自动控制原理课件

第二章控制系统的数学描述方法1、线性常系数微分方程 （时间域描述）2、传递函数（Transforfunction）

（算子域描述）3、结构图 （图形化描述）第二章控制系统的数学描述方法1、线性常系数微分方程1§2.1控制系统的微分方程1、线性常系数微分方程式中 为输出信号的各阶导数， 为常系数 为输出信号的各阶导数， 为常系数§2.1控制系统的微分方程1、线性常系数微分方程22、线性定常系统的基本性质（迭加原理）如果有 输入x1(t)输出y1(t) 输入x2(t)输出y2(t)则系统的输入为输出保持线性可加为2、线性定常系统的基本性质（迭加原理）33、控制系统微分方程的建立解析法：（基础方法） 根据物理系统的运动定律列写方程。实验法：（工程方法） 根据实验数据确定系统的运动规律。主要以解析法列写方程：电学系统 力学系统3、控制系统微分方程的建立解析法：（基础方法）4电学系统i元件约束：线性元件的V－I关系

电学系统5ii网络约束 基尔霍夫的两个定律节点电流定律回路电压定律在这两个网络基本方程的约束下，可以确定电网络中独立变量的个数，并写出电网络的微分方程。ii网络约束 基尔霍夫的两个定律6

例2－1

考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以ui为输入，uo为输出的微分方程。解由回路电压定律由于 代入令时间常数T=RC，得到一阶微分方程 或 例2－1 考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以u7

例2－2

考虑两级RC网络的滤波电路，写出以ui为输入，uo为输出的微分方程。解对于回路L1有对于回路L2有元件约束为 例2－2 考虑两级RC网络的滤波电路，写出以ui为输入，u8综合上述方程组，消去中间变量i1，i2，uc1，得到以ui为输入，uo为输出的微分方程为二阶微分方程。设时间常数为方程可以写为或综合上述方程组，消去中间变量i1，i2，uc1，9力学系统

运动规律为牛顿定律机械平移运动

例2－3

设弹簧－质量－阻尼器系统如图所示，试列出以力Fi为输入，以质量单元的位移x为输出的运动方程。解由加速度定律合力为力学系统 运动规律为牛顿定律10外力弹性阻力粘滞阻力代入方程有机械平移系统的运动方程也是二阶微分方程。外力11机械旋转运动例2－4已知机械旋转系统如图所示，试列出系统运动方程。解由角加速度方程其中 J：转动惯量：角加速度 ∑M ：合外力矩得到整理，为Mf—的一阶微分方程。如果以角度θ为输出，由于 得到2阶方程机械旋转运动12复合系统： 电动机——机电复合系统例2－5

已知直流电动机，定子与转子的电磁关系与机电系统原理如图所示，试写出其运动方程电磁物理结构图 定子 转子复合系统： 电动机——机电复合系统13机电系统原理图1、电网络平衡方程2、电动势平衡方程3、转矩平衡方程4、电磁力矩方程机电系统原理图144方程联立，消去中间变量Ia，Ea，Ma，忽略空载阻力矩ML，得到电枢电压Ui——旋转角速度ω的2阶运动方程由于电枢电感很小，略去La，得1阶方程4方程联立，消去中间变量Ia，Ea，Ma，忽略空载阻力矩ML15§2.2非线性微分方程的线性化

线性方程 非线性方程(连续、可导) y=kx y=f(x)§2.2非线性微分方程的线性化线性方程 非线性方程16应用小偏差理论实现非线性方程的线性化具有连续变化的非线性函数

y=f(x)

为预定工作点，则该非线性函数可以线性化的条件是：变量X偏离预定工作点很小。应用小偏差理论实现非线性方程的线性化具有连续变化的非线性函数17泰勒级数：略去二阶以上高次项写出增量式则在x0邻域，斜率为得到增量方程写为普通变量，得到线性化方程泰勒级数：18例2－7

已知单摆系统的运动如图2－11所示。（1）写出运动方程，（2）求取线性化方程。解（1）列写运动方程摆球质量为m摆长为l；摆角为，运动弧长为l·，摆球运动阻力为h，很小时，由牛顿定律可以写出例2－7已知单摆系统的运动如图2－11所示。（1）写出运动19媒质阻力h的大小与运动速度成正比得到单摆系统的运动方程为2阶非线性方程。给定初值： 和运动 由方程唯一确定。媒质阻力h的大小与运动速度成正比20（2）求取单摆系统的线性化方程由于在=0邻域展开泰勒级数为忽略2次以上高次项，有 =得到线性化方程为（2）求取单摆系统的线性化方程21注意：（1）本质非线性系统不可以作线性化。本质非线性系统不连续性、不可导性使得其泰勒级数展开式在工作点邻域的切线近似不成立。注意：22（2）不同的工作点，不同的线性化系数，有不同的线性化方（3）工作点邻域的线性化方程是增量方程（小范围工作）。（4）多变量情况时，其线性化方法相似。如双变量时，函数关系为f(x,y)。（2）不同的工作点，不同的线性化系数，23第二章控制系统的数学描述方法1、线性常系数微分方程 （时间域描述）2、传递函数（Transforfunction）

（算子域描述）3、结构图 （图形化描述）第二章控制系统的数学描述方法1、线性常系数微分方程24§2.1控制系统的微分方程1、线性常系数微分方程式中 为输出信号的各阶导数， 为常系数 为输出信号的各阶导数， 为常系数§2.1控制系统的微分方程1、线性常系数微分方程252、线性定常系统的基本性质（迭加原理）如果有 输入x1(t)输出y1(t) 输入x2(t)输出y2(t)则系统的输入为输出保持线性可加为2、线性定常系统的基本性质（迭加原理）263、控制系统微分方程的建立解析法：（基础方法） 根据物理系统的运动定律列写方程。实验法：（工程方法） 根据实验数据确定系统的运动规律。主要以解析法列写方程：电学系统 力学系统3、控制系统微分方程的建立解析法：（基础方法）27电学系统i元件约束：线性元件的V－I关系

电学系统28ii网络约束 基尔霍夫的两个定律节点电流定律回路电压定律在这两个网络基本方程的约束下，可以确定电网络中独立变量的个数，并写出电网络的微分方程。ii网络约束 基尔霍夫的两个定律29

例2－1

考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以ui为输入，uo为输出的微分方程。解由回路电压定律由于 代入令时间常数T=RC，得到一阶微分方程 或 例2－1 考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以u30

例2－2

考虑两级RC网络的滤波电路，写出以ui为输入，uo为输出的微分方程。解对于回路L1有对于回路L2有元件约束为 例2－2 考虑两级RC网络的滤波电路，写出以ui为输入，u31综合上述方程组，消去中间变量i1，i2，uc1，得到以ui为输入，uo为输出的微分方程为二阶微分方程。设时间常数为方程可以写为或综合上述方程组，消去中间变量i1，i2，uc1，32力学系统

运动规律为牛顿定律机械平移运动

例2－3

设弹簧－质量－阻尼器系统如图所示，试列出以力Fi为输入，以质量单元的位移x为输出的运动方程。解由加速度定律合力为力学系统 运动规律为牛顿定律33外力弹性阻力粘滞阻力代入方程有机械平移系统的运动方程也是二阶微分方程。外力34机械旋转运动例2－4已知机械旋转系统如图所示，试列出系统运动方程。解由角加速度方程其中 J：转动惯量：角加速度 ∑M ：合外力矩得到整理，为Mf—的一阶微分方程。如果以角度θ为输出，由于 得到2阶方程机械旋转运动35复合系统： 电动机——机电复合系统例2－5

已知直流电动机，定子与转子的电磁关系与机电系统原理如图所示，试写出其运动方程电磁物理结构图 定子 转子复合系统： 电动机——机电复合系统36机电系统原理图1、电网络平衡方程2、电动势平衡方程3、转矩平衡方程4、电磁力矩方程机电系统原理图374方程联立，消去中间变量Ia，Ea，Ma，忽略空载阻力矩ML，得到电枢电压Ui——旋转角速度ω的2阶运动方程由于电枢电感很小，略去La，得1阶方程4方程联立，消去中间变量Ia，Ea，Ma，忽略空载阻力矩ML38§2.2非线性微分方程的线性化

线性方程 非线性方程(连续、可导) y=kx y=f(x)§2.2非线性微分方程的线性化线性方程 非线性方程39应用小偏差理论实现非线性方程的线性化具有连续变化的非线性函数

y=f(x)

为预定工作点，则该非线性函数可以线性化的条件是：变量X偏离预定工作点很小。应用小偏差理论实现非线性方程的线性化具有连续变化的非线性函数40泰勒级数：略去二阶以上高次项写出增量式则在x0邻域，斜率为得到增量方程写为普通变量，得到线性化方程泰勒级数：41例2－7

已知单摆系统的运动如图2－11所示。（1）写出运动方程，（2）求取线性化方程。解（1）列写运动方程摆球质量为m摆长为l；摆角为，运动弧长为l·，摆球运动阻力为h，很小时，由牛顿定律可以写出例2－7已知单摆系统的运动如图2－11所示。（1）写出运动42媒质阻力h的大小与运动速度成正比得到单摆系统的运动方程为2阶非线性方程。给定初值： 和运动 由方程唯一确定。媒质阻力h的大小与运动速度成正比43（2）求取单摆系统的线性化方程由于在=0邻域展开泰勒级