数学与应用数学本科毕业论文-分块矩阵初步研究

本科毕业论文题目：分块矩阵初步研究学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2021级六班姓名：指导教师：职称：副教授完成日期：2012年5月分块矩阵初步研究摘要：文章初步探索总结分块矩阵相关的几类问题，包括用求矩阵的行列式问题,讨论分块矩阵的初等变换,用分块矩阵求逆矩阵问题。关键词：分块矩阵;初等变换；行列式；可逆的分块矩阵Abstract:Keyword:目录1引言………………(1)2最短路……………()单源点最短路问题多源点最短路问题3最短路的应用4结语1引言在处理级数较高的矩阵时常用的方法是矩阵的分块，有时候，我们把一个大矩阵看成是一些小矩阵组成的。就如矩阵时由数组成的一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块。 2矩阵的初等变换2.1分块矩阵的初等行〔列〕变换的定义与普通矩阵的初等行变换类似，分块矩阵也有三种类型的初等行变换〔1〕：①把一个块行的左L倍〔L是矩阵〕加到另一个块行上；②换两个块行的位置；③用一个可逆矩阵左乘某一块行。类似地有分块矩阵的初等列变换：①把一个块列的右L倍〔L是矩阵〕加到另一个块列上；②互换两个块列的位置；③用一个可逆矩阵右乘某一块列。2.2分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵的关系把单位矩阵分块得到的矩阵经过一次分块矩阵的初等行〔列〕变换得到的矩阵称为分块初等矩阵是三种不同类型的分块初等矩阵〔其中X是可逆矩阵〕。通过直接计算可以验证：用分块初等矩阵左乘〔右乘〕一个分块矩阵，就相当于对这个分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行〔列〕变换。分块矩阵的初等行〔列〕变换有直观的优点，用分块初等矩阵左乘〔右乘〕一个分块矩阵可以得到一个等式，把两者结合起来可以发挥出很大的威力。2.3分块矩阵的初等变换与矩阵的秩由于分块初等矩阵是可逆矩阵，因此据可逆矩阵的性质和上述结论得到：分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。2.4符号约定本文用“r2+L·r1”〔“c2+c1·L〞〕表示把分块矩阵第1块行〔列〕的左〔右〕L倍加到第2块行〔列〕上；用“r1圮r2”〔“c1圮c2”〕表示把分块矩阵的第1块行〔列〕和第2块行〔列〕互换；用“L·r1”〔“c13分块矩阵的行列式：设矩阵为m+n阶矩阵,其中A,D分别为m与n阶方阵,B为m×n矩阵,C为n×m矩阵,那么:=1\*GB3①当A可逆时，有==;=2\*GB3②当D可逆时，有==。证明：=1\*GB3①如果A可逆时，由乘法定律有：=左右两边取行列式有：因此有：=2\*GB3②如果D可逆时，由乘法定律有：=左右两边取行列式有：=因此可得：==性质1：说A和B是m阶矩阵和n阶矩阵性质2：设A为矩阵，B为矩阵〔〕于是有推论：在性质1中，假设B=A,那么假设B=A那么，A为m阶可逆方阵。性质3：假设A是m阶方阵，D是n阶方阵，那么，P为m阶方阵。性质4：假设A是m阶方阵，D是n阶反复震，Q为矩阵那么：性质5：假设A是m阶方阵，D是n阶方阵，那么：，由拉普拉斯定理易得。推论1：设A是m阶方阵，D是n阶方阵，那么假设A可逆，且AC=CA，那么推论2：==性质7：例1：计算以下矩阵的行列式M=解：将M化为M=-I+I由降阶公式得到==〔-1〕=〔-1〕例2：计算2n阶行列式=解：令A=D=，B=C=那么D-CAB=-=从而=a(a-ba)=(a-b)例3：计算：解：令A=，B=，那么原行列式==〔y-4x〕y。例4：计算解：原式==-5.4分块矩阵逆的几种求法：=1\*ROMANI：初等变化法设r+s阶方阵A=，其中，分别是r，s阶可逆矩阵，那么A可逆，求A?解：利用广义初等行变换故A=于是也可以证明r+s阶方阵B=可逆，当中A，A分别是r，s阶可逆矩阵，且B==2\*ROMANII：分解法假设是一个n阶满秩方阵，假设A中存在某一r阶顺序主子式且其不为零那么对A进行分块令A=，就说A一定可以分解成一个下三角分块矩阵L与一个上三角分块矩阵V的乘积形式，L=，V=这里JJ分别为r×r，〔n－r〕×〔n－r〕阶单位矩阵，有M=AA，N=－AAA＋A=3\*ROMANIII：方程组法假设n阶可逆矩阵M=其中BB分别是k，n-k阶可逆矩阵B，B分别是k×〔n-k〕，〔n-k〕×k阶矩阵，求P解答：设M的逆矩阵R其中E，H分别是看，k，n-k阶可逆矩阵，根据矩阵定义RR=I于是==故得一下方程组=1\*GB3①｛=2\*GB3②｛得：G=-BBEE=〔B-BBB〕将=2\*GB3②代入得G=-BB〔B-BBB〕H=〔B-BBB〕，F=-BB〔B-BBB〕故R==例5：试将下面两个可逆矩阵化为初等矩阵的乘积：，解：=1\*GB2⑴用初等变换把A化为单位矩阵，即A=。｛PPPP｝=PPPP==2\*GB2⑵类似可得B的初等矩阵乘积为例6：设，求A。解法1：→→→A=。解法2：令B=，C=，由求逆公式可得=，〔ad-bc≠0〕B=，C=。用广义初等变换求A如下〔A，E〕=→→→A==解法3：用解方程组，令B=，C=，那么A=。再令A=，由AA=E可得{解之得：Z=B，Z=C，Z=-CA==。参考文献：【1】张禾瑞，郝鈵新，高等代数[M].北京：人民教育出版社，1979.【2】姚慕生，吴泉水，高等代