数字信号处理部分课堂讲义-第二章

第二章时域离散信号§1xx(n),n

x(n)

n- - 11、单位取样序列(n)

nn

1(n u(n)

nn

u(n)...... 2(n)u(n)u(n1而u(n)(nkk注意移位关系u(n+1)

u(-n-1)u(-n)左移1实指数序列an

0a1...1-1 Acos(0n),0,实00复指e(j0)n:encosnj00二.x.yx(n).y(n),x(n)x(n).xyx(n)y(n),x(n)y(n)x(n)

zz

>

…zn0z

x(nn0zz<1>

x(n)e(j0Qen非周

xn)2当0x(neej0(n2/0

ej(0n25

为整数,其周期0 若

Q0

(PQ互素)其周期为P 00

为无理数,

n

x(n和6x(0)x(1)x(2)x(3)x(0)x(1)x(2)x(3)n x(n)x(0)(n)x(1)(n1)x(2)(n3x(3)(n3)x(k)(nk)3k一般：x(nx(k)(nkk7

Xa(j)

x(t)ejtax(t) a

X(

jt 2 X(ej)x(n)ex(n)

X(e

注X(ej的周期为2模拟频率,数字频率,8x(n)——>T[x(n)]—— 满足叠加原理：y1(n)Tx1(n),y2nT

Tax(n)bx(n)aTx(n)bTx(n)ay(n)

则T为线性系统，egegy(n2 y(nk2x(nk)9三、信号通过线性非移变系统的响x(n)Ty(n) y(n)Tx(n)Tx(k)(nk)Tx(k)(nk)x(k)T(nkk

k

k 则

k

x(k)h(nk)x(n)*h(n)h(n)*x(n)

h(k)x(nkk注(n)单位取样h(n)单位取样:

y(n)x(n)*h(n)h(n)*x(n)1卷积：x(n),1

y（n）x(k)h(nkkx(k)1h(-k)

0123 1-4-3-2-1 n0,y(0)1*1n1,y(1)1*11*1y(n)y(n)4523101

34567 y(n)x(k)h(nk对n0有值的两个序列kn0将x(k)与h(k)对应的幅值

再相n1将x(k)与h(1k)对应的的幅值

n2将x(k)与h(2k)对应的幅值

四.系统的稳定性和因稳定系

对线性非移变系统稳定的充要条件是 sk

h(k)

M,则由h(kk

y(n)Qy(n)

x(k)h(nk)k

h(k)x(nkkMh(kk

M

h(k)必要性:由系统h(k)

h(k)kk取x(n)

h*(n)0

h(n)h(n)

1,即x(n)此时n0时的输y(0)h(k)x(k)k

h(kk

h*(k

h(k

h(k)h(k)h(kh(k)sk 2、因果系统Qn0u(n)0

:h(n)anu(n)性又s

k

h(k

akk0当

1时,s

1 而 1时,s1 该系统只有 1时才稳例2.判断下述系统的1线性2非移变性34稳定y(n)x(n)sin(2n)1y

(n)

x1(n)

2 y2(n) x2(n)

2 T (n)

(n)

(n)

(n)

n

6 x

(n)

2

x

(n)

2 nn y

(n)

y2(n 是线性系2QTx(nk)x(nk)sin(2n 而y(nkx(nksin2(nkTx(n 3n时刻的输出只

n时刻的输入有n时刻以后的输入无是因果系4y(n)x(n).

n 7

,

y(n)§3xn

X(e

) n

x(n)

j

n

x(n

X(ej)e对单位取样响应h(n),频率响应,即

H(ej)为系统H(ej)h(n)ejn(周期为2的连续函数而:h(n)

H(e

)e 求H(e)

0nN-1

h(n)...012 N- N

N

1

H

)

e1j j jeN (e

eN j

2sin(N

j(N1).

.e

H(e

)

j

( )sin( 幅度:Hej)

N)

sin2相位argHej

N12H(ej

NN022H(e

)

)1)10222 h(n)

cejnd 1.

jn

ejcn1sin(2 当

2时h(n)如图

2 1 3

1 13显然n0,h(n0,非因k

h(k

k

k

二.

换关y(n)x(n)*h(n)x(k)h(nkk

则Y(e

)

x(k)h(n

nk

k

x(k)h(nk)e k

x(k

j

.h(nk)en

j(nk k

x(k

j

(

jw)

X(e

)H(ej :xe(n)xe*(n)

:xo(n)

个序列x(n)可表示x(n)xe(n)xo其中x(n1x(nx x(n)1x(n)x

偶序列xe(nxe奇序列xo(nxoX(ej)X(ej)X(ej 其中X(ej1X(ejX*(ej X(ej)1X(ej)X*(ej Xe )是共轭对称:Xe Xe*(e X0 )称共1x(n)(复序列X(ej

:Xo )Xo*(e 则x*(nX*(ejx*(nX*(ej 证明:x*(n)ejnx(n)ejn X*(ejn

n

x*(n)ejnx(n)ejn x(n)ejn X*(ejn

n

n 2Rex(n)X(ej);

(e x(n)ReX(ej);x(n) 证明Re[x(n)]1x(n)x*(n)1X(ej)X*(ej) (ej jIm[x(n)]1x(n)x*(n)1X(ejw)X*(ej) (ej x(n)1x(n)x*(n)1X(ej)X*(ej)ReX(e 1x(n)x*(n)1X(ej)X*(ej) x0 3实序列Qx*(nx(n)根据性质1X(ejX*(ej)是共轭对因此ReX(ej)ReX(ej)偶函 X(ej) X(ej)奇函 若记X(ej

则,X(ej)

X(ej

偶函数(幅度argX(ej)argX(ej)奇函数(相位即

x(n)变换是共

称的

X(ej)而虚部和相位均为奇函数 时域连续x(t) xs(tT(t)(tnTxs(t)x(t)T(t)x(t)(tnT)n

x(nT)(tnTn x(t).x(t) X()*

T Txs

()

X()*

而,QT(t)是周期函数 T(t)

Ane.t nA

T/

(t).ejnstdt

(注

x(t)(t)dt TT/2

T(t)

n

ej2nfs

n

ejnstsQFejnst2( s2

(nsn 1 Txs()2x()*T()T

x()*(ns n1Tn

x(nss

fAf(原频率nfs(采样频率fs2fc二、信号的恢复Q

2

当

s2

Xs(1sXs()1s

X((

2

c wR()

1,0,

s/s/即可将原信号的频谱完整提取x()T.xs().WR变换 质:xs(t)*wr(t)Xs().WRx(t)Txs(t)*wR(t而w(t

s(t/2)

1s(t/

xs(t)x(t)(tnT)

x(nT)(tnTx(t)

n

x(nT)(tnT)

1T

(st2 x(nT).sa s(tnTn

n

x(nT).

(tnT sin(tnT x(nT n (tnTT

x(n),n

双边z:X

x(n)zn单边zX(z)

zn若x(n)因果序列,一般zreX(z)x(n)zn

x(n)(rej)nn

x(n)rnejn当r即)

1时X(z)X(e使X(z)解析的所有z对X(ej)x(n)n对Zrnx(n如:x(n)u(n),变换不 敛r1,则rnu(n)u(n)的zuz)1:z

zz1zz2z10,z2

jIm0

RejImjIm

z11

:X(z)

xnzn分四种情况nn1n10,0,0zn10,0,0zn10,0,0zn10,0n),0z2右向序列X(z)x(n)znn当n10,设X(z)在zz处绝对收敛,即

1则当1

z

时

x(n)z

x(n)zn

z1

z当n10,除去z一点,z1z3左向序列:X(z) x(n)zn,分两种情况n当n2n2

0z0z4双边序 X(z)x(n)znx(n)zn

z

z收敛域:z1zz面,;右向序列圆外面,;,;例x(n)a

n,n

的z bn,naX(z)

x(n)zn

bnzn

anznbnznanzn1bnznanzn

1 1 1b1 1az b z z

z

z(2zab)(za)(zb)

azjImzjImz z 二z见p53表22时间翻转.x(n)X(z),

r1z则x(nX(z1

1z1r2 证明

x(n)znn

m

x(m)zm

x(m)(z1)mm

X(z)QX(z1满足

z

r, z1eg.Zu(n)

,z1z

,z1 双边.x(n)x(z)x(nm)zmX(z),(m1左移x(nmzmX(z1x(k)zk k 证明Zx(nm)x(nm)zn

zmx(mn)z(nm k

k m k令k

m

则上式 x(kkm

x(kk

x(k)zk m

m k X(z)x(k)z k 如:Zx(n1)zX(z)x(0)Zx(n2)z2X(zx(0)z1x(n)可任意,与是否因果无2x(nm)

z

X(z)

km

x(k)zk nx(n)zdX(z)'(z) 证明:X(z)x(n)znn X'(z)

x(n).(n).z(

z1nx(n)z

z1例:求nu(n)的z变Z

1z

zZnu(n)zU'(z)z(z1) z1

(z

(z三、z反变x(nZ1X(z),已知X(z)求幂级数展开和长除例1已知X(z

1z1.25z1.25时的序列z1.25圆外部,x(n)是右序列X(z)应展成z1的幂级数形式,利用长除X(z)1.25z1(1.25)2z2(1.25)nznx(n)

n,n

0,n z1.25,x(n)左边序列展成z的幂级数形式X(z)10.8z(0.8)2z2(0.8)nzn

(0.8)nzn0n0x(n)

(0.8)n,n0,n例2X(z)log(1az1za求

(1)n1anzlog(1

nnx(n)

(1)n1 00

,n部分分式展已

a,x(n)anu(n1az z或利用查表求相应

zx(n)

a,x(n)anu(nX(z)

,(1z1)(1eTz1

1,求X(z)

z2z

,2

z3,求解1X(z

1

1eTz

,A1

1

,A2

1x(n)

1

1

(eT)n(1)X(z)

z2z

,2

z z

z

,A1,B

z z (3),n例4.求x(n),Xz)

z2

,zz26zX(z)

z z

2z z26z

z

z

z z例5.求Xz)X(z)

(1z1)(1z1z

x(n)(z1)(zX(z) z

(z1)(zA11/4,A23/

z z (z1/X(z)1

1 z2(z z 31 z2(zx(n)1(1)n.u(n)3.u(n) z3留数计算设a,b分别是Xz)在其收敛域上

c与外部的两组

,留数定理 x(n)

ResX(z)zn1,((zk(z (z ).X(z).

ResX(z)zn1, kkk).X(z).X(z). z

z留数法计算较复杂,一般不常用例:X

1za,X(z)

nzn

x(n)

X(z).zn1,

zn zReszz

,a

(za

aza极点在c外n0,非因果左边序列x(n)an.u(nssX*(s)

x(t)est

x(nT)(tnT)estx(nT)esnTxn)

x(nT由上式可看出:X*s)Xz

z:序列的z变换可由取样信号的

氏变换通复变量s平面到复变(z)zzesT(z)z

z平面的映射变换得到zz

j,s

jI

(z)则re

e(j reT

0,讨论,当0,0,

而对zT/T/即s2sS平面上相继宽度为sXz)与X(ej)XjX

X(z

z单位取样响h(n)的zH(z)h(n)znn为H(z)

z例1:某线性非移