等腰三角形的性质和判定的应用(问题解决策略课例)

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教学内容教师活动学生活动设计意图创设情景，引出课题1、复习提问：（1）等腰三角形的性质和判定方法（2）若△ABC是等腰三角形，则有哪些线段相等，哪些角相等。2、如何运用等腰三角形的性质和判定探究图形的变化规律——等腰三角形的应用（课题）二、探求等腰三角形分割问题1、问题提出：已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，问△ABC的各内角度数可能是多少？2、问题分析：∵等腰三角形ABC→AB=AC→∠B=∠C∴△ABC的三个内角中只有两个未知量，顶角α、底角β又∵由三角形三内角和为180°，得α+2β=180∴由题意，再找出一个α与β的关系式3、问题解决方式：（1）动手画图；（2）分组讨论；（3）汇报思考方向第一种情况：1、过A点画直线交BC于D，则△ADB与△ADC都是等腰三角形，（1）若AD=DB=DC则α=2βα+2β=180°解得α=90°β=45°设问：△ADB和△ADC是等腰三角形，为什么就有AD=DB=DC，有没有别的情况？提出问题、归纳几何表达式多媒体显示问题分析求解问题，启发用方程思想解决问题组织参与讨论汇编思考成果启发再思考演示图形变化，启发思考归纳方程组求得解方法思考回答读题，理解题意参与思考，明确解题方向画图思考讨论汇报思考成果观察图形得α与β的关系形成等腰三角形的知识体系，渗透分类思想，培养分析问题的习惯；养成动手操作，认真思考的习惯理解等腰三角形的分类问题通过观察图形，培养联想能力（2）若AB=BD，AD=DC则有α=3βα=108°α+2β=180°β=36°问有没有可能AD=AC或AD=AB设问：过△ABC的一个顶点，是否一定要过A点，过其它顶点可以吗？得第二种情况，过B点画直线交AC于D（3）由题意得，AD=DB=BC则有β=2α解得α=36°α+2β=180°β=72°设问：有没有可能其它线段相等（4）AD=DB，BC=DCβ=3α解得α=α+2β=180°β=设问：（1）有没有可能：DB=DC或AD=AB（2）为什么不可能？4、问题结论：△ABC各内角的度数有四种可能，即（90°，45°，45°）（108°，36°，36°）（36°，72°，72°）（，，）5、解决问题的思想方法：（1）分类讨论思想，按顶点分，按等腰三角形的腰分；（2）数形结合思想：几何计算中常用方程思想；（3）从中应用等腰三角形等有关几何的性质。三、探求“角平分线与平行线”的基本图形。1、问题提出：已知，如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于F点，过F点DE∥BC交AB于D，交AC于E。（1）找出图中所有的等腰三角形，并说明理由。（2）猜想，线段BD、CE、DE之间有什么关系？为什么？2、问题解决过程：解：（1）图中有两个等腰三角形△DBF，△EFC。理由：BF平分∠ABC（已知）∴∠1=∠2又∵DE∥BC（已知）∴∠3=∠2∴∠1=∠3，∴△DBF是等腰三角形同理△EFC是等腰三角形（3）猜想：BD+CE=DE∵△DBF是等腰三角形∴DB=DF同理EF=EC∴BD+EC=DF+EF=DE3、问题的变化：（从内外角平分线分情况思考），引导学生画图变题1过F点作DF∥AB，EF∥AC交BC于D、E（1）图中又有几个等腰三角形（2）BD+CE=DE还成立吗？你有什么新发现？解：（1）△BDF，△EFC都是等腰三角形（2）BD+CE=DE不成立DF+DE+EF=BC即△DEF的周长为BC启发学生继续思考变题2BF是△ABC内角平分线，CF是△ABC外角平分线，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E，那么BD、CE、DE之间又有什么关系？写出你的画图，听学生发言，追问为什么，演示动画启发思考动画演示归纳，小结思考问题观察得线段相等其他情况找α与β的关系观察图形，得出相应的腰领会小结培养化归类比能力感受教学思想总结解题方法呈现问题，启发思考动画变图引出变题1动画变图引导联想讨论思考观察图形，分析条件交流表达画图分组讨论观察图形，分析比较猜想结论联想条件变化，猜想结论体会解题思想培养观察图形分析问题的能力培养分析比较猜想能力培养联想和探索能力

猜想，并加以证明。分析：关键是找等腰三角形，然后得DE=BD-CE证明：DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC∠EFC=∠FCG又∵BF、CF是角平分，∠FBC=∠FBD，∠ECF=∠FCG∴∠FBD=∠DFB，∠ECF=∠EFC变题3BF、CF是△ABC外角平分线，过F点作DE∥BC交AB、AC的延长线于D、E，那么BD、CE、DE之间存在什么关系？分析图形思考得，同样有DE=DB+CE变题4CD是内角平分线，CF是外角平分线，过D点作DE∥BC交AC于E，交CF于F，那么，DF与CE又有何关系？（可作为课外思考）4、问题的结论：从“解平行线+平行线”=等腰三角形是题中的基本图形中