钢管切割问题建模

PAGEPAGE7数学建模课程论文摘要本文分析了钢管切割最优问题，并建立了钢管下料切割费用最省的数学模型。如何能使自己的物品在满足顾客要求的前提下花费的总费用最少是众商家考虑的问题，lingo19使得总费用最省。关键词：钢管下料、切割模式、费用最少一．问题提出与分析某钢管从钢管厂进货，然后根据顾客的要求进行切割出售。假设进货的原料钢管1850mm15290mm，28350mm30根455mm41/102/105根产品。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料100mm。为了使得总费用最小，问应如何下料？二．条件假设忽略外界环境对钢管的加工忽略原料钢管切割过程中的原料损耗；忽略原料钢管切割过程因损坏而增加额外费用买进原料钢管的情况；假设都符合客户要求；三．符号说明x：按照第i种模式切割的原料钢管的根数i1,2,3,4；ir、r

、r、r3i

：第i种切割模式下每根原料钢管切割长290mm、315mm、350mm和455mm的钢管数量。四．问题分析对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式。所谓切割模式，是指按照顾客要求1850mm的钢管切割成4455mm30mm；或者将长1850mm290mm1根，长350mm和455mm的钢管各220mm。显然，可行的切割模式是很多的，应当明确哪些切割模式是合理的。合理的切割模式要求每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm种模式切割多少根原料钢管最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。若要求最省的下料方法则要分别对两种目标分别进行讨论。如果按照以上的办法处理，首先要通过枚举法确定哪些4种模式，但是这种方法比较复杂。我们在这采用比较普遍性的方法，同时确定切割模式和切割数量，只使用合理的切割模式，其余料不应大于100mm。五．模型分析及求解由于不同切割模式不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的10增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的 10增加用，依次类推。为方便求解，在此假设原料钢管费用为单位1，于是以总费用最小为目标，即minZ1.1x1

1.2x2

1.3x3

1.4x4

1满足客户需求的约束条件为rxrxrxrx111 12 2 13 3 14 4rxr xr xr x211 22 2 23 3 24 rxr xrxr x

152821

311 32 2 33 3 34 4rxr xr xr x411 42 2 43 3 44

30

51850mm也不能少于1750mm（余料不能大于100mm，于是1750290r1750290r1750290r1750290r

315r21315r22315r23315r24

350r31350r32350r33350r34

455r41455r42455r43455r44

1850185018501850

最后，加上非负整数约束：x,ri ji

z， ijx和i

i,j1,2,3,4使目标1达到最ji小。显然这是线性整数规划模型。线性整数规划模型1~10虽然用LINGO软件可以直接求解，但为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。例如，由于4种切割模式的排列顺序是无关要紧的，所以不妨增加以下约束：xxxx1 2 3

11数不可能少于2901531528350214553019（根）。1850其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产290mm根原料钢管切割成6根290mm15根290mm3根原料钢管；第二种切割模式下只生产315mm钢管，一根原料钢管切割成5根315mm满足28根315mm6350mm钢管，一根原料钢管切割成5根350mm钢管，为满足21根350mm钢管的需求，需要5根原料钢管;455mm4根455mm钢管，为满足30根455mm钢管的需求，需要8根原料钢管。于是满足要求的这种生产计划共需要365822根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界，所以可增加以下约束：19xx1 2

xx3

22 将式1~12构成的模型输入LINGO如下：Model:Min=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;X1>=x2;X2>=x3;X3>=x4;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);End求解得到如下结果：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:21.50000Extendedsolversteps:732Totalsolveriterations:15492VariableValueReducedCostX114.00000-0.1000000X24.0000000.000000X31.0000000.1000000X40.0000000.2000000R111.0000000.000000R120.0000000.000000R132.0000000.000000R141.0000000.000000R212.0000000.000000R220.0000000.000000R230.0000000.000000R240.0000000.000000R310.0000000.000000R325.0000000.000000R331.0000000.000000R343.0000000.000000R412.0000000.000000R420.0000000.000000R432.0000000.000000R441.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice121.50000-1.00000021.0000000.0000003-0.9329838E-080.00000040.0000000.0000005-0.9329838E-080.000000620.000000.0000007100.00000.000000810.000000.000000955.000000.0000001080.000000.000000110.0000000.0000001290.000000.0000001345.000000.0000001410.000000.000000153.0000000.000000161.0000000.000000173.0000000.00000018-0.4664919E-08-1.200000即按照模式12，3分别切割1441根原料钢管，使用原料钢管总根数为19根。第一种切割模式下一根原料钢管切割成1根290mm2根315mm钢管和2根455mm钢管；第二种切割模式下一根原料钢管切割成5根350mm钢管；第三种切2根290mm钢管，1根350mm钢管和2根455mm钢管。六．模型检验minZxx1 2

xx3

得出需19根原料钢管下料，有多种切割模式，最优即按照模式1，2，3分别切割14根，4根，1根原料钢管。290mm的钢管有：114211615315mm的钢管有：2142828350mm的钢管有：54112121455mm的钢管有：