复变函数复习题 第2章解析函数

PAGEPAGE27PAGEPAGE282C-R条件复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间.2-1 f(zz0

xiy0

点可导的充分必要条件是（ ）.在(x

点uv可导，且满足C-R条件，即

v,

v在(x

)成立0 0 x y y x 0 0f(z在(xy0 0

)点的一个邻域内可导在(xy0 0在(xy0

点uv可微，且满足C-R条件点uv具有连续的偏导数，且满足C-R条件解由上题的推导过程知，若f(z)在z0

点可导，则uv在(xy0 0

)可微，且u

va,

u

vb.在(x,y0

)点成立.

x y

y x反之，若uv在(xy0 0

)可微，且满足C-R条件，则f(z)uivz zuxxuyyi(vxxvyy)o(|z|)z zu(xiy)i(vxviy) o(|z|) x zx x z(uiv)z o(|z|)x x z zx故

f(z)

iv

选（C）.z0 z x x xy2-2 u(xyxy2

, x2y2

0v(xyxyf(zuiv，则函数f(z)（ ）.

0, x2y20（A）仅在原点可导（B）处处不可导（C）除原点外处处可导（D）处处可微y解u(x,y)在原点虽有

v

0但不可微；而除原点外uvC-R条x y件，因此，f(z)处处不可. 选f(z)z如此简单一个函数却处处连续但不可导！2-3 若f(z)(x2y2axby)i(cxy3x2y)处处解析则(a,b,c)（）(3,2,2) B）(2,3,2) C（(2,3,2) D）(2,3,2)解由C-R条件及u2xau2ybvcy3,vcx2.故c2,a2,b3.x y x y若f(z)xy2ix2y则f(z)（ ）.（A）yx上可导（B）yx上可导仅在点解析 仅在点可导解uy2,ux

2xy,vx

2xy,vy

x2，要满足C-R条件，要求y2x2及2xy2xy，只有点能满足此条. 选要记住在极坐标下的C-R条件.z~rieirei中“~”表示等价（无穷小）的意思(z0).这里由于是极坐标 故 uu(rr,)u(r,); vv(rr,)v(r,) zrr)ei()rei0,zrei令r0,zrei(sin1isin)~reii(0)“～”是等价无穷小的等价符号.导出在极坐标下的C-R.解zreiuu(r,vv(r,),f(z)u(r,iv(r,),f(z在(r,处可导的C-R条件，分两种解法.用坐标变换法uuxuy,uuyuxx r r r2 y r r r2u,v的变化与之一样，故由C-R条件x y得 uxyuvyxvrr r2 rr r2uy及

vxvrr r2 rr r2 vx(2)y得 rr

uy(2)x(1)

u vr r 这便是在极坐标下C-R条件.直接用定义f(zz)f(z)u(rr,)u(r,)ivuiv而 z(rr)ei()reirei(ei1)rei()当r0,0z~rieirei故 f(z)

uiv存在，令0有f(z)lim

z0 zu(rr,)u(r,)

i

v(rr,)u(r,)=

1(u

iv)z0

rei

r0

rei

ei

r r(0) (0)令r0,0亦有f(z)lim

u(r,)u(r,)

v(r,)v(r,)

1(1vi1u)0

rie

0

rei

ei r r(x0) (r0)u1ur r比较上面等式得vr与解1所得结果一致.

1ur研究下列函数的可导性与解析性（1）f(z)x2iy（2）f(z)2x33iy3f(z)excosyiexsinyf(z)sinxchyicosxshyu u v v 1解（1） 2x, 0; 0, 1.仅当x 时C-R条件成立，故此函数在直x12

x y x x 2上处处可导.而在复平面上处处不解析.u u v v

6x2,

0;

0,

9y2f(z仅在两相交直线2x23y2上处处可导，在全平面处处不解析.u u v v

excosy,y

exsiny;

xexsiny,y

excosy.C-R条件处处成立，且u,v偏导数处处连续，因而处处可微，即f(z)处处解析.u

cosxchy,u

sin

vsinxshy,

vcosxchy.x y x yuv的偏导数处处连续，且C-Rf(z.若uivDviuD内是否也是解析函数？解f(z)uivDviuD内解析，否则viu.u由C-R条件，

v,u

v，若viu也解析，则有

u,

u.于是x y y x x y y xvv,

v，故v

0,v为常数，从而u.x x y y x y结论，若uivD内不为常数值的解析函数，则viuD 2-7 f(zuiv是解析函数，证明x|f(z|)2y|f(z|)2

|f(z)|2.证|f(z)|

，故u2v2 uuu2v2

uuvvu2v2 |f(z)x x, |f(z)|u2v2x xu2v2x ux xu2v2C-R条件得|f(zy

vu

(u2v2)u2(u2v2)v2故 ( |f(x)|)2( |f(z)|)2 x xu2v2u2v2|f(z)|2.x xf(z)uiv是解析函数，证明2 2证|f(z)|2u2v2

( x2

y2

)|f(z)|24|f(z)|2故 x|f(z)|22(uuxvvx)2x22

|f(z)|22(u2v2uu vvx xx xx

) （1）同样 x2

|f(z)|22(u2v2uuy

vvyy

) （2）C-Rf(zux

ivy

viu.y y|f(z)|2u2v2u2v2及 u uxx yy

x y y yv v 0xx yy将1（）两式相加得

(22

)|f(z)|24|f(z)|2.x2 y2f(zf(zDf(z.u证设f(z)uiv，则f(z)u由C-R条件

vv,u

v

v.v

0,

u

x y y y x x0,uvf(z)i是常x y x y数.f(zz点可导(z0)，证明f(z)ruivzz r r证在极坐标下f(z)

1(u

iv)

1(1v

i1u)ei

r r ei

r r（后面的式子是顺便写出来的）故

f(z)

r(u

iv)z r r也可写作 f(z)

1(

iu).12复变量的指数函数具有周期性.12

z 若ez

ez

，则（ ）.zz1 2

z1

z2k(k为任意整数）2z1

zik （D）z2

z2ik2解由于ez的周期为2i，故有zz1

2mπi（取mkk为任意整数）得zz1

2kπi.要注意Lnz与lnz的联系与区别.关于复数的对数函数，下面公式正确的是（ ）.Ln(zz12

)Lnz1

2

ln(zz12

)lnz1

2Lnz2解

2Lnz （D）lnz2

2lnzLn(zz12

)Ln|zz12

|iArg(zz)12Ln|z1

|iArgz1

Ln|z2

|iArgz2Lnz1

.2不正确在于Ln(zz12

)Ln|zz12

|iArg(zz)12而当argz1

argz2π或1

argz2

π时，arg(zz12

)argz1

argz2

，故（B）不成立.Ln(1)和它的主值分别是（ ）.（A）Ln(1)k1)πi,(k为整数）主值ln(1)02Ln(1)(2k1)πi,主值ln(1)πiLn(1)(2k1)πi,主值ln(1)πiLn(1)ln1iArg(1)，主值ln(1)πi解Ln(1)ln1iArg(1)i(2m1)π.，取mk1(mk也是整数）得Ln(1)i(2k1)π, ln(1)πi. 选（B）.注意复变量的三角函数与实变量三角函数的联系与差别.设k为整数，则方程sinz0的根是（ ）.zkπi （B）z2kπ （C）zkπ （D）z2kπeizeiz解 即 0，即e2iz1.设zxiy,e2ize2y(cos2xisin2x)1，故2iy0,cos2xxkπ. 选z.zLn(zz)

1LnzLnz12 1 2

z 1 22并说明以上性质对于函数lnz未必成立.证（1）Ln(zz12

)Ln|zz12

|iArg(zz)12Ln|z1

|iArgz1

Ln|z2

|iArgz2Lnz1

2（2）可用（1）的结果：z zLnz1

Ln( z2z

z)Ln 1Lnz.2 z 22故

1=Lnzz 12

Lnz.2以上等式成立的意思是说Arg(zz12

与1

+Argz2

是相同的集合.而对于主值：ln(zz12

)ln|zz12

|iarg(zz),12lnz1lnz2

ln|z1ln|z2

|iargz1|iargz.2不一定总有argz1

argz2

arg(zz).12如z1i,z1

i,则zz12

1iarg(z1

)3π,argz4

2

,arg(zz)312 4argzargz 5πarg(zz).1 2 4 12故lnz1

lnz2

一般不一定与lnzz12

相等，但当argz1

argz2

时，公式成立，如 ln(1)ln(ii)i(ππ)iπ不成.2 2lnz22lnz这是复函数与实函数不同之处，值得注意。zln z

1lnz都是成立的.2.zLnz22Lnz； （2）z解（1）不正确，因为

1Lnz2Lnz22ln|z|iArgz2而2Lnz2ln|z|2iArgz.由于2Argz2argz4k

是整数）1而 Argz22argz2k2两个集合不相同.

1π,(k2

是整数）正确

一般有两个值，一个是1argz，另一个是1argzπ.zzi( 2 2zzi( 故 Ln

1ln|z| 1 zk2 2而 1Lnz1ln|z|i(argz2π)2 2 21ln|z|i(1argzmπ). ①2 22i而 1i或1i.2iLn(1i)

1ln2i(π2mπ) ②2 4 1Ln(1i)

1ln2i(2mπ3)2 2 41ln2i[(2m1)ππ] ③2 2 4②式对应于①式k2mk2m2

1即奇数的值，故它们是相等的.反过来，便可以看出（1）不成立的原因.若 Ln(1i)2

ln22iArg(1i)ln2i(π4kπ) ④2而 Ln(1i)2

ln2i=ln2 π ki( 2 2i(

π) ⑤④式比⑤式中的虚部少了“一半”原因是尚有Ln(1i)2Ln(1i)2而 2Ln(1i)与2Ln(1i)是不一样.(1)exp[(1iπ)/4] (2)3i (3)i)i (4)i)i解（1）

exp[(1iπ)/4]

1 e4(cos

isin )4 42 1 12e4(1i).（2）eiln3ei(ln3i2k)e2kπ(cosln3isinln3),(k是整数）（3）(1i)i

eiLn(1i)eπ

i[1ln2i(2k2 4

(2k4

(cosln

isinln 2)2（4）ln(1i)2

(4

2kπ)iln 2(k是整数）.讨论函数lnz和Lnz解