1=即〔n-2〕an-(n-1)an-1+1=03分以〔n+1〕代替n,得〔n-1〕an+1-nan+1=0两式相减得an+1-2an+an-1=0∴｛an｝为等差数列…5分∵a1=1,a2=2,∴an=n……6分〔2〕由〔1〕知不等式lnan+1＞+lnanln(n+1)-lnn＞ln(1+)＞…8分设x=只需证ln(1+x)＞x2-x3即x3-x2+ln(1+x)＞0令h〔x〕=x3-x2+ln(1+x)那么h′(x)=3x2-2x+在[0，+∞)上恒正∴h(x)在[0，+∞]上单调递增当x∈(0,+∞)时，恒有h(x)＞h(0)=0，即得证.…13分【押题6】数列中,在处取得极值.(1)证明数列是等比数列,并求出数列的通项公式;(2)记,数列的前项和为,求使的的最小值;【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕由题知，得所以，即是以2为首项，2为公比的等比数列；〔2〕所以叠加得，，即，n-1+所以，即n的最小值为1006.【押题7】数列的各项均是正数，其前n项和为，其中p为正常数，且，〔I〕求数列的通项公式；〔II〕设数列项和为，是否存在正整数m，使得对于恒成立，假设存在，求出m的最小值，假设不存在，说明理由；〔III〕试证明：当【押题指数】★★★★★【解析】〔1〕由题设知………………1分即，…3分可见，数列的等比数列，〔2〕…6分依题意要使恒成立，只需解得所以m的最小值为1…8分〔3〕………………9分由柯西不等式有：所以…11分又…………13分〔其它解法仿照给分〕【押题8】数列的首项前n项和为且〔I〕设证明数列是等比数列；〔II〕设【押题指数】★★★★★【解析】〔I〕当两式相减得…………3分从而即故是公比为3，首项为3的等比数列………6分〔II〕由〔I〕知得那么……10分…12分【押题9】某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研说明，该商店在经销这一产品期