人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第六章复数

主题三几何与代数第六章平面向量、复数(必修第二册)第1节平面向量的概念及线性运算课程标准要求.向量概念①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义;②理解平面向量的几何表示和基本要素..向量运算①借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义;②通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义;③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.必备知识•课前回顾性知识梳理.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的武度(或模).(2)零向量:长度为。的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量..向量的线性运算向量、IS算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算力、a三角形法则a平行四边形法则①交换律：a+b=b+a;②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求两个向量差的运算a三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数入与向量a的积的运算①|人a|=|人I|a|;②当人＞0时，入a的方向与a的方向相同；当入＜0时,入a的方向与a的方向相反;当入=0时,入a=。X(iia)=(入u)a;(入+□)a=入a+口a；入(a+b)=入a+入b.共线向量定理向量a(a#O)与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使得b=入a.提醒：当a7^0时,定理中的实数人才唯一，否则不唯一.T1TT.P为线段AB的中点,0为平面内任意一点=0P=|(04+0B)..若G为4ABC的重心,则有⑴&+晶+晶=0;(2)AG=^(AB+AC)..首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量的和为零向量..对于起点相同、终点共线的三个向量茄,OPX,OP2(0与PR不共线),总有b=uO%+vO.2，u+v=l,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1..对于任意两个向量a,b,都有：||a1|b||W|a±b|W|a|+|b|;⑵|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)..设a,b是两个不共线的向量,则Xia+yib与x2a+y2b共线的充要条件是Xiy2-x2yi=0.而新自测1.(必修第二册P23习题6.2T9改编)如图,D,E,F分别是4ABC各边的中点，则下列结论错误的是(D)CA.EF=CDB.6与法共线C.丽与cb是相反向量D.AE^\AC\2解析:4E=4C,故D错误.故选D..（必修第二册P22习题6.2T4改编）已知下列各式:®AB+BC+CA;@AB+MB+BO+OM;③以而+公+而；@AB-AC+BD-CD.其中结果为零向量的个数为（B）A.1B.2C.3D.4解析:®^AB+BC+CA=Q;®^AB+MB+BO+OM=AB+0=AB;③中0A+08+B0+C0=0A+C0^CA;④中旗-品+而一b=告+局=0.故①④正确.故选B..如图所示，已知命=3品,OA^a,晶=瓦OC-c,则下列等式成立的是(A)A31 1A.c-b--a2 2B.c=2b-ac=2a-bc=^a--b22解析:因为成=3品,OA=a,OB=b,所以OC=OA+AC=OA+-AB=OA+-(OB-OA)=-0B--OA=^b--a.故选A.2 2 2 2 2 2.设a与b是两个不共线的向量,且向量a+Xb与-(b-2a)共线，则入解析:法一依题意知向量a+入b与2a-b共线，设a+入b=k(2a-b),则有(l-2k)a+(k+X)b=O,所以解得k=i入=-；.l/c+Z=U, 2 2法二由题意a+入b与2a-b共线,a,b不共线,所以2入TX(-1)-0,X2答案:彳.已知|a|=2,|b|=5,则已+b|的取值范围是.解析:当a与b方向相同时，|a+b|=7;当a与b方向相反时，|a+b|=3;当a与b不共线时,3<|a+b|<7.所以|a+b|的取值范围为[3,7].答案：[3,7]关键能力•课堂突破反考点一平面向量的概念.下列说法正确的是(D)A.平面内的单位向量是唯一的B.平面内所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C.所有的单位向量都是共线的D.所有的单位向量的模相等解析:因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个单位圆上,所以选项B错误；当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.故选D..下列四个命题正确的是(B)A.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同B.若A,B,C,D是不共线的四点,且易=法,则四边形ABCD为平行四边形C.a-b的充要条件是Ia|=|b|,且a〃bD.已知入，口为实数，若入a=ub,贝Ua与b共线解析:A错误,若两个向量起点相同,终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;B正确，因为晶=发,所以\AB\=\DC\,且赤〃后,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;C错误，当a〃b,且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到@=＞所以“|a|=|b|,且a〃以不是“a=b”的充要条件，而是必要不充分条件;D错误，当入=口=0时,a与b可以为任意向量,满足入a=ub,但a与b不一定共线.故选B.3.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量就与点1相等.则所有正确命题的序号是(A)A.①B.③C.①③D.①②解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等,故②错误；向量与互为相反向量,故③错误.故选A.入题后悟通向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同,且长度相等.(4)单位向量的关键是长度等于1个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0.规定零向量与任何向量共线.个考点二向量的线性运算口角度一向量的线性运算(1)在4ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则还等于()TOC\o"1-5"\h\z3T 3TL-AB--ACB.-AB--AC4 4 4 43T J.T I_> 3TC.-AB+-ACD.-AB+-AC4 4 4 4(2)如图，在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一-► —> —>点,BC=3EC,F为AE的中点,贝(]BF等于( )1 2 2T1.TK.-AB--ADB.--AB^AD3 3 3 31 2 2T1一C.--AB^ADD.-AB--AD3 3 3 3：(1)EB=AB-AE=AB--AD=AB--X-(AB+AC)^AB--AC.故选2 2 2 4 4A.(2)根据平面向量的运算法则得BF=-BA+-BE,BE^BC,BC=AC-AB.2 2 3^^JAC=AD+DC,DC=^AB,^\^BF=-^AB+^AD+^AB-AB)=-^AB+^AD.故选B.解题策略向量的线性运算问题要瞄准结论(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.幅度二根据向量线性运算求参数陶运)(1)在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点，若AB=xAE+yAF(x,y£R),贝!jx-y=.⑵已知D为4ABC的边BC的中点，点P满足易+而+2?=0,AP=XPD,则实数入的值为解析：(1)由题意得/=4D+D尸=力。+5718,因为而=x£^+y第，所以AB=(x+g4B+(；+y)AD,x+-=1,所以x2解得所以&+y=o,所以x-y=2.⑵因为D为4ABC边BC的中点,所以而+而=2而，又易+薪+8=0,^\^PA=PB+PC=2PD,所以筋=-2诟,所以入=-2.答案：(1)2(2)-2解题策略与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.［针对训练］TOC\o"1-5"\h\z1.在4ABC中,D是AB边上的中点,则总等于( )—>—» —> —>A.2CD+CAB.CD-2CATT T TC.2CD-CAD.CD+2CA解析:在4ABC中,D是AB边上的中点,则—>—> —>—>CB=CD+DB=CD+AD=CD+(AC+CD)=2CD~CA.故选C.—> —>—>—> —> —> —>2.在4ABC中，点M,N满足4M=2MC,BN=NC.若MN=xAB+y/C,贝U解析:赢=设+吊II=-AC+-CB3 2=-AC+^AB~AC). —> 4 —>16—> —>=xaB+y4C,所以x=^,z6答案弓4慢考点三共线向量定理及其应用口角度-利用向量共线求参数(例2-0设向量ebe2是平面内的一组基底,若向量a=-3e「e2与b=e「入e?共线，则人等于()1A.-B.--C.-3D.33 3解析:法一因为a,b共线,aWO,所以存在口£R,使b=ua,即e「入e2-u(-3e-e2)，又巳，e?不共线，所以，工所以入=总故选B.法二由题意-3X(-X)-(-1)X1=0,所以入=-1.故选B.解题策略使用共线向量基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.口角度二三点共线问题(1)设9与e?是两个不共线的向量,旗=3&+2e2,CB=kei+e2,CD=3e,-2ke2,若A,B,D三点共线，则k的值为.(2)设6k而不共线,求证:P,A,B三点共线的充要条件是茄;XOA+—>口OB,且入+U=1,入，口£R.(1)解析:因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数入，使得易=X—> —> —> —>BD.又=3ei+2e2,CB=kei+e2,CD=3e「2ke2, 以TTTC8=3e「2ke2-(kei+e?)=(3—k) (2k+1)62,所以3e1+2e2二人(34)&-入(21<+1)62,又巳与e?不共线，所以13 解得［2=-Ak2k4-1),k=--.4答案:T4⑵证明:充分性:因为人+p=l,TOC\o"1-5"\h\z—> —>—> —»—»—> —>所以。P=X04+U0B=(1-u)0A+ROB=OA+U(。8-。4)=。4+uAB.—>T —>所以。P-OA=1MB.—> —> —>—>所以4P=uAB,所以AP,48共线.因为两向量有公共点A,所以A,P,B三点共线.必要性:若P,A,B三点共线，—> —> —>—>贝|JAP=口48=u(0B-04).所以力>-易=u6b-uA.T —> —>所以。P=(l-u)OA+uOB.令入=1—U,则。P=入。4+U0B,其中R+入=1.综上,P,A,B三点共线的充要条件是b=入&+uok且入+R=1,入，□£R.解题策略证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线，即A,B,C三点共线晶共线.［针对训练］.已矢口向量a与b不共线,i4B=a+mb,AC=na+b(m,n£R),贝iJZB与ZC共线的条件是()A.m+n=OB.m-n=OC.mn+l=OD.mn-l=O—> —>解析:法一由ZB二a+mb,ZC=na+b(m,n£R)共线，得a+mb=入(na+b),即［1="Im=A,所以mn-l=O.故选D.法二易与几共线的充要条件是1X1-mn=O,即mn-1=0.故选D.2.如图所示，在AABC中，点。是BC的中点，过点0的直线分别交AB,AC所在直线于不同的两点M,N,若n=皿4',AC=nAN,则m+n的值为()A.1B.2C.3D.4解析:法一连接A0(图略).由于。为BC的中点，故属号痴+融)，MO=AO-AM=^(AB+AC)--AB=(---)AB+-AC,2 m2m2同理,护弓6+令6AC.由于向量薪,加共线,故存在实数人使得麻=入NO,即(---)/W+-AC=^入几+入AC.2m2 2 2n由于AB,AC不共线,故得;-上三人,且9人G」)，2m2 2 2n消去入，得去-2)(n-2)=mn,化简即得m+n=2.故选B.法二当MN与直线BC重合吐AB=AM,属工4k此时m=l,n=l,所以m+n=2.故选B.3.设向量a,b不平行，向量入a+b与a+2b平行，则实数入=.解析:法一因为向量a,b不平行,所以a+2bW0,又向量入a+b与a+2b平行,则存在唯一的实数口，使入a+b=u(a+2b)成立，即入a+b=ua+2口b,则得解得人法二由题意,Fa所以入弓.答案弓一备选例题CW已知四边形ABCD是平行四边形，点E在CB的延长线上,BC=3,AE=AB=1,ZC=30°.^AE=xAB+yAD,贝Ux=,y=.解析：因为AB=AE=1,NABE=/C=30°,由余弦定理得BE=V5,因为BC=3,所以BC=V3BE,所以薪=-4辰;所以AE=AB+BE=AB--BC=AB~—AD,贝x=l,y=--.答案：1-yCW设两个非零向量a与b不共线.若ka+b与a+kb共线,则k=.解析：因为ka+b与a+kb共线，则存在实数入，使ka+b=入(a+kb),即(k-入)a=(Xk-l)b.又a,b是两个不共线的非零向量,所以k-入=入卜1=0.消去入，得k2-l=0,所以k=±L答案：±1知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量的概念1平面向量的线性运算2,3,4,5,8向量共线7,911,13综合问题610,12,1415,16课时作业灵活乡点合数提彩阚选题明细表A级基础巩固练1.设a是非零向量，入是非零实数，则下列结论正确的是（B）a与入a的方向相反a与入2a的方向相同|-入a121al|-入a|2|入|・a解析:对于A,当人＞0时,a与入a的方向相同，当入＜0时,a与入a的方向相反,A不正确,B正确;对于C,|-入a|=|-入||a|,由于|-入I的大小不确定，故I-入a|与|a|的大小关系不确定,C不正确;对于D,|人|a是向量，而I-入a|表示长度,两者不能比较大小,D不正确.故选B.2.矩形ABCD的对角线相交于点0,E为A0的中点,若法=入/+口易）（入，口为实数），则入2+不等于（4）TOC\o"1-5"\h\z5 1 5A.-B.iC.1 D.—8 4 16解析:DE=^DA+-DO=^DA+-而JDA+-（DA+AB）=-AB--AD,2 2 2 4 2 4 4 4所以人="u=-*所以入2+u2s.故选A.

4 4 8.在等腰梯形ABCD中,n=-2cB,M为BC的中点，则我等于（B）N.-AB+-ADB.-AB+-AD2 2 4 23T I-> 1- 3TC.-AB+-ADD.-AB+-AD4 4 2 4解析:因为而=-2己，所以n=2法.又M是BC的中点，所以4Vf=1G4B+4C）弓G4B+4D+DC）力B+..故选B..设D为4ABC所在平面内一点,BC=3CD,若G=入AB+口AC,贝U入-口等于（A）解析：由BC=3CD,可知B,C,D三点在同一直线上,如图所示.根据题意及图形,^^AD=AC+CD=AC+^AC-AB）=-^AB+^AC,所以入=总喂,所以入-R 故选A..（多选题）已知等边三角形ABC内接于。0,D为线段0A的中点,E为线段BC的中点，则而等于（AC）2—114T1一TOC\o"1-5"\h\zA：BA+±BCB.-BA--BC3 6 3 6T 1T 2 T 1 TC.BA+-AED.-BA+-AE3 3 3解析:如图所示,已知BC中点为E,则面片或+筋=易+工薪=易+-（AB+BE）=BA--BA+-X-BC=^BA+-BC.故选AC.3 3 3 2 3 66.（多选题）在aABC中，下列命题正确的是（BC）AB-AC=BCAB+BC+CA=OTOC\o"1-5"\h\z—>—> —>—>C.若（ZB+4C）-G4BTC）=0,则AABC为等腰三角形T —>D.若4C-AB>0,则4ABC为锐角三角形解析：由向量的运算法则知4B+BC+CA=0,故A错,B对；—>—> —>—> —> —>因为（AB+4C）•（AB-AC）=AB2-AC2=0,~~所以旃=心,即以B|=|4C|,所以4ABC为等腰三角形,故C对；—> —>因为4C・AB>0,所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形,故D错.故选BC..已知向量ebe2是两个不共线的向量,若a=2e「e2与b=ei+入e2共线,则X=.解析:法一因为a与b共线，所以a=xb,所以膘1故人二。法二由已知所以入二-今答案冶.如图所示，已知NB=30°,NA0B=90°,点C在AB上,OC_LAB,若用后和而来表示向量晶,则鼠=.—> —> —>T1T-> - -> —>2TlT解析：由题意易知。0。/+40。4+乙48=。4+乂。8—。4)*0A+-0B.4 4 4 4at1T答案:。。4+2。84 4.已知a,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设t£R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上？若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.解:由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e~c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得后=k»,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a,b不共线,所以有仁TIA=°,I。乙K—U,解得，故存在实数t=|使C,D,E三点在一条直线上.B级综合运用练.(多选题)设点M是4ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(ACD)T1TlT^AM=^AB+^AC,则点M是边BC的中点—> TT^AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上则点M是4ABC的重心^AM=xAB+yAC,且x+y=1,则aMBC的面积是AABC的面积的9解析:若薪带n+3丘则点M是边BC的中点,故A正确；^AM=2AB-AC,^AM-AB=AB-AC,^BM=CB,则点M在边CB的延长线上,故B错误；^AM=-BM~CM,n\iAM+BM+CM=O,则点M是4ABC的重心,故C正确；A如图,AM=xAB+yAC,且x+y=1,可得2京=2x6+2y公，设众=2或f,则M为AN的中点，则aMBC的面积是4ABC的面积的玄故D正确.故选ACD..(多选题)设a,b是不共线的两个平面向量，已知而二a+sina・b,其中a£(0,2上)，谦=22-1).若巳、,1?三点共线,则角&的值可以为(CD)A：B.史C.卫D.如6 6 6 6解析：由题意1x(T)-2sina=0,sina=-2.又a£(0,2n),故a的值可为?或当.故选CD.6 612.在直角梯形ABCD中,A=90°,B=30°,AB=2g,BC=2,点E在线段CD上,若族=6+uG,则u的取值范围是.解析：由已知可得AD=1,CD=V3,所以藁=2辰.因为点E在线段CD上,-> —>所以DE—DC(OWXW1).—> —>TS^JAE=AD+DE,—>—> —>—> —> —>_—>又力E=40+PAB^AD+2uDC=AD+-^DE,A所以?=1,即X 2因为OW入Wl,所以OWnW].答案:[0,中13.如图,在4ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点，设晶=a,AC=b.(1)试用a,b表示⑵证明：B,E,F三点共线.⑴解:在4ABC中，因为几=a,AC=b,—>—>—>所以B-Wa,TTTT1T1AD=AB+BD=AB+-BC=a+-(b-a))a+士b,TOC\o"1-5"\h\z4 4 4 4TTTT1T1BE=BA+AE=-AB+-AC=~a+-b.3 3T 1⑵证明：因为BE=-a《b,BF=BA+AF=-AB+-AD3=-a+-(-a+-b)=--a+-b34 4 2 6=：(-a+1b),所以后弓薪,薪与薪共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.14.经过AOAB的重心G的直线与OA,0B分别交于点P,Q,设防=—>—> —>niOA,OQ=r\OB,m,n£R.(1)证明，为定值；mn(2)求m+n的最小值.⑴证明：设OA=a,OB=b.T21TT1由题意知。G—X夕。4+0B)=±(a+b),PQ=OQ-OP=n\j-ma,PG=OG~OP=(1-m)a+|b,由P,G,Q三点共线得，存在实数入，使得而=人而，即nb-ma=入C-m)a+-入b,从而消去入得工+%3.mn⑵解：由⑴知，工+匕3,mn于是m+n=^(―+-)(m+n)(2+—+—)^-(2+2)=-.3mn 3mn3 3当且仅当m=n=1时,m+n取得最小值,最小值为右C级应用创新练15.已知A”A%A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足A；M=人(A^A2+A^A3)(人是实数)，且mIi+mIz+mIK是单位向量,则这样的点乂有(C)A.0个B.1个C.2个D.无数个—> T T TT T解析:法一由题意得,MAr=~XG4M2+/1/3），MA2=MA1+A1A2>—> —> —> —> —>所以MAi+M42+M4=（1—3入）・041a2+44）,如图所示，设D为A2A3的中点，所以(1-3x)G4二12+4%)是与4；D共起点且共线的一个向量,显然直线A。与以A1为圆心的单位圆有两个交点,故x有两个值,即符合题意的点M有两个.故选C.法二以A,为原点建立平面直角坐标系(图略)，设A2(a,b),A3(m,n),—> —>则4p42+4143=(a+m,b+n),所以M(入(a+m),X(b+n)),所以M/尸(-入(a+m),-A(b+n)),—>MA2-(a-入(a+m),b-入(b+n)),—>MA3=(m-X(a+m),n-入(b+n)),—> —> —>^T^MA1+MA2+MA3=((l-3入)(a+m),(1-3人)(b+n)).—> —> —>因为是单位向量，所以(1-3入)2[(a+m)2+(b+n)2]=l,因为A„A2,A3是平面上三个不共线的定点，所以(a+m)2+(b+n)2>0,所以关于人的方程有两解,故满足条件的M有两个.故选C.16.(2021•浙江杭州高三模拟)正2021边形A也…A2M内接于单位圆0,任取它的两个不同的顶点A“Aj,构成一个有序点对⑶,A),满足|。%+。%|21的点对(A“Aj)的个数是(C)A.2021X673B.2021X674C.2021X1346D.2021X1348解析：|o7i+O4|2=2+2cos621,cos9所以。入+。%的夹角不超过冬,对于任意给定的。人,因为与~~—673.67,满足|。4+04|21的向量。4•的取法共有673X2=1346,再让。入动起来，可得点对(A“A。的个数是2021X1346.故选C.第2节平面向量基本定理及坐标表示

①课程标准要求.理解平面向量基本定理及其意义..借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示..会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.必备知识•必备知识•课前回顾®归激材夯实四条L平面向量基本定理(1)定理：如果e「e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数人”入2,使a=X,ei+X2e2.(2)基底:不共线的向量e.,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底..平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a=(xi,yi),b=(x2,y2),则a+b=(x,+x2>yi+y2),a-b=(x「X2,yf),入a=(入Xi,入y),|a|=J*+资.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(X,,yi),B(x2,y2),则48=区』，y2-y),

\AB\\AB\=(X2-X1)2+(丫2一%.平面向量共线的坐标表示设a=(xi,y),b=(x2,丫2),其中a/O,b#0,a,b共线=为正即亡2・匡重要结论.若a与b不共线,且入a+ub=0,则入=P=0..已知P为线段AB的中点,若A(%,yi),B(x2,yj,则P点坐标为.已知4ABC的重心为G,若A(xi,yi),B(x2,y2),C(x3,y3),则对孟自测1.(必修第二册P33练习T1改编)已知平面向量a=(l,1),b=(l,-1),则向量2|b等于(D)A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)解析：因为a=(l,l),b=(l,-l),所以为二§3，lb=6一9，所以为争=(衿，衿)=(-1,2).故选D.2.(必修第二册P33练习T5改编)若Pi(1,3),P2(4,0),且P是线段PR的一个三等分点，则点P的坐标为(D)A.(2,2)B.(3,-1)C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或⑶1)解析：由题意可知P22=(3,-3).11T若P[P[P]P2,则P点坐标为⑵2);若P1P=|P1P2,则P点坐标为⑶1).故选D..已知向量a=(2,3),b=(-l,2).若ma+nb(m,n£R)与a-2b共线，则n ,解析:ma+nb=m(2,3)+n(-l,2)=(2m-n,3m+2n).a-2b=(2,3)-2X(-1,2)=(4,-1).因为(ma+nb)//(a-2b),所以-(2m-n)-4(3m+2n)=0,所以2m+n=0,所以n2答案:《.已知。ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为.解析:设D(x,y),则由我二法,得(4,1)=(5-x,6-y),即1=?*解得(1=o-y,(x=1,ly=5.答案：(1,5)关键能力•课堂突破度考点一平面向量的坐标运算.已知0为坐标原点，点C是线段AB上一点,且A(l,1),C(2,3),|立|=2|品|,则向量而的坐标是.解析：由点C是线段AB上一点，|盛|=2|晶得应=2品.设点B的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即;I：解得｛；：工所以向量防的坐标是(4,7).答案：(4,7).如图所示，以ebe2为基底,则a=.解析：以&的起点为坐标原点,e)所在直线为x轴建立平面直角坐标系,贝！jei=(l,0),e2=(—1,1),a=(—3,1),令a=xe1+ye2,即(-3,l)=x(l,0)+y(T,1),则｛；一］；?所以卮=:a=-2ei+e2.答案：-2ei+e?.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设耘=a,SC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.⑴求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)法一因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以｛一?1］々；*'解得1=:+on=一5,in=法二因为a+b+c=0,所以a=-b-c,又因为a=mb+nc,所以mb+nc=-b-c,⑶设0为坐标原点，因为热=6-尻=3c,所以易=3c+辰=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).所以M(0,20).又因为科=加2b,所以族=-2b+&7=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),所以N(9,2),所以加=(9,-18).一题后悟通向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.腐考点二平面向量基本定理及其应用CWD—> —>如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若4C=入AM+uBN,解析:法一由BN=-^AB+AD,得4C=入AM+nBN=（入y.AC=AB+AD,所以『A'解得所以』考(尹〃=1, (〃=9法二以AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设正方形的边长为1,则我=(1,3,而=(彳,1)，品二(1，D，因为4C=入AM+uBN-(X-in,-+11),所以人+U*答案q解题策略.先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决..在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理..建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算.［针对训练］.如果e„e?是平面a内一组不共线的向量,那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()61与ei+e2e「2e2ei+2e?ei+e2与e-e2e1+3e2与6e2+2ei解析:法一选项A中，设ei+e?=入ei,则无解；选项B中，设e「2ez=人(e1+2e2),则｛C无解；选项C中，设ei+e2=入(ei-e2),则｛；二［无解；选项D中,&+3e2W(6e2+2ei),所以两向量是共线向量.故选D.法二只有D项的ebe2的对应系数成比例.故选D.2.0RN0RN如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,给出下列向量:①&+2防;②^OA+^OB;^OA+^OB-,(^OA+^OB,若这些向量均以0为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是()A.①②B.①③C.②③D.②④解析：由向量共线的充要条件可得当点P在直线AB上时,存在唯一的一对有序实数u,v,使得b=u不+voi成立,且u+v=l.可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是满足而招办+丫而,且u>0,v>0,u+v>l.因为1+2>1,所以点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确;而②④错误.故选B.展考点三共线向量的坐标表示及其应用口角度-利用向量共线求参数®ED(1)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线，则x的值为.⑵已知向量a=(l,2),b=(2,-2),c=(l,入).若C〃(2a+b),则入解析：⑴因为a=(2,1),b=(x,T),所以a-b=(2~x,2),又因为a-b与b共线，所以(2-x)X(-l)-2x=0,所以x=-2.(2)由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,入)，且c〃(2a+b),所以4人-2=0,即一2答案：(1)-2(2)1解题策略:如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a=(xt,yi),b=(x2,y2),则a〃b的充要条件是乂下2』刃=0".口角度二利用向量共线求向量或点的坐标在^ABC中，已知点TOC\o"1-5"\h\zT TT T0(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=-OA,OD±OB,AD与BC交于点M,则点M

4 2的坐标为.解析:因为点0(0,0),A(0,5),B(4,3),所以点C(0,9，同理点D(2,»4 2设M的坐标为(x,y),则AM=(x,y-5),而力D=(2,-1),因为A,M,D三点共线,所以AM与共线，所以-gx-2(y-5)=0,即7x+4y=20,而CM=(x,y-j,CB=(4-0,3-}=(4,6，T —>因为C,M,B三点共线,所以CM与CB共线，所以0-4(y-2)=0,即7xT6y=-20,4 4件+4y=20,得卜=£,叫7%-16y=-2。,得所以点M的坐标为号,2).答案：(票,2),解题策略’引入参数表示出未知点的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可.［针对训练］1.已知向量a=(l,1),点A(3,0),点B为直线y=2x上的一个动点，若赢〃a,则点B的坐标为.—>解析:设B(x,2x),则｛B=(x-3,2x).因为58〃a,所以x-3=2x,即x=-3.所以B(-3,-6).答案：(-3,-6)2.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若d满足(d-c)//(a+b),且|d-c|=V5,求d的坐标.解:设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),又a+b=(2,4),|d-c|=V5,［4(x-4)-2(y-1)=0,r/T以、2/ 、21t(x-4)+(y-1)=5,解啜:3网：：所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).息备选例题CSD在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(―2,0),/+=(2,-3),则点D的坐标为()A.(6,1)B.(-6,-1)C.(0,-3)D.(0,3)— T TTTTT解析:AB=(-3,-2)=DC,所\^XAD=AC+CD^AC-AB=(5,-1),贝ljD(6,1).故选A.CUD向量a,b,c在正方形网格中，如图所示,若c=A，a+ub(入，uGR),贝胫等于()aA.1B.2C.3D.4解析：以0为坐标原点,建立平面直角坐标系,设每个小正方形边长为1,可得a=(-1,1),b=(6,2),c=(-l,~3).因为c=入a+Rb(入，u£R),所以「二[-3=2+2〃，解得人=-2,u=-1.所以人=4.故选D.2MCM)已知点A(4,0),B(4,4),C⑵6),则AC与0B的交点P的坐标为.—>解析:法一设0为坐标原点，由0,P,B三点共线,可设0P=入。8=(4入，4入)，则力P=OP—。4=(4入一4,4人).又几=e-&=(-2,6),由前与品1共线,得(4入-4)X6-4XX(-2)=0,解得人芸,所以办芸OB=(3,3),4 4所以点P的坐标为(3,3).法二设点P(x,y),0(0,0),则办=(x,y),因为防二(4,4),且力与法共线，所以即x=y.又万(x-4,y),AC=(-2,6),且前与晶共线，所以(x-4)X6-yX(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).答案：(3,3)知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量的坐标运算1,7,8平面向量基本定理及应用2,4,5,910共线向量的坐标表示及其应用3,615综合问题11,12,13,14,1617课时作业灵港小混芯数提甚❽选题明细表A级基础巩固练1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量而的坐标是(D)A.(2,2)B.(-2,-2)C.(1,1)D.(-1,-1)解析:因为A(2,2),B(l,1),所以6=(-1,-1).故选D..在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是(B)Ci—(0,0),Q2=(1,2)e尸(—1,2),e?=(5,—2)ej—(3,5),62=(6,10)e尸(2,—3),©2—(—2,3)解析:对于A,C,D都有e,/7e2,所以只有B成立.故选B..设向量a=(m,2),b=(l,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为(A)A.-2B.1C.-2或1D.m的值不存在解析：向量a=(m,2),b-(l,m+1),因为a〃b,所以m(m+l)=2Xl,解得m=-2或m=l.当m=l时，a=(l,2),b=(l,2),a与b的方向相同，舍去；当m=-2时,a-(-2,2),b=(l,T),a与b的方向相反,符合题意.故选A..在平面直角坐标系xOy中，已知A(l,0),B(0,1),C为第一象限内一点，NA0C］且0C=2,^OC=入OA+u而，则入+u等于(A)4A.2V2B.V2C.2D.4V2解析:因为0C=2,NAOC』,C为第一象限内一点,所以C(鱼,鱼)，4又+入&+11寇所以(a,V2)=x(1,0)+U(0,1)=(x,U),所以入=u=V2,所以入+11=2&.故选A..（多选题）设0是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是（AC）与几B.百4与盛C.&与防D.八与备解析：如图，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，对于A,G与6不共线，可作为基底;对于B,丛与立为共线向量,不可作为基底；对于C,21与法是两个不共线的向量，可作为基底；对于D,而与法在同一直线上,是共线向量,不可作为基底.故选AC.6.(多选题)已知向量£1=(1,-3),晶=(2,-1),0C=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形，则实数m可以是(ABD)A.-2 B.-C.1 D.-12解析：若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为而=而-&=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC-OC-OA-(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1X(m+1)-2m=0,即m=l.所以只要mrl,则A,B,C三点即可构成三角形.故选ABD..已知向量a=(l,3),b=(-2,k),且(a+2b)//(3a-b),则实数k=解析:法一a+2b=(-3,3+2k),3a-b=(5,9-k),由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.法二若a,b不共线，则a+2b与3a-b不共线，这与(a+2b)//(3a-b)矛盾，故a,b共线，所以k-3X(-2)=0,解得k=-6.答案：-6.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反，且|b|=10,则向量b的坐标为.解析:法一不妨设向量b的坐标为(-3m,4m)(m<0),则Ib| (-3m)24-(4机)2=10,解得m=-2(m=2舍去)，故b=(6,-8).法二与a方向相反的单位向量是冷丹”=G，-：),a5 5 5故b=10(|,—)=(6,-8).答案：(6,-8).如图，已知在aOCB中,A是CB的中点,D是将而分成2:1的一个内分点,DC和0A交于点E,设&=a,OB=b.(1)用a和b表示向量民,立；⑵若后=入OA,求实数X的值.T-T解：(1)由题意知,A是BC的中点,且。。=|。8,由平行四边形法则,TT ->得。8+。。=2。4,所以OC=2O4-OB=2a-b,TTT 7 rDC=OC-OD=(2a-b)--b=2a--b.(2)由题意知,EC//DC,故设而=x辰.因为EC=6c-Ge=(2a-b)-入a=(2-入)a-b,DC=2a--b.因为a与b不共线，由平面向量基本定理,r2~A=2x,得_1=_入解得B级综合运用练.已知在RtAABC中,ZBAC=90°,AB=1,AC=2,D是Z\ABC内一点，且/DAB=60。，设私人n+R融（入，R£R）,贝胫等于（A）A.— B.—C.3D.2V33 3解析:如图，以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为（1,0）,C点的坐标为（0,2）,因为NDAB=60°,所以设D点的坐标为(m,V3m)(m7^0).AD=(m,V3m)=XAB+uAC=X(1,0)+u(0,2)=(入，2")，则入=m,且所哈竽.故选A.11.如图，在RtAABC中，ZABC=pAC=2AB,ZBAC的平分线交4ABC的外接圆于点D,设而二a,晶力，则向量4b等于（C）TOC\o"1-5"\h\zA.a+bB.-a+b21 7C.a+-bD.a+-b2 3解析:设圆的半径为r,在RtAABC中，ZABC=pAC=2AB,所以NBACW，ZACB=^,3 6又NBAC的平分线交AABC的外接圆于点D,所以NACB=NBAD=NCAD』，6则根据圆的性质得BD=CD=AB,又因为在RtAABC中，AB=|AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形，TTT1所以力。=力8+力。=2+即.故选C.—> —> —>—>12.已知0为坐标原点，向量04=（1,2）,08=（-2,-1）,若2AP=AB,则—|0P|=.解析：因为2G=6,所以2（办-&）=茄-ok所以20P^0A+0B,所以混］&+而=（彳，§

所以I加=—> —>.已知点P为AABC所在平面内一点，满足mPC=-3PA+PB(m>0),SabbC=~SaabC)则m=.解析:如图,建立平面直角坐标系，设B(a,0),A(x0,y0),P(x,y),由Sapbc=~Saabc,得y=±葭,所以PC=(-x,-y),PA=(x0-x,y0-y),—>PB=(a-x,-y),由mPC=-3PA+PB,Zgf-mx=~3x0+3%+a-x,付l-my=-3y0+3y-y,3Xq~€L所以2+my所以2+my=黑，又尸土拳所以3yo2+m-±y,所以3yo2+m-±y,解得m=7或m=Tl,因为m>0,所以m=7.答案：7.AQAB是边长为6的正三角形，点C满足n=m5l+n诵，且m>0,n>0,m+n=2,则|QC\的取值范围是.解析:如图，建立平面直角坐标系，所以A(-3,0),B(3,0),Q(0,3a/3),T —>所以Q4=(-3,-3V3),QB=(3,-3V3),—~~所以QC=mQ4+nQB=(-3m,-3V3m)+(3n,-3V3n)=(3n-3m,-3V3m-3V3n),所以QC「=9(n-m)2+27(m+n)2=36m2+36n2+36mn,因为m>0,n>0,m+n=2,所以n=2-m,mG(0,2),所以In12=36[m2+(2-m)2+m(2-m)]=36(m-l)2+108,所以由二次函数的性质知|元「£[108,144),所以|日|£[66,12).答案：[6b,12).已知a=(l,0),b=(2,1).⑴当k为何值时,ka-b与a+2b共线；(2)若6=2a+3b,立=a+mb,且A,B,C三点共线，求m的值.解：(l)ka-b=k(l,0)-(2,l)=(k-2,-l),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线，所以2(k-2)-(-l)X5=0,即2k-4+5=0,得k=-|.(2)法一因为A,B,C三点共线,所以茄=XBC,即2a+3b=入(a+mb),所以解得111片15—771/1, 乙法二几=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),BC=a+mb=(l,0)+m(2,l)=(2m+l,m),因为A,B,C三点共线,所以余〃辰;所以8m-3(2m+l)=0,即2m-3=0,所以m=|..如图，已知平面内有三个向量A,OB,OC,其中&与法的夹角为120。，由1与儿的夹角为30。，且1AH而1=1,1辰11=271若鼠二—> —>"M+UOB(入，uGR),求入+U的值.解:法一如图，作平行四边形OBCAi,则尾二。%廿。71，因为后与晶的夹角为120°,后与鼠的夹角为30所以NBi0C=90°.在RtAOB.C中,N0CBf30。,\OC\=2y/3,所以|。%/=2,出;C|=4,所以|0%|=出工|=4,所以品=4小+20k所以入=4,u=2,所以入+口=6.法二以0为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，一则A(1,O),B(-右争,C(3,®—> —> —>由。(7=入。4+口0B,得］清:解心：所以入+u=6.C级应用创新练17.若a,B是平面内一组基底，向量丫=xa+yB(x,yGR),则称(x,y)为向量Y在基底a,B下的坐标,现已知向量a在基底p=(l,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(T,1),n=(l,2)下的坐标为.解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以用浮熊登所以a在基底m,n下的坐标为(0.2).答案：(0,2)第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课程标准要求.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积..通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义..会用数量积判断两个平面向量的垂直关系..能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角..能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.必备知识•课前回顾他知识梳理.向量的夹角已知两个非零向量a和b,0是平面上任意一点，作&=a,OB=b,则工AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是［0,口］..平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为。，则数量|a||b句os。叫做a与b的数量积，记作a•b,即a•b=a|bcos。.规定：零向量与任一向量的数量积为0,即0•a=0投影、投影设a,b是两个非零向量,4B=a,CD=b,我们考虑如下变换:过4B的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A„B”得到4山，我们称上述变换为向量a向向量b投影,4届

向量叫做向量a在向量b上的投影向量投影向量的表示a在b上的投影向量为小-3,a在b上的投影向量的模为b ba•bb.平面向量数量积的运算律⑴交换律:a•b=b•a;(2)数乘结合律：(入a)•b=入(a•b)=a•(入b)(入£R)；(3)分酉己律:a,(b+c)=a•b+a•c..平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=(X,,y,),b=(x2,y2),9=<a,b>.结论几何表示坐标表示模a=Va,cl|a|=Vxi+W数量积a,b=abcos0a•b=xix2+yiy2夹角八Q•bcosy=——Q\b\cos0=+为力收+yl,J据+yla_l_ba,b=0XiXz+yaOa//b1a,b|=|a||bXiy2=X2yi|a•b|与|a•bW|a||b|XiX2+yiy21W|a||b|的关系J好+y/•Vx2+yl口重要结论1.平面向量数量积运算的常用公式(a+b),(a-b)=a2-b2.(a+b)2=a2+2a•b+b2.(3)极化恒等式:设a,b是平面内的两个向量,则有a•bq〔(a+b)2-(a-b)?］；极化恒等式的几何意义是在4ABC中,若AD是BC边上的中线,则6・>1C=AD2-BD2.2.两个向量a,b的夹角为锐角=a-b>0,且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为钝角=a-b<0,且a,b不共线.——对点自测——.(必修第二册P36练习T2改编)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b),c等于(C)A.(-15,12)B.0C.-3D.-ll解析：因为a+2b=(-5,6),所以(a+2b)・c=-5X3+6X2=-3.故选C..(必修第二册P36习题6.3T10改编)平面向量a与b的夹角为45°,a=(l,1),|b|=2,则|3a+b|等于(D)A.13+6^2B.2V5C.V30D.V34解析：因为a=(l,1),所以|a|-a/1+1-V2,所以a•b=IaIIbIcos450=2y/2X它=2,所以13a+bI=V9a24-b24-6a,b="8+4+12=V34.故选D.3.设x,y£R,a=(x,1),b*2,y),c=(-2,2),且a±c,b〃c,则|2a+3b-cI等于(A)A.2V34B.V26C.12D.2V10解析：因为a±c,所以a•c=-2x+2=0,解得x=l,则a=(l,1),因为b〃c，所以4+2y=0,解得y=-2,则b=(2,-2),所以2a+3b-c=(10「6),贝ij12a+3b-cI=2^34.故选A..已知向量a=(l,m),b=(3,-2),且(a+b)_Lb,贝!jm=.解析：因为(a+b)_Lb,所以(a+b)•b=0,所以a•b+bJ。，所以3-2m+13=0,所以m=8.答案：8.如图,在aABC中,M为BC的中点,若AB=1,AC=3,薪与晶1的夹角为60°，则|向|=.解析：因为M为BC的中点，T TT所以4Mqe48+4C）,所以I易产」（而+A）z4,-^-（\AB\2+\AC\2+2AB・AC）4=-X（1+9+2X1X3XCOS60°）=",4 4所以|MA!=~~-答案考关键能力•课堂突破戚考点一平面向量数量积的基本运算1.已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,若E,F分别为AB,BC的中点,则法•丽等于（B）A.8B.10C.12D.14解析:法一（定义法）根据题意,得—> —> —>—> TTTTT —>—> —>—>DE•DF=（DA+AE）•（DC+CF）=DA・DC+DA•CF+AE-DC+AE•CF=0+2XlXcos0+2X4Xcos0+0=10.故选B.c法二（坐标法）以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2).因为E,F分别为AB,BC的中点，所以E(2,0),F(4,1).因为法=(2,-2),而=(4,-1),所以法・法=2X4+(-2)X(-1)=10.故选B..在4ABC中，AB=6,0为4ABC的外心，则A・6等于(D)A.V6B.6C.12D.18解析:如图,过点0作0D1AB于D,C©可知AD=1AB=3,贝IL4b・AB=(AD+DO")•AB=AD・AB+DO«6=3X6+0=18.故选D..如图，在梯形ABCD中,AB〃CD,CD=2,NBAD』,若/B•AC=2AB•AD,TOC\o"1-5"\h\z—> —>^\AD・AC=.解析:法一因为6 •筋,-»—>—>—»—> —»所以AB・AC—・AD=AB・AD,所以法・DC=AB・AD.因为AB〃CD,CD=2,/BAD』,所以2|我|二|而|・1Gleos,化简得4 4IAD|=2V2,故赤・AC=AD・(AD+DC)=\AD\2+AD・DC=(2V2)2+2V2X2Xcos』2.4法二如图，建立平面直角坐标系xAy.DCA Bx依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m>0,n>0,则由AB•AC=2AB•/W,W(n,0)・(m+2,m)=2(n,0)・(m,m),所以n(m+2)=2nm,化简得m=2,故4。,AC=(m,m),(m+2,m)=2m2+2m=12.答案：124.在口^©口中，|又|=8,|疝)|=6”为口(；的中点,易=2&,则AM・/VM=.解析:法一(定义法)AM・NM=(AB+BM)•(/VC+CM)=(AB+-AD)*(^AB--AD)3 2 3=^AB2--AD2=^X82--X6?=24.2 9 2 9法二(特例图形)若MBCD为矩形,建立如图所示的平面直角坐标系,则N(4,6),M(8,4).所以薪=(8,4),嬴=(4,-2),所以薪・赢=(8,4)・(4,-2)=32-8=24.答案：24*题后悟通解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题常有两种思路:一是定义法,二是坐标法.定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系.除考点二平面向量数量积的应用口角度-平面向量的模画m(1)已知平面向量a,b的夹角为［且|a|=b,|b|=2,在4ABCO中,AB=2a+2bt4c=2a-如,D为BC的中点,则|力。|等于( )A.2B.4C.6D.8(2)已知在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+^PB|的最小值为.T1TT1解析：(1)因为G4B+/C)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以GM(a-b)M(a2-2b•a+b2)=4X(3-2X2XV3Xcos-+4)=4,6~~则AD|=2.故选A.(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(l,b),则届+3而=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).所以|易+3而|=[25+(3b-4y)2(0WyWb).当y^b时，向+3而|min=5.4答案：⑴A(2)5解题策略(1)公式法:利用|a|=Va•a及(a±b)J|a『±2a-b+1b|2,把向量模的运算转化为数量积的运算.(2)几何法:利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.口角度二平面向量的夹角(例1-2)⑴已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)_Lb,则a与b的夹角为()A.-B.-6 3C.—D.—3 6(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则实数k的取值范围是.解析：⑴法一因为(a-b)_Lb,所以(a-b)-b=a・b-|b|2=0,又因为|a|=21b|,所以21bl2•cos<a,b>-1b/=0,即cos<a,b>=1,又知<a,b>G[0,n],所以<a,b>g.故选B.B-4法二如图,令亡仁a,OB=b,则扇=办-法=a-b,因为(a-b)±b,所以NOBA』，2又Ia|=21b|,所以ZAOB=p即<a,b>?故选B.(2)因为2a-3b与c的夹角为钝角,所以(2a—3b)・c<0,即(2k—3,—6)•(2,l)<0,所以4k-6-6<0,所以k<3.若2a-3b与c反向共线,则等=-6,解得k=《,此时夹角不是钝角，综上所述,实数k的取值范围是(-8,一今u(彳，3).答案：⑴B(2)(-oo,-|)U(-|,3)解题策略⑴研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0。或180。；求角时，注意向量夹角的取值范围是［0°,180。］;若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos9丁叁竺军一求JuJ诏+瓷解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.口角度三两个向量垂直问题(SO⑴已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中，与b垂直的是()A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b(2)已知向量几与晶的夹角为120。，且|藁|=3,|品|=2.若*=入AB+AC,且前，立,则实数入的值为.解析：⑴由题意,得a•b=|a||b|cos60°=*对于(a+2b),b=a,b+2bJ—+2—7^0,故A不符合题意；对于(2a+b),b=2a•b+b2=l+1=2^0,故B不符合题意；对于（a-2b）,b=a,b-2bJ=|-2=-|#:0,故C不符合题意;对于（2a-b）,b=2a•1）-£=1一1=0,所以（2a-b）±b.故选D.⑵因为前上立,所以6・BC=0.又赢入AB+AC,BC=AC-AB,所以（入备+前）・（AC-4F）=0,即（入T）品•AB-XAB2+AC2=0,所以（入-1）|后||茄|cos120°-9X+4=0,所以（入T）X3X2X（二）-9入+4=0,解得入噌.答案：⑴D⑵2解题策略.若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可..已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值,根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.口角度四投影向量画m⑴（多选题）设a,b是两个非零向量,a在b上的投影向量为c,则下列命题正确的是（）A.a在-b上的投影向量为cB.当a〃b时，c=aC.当a_Lb时，c=0D.当a与b方向相同时,c=a;当a与b方向相反时,c=-a(2)已知4ABC的外接圆圆心为0,且2AO=AB+AC,ZABC=60°,贝lj向量几在向量左上的投影向量为()L-BCB.—BC4 4C.--BCD.--BC4 4(3)已知向量a=(0,8),b=(0,-l),c=(S,-l),a在b上的投影向量为m,a在c上的投影向量为n,则m与n的夹角为.解析：(1)利用投影的定义作图或利用a在b上的投影向量为一•41bb均可以判断A,B,C正确,D错误.故选ABC.(2)过A作AD_LBC于D(图略)，由已知得NBAC=90°,NACB=30°,所以BD」BA,BA」BC,所以BD」BC,所以法二」尾.故选C.TOC\o"1-5"\h\z2 2 4 4⑶因为a〃b，所以m=a=(0,8),n=^•—X飞")=(2^3,2),所\c\c2 2以cos<m,nk7n.J 又<m,n>e[0,n],所以<m,n>=^.'mln8XV12+42 3答案：⑴ABC(2)C(3)j解题策略.求a在b上的投影向量有两个方法,一是利用投影的定义作出投影向量,用几何方法求解,二是利用投影向量的计算公式:a在b上的投影向量为答,备.当a〃b时,a在b上的投影向量仍然是a,当a±b时,a在b上的投影向量为0,a在入b(入WR,且入#0)上的投影向量与a在b上的投影向量相等，与人无关.[针对训练].已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a•b=-6,则cos<a,a+b>等于TOC\o"1-5"\h\z. 31c 19A.—B.—35 35C.-D.-35 35解析：由题意，得a,(a+b)=a2+a,b=25-6=19,|a+b|Ra?+2a•b+匕2='25-1.2+36=7,所以cosa,a+b=。'-二噗故选d.a\Q+b5x735.已知向量|行4|=3,|而|=2,R；=m&+nok若后与法的夹角为60。，且儿则实数”的值为()n1A.-B.-C.6D.46 4解析:因为向量I&I=3,|后|=2,OC=mOA+nOB,&与丛的夹角为60。，所以&•法=3X2Xcos60°=3,所以AB・OC=(OB-OA).(mOA+nOB)=(m-n)OA・OB-m\OA\2+n\OB\2=3(m-n)-9m+4n=_6m+n=0,所以二=±故选A.n6.设a,b为单位向量,且Ia+b|=1,则|a-b|=—.解析:因为a,b为单位向量,且析+b|=l,所以(a+b)Jl,所以l+l+2a,b=l,所以a•b=-1,所以|a-b12=a2+b2-2a,b=l+l-2X(-|)=3,所以|a"b|=V3..已知直线l:Ax+By+C=0的一个法向量为n=(A,B)己知y。)是直线1外一点,动点Q在1上,则向量凝在向量n上的投影向量的模等于.解析:设Q(x1,y),则—> —>Axi+Byi+C=O,QP=(x()-Xi,yo-yj,QP•n=A(xq-xJ+B(y0-yi)=Axo+Byo+C,—>所以能在n上的投影向量的模为生上=ny/A2+B2.A—o+Byo+C；慢考点三平面向量的综合应用口角度一数量积的最值(范围)问题已知4ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则—> —♦—>PA(PB+PC)的最小值是( )3A.-2B.-4C.--D.-1解析:法一(极化恒等式)结合题意画出图形,如图①所示,设BC的中点为D,AD的中点为E,连接AD,PE,PD,则有而+后=2访，cP图①则船・(PB+PC)=2PA・PD=2(PE+EA)•(PE-EA)=2(PE2-EA2),而以2=(f)2=*T —> —>—»当点P与点E重合时,PE2有最小值0,故此时P4•(PB+PC)取得最小值,最小值为-2eR=-2X工上.故选B.2法二(坐标法)如图②，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,百)，B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则A-(-x,V3-y),PB=(-l-x,-y),尾=(l—x,—y),所以PA•(PB+PC)=(-x,遍-y)•(-2x,-2y)=2x,+2(y-4)2_|,当x=0,y=f时,PA•(而+而)取得最小值，最小值为-1.故选B.图②解题策略求最值或取值范围必须有函数或不等式,因此,对于题目中给出的条件,要结合要求的夹角或长度或其他量,得出相应的不等式或函数（包括自变量的取值范围），然后利用相关知识求出最值或取值范围.口角度二模的最值问题已知平面向量a,b的夹角为。，且|a|=2,|b|=l,若对任意的正实数入，瓜-入b|的最小值为则cos。等于（）A.四B」2 21C.±-D.02解析:法一（函数法）根据题意，|a|=2,|b|=l,a,b的夹角为。，则a,b=2cos9,若对任意的正实数入，|a-入b|的最小值为则Ia-入bl?的最小值为3,贝!jIa-入br=a?+入2b2-2入a•b=4+入2-4Xcos0=（入-2cos0）2+4-4cos29,故当入=2cos。时，|a-入可取得最小值3,即有4-4cos29=3,cos9又人＞0,则cos。故选B.法二（数形结合法）B上0M4如图,设法=a,&=入b（入＞0）,则|a-入b|=|筋易知当BA10A时，Ia-入b|取得最小值遮，此时sin。,cos。.故选B.解题策略模的最值问题的求解方法:一种是借助函数，另一种是借助向量的几何意义.前者可以建系借助坐标法求解,后者常用三角形法则数形结合求解.口角度三平面向量在三角函数中的应用—(例在aABC中，AB=(遍sinx,sinx),4C=(-sinx,cosx).(1)设f(x)=6•AC,若f(A)=O,求角A的值；(2)若对任意的实数t,恒有|AB-tAC\^\BC\,求4ABC面积的最大值.~~~♦解：(1)f(x)=AB,4C=-