第七章-第1节-向量极其线性运算课件

1四、小结1四、小结21、空间点的直角坐标21、空间点的直角坐标3横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系.几个基本概念3横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴的正4Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ4Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ5562、空间两点间的距离62、空间两点间的距离7(2)、空间两点间的距离7(2)、空间两点间的距离8空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为8空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为9解原结论成立.9解原结论成立.10解设P点坐标为所求点为10解设P点坐标为所求点为11向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.||向量的模：向量的大小.单位向量：1、向量的概念或或或11向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零12自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量.12自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向13[1]加法：平行四边形法则特殊地：若‖分为同向和反向三角形法则2、向量的加减法13[1]加法：平行四边形法则特殊地：若‖分为同向和反向三14向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]减法14向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：153、向量与数的乘法153、向量与数的乘法16数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系16数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配17按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.17按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的18例1

化简解18例1化简解19例2

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.19例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行201、向量在轴上的投影与投影定理201、向量在轴上的投影与投影定理212122证于是22证于是23空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.23空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两24空间一点在轴上的投影24空间一点在轴上的投影25空间一向量在轴上的投影25空间一向量在轴上的投影26关于向量的投影定理（1）证26关于向量的投影定理（1）证27定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)

相等向量在同一轴上投影相等；27定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等28关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）28关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）292、向量的坐标表达式292、向量的坐标表达式3030313132(3)、向量运算的坐标表达式32(3)、向量运算的坐标表达式333334解设为直线上的点，34解设为直线上的点，35由题意知：35由题意知：36非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.3、向量的模与方向余弦的坐标表示式36非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称37由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式37由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向38当时，向量方向余弦的坐标表示式38当39方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为39方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为40解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或40解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或41解41解424243解43解44对角线的长为44对角线的长为45空间直角坐标系空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）四、小结45空间直角坐标系空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标46向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）四、小结46向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）47向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结（注意分向量与向量的坐标的区别）47向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量48练习与思考题1、已知平行四边形ABCD的对角线试用表示平行四边形四边上对应的向量.解答：48练习与思考题1、已知平行四边形ABCD的对角线试用492、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？解答：A:Ⅳ;B:Ⅴ;C:Ⅷ;D:Ⅲ;492、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？解答：A50503、一向量与轴组成的角是它们的两倍,确定这向量的方向。解：先求方向余弦，再求方向角。又又或或50503、一向量与轴组成的角是它们的两倍,确定这向量的方向51514、求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得51514、求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①52四、小结1四、小结531、空间点的直角坐标21、空间点的直角坐标54横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系.几个基本概念3横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴的正55Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ4Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ565572、空间两点间的距离62、空间两点间的距离58(2)、空间两点间的距离7(2)、空间两点间的距离59空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为8空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为60解原结论成立.9解原结论成立.61解设P点坐标为所求点为10解设P点坐标为所求点为62向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.||向量的模：向量的大小.单位向量：1、向量的概念或或或11向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零63自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量.12自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向64[1]加法：平行四边形法则特殊地：若‖分为同向和反向三角形法则2、向量的加减法13[1]加法：平行四边形法则特殊地：若‖分为同向和反向三65向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]减法14向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：663、向量与数的乘法153、向量与数的乘法67数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系16数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配68按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.17按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的69例1

化简解18例1化简解70例2

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.19例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行711、向量在轴上的投影与投影定理201、向量在轴上的投影与投影定理722173证于是22证于是74空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.23空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两75空间一点在轴上的投影24空间一点在轴上的投影76空间一向量在轴上的投影25空间一向量在轴上的投影77关于向量的投影定理（1）证26关于向量的投影定理（1）证78定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)

相等向量在同一轴上投影相等；27定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等79关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）28关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）802、向量的坐标表达式292、向量的坐标表达式8130823183(3)、向量运算的坐标表达式32(3)、向量运算的坐标表达式843385解设为直线上的点，34解设为直线上的点，86由题意知：35由题意知：87非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.3、向量的模与方向余弦的坐标表示式36非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称88由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式37由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向89当时，向量方向余弦的坐标表示式38当90方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为39方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为91解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或40解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或92解41解934294解43解95对角线的长为44对角线的长为96空间直角坐标系空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）四、小结45空间直角坐标系空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标97向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）四、小结46向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）98向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结（注意分向量与向量的坐标的区别）47向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量99练习与思考题1、已知平行四边形ABCD的对角线试用表示平行四边形四边上对应的向量.解答：48练习与思考题1、已知平行四边形ABCD的对角线试用1002、在空间