高考数学第一轮章节复习课件-第十二章-不等式选讲

第十二章不等式选讲第十二章不等式选讲知识点考纲下载考情上线绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.

会用不等式(1)、(2)证明一些简单问题.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型

的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.热点是在客观题中考查绝对值不等式解法与含绝对值号的函数的最值，恒成立问题.知识点考纲下载考情上线绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能知识点考纲下载考情上线不等式证明了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.考查简单不等式的证明，多用比较法、综合法、分析法.知识点考纲下载考情上线不等式证明了解证明不等式的基本方法：比知识点考纲下载考情上线平均值不等式能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值.用平均值不等式求一些特定函数的极值是考试的热点，题型多为客观题.知识点考纲下载考情上线平均值不等式能够利用平均值不等式求一些第一节绝对值不等式与均值不等式第一节绝对值不等式与均值不等式高考数学第一轮章节复习课件-第十二章-不等式选讲一、绝对值三角不等式1.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤，当且仅当时，等号成立.|a|＋|b|ab≥0一、绝对值三角不等式|a|＋|b|ab≥0(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？(2)不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：(1)当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示：(1

2.定理2：如果a，b，c是实数，则

|a－c|≤，当且仅当时，等号成立.|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0

|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0二、绝对值不等式的解法1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a∅∅|x|>ax>a或x<－ax≠0R二、绝对值不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔.(2)|ax＋b|≥c⇔.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－三、平均值不等式

a1，a2…，an为n个正数，则，当且仅当a1＝a2＝an时等式成立．三、平均值不等式1．已知－2≤a≤3，－3<b<4，则a－|b|的取值范围是(

)A．(－6,3)

B．(－6,3]C．(－6,6)D．(－6,6]1．已知－2≤a≤3，－3<b<4，则a－|b|的取值范围是解析：∵－3<b<4∴0≤|b|<4∴a－|b|∈(－6,3].答案：B解析：∵－3<b<42．不等式|5x－x2|<6的解集为(

)A．(－1,2)B．(3,6)

C．(－1,2)∪(3,6]D．(－1,2)∪(3,6)答案：D

解析：|5x－x2|<6∴－1<x<2或3<x<6.2．不等式|5x－x2|<6的解集为3．不等式|2x－1|－x<1的解集是(

)A．(0,2)B．(0,2]

C．(－2,0)D．(－2,0]解析：|2x－1|<x＋1⇔－(x＋1)<2x－1<x＋1，即0<x<2.答案：A3．不等式|2x－1|－x<1的解集是4．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别是________、________.解析：∵|x＋1|＋|x－2|≥3，当且仅当x∈[－1,2]时，y取最小．答案：3

x∈[－1,2]4．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的5．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点

A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，则的最小值为________．5．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，则(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，n＞0，答案：8解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象6．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范围；

(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围．

解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈∅.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.6．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.解：(1)2|高考数学第一轮章节复习课件-第十二章-不等式选讲1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|

中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值求法利用该不等式更简洁、方便．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|“|x－a|<m，且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的____________________(填充分不必要条件，或必要不充分条件，或充要条件)．“|x－a|<m，且|利用绝对值三角不等式，推证与|x-y|<2m的关系即得答案.利用绝对值三角不等式，推证解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<m＋m＝2m，∴|x－a|<m，且|y－a|<m是|x－y|<2m的充分条件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，不满足|x－a|<m＝2.5，故|x－a|<m且|y－a|<m不是|x－y|<2m的必要条件．答案：充分不必要条件解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋1．若α∈(π，π)，M＝|sinα|，N＝|cosα|，P＝

|sinα＋cosα|，则它们之间的大小关系为________.1．若α∈(π，π)，M＝|sinα|，N＝|cos解析：∵α∈(π，)，∴cosα∈(－1，—0)，∴N>P>M.答案：N>P>M解析：∵α∈(π，)，答案：N>P>M绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①当a>0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.②当a＝0时，|f(x)|<a无解．

|f(x)|>a⇔f(x)≠0.③当a<0时，|f(x)|<a无解．

|f(x)|>a⇔f(x)有意义．绝对值不等式的常见类型及其解法(2)含有两个绝对值的不等式的解法①零点分段法零点分段法解绝对值不等式的步骤：a.求零点；b.划分区间、去绝对值号；c.分别解去掉绝对值的不等式；d.取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．注意：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．(2)含有两个绝对值的不等式的解法②利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义利用数形结合法，把绝对值转化为数轴上的动点x到两个定点a1、a2的距离之和(差)．②利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义解下列不等式(1)|2x＋5|>7＋x；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.

解下列不等式

(1)利用公式法转化(2)采用零点分段讨论法，也可用绝对值的几何意义去解．

(1)利用公式法转化解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得解得x>2或x<－4.∴原不等式的解集是{x|x<－4或x>2}．解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得（2）分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1.当x<－2时，原不等式即1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋2＋x<5，因为3<5恒成立，则－2≤x≤1；当x>1时，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得1<x<2.综上，原不等式的解集为{x|－3<x<2}．（2）分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即1，－2.2．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅，求实数

a的取值范围．2．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅，求解：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.y1、y2的图象如图所示：由图可知，当a＜3时，|x+2|+|x-1|≤a的解集为∅.解：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.绝对值不等式的证明主要有两类：一是比较简单的不等式，往往可通过平方法，换元法去掉绝对值转化证明，有时需要适当的添、拆项．二是综合性较强的函数型绝对值不等式问题，多用放缩法，涉及二次型的也可考虑最值或根的分布问题．绝对值不等式的证明主要有两类：已知f(x)＝，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.利用绝对值不等式放缩证明.已知f(x)＝证明：证明：3．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－

1,1]，且|f(x)|的最大值为M.(1)试证明|1＋b|≤M；

(2)试证明3．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义证明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴|1＋b|≤M.(2)依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥证明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，平均值不等式是基本不等式的推广，多用于证明不等式或求最值，应用时注意不等式成立的条件“a1，a2，…，an为n个正数”和成号成立的条件“a1＝a2＝…

＝an”．平均值不等式是基本不等式的推广，多用设a，b，c为正实数，求证：设a，b，c为正实数，求证：直接由平均值不等式证明.直接由平均值不等式证明.证明：因为a，b，c为正实数，由平均值不等式可得即所以而所以证明：因为a，b，c为正实数，由平均值不等式可得4．设a为实常数，试求函数f(x)＝|sinx·(a＋cosx)|(x∈R)

的最大值．4．设a为实常数，试求函数f(x)＝|sinx·(a＋cos解：引入正常数λ，使得f2(x)＝sin2x(aλ＋λcosx)2≤sin2x(λ2＋cos2x)(a2＋λ2)≤(a2＋λ2)＝(a2＋λ2)，当且仅当时，等号成立，消去x可得：2λ4＋a2λ2－a2＝0，解之得：λ2＝故当cosx＝时，f(x)max＝解：引入正常数λ，使得f2(x)＝sin2高考数学第一轮章节复习课件-第十二章-不等式选讲绝对值不等式是对必修5中“不等式”的补充和深化,其解法与证明是考查的重点，若单独命题，多以填空题形式出现，也可与其他知识结合考查解答题.如2009年福建21题，2009年辽宁24题，2009年宁夏、海南24题都考查了绝对值不等式的解法.绝对值不等式是对必修5中“不等式”的补充(2009·辽宁高考)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果对任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．(2009·辽宁高考)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|[解]

(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3.不等式组②当－1<x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立．[解](1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|不等式组的解集为∅.③当x>1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.不等式组综上，f(x)≥3的解集为不等式组(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．若a<1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a.若a>1，f(x)＝(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．f(x)的最小值为a－1.所以任意x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．f(x)的最小值为a－1.对于|x－a|＋|x－b|>c型不等式的解法一直是考查的重点，利用零点分段函数讨论法时要注意讨论做到不重不漏，也可考虑绝对值的几何意义，对于(2)问实质上是不等式恒成立问题，其思路往往转化为最值，得参数不等式即可求解，若(2)改为不等式|x－1|＋|x－a|≥a对于x∈R恒成立求a的范围，不妨一试如何解？对于|x－a|＋|x－b|>c型不等式的解法一直是考查的重点第十二章不等式选讲第十二章不等式选讲知识点考纲下载考情上线绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.

会用不等式(1)、(2)证明一些简单问题.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型

的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.热点是在客观题中考查绝对值不等式解法与含绝对值号的函数的最值，恒成立问题.知识点考纲下载考情上线绝对值不等式理解绝对值的几何意义，并能知识点考纲下载考情上线不等式证明了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.考查简单不等式的证明，多用比较法、综合法、分析法.知识点考纲下载考情上线不等式证明了解证明不等式的基本方法：比知识点考纲下载考情上线平均值不等式能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值.用平均值不等式求一些特定函数的极值是考试的热点，题型多为客观题.知识点考纲下载考情上线平均值不等式能够利用平均值不等式求一些第一节绝对值不等式与均值不等式第一节绝对值不等式与均值不等式高考数学第一轮章节复习课件-第十二章-不等式选讲一、绝对值三角不等式1.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤，当且仅当时，等号成立.|a|＋|b|ab≥0一、绝对值三角不等式|a|＋|b|ab≥0(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？(2)不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：(1)当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示：(1

2.定理2：如果a，b，c是实数，则

|a－c|≤，当且仅当时，等号成立.|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0

|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0二、绝对值不等式的解法1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a<x<a∅∅|x|>ax>a或x<－ax≠0R二、绝对值不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a－a2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔.(2)|ax＋b|≥c⇔.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－三、平均值不等式

a1，a2…，an为n个正数，则，当且仅当a1＝a2＝an时等式成立．三、平均值不等式1．已知－2≤a≤3，－3<b<4，则a－|b|的取值范围是(

)A．(－6,3)

B．(－6,3]C．(－6,6)D．(－6,6]1．已知－2≤a≤3，－3<b<4，则a－|b|的取值范围是解析：∵－3<b<4∴0≤|b|<4∴a－|b|∈(－6,3].答案：B解析：∵－3<b<42．不等式|5x－x2|<6的解集为(

)A．(－1,2)B．(3,6)

C．(－1,2)∪(3,6]D．(－1,2)∪(3,6)答案：D

解析：|5x－x2|<6∴－1<x<2或3<x<6.2．不等式|5x－x2|<6的解集为3．不等式|2x－1|－x<1的解集是(

)A．(0,2)B．(0,2]

C．(－2,0)D．(－2,0]解析：|2x－1|<x＋1⇔－(x＋1)<2x－1<x＋1，即0<x<2.答案：A3．不等式|2x－1|－x<1的解集是4．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别是________、________.解析：∵|x＋1|＋|x－2|≥3，当且仅当x∈[－1,2]时，y取最小．答案：3

x∈[－1,2]4．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的5．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点

A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，则的最小值为________．5．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，则(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，n＞0，答案：8解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象6．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.(1)若a＝1，求x的取值范围；

(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围．

解：(1)2|x－3|＋|x－4|<2，|x－3|＋|x－4|<1，∴x∈∅.(2)|x－3|＋|x－4|≥(x－3)－(x－4)＝1，∴(|x－3|＋|x－4|)min＝1，又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.6．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.解：(1)2|高考数学第一轮章节复习课件-第十二章-不等式选讲1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|

中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值求法利用该不等式更简洁、方便．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|“|x－a|<m，且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的____________________(填充分不必要条件，或必要不充分条件，或充要条件)．“|x－a|<m，且|利用绝对值三角不等式，推证与|x-y|<2m的关系即得答案.利用绝对值三角不等式，推证解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<m＋m＝2m，∴|x－a|<m，且|y－a|<m是|x－y|<2m的充分条件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，不满足|x－a|<m＝2.5，故|x－a|<m且|y－a|<m不是|x－y|<2m的必要条件．答案：充分不必要条件解析：∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋1．若α∈(π，π)，M＝|sinα|，N＝|cosα|，P＝

|sinα＋cosα|，则它们之间的大小关系为________.1．若α∈(π，π)，M＝|sinα|，N＝|cos解析：∵α∈(π，)，∴cosα∈(－1，—0)，∴N>P>M.答案：N>P>M解析：∵α∈(π，)，答案：N>P>M绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①当a>0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.②当a＝0时，|f(x)|<a无解．

|f(x)|>a⇔f(x)≠0.③当a<0时，|f(x)|<a无解．

|f(x)|>a⇔f(x)有意义．绝对值不等式的常见类型及其解法(2)含有两个绝对值的不等式的解法①零点分段法零点分段法解绝对值不等式的步骤：a.求零点；b.划分区间、去绝对值号；c.分别解去掉绝对值的不等式；d.取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．注意：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．(2)含有两个绝对值的不等式的解法②利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义利用数形结合法，把绝对值转化为数轴上的动点x到两个定点a1、a2的距离之和(差)．②利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义解下列不等式(1)|2x＋5|>7＋x；(2)|x－1|＋|x＋2|<5.

解下列不等式

(1)利用公式法转化(2)采用零点分段讨论法，也可用绝对值的几何意义去解．

(1)利用公式法转化解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得解得x>2或x<－4.∴原不等式的解集是{x|x<－4或x>2}．解：(1)由不等式|2x＋5|>7＋x，可得（2）分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1.当x<－2时，原不等式即1－x－2－x<5，解得－3<x<－2；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋2＋x<5，因为3<5恒成立，则－2≤x≤1；当x>1时，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得1<x<2.综上，原不等式的解集为{x|－3<x<2}．（2）分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即1，－2.2．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅，求实数

a的取值范围．2．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集为∅，求解：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.y1、y2的图象如图所示：由图可知，当a＜3时，|x+2|+|x-1|≤a的解集为∅.解：令y1＝|x＋2|＋|x－1|，y2＝a.绝对值不等式的证明主要有两类：一是比较简单的不等式，往往可通过平方法，换元法去掉绝对值转化证明，有时需要适当的添、拆项．二是综合性较强的函数型绝对值不等式问题，多用放缩法，涉及二次型的也可考虑最值或根的分布问题．绝对值不等式的证明主要有两类：已知f(x)＝，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.利用绝对值不等式放缩证明.已知f(x)＝证明：证明：3．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－

1,1]，且|f(x)|的最大值为M.(1)试证明|1＋b|≤M；

(2)试证明3．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义证明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴|1＋b|≤M.(2)依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥证明：(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，平均值不等式是基本不等式的推广，多用于证明不等式或求最值，应用时注意不等式成立的条件“a1，a2，…，an为n个正数”和成号成立的条件“a1＝a2＝…

＝an”