某学院随机过程讲稿

17.1马尔可夫过程的一般概念7.2马尔可夫链7.3状态连续马尔可夫过程特性7.4独立增量过程的基本概念第七章马尔可夫过程7.5泊松过程7.6维纳过程7.3状态连续马尔可夫过程特性[定义7.14]状态连续，时间离散的马尔可夫过程称为马尔可夫序列。A延迟在实际中，一般的马尔可夫序列是对连续的马尔可夫过程进行抽样得到的，例如，在对运动目标（导弹，飞机）的轨迹测量中，信号的模型常采用以下的一阶差分方程，即：A为常数W(n)为均值为,方差为

的白噪声高斯高斯高斯-马尔可夫序列7.3.1马尔可夫序列如何求高斯特性的状态转移概率密度高斯-马尔可夫序列X(n+1)的条件均值：？高斯-马尔可夫序列X(n+1)的条件方差：为了确定高斯概率密度，只需要知道给定X(n)的X(n+1)的条件均值和条件方差就够了。如何求高斯-马尔可夫序列X(n+1)的自协方差？马尔可夫序列的一般形式：A延迟A(n),B(n)为确知的随时间变化的矩阵[定义7.15]状态和时间都是连续的马尔可夫过程称为连续的马尔可夫过程。7.3.2连续的马尔可夫过程股票预期收益率股票价格股票价格波动率Ito过程股票模型为什么说X(t)是一个马尔可夫过程？取任意两个时刻tn和tn-1,对上式两边进行tn-1到tn的积分，则X(tn)的概率密度只与tn-1时刻的值有关，而与tn-1以前的值无关，因此X(tn)为马尔可夫过程。X(t)的均值函数：上式为简单的常系数一阶微分方程，只要初始条件mX(0)已知，就可以确定mX(t)。X(t)的方差函数：是否和马尔可夫序列一样也为零？对该式两边微分可得：X(t)的方差差函数数：初始条条件VX(0)已知即即可确确定VX(t)。对所有有t>t0所,X(t0)与W(t)不相关关，故故该项项为零零7.4独立增增量过过程的的基本本概念念[定义7.16]如果在在参数数集T上任意意选取取t1<t2<t3<…<tn的n个时间间点，，随机机过程程X(t)的增量量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)是相互互统计计独立立的随随机变变量，，则称称这类类随机机过程程X(t)为独立立增量量过程程。独立增增量过过程是是一种种特殊殊的马马尔可可夫过过程。。[定义7.17]设随机机过程程X(t)的二阶阶矩存存在，，当时时，，有则称这这类随随机过过程X(t)为正交交增量量过程程。[定义7.18]如果独独立增增量过过程的的增量量X(tk)-X(tk-1)的分布布仅与与时间间差(tk-tk-1)有关，，而与与tk,tk-1本身无无关，，则称称它为为齐次次的独独立增增量过过程。。[定理7.13]对于独独立增增量过过程，，如果果它还还满足足，则该该过程程也是是正交交增量量过程程。独立增增量过过程泊松过过程维纳过过程7.5泊松过过程[定义7.19]在(0,t)内出现现事件件A的总数数所组组成的的过程程称称为为计数数过程程。7.5.1计数过过程[定义7.20]在计数数过程程中，，如果果在不不相交交叠的的时间间间隔隔内出出现事事件A的次数数是相相互统统计独独立的的，则则该计计数过过程为为独立立增量量过程程。[定义7.21]在计数数过程程中，，如果果在[t1,t1+s)内出现现事件件A的次数数仅与与时间间差s=t1+s-t1有关，，而与与起始始时间间t1无关，，即[N(t1+S)-N(t1)]仅与s有关而而与t1无关，，则称称该计计数过过程为为平稳稳增量量的计计数过过程。。7.5.2泊松过过程概概念泊松过过程是是计数数过程程，而而且是是最重重要的的一类类计数数过程程。设有一一随机机过程程{X(t)，t≥0}，如果X(t)满足：：（1）从从t=0起开始始观察察事件件，即即X(0)=0;（2）X(t)是独立立增量量过程程;（3）该计计数过过程为为平稳稳增量量过程程；（4）在(t,t+Δt)内，当当时时出出现一一个事事件概概率为为；（5）在(t,t+Δt)内，当当时时出出现事事件二二次及及二次次以上上的概概率为为；；则称该该计数数过程程为泊泊松过过程。。[定理7.14]泊松过过程在在时时间间间隔[t0,t0+t]内n次出现现事件件A的概率率为：：证明：：略。。7.5.3泊松过过程的的统计计特性性数学期期望均方值值与方方差自相关关函数数独立增增量自协方方差函函数7.5.4泊松过过程的的分布布特性性1.各次事事件间间的时时间间间隔分分布设{X(t),t≥0}是参数数为λ的泊松松过程程,X(t)表示到到t时刻为为止事事件A发生的的次数数。Wn表示第第n次事件件A发生的的时间间(n≥1)，，也称为为第n次事件件A的等待待时间间,或或到到达时时间。。Tn表示第第n-1次事件件A发生到到第n次事件件A发生的的时间间间隔隔。TnT3T2T1tW3W2W10Wn-1Wn时间间间隔Tn的分布布为：：概率密密度为为：Tn的平均均值：：2.等待时时间分分布21用Sn表示从从时间间t=0开始到到达第第n次事件件出现现所需需要的的时间间称为为第n次事件件的等等待时时间。。分布函函数：：22概率密密度函函数：：3.达到时时间分分布设泊松松过程程，，如果果已知知在(0,t)内有一一个A事件出出现，，求这这个以以事件件达到到时间间的条条件分分布，，即：：概率密密度函函数为为：244.有两个个相互互统计计独立立的泊泊松过过程设泊松松过程程，，这这两个个过程程的参参数为为λ1和λ2.设代代表表第一一个过过程中中出现现第一一次事事件所所需的的时间间。代代表表第二二过程程中出出现第第一次次事件件所需需的时时间。。现在在研究究第一一过程程出现现第一一次事事件先先于第第二过过程出出现第第一次次事件件的概概率，，即。。5.泊松过过程设泊松松过程程，，这这两个个过程程的参参数为为λ1和λ2.设代代表表第一一个过过程中中出现现第k次事件件所需需的时时间。。代代表第第二过过程中中出现现第一一次事事件所所需的的时间间。现现在研研究第第一过过程出出现第第k次事件件先于于第二二过程程出现现第一一次事事件的的概率率，即即。。7.6维纳过过程-布朗运运动过过程1.布朗运运动简简介英国植植物学学家布布朗(Brown)在显微微镜下下,观察漂浮在平静的的液面上的微微小粒子,发现它们不断断地进行着杂乱无无章的运动,这种现象称为为布朗运动.爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理理论,认为微粒的这种运运动是由于受受到大量随机机的、相互独独立的分子碰撞撞的结果.布朗运动计算算机模拟结果果n=100n=500n=1000n=5000n=10000n=500002.维纳过程的数数学模型则称此过程为为维纳过程。3.维纳过程的特特征维纳过程增量量的分布只与与时