工学力学学习课件配哈工大第七版下册第四章

第四章

机械振动基础第四章

机械振动基础1机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。学习目的：利用有益的振动，减少有害的振动。振动系统包括：单自由度系统、多自由度系统和连续体等。机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。学习目的：利用有益的21.自由振动微分方程§4－1单自由度系统的自由振动设弹簧原长为在重力的作用下刚度系数为k弹簧的变形为这一位置为平衡位置称为静变形1.自由振动微分方程§4－1单自由度系统的自由振动设弹3取重物的平衡位置点O为坐标原点其运动微分方程为取x轴的正向铅直向下则取重物的平衡位置点O为坐标原点其运动微分方程为取x轴的正向4上式表明：物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力恢复力只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式上式表明：物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离5其解具有如下形式其中r为待定常数本征方程本征方程的两个根为和是两个共轭虚根微分方程的解为其解具有如下形式其中r为待定常数本征方程本征方程的两个根为和6其中和是积分常数，由运动的起始条件确定令：无阻尼自由振动是简谐振动其中和是积分常数，由运动的起始条件确定令：无阻尼自72.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率－－周期振动若运动规律x(t)

可以写为T为常数－－周期由式2.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率－－周期振动若运动规律8自由振动的周期为其中－－振动的频率，表示每秒钟的振动次数。由式自由振动的周期为其中－－振动的频率，表示每9只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关而与运动的初始条件无关它是振动系统固有的特性所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率）m=P/g只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关而与运动的初始条件无10（2）振幅与初相角A表示相对于振动中心点O的最大位移－－振幅－－相位（或相位角）表示质点在某瞬时t的位置而θ表示质点运动的起始位置－－初相角设t=0时，（2）振幅与初相角A表示相对于振动中心点O的最大位移－－振幅113.弹簧的并联与串联（1）弹簧并联在平衡时有令－－等效弹簧刚度系数3.弹簧的并联与串联（1）弹簧并联在平衡时有令－－等效弹簧刚12固有频率

当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。固有频率当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个13（2）弹簧串联两个弹簧总的静伸长若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为则有比较上面两式得（2）弹簧串联两个弹簧总的静伸长若设串联弹簧系统的等效弹簧刚14固有频率为当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形固有频率为当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个154.其他类型的单自由振动系统图为一扭振系统运动微分方程为令则上式可变为4.其他类型的单自由振动系统图为一扭振系统运动微分方程为令则16例4－1已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上，并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。倾角求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。例4－1已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度17解：若物块平衡时，弹簧应有变形量以物块平衡位置O为原点，取x轴如图，运动微分方程为通解为解：若物块平衡时，弹簧应有变形量以物块平衡位置O为原点，取x18固有频率当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点运动方程为固有频率当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点运动方19例4－2已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m的物块时，其静挠度为2mm，若将此物块在梁未变形位置处无初速释放。求：系统的振动规律。例4－2已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m的物块时20解：此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长则梁的刚度系数为取其平衡位置为坐标原点,x轴方向铅直向下运动微分方程为设解：此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长则梁21固有频率在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上其坐标重物初速度则振幅为初相角最后得系统的自由振动规律为固有频率在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上其坐标重物初速度22例4－3已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴O

的转动惯量为J，弹簧刚度系数为k。杆于水平位置平衡。求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。例4－3已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴O23解：摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量由平衡方程以平衡位置为原点，摆绕轴O的转动微分方程为解：摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量由平衡方程以平衡位置为原点24例4－4已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳。轮I连一铅直弹簧，轮II挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆为J，弹簧刚度系数为k，重物质量为m。求：此系统振动的固有频率。例4－4已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径求：25解：以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。系统的势能为不计摩擦，由系统的机械能守恒常数系统动能为解：以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。系统的势能为不26上式两端对时间取一阶导数，得－－自由振动微分方程系统的固有频率为上式两端对时间取一阶导数，得－－自由振动微分方程系统的固有频27如图所示无阻尼振动系统当系统作自由振动时，运动规律为速度为在瞬时t物块的动能为§4－2计算固有频率的能量法如图所示无阻尼振动系统当系统作自由振动时，运动规律为速度为在28若选平衡位置为零势能点，有

对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的单独弹性力的势能。若选平衡位置为零势能点，有对于有重力影响的弹性系统，29当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能由机械守恒定律可得系统的固有频率当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能当物块处于30例4－5求：系统作微振动时的固有频率。已知：如图振动系统中，摆杆OA对铰链点O的转动惯量J，杆的点A和B各安置一个弹簧，刚度系数分别为和。系统在水平位置处于平衡。例4－5求：系统作微振动时的固有频率。已知：如图振动系统中31解：系统振动时摆杆的最大角速度系统的最大动能为选择平衡位置为零势能点最大势能为解：系统振动时摆杆的最大角速度系统的最大动能为选择平衡位置为32即解得固有频率由机械能守恒定律有即解得固有频率由机械能守恒定律有33例4－6求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。例4－6求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。已知34解：系统的动能为系统的势能为解：系统的动能为系统的势能为35当圆柱体作微振动时，可认为设系统作自由振动时θ的变化规律为则系统的最大动能系统的最大势能由机械守恒定律有解得系统的固有频率为当圆柱体作微振动时，可认为设系统作自由振动时θ的变化规律为则361.阻尼§4－3单自由度系统的有阻尼自由振动阻尼－－振动过程中的阻力。粘性阻尼－－当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比。其中：c－－粘性阻力系数（简称为阻力系数）以阻尼元件c表示。一般的机械振动系统弹性元件（k）惯性元件（m）阻尼元件（c）1.阻尼§4－3单自由度系统的有阻尼自由振动阻尼－－振372.振动微分方程如以平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力的作用。在振动过程中作用在物块上的力有（1）恢复力（2）粘性阻尼力2.振动微分方程如以平衡位置为坐标原点，在振动过程中作用在物38物块的运动微分方程为令－－固有角（圆）频率－－阻尼系数－－有阻尼自由振动微分方程的标准形式物块的运动微分方程为令－－固有角（圆）频率－－阻尼系数－39其解可设为本征方程方程的两个根为通解为其解可设为本征方程方程的两个根为通解为403.欠阻尼状态欠阻尼状态本方程的两个根为共轭复数其中A和θ为两个积分常数，由运动的初始条件确定。－－有阻尼自由振动的固有角频率令3.欠阻尼状态欠阻尼状态本方程的两个根为共轭复数其中A和θ为41设t=0，振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。是否为周期振动呢？仍具有振动的特点。设t=0，振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。是否为42定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需要的时间称为衰减振动的周期，记为定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需要的时间43令称为阻尼比令称为阻尼比44设在某瞬时t，振动达到的最大偏离值为A，经过一个周期后－－减缩因数－－相当振幅－－对数减缩，反映阻尼的参数。设在某瞬时t，振动达到的最大偏离值为A，经过一个周期454.临界阻尼临界阻尼状态－－临界阻力系数本征方程的根为两个相等的实根微分方程的解为是否具有振动的特点？其中和为两个积分常数，由运动的起始条件决定。物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置因此运动已不具有振动的特点4.临界阻尼临界阻尼状态－－临界阻力系数本征方程的根为两个相46过阻尼状态阻力系数本征方程的根为两个不等的实根微分方程的解为5.过阻尼状态其中和为两个积分常数，由运动起始条件来确定过阻尼状态阻力系数本征方程的根为两个不等的实根微分方程的解为47运动图线如图不具有振动性质运动图线如图不具有振动性质48例4－7已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系数为kt，圆盘对杆轴的转动惯量J，如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为。求：圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系例4－7已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系求49解：设为阻力偶系数圆盘绕杆轴转动微分方程为解：设为阻力偶系数圆盘绕杆轴转动微分方程为50例4－8求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。已知：如图弹簧质量阻尼系统，其物体质量为0.05kg，弹簧刚度系数k=2000N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅比。例4－8求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。已知：如51解：对数减缩为阻尼比为系统的临界阻力系数为阻力系数解：对数减缩为阻尼比为系统的临界阻力系数为阻力系数52§4－4单自由度系统的无阻尼受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力其中：H称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；是激振力的初相角；§4－4单自由度系统的无阻尼受迫振动在外加激振力作用下531.振动微分方程恢复力质点的运动微分方程为取物块的平衡位置为坐标原点，x轴向下为正。令1.振动微分方程恢复力质点的运动微分方程为取物块的平衡位置为54齐次方程的通解为设特解有如下形式其中b为待定常数将代入方程全解为齐次方程的通解为设特解有如下形式其中b为待定常数将代入方55上式表明无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。第一部分是频率为固有频率的自由振动第二部分是频率为激振力频率的振动－－受迫振动上式表明无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。第一部分是频率为562.受迫振动的振幅（1）若即激振力为一恒力，此时并不振动所谓的振幅实为静力H作用下的静变形（2）若振幅b随着频率ω单调上升当ω接近时，振幅b将趋于无穷大。2.受迫振动的振幅（1）若即激振力为一恒力，此时并不振动所谓57（3）若b为负值b取其绝对值，而视受迫振动，与激振力反向随着激振力频率ω增大，振幅b减小。当ω趋于∞，振幅b趋于零。（3）若b为负值b取其绝对值，而视受迫振动，与激振力反58振幅b与激振力频率ω之间的关系曲线称为振幅频率曲线，又称为共振曲线。将纵轴取为横轴取为振幅频率曲线如图所示振幅b与激振力频率ω之间的关系曲线称为振幅频率曲线，将纵轴取593.共振现象当时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅b在理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。当时没有意义微分方程式的特解应具有下面的形式代入3.共振现象当时，即激振力频率等于系统的固有频率60当时，系统共振。受迫振动的振幅随时间无限地增大。其运动图线如图所示它的幅值为共振时受迫振动的运动规律为当时，系统共振。受迫振动的振幅随时间无限地增大。61例4－9已知：如图长为l无重杠杆OA，其一端O铰支，另一端A水平悬挂在刚度系数为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球，若在点A加一激振力，其中激振力的频率，为系统的固有频率忽略阻尼。求：系统的受迫振动规律。例4－9已知：如图长为l无重杠杆OA，其一端O铰支，另一62解：设任一瞬时刚杆的摆角为系统的运动微分方程为令解：设任一瞬时刚杆的摆角为系统的运动微分方程为令63可得上述方程的特解，即受迫振动为将代入上式可得上述方程的特解，即受迫振动为将代入上式64例4－10求：当电机以匀速角速度ω旋转时，系统的受迫振动规律。已知：如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上，设电机的质量为，偏心矩为e，弹性梁的刚度系数为k。偏心块的质量为例4－10求：当电机以匀速角速度ω旋转时，系统的受迫振动规65解：质点系动量定理的微分方程质点系包括电机和偏心块。以平衡位置为坐标原点，电机轴心的坐标为x。解：质点系动量定理的微分方程质点系包括电机和偏心块。66受迫振动振幅上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示微分方程令受迫振动振幅上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示微分方程67例4－11求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。已知：如图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数k，测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为例4－11求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。已68解：测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是取t=0时物块的平衡位置为坐标原点O取x轴如图物块绝对运动的微分方程为（a）物块的受迫振动形式为此时激振力的力幅为H=ke解：测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是取t=069b为物块绝对运动的振幅由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e。记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅当时有记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。b为物块绝对运动的振幅由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e。记70§4－5单自由度系统的有阻尼受迫振动选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下线性恢复力粘性阻尼力简谐激振力质点运动微分方程令－－有阻尼受迫振动微分方程的标准形式§4－5单自由度系统的有阻尼受迫振动选平衡位置O为坐标原71其解由两部分组成在欠阻尼的状态下有其中ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角其解由两部分组成在欠阻尼的状态下有其中ε表示受72对任意瞬时t，上式都必须是恒等式对任意瞬时t，上式都必须是恒等式73将上述两方程联立可解出于是得方程的通解为其中A和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。将上述两方程联立可解出于是得方程的通解为其中A和θ为积分常数74受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。有阻尼受迫振动包括两部分衰减振动过渡过程受迫振动稳态过程振动频率＝激振力的频率受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。有阻尼受迫振动包括两75振幅频率关系曲线横轴表示频率比纵轴表示振幅比影响振幅的因素：激振力的力幅、频率、m、k和c。振幅频率关系曲线横轴表示频率比纵轴表示振幅比影响振幅的因素：76（1）当时当作无阻尼受迫振动处理。（2）当阻尼增大，振幅下降。振幅b具有最大值这时的频率称为共振频率。（1）当时当作无阻尼受迫振动处理。（2）当阻77在一般情况下阻尼比共振频率共振的振幅为（3）当时阻尼对受迫振动的振幅影响也较小将系统当作无阻尼系统处理在一般情况下阻尼比共振频率共振的振幅为（3）当78有阻尼受迫振动的相位角，总比激振力落后一个相位角ε，ε称为相位差。相位差ε随激振力频率变化曲线如图有阻尼受迫振动的相位角，总比激振力落后一个相相位差ε随激振力79例4－12已知：如图为一无重刚杆，其一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻力系数为c，距3l处有一刚度系数为k的弹簧。并作用一简谐激振力。刚杆在水平位置平衡。试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率以及当激振力频率ω等于时质点的振幅。例4－12已知：如图为一无重刚杆，其一端铰支，距铰支端l处80解：设刚杆摆角为θ，振动微分方程为令即系统的固有频率。当时质点的振幅解：设刚杆摆角为θ，振动微分方程为令即系统的固有频率。当81§4－6转子的临界转速使转子发生激烈振动的特定转速－－临界转速。单圆盘转子：质量m，质心为C，圆盘与轴的交点为A，偏心距为e＝AC。圆盘角速度为，转轴弯曲偏离原来的固定轴线，点O为z轴与圆盘的交点，。设转轴安装于圆盘的中点。圆盘惯性力：弹性恢复力：§4－6转子的临界转速使转子发生激烈振动的特定转速－－临82使转轴挠度异常增大的转动角速度－－临界角速度。记为此时的转速称为临界转速。记为使转轴挠度异常增大的转动角速度记为此时的转速称为临界转速。记83§4－7隔振隔振分为主动隔振和被动隔振两类。1.主动隔振主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。如图所示为主动隔振的简化模型。由振源产生的激振力隔振：将振源和需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼元件进行隔离。减振：使振动物体的振动减弱的措施。§4－7隔振隔振分为主动隔振和被动隔振两类。1.主动隔振84按有阻尼受迫振动的理论物块的振幅为弹簧变形而作用于基础上的力通过阻尼元件作用于基础的力这两部分力相位差为90°,而频率相同按有阻尼受迫振动的理论物块的振幅为弹簧变形而作用于基础上的力85它们可以合成为一个同频率的合力，合力的最大值为它与激振力的力幅H之比为其中η称为力的传递率它们可以合成为一个同频率的合力，合力的最大值为它与激振力的力86在不同阻尼情况下传递率η与频率比s之间的关系曲线在不同阻尼情况下传递率η与频率比s之间的关系曲线872.被动隔振将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。图为被动隔振的简化模型设地基振动为简谐振动将引起搁置在其上物体的振动，这种激振称为位移激振。质点运动微分方程为2.被动隔振将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。图为被动88将的表达式代入其中方程的特解（稳态振动）为将的表达式代入其中方程的特解（稳态振动）为89写成纲量为1的形式其中是振动物体的位移与地基激振动位移之比称为位移的传递率写成纲量为1的形式其中是振动物体的位移与地基激振动位移之90例4－13求：汽车以速度v=45km/h匀速前进时，车体的垂直振幅为多少？汽车的临界速度为多少？已知：如图为一汽车在波形路面行走的力学模型，其中幅度的d=25mm，波长l=5m，汽车质量为m=3000kg，弹簧刚度系数为k=294kN/m，忽略阻尼。路面的波形用公式表示，例4－13求：汽车以速度v=45km/h匀速前进时，车体的91解：令则其中ω相当于位移激振频率以汽车起始位置为坐标原点，路面波形方程可以写为系统的固有频率为解：令则其中ω相当于位移激振频率以汽车92激振频率与固有频率的频率比为求得位移传递率为因此振幅当时系统发生共振有解得临界速度激振频率与固有频率的频率比为求得位移传递率为因此振幅当93§4－8两个自由度系统的自由振动例子：汽车的振动§4－8两个自由度系统的自由振动例子：汽车的振动94上式是一个二阶线性齐次微分方程组两个物块的运动微分方程令上式是一个二阶线性齐次微分方程组两个物块的运动微分方程令95上列方程组的解为其中：A、B是振幅；ω为角频率将上式代入上列方程组的解为其中：A、B是振幅；ω为角频率将上式代入96整理后得系统发生振动时，方程具有非零解则方程的系数行列式必须等于零－－频率行列式－－系统的本征方程，称为频率方程整理后得系统发生振动时，方程具有非零解则方程的系数行列式必须97整理得其中第一根较小，称为第一固有频率。其中第二根较大，称为第二固有频率。结论两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。整理得其中第一根较小，称为第一固有频率。其中第二根98对应于频率的振幅为对应于频率的振幅为其中和为比例常数对应于频率的振幅为对应于频率的振幅为其中和99对应于第一固有频率的振动称为第一主振动它的运动规律为对应于第二固有频率的振动称为第二主振动它的运动规律为对应于第一固有频率的振动称为第一主振动它的运动规律为对应100各个主振动中两个物块的振幅比图b表示在第一主振动中振动形状称为第一主振型图c表示在第二主振动中振动形状称为第二主振型图c中的点C是始终不振动的节点各个主振动中两个物块的振幅比图b表示在第一主振动中振动形状称101主振型和固有频率一样都只与系统本身的参数有关而与振动的初始条件无关因此主振型也叫固有振型.自由振动微分方程的全解为第一主振动与第二主振动的叠加即其中包含4个待定常数它们应由运动的4个初始条件确定主振型和固有频率一样都只与系统本身的参数有关而与振动的初始条102例4－14求：系统的固有频率和主振型。梁的质量忽略不计。已知：如图表示一具有两个集中质量的简支梁在质量处梁的影响系数分别为和，例4－14求：系统的固有频率和主振型。梁的质量忽略不计。已103解：这是两个自由度的振动系统惯性力分别为，根据达朗贝尔原理和材料力学中的变形叠加原理由两个惯性力在和处产生的挠度分别为解：这是两个自由度的振动系统惯性力分别为，根据104整理得系统的运动微分方程（a）令（b）则方程（a）可改写为（c）设上述方程解的形式为（d）整理得系统的运动微分方程（a）令（b）则方程（a）可改写为（105将式（d）代入方程（c）得（e）频率方程为将行列式展开，得解此代数方程，得到关于频率的两个根（f）将式（d）代入方程（c）得（e）频率方程为将行列式展开，得解106整理得（g）可以证明的两个根都是正实根和为系统的两个固有频率振幅比为（h）（i）整理得（g）可以证明的两个根都是正实根和为系统的两107同样可证明和这样可以画出第一主振型和第二主振型如图b，c所示设则根据材料力学公式可计算出其中EI为梁截面的抗弯刚度同样可证明和这样可以画出第一主振型和第二主振型如108再将上述表达式代入式（g）中得再由式（h）和（i）解得振幅比为梁对于其中点具有对称和反对称的两个主振型将上式代入公式（b）得再将上述表达式代入式（g）中得再由式（h）和（i）解得振109例4－15已知：均质细杆质量为m，长为l，由两个刚度系数皆为k的弹簧对称支承。求：此系统的固有频率和固有振型。例4－15已知：均质细杆质量为m，长为l，由两个刚度系数皆110解：此时细杆的质心坐标为（a）细杆绕质心C的微小转角（b）列出细杆的平面运动微分方程解：此时细杆的质心坐标为（a）细杆绕质心C的微小转角（b）111将式（a）和式（b）代入上两式注意则可整理为（c）其中只求系统的固有频率和固有振型时可取振动的初始角θ=0而设式（c）的解为（d）将上式代入式（c）消去得（e）将式（a）和式（b）代入上两式注意则可整理为（c）其中只求系112（f）当时为使式（e）中两个方程都满足这是对应于直杆上下平动的固有振型当时为使式（e）中两个方程都满足这是对应于质心不动而绕质心转动的固有振型（f）当时为使式（e）中两个方程都满足这是对应于直113如果直接取质心位移和绕质心的转角为系统的两个独立坐标则直杆的平面运动微分方程为（g）上式是对和互相独立的两个微分方程系统的两个固有振型随同质心的平移位移绕质心转动的角位移和称为此系统的两个主坐标如果直接取质心位移和绕质心的转角为系统的两个独立坐标则直114例4－16求：小车和重物的运动。已知：如图起重机小车，在质心A处用绳悬挂一重物B，设绳和弹簧质量均忽略不计。当小车连同重物B以匀速度碰上缓冲器后。左侧弹簧是一缓冲器，刚度系数为k=852.6kN/m，其质量为其质量为例4－16求：小车和重物的运动。已知：如图起重机小车，在质115解：应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程视小车和重物为两个质点则系统动能为其中广义坐标：小车的水平位移x

绳AB偏离铅直的角度解：应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程视小车和重物为两个116系统的势能等于弹簧势能与重力势能的和系统的势能等于弹簧势能与重力势能的和117偏角很小，并略去如下线性微分方程组（a）设上述方程组的解为（b）将所设解（b）代入式（a）中并令（c）偏角很小，并略去如下线性微分方程组（a）设上述方程组的解118频率方程为或令频率方程为或令119代入题设数据，得系统的两个固有频率为系统的两个主振动为（d）代入题设数据，得系统的两个固有频率为系统的两个主振动为（d）120系统的振动规律为（e）现在来确定4个数值将式（e）取一阶导数得（f）系统的振动规律为（e）现在来确定121初始条件：t=0时将它们代入式（e）和（f）中解得因此,小车和重物的运动规律为初始条件：t=0时将它们代入式（e）和（f）中解得因此,小车122§4－9两个自由度系统的受迫振动·动力减振器如图所示是一个无阻尼系统在主质量上作用有激振力小质量以刚度系数为的弹簧与主质量连接可用来减小的振动，称为动力减振器。－－相对平衡位置的位移－－相对平衡位置的位移§4－9两个自由度系统的受迫振动·动力减振器如图所示是一123建立两个质量的运动微分方程为令则上式可简化为设上述方程一组特解为式中A和B为和的振幅是待定常数建立两个质量的运动微分方程为令则上式可简化为设上述方程一组特124解上述代数方程组得下面分析受迫振动的振幅与激振频率之间的关系（1）当激振频率时周期表示激振力变化及其缓慢，实际上相当于静力作用－－力幅H的作用下主质量的静位移解上述代数方程组得下面分析受迫振动的振幅与激振频率之间的关系125（2）系统的频率方程为由此可解得系统的固有频率和所以当激振频率或时振幅A和B都成为无穷大，即系统发生共振。由此可见两个自由度系统有两个共振频率。（2）系统的频率方程为由此可解得系统的固有频率和所以当激126（3）即二物块振幅之比与干扰力频率有关不再是自由振动的主振型。当或时或当系统发生各阶共振时，受迫振动是各阶主振型。利用实验测固有频率和固有振型。（3）即二物块振幅之比与干扰力频率有关当或127设如图所示系统中，其中是没有时主质量系统的固有频率实例：设如图所示系统中，其中是没有时主质量128[工学]力学学习课件配哈工大第七版下册第四章129振幅比αβ随频率比变化的关系曲线如图所示振幅比αβ随频率比变化的关系曲线如图所示130即激振力频率等于减振器本身的固有频率时振幅A=0而振幅B=但与激振力反相位此时质量振动而主质量不动，故称为动力减振如果一个振动系统受到一个频率不变的激振力作用而发生振动，则可在这振动系统上安装一个动力减振器来减小甚至消除这种振动。－－无阻尼减振器即激振力频率等于减振器本身的固有频率时振幅A=0而振幅131有阻尼动力减振器它的减振作用主要是靠阻尼元件在振动过程中，吸收振动能量来达到减振的目的。此外还有冲击减振器如图所示有阻尼动力减振器它的减振作用主要是靠阻尼元件在振动过程中，此132例4－17已知：电机的转速为1500r/min，由于转子不平衡使机壳发生较大的振动，为减少机壳的振动，机壳上安装数个如图的动力减振器，该减振器由一钢制圆截面弹性杆和两个安装在杆两端重块组成，杆的中部固定在机壳上，重块到中点的距离l可用螺杆来调节，重块质量为m=5kg，圆杆的直径D=20mm。问：重块距中点的距离l应等于多少时减振器的减振效果最好。例4－17已知：电机的转速为1500r/min，由于转子不133解：电机机壳受迫振动的角频率为螺杆的刚度系数k可由材料力学公式计算有其中是螺杆截面惯性矩是材料的弹性模量l为悬臂杆的杆长减振器自身的固有频率为令解得杆长解：电机机壳受迫振动的角频率为螺杆的刚度系数k可由材料力学公134第四章

机械振动基础第四章

机械振动基础135机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。学习目的：利用有益的振动，减少有害的振动。振动系统包括：单自由度系统、多自由度系统和连续体等。机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。学习目的：利用有益的1361.自由振动微分方程§4－1单自由度系统的自由振动设弹簧原长为在重力的作用下刚度系数为k弹簧的变形为这一位置为平衡位置称为静变形1.自由振动微分方程§4－1单自由度系统的自由振动设弹137取重物的平衡位置点O为坐标原点其运动微分方程为取x轴的正向铅直向下则取重物的平衡位置点O为坐标原点其运动微分方程为取x轴的正向138上式表明：物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力恢复力只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式上式表明：物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离139其解具有如下形式其中r为待定常数本征方程本征方程的两个根为和是两个共轭虚根微分方程的解为其解具有如下形式其中r为待定常数本征方程本征方程的两个根为和140其中和是积分常数，由运动的起始条件确定令：无阻尼自由振动是简谐振动其中和是积分常数，由运动的起始条件确定令：无阻尼自1412.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率－－周期振动若运动规律x(t)

可以写为T为常数－－周期由式2.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率－－周期振动若运动规律142自由振动的周期为其中－－振动的频率，表示每秒钟的振动次数。由式自由振动的周期为其中－－振动的频率，表示每143只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关而与运动的初始条件无关它是振动系统固有的特性所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率）m=P/g只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关而与运动的初始条件无144（2）振幅与初相角A表示相对于振动中心点O的最大位移－－振幅－－相位（或相位角）表示质点在某瞬时t的位置而θ表示质点运动的起始位置－－初相角设t=0时，（2）振幅与初相角A表示相对于振动中心点O的最大位移－－振幅1453.弹簧的并联与串联（1）弹簧并联在平衡时有令－－等效弹簧刚度系数3.弹簧的并联与串联（1）弹簧并联在平衡时有令－－等效弹簧刚146固有频率

当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。固有频率当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个147（2）弹簧串联两个弹簧总的静伸长若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为则有比较上面两式得（2）弹簧串联两个弹簧总的静伸长若设串联弹簧系统的等效弹簧刚148固有频率为当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形固有频率为当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个1494.其他类型的单自由振动系统图为一扭振系统运动微分方程为令则上式可变为4.其他类型的单自由振动系统图为一扭振系统运动微分方程为令则150例4－1已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上，并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。倾角求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。例4－1已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度151解：若物块平衡时，弹簧应有变形量以物块平衡位置O为原点，取x轴如图，运动微分方程为通解为解：若物块平衡时，弹簧应有变形量以物块平衡位置O为原点，取x152固有频率当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点运动方程为固有频率当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点运动方153例4－2已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m的物块时，其静挠度为2mm，若将此物块在梁未变形位置处无初速释放。求：系统的振动规律。例4－2已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m的物块时154解：此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长则梁的刚度系数为取其平衡位置为坐标原点,x轴方向铅直向下运动微分方程为设解：此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长则梁155固有频率在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上其坐标重物初速度则振幅为初相角最后得系统的自由振动规律为固有频率在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上其坐标重物初速度156例4－3已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴O

的转动惯量为J，弹簧刚度系数为k。杆于水平位置平衡。求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。例4－3已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴O157解：摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量由平衡方程以平衡位置为原点，摆绕轴O的转动微分方程为解：摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量由平衡方程以平衡位置为原点158例4－4已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳。轮I连一铅直弹簧，轮II挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆为J，弹簧刚度系数为k，重物质量为m。求：此系统振动的固有频率。例4－4已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径求：159解：以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。系统的势能为不计摩擦，由系统的机械能守恒常数系统动能为解：以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。系统的势能为不160上式两端对时间取一阶导数，得－－自由振动微分方程系统的固有频率为上式两端对时间取一阶导数，得－－自由振动微分方程系统的固有频161如图所示无阻尼振动系统当系统作自由振动时，运动规律为速度为在瞬时t物块的动能为§4－2计算固有频率的能量法如图所示无阻尼振动系统当系统作自由振动时，运动规律为速度为在162若选平衡位置为零势能点，有

对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的单独弹性力的势能。若选平衡位置为零势能点，有对于有重力影响的弹性系统，163当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能由机械守恒定律可得系统的固有频率当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能当物块处于164例4－5求：系统作微振动时的固有频率。已知：如图振动系统中，摆杆OA对铰链点O的转动惯量J，杆的点A和B各安置一个弹簧，刚度系数分别为和。系统在水平位置处于平衡。例4－5求：系统作微振动时的固有频率。已知：如图振动系统中165解：系统振动时摆杆的最大角速度系统的最大动能为选择平衡位置为零势能点最大势能为解：系统振动时摆杆的最大角速度系统的最大动能为选择平衡位置为166即解得固有频率由机械能守恒定律有即解得固有频率由机械能守恒定律有167例4－6求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。例4－6求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。已知168解：系统的动能为系统的势能为解：系统的动能为系统的势能为169当圆柱体作微振动时，可认为设系统作自由振动时θ的变化规律为则系统的最大动能系统的最大势能由机械守恒定律有解得系统的固有频率为当圆柱体作微振动时，可认为设系统作自由振动时θ的变化规律为则1701.阻尼§4－3单自由度系统的有阻尼自由振动阻尼－－振动过程中的阻力。粘性阻尼－－当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比。其中：c－－粘性阻力系数（简称为阻力系数）以阻尼元件c表示。一般的机械振动系统弹性元件（k）惯性元件（m）阻尼元件（c）1.阻尼§4－3单自由度系统的有阻尼自由振动阻尼－－振1712.振动微分方程如以平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力的作用。在振动过程中作用在物块上的力有（1）恢复力（2）粘性阻尼力2.振动微分方程如以平衡位置为坐标原点，在振动过程中作用在物172物块的运动微分方程为令－－固有角（圆）频率－－阻尼系数－－有阻尼自由振动微分方程的标准形式物块的运动微分方程为令－－固有角（圆）频率－－阻尼系数－173其解可设为本征方程方程的两个根为通解为其解可设为本征方程方程的两个根为通解为1743.欠阻尼状态欠阻尼状态本方程的两个根为共轭复数其中A和θ为两个积分常数，由运动的初始条件确定。－－有阻尼自由振动的固有角频率令3.欠阻尼状态欠阻尼状态本方程的两个根为共轭复数其中A和θ为175设t=0，振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。是否为周期振动呢？仍具有振动的特点。设t=0，振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。是否为176定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需要的时间称为衰减振动的周期，记为定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需要的时间177令称为阻尼比令称为阻尼比178设在某瞬时t，振动达到的最大偏离值为A，经过一个周期后－－减缩因数－－相当振幅－－对数减缩，反映阻尼的参数。设在某瞬时t，振动达到的最大偏离值为A，经过一个周期1794.临界阻尼临界阻尼状态－－临界阻力系数本征方程的根为两个相等的实根微分方程的解为是否具有振动的特点？其中和为两个积分常数，由运动的起始条件决定。物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置因此运动已不具有振动的特点4.临界阻尼临界阻尼状态－－临界阻力系数本征方程的根为两个相180过阻尼状态阻力系数本征方程的根为两个不等的实根微分方程的解为5.过阻尼状态其中和为两个积分常数，由运动起始条件来确定过阻尼状态阻力系数本征方程的根为两个不等的实根微分方程的解为181运动图线如图不具有振动性质运动图线如图不具有振动性质182例4－7已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系数为kt，圆盘对杆轴的转动惯量J，如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为。求：圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系例4－7已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系求183解：设为阻力偶系数圆盘绕杆轴转动微分方程为解：设为阻力偶系数圆盘绕杆轴转动微分方程为184例4－8求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。已知：如图弹簧质量阻尼系统，其物体质量为0.05kg，弹簧刚度系数k=2000N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅比。例4－8求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。已知：如185解：对数减缩为阻尼比为系统的临界阻力系数为阻力系数解：对数减缩为阻尼比为系统的临界阻力系数为阻力系数186§4－4单自由度系统的无阻尼受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力其中：H称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；是激振力的初相角；§4－4单自由度系统的无阻尼受迫振动在外加激振力作用下1871.振动微分方程恢复力质点的运动微分方程为取物块的平衡位置为坐标原点，x轴向下为正。令1.振动微分方程恢复力质点的运动微分方程为取物块的平衡位置为188齐次方程的通解为设特解有如下形式其中b为待定常数将代入方程全解为齐次方程的通解为设特解有如下形式其中b为待定常数将代入方189上式表明无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。第一部分是频率为固有频率的自由振动第二部分是频率为激振力频率的振动－－受迫振动上式表明无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。第一部分是频率为1902.受迫振动的振幅（1）若即激振力为一恒力，此时并不振动所谓的振幅实为静力H作用下的静变形（2）若振幅b随着频率ω单调上升当ω接近时，振幅b将趋于无穷大。2.受迫振动的振幅（1）若即激振力为一恒力，此时并不振动所谓191（3）若b为负值b取其绝对值，而视受迫振动，与激振力反向随着激振力频率ω增大，振幅b减小。当ω趋于∞，振幅b趋于零。（3）若b为负值b取其绝对值，而视受迫振动，与激振力反192振幅b与激振力频率ω之间的关系曲线称为振幅频率曲线，又称为共振曲线。将纵轴取为横轴取为振幅频率曲线如图所示振幅b与激振力频率ω之间的关系曲线称为振幅频率曲线，将纵轴取1933.共振现象当时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅b在理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。当时没有意义微分方程式的特解应具有下面的形式代入3.共振现象当时，即激振力频率等于系统的固有频率194当时，系统共振。受迫振动的振幅随时间无限地增大。其运动图线如图所示它的幅值为共振时受迫振动的运动规律为当时，系统共振。受迫振动的振幅随时间无限地增大。195例4－9已知：如图长为l无重杠杆OA，其一端O铰支，另一端A水平悬挂在刚度系数为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球，若在点A加一激振力，其中激振力的频率，为系统的固有频率忽略阻尼。求：系统的受迫振动规律。例4－9已知：如图长为l无重杠杆OA，其一端O铰支，另一196解：设任一瞬时刚杆的摆角为系统的运动微分方程为令解：设任一瞬时刚杆的摆角为系统的运动微分方程为令197可得上述方程的特解，即受迫振动为将代入上式可得上述方程的特解，即受迫振动为将代入上式198例4－10求：当电机以匀速角速度ω旋转时，系统的受迫振动规律。已知：如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上，设电机的质量为，偏心矩为e，弹性梁的刚度系数为k。偏心块的质量为例4－10求：当电机以匀速角速度ω旋转时，系统的受迫振动规199解：质点系动量定理的微分方程质点系包括电机和偏心块。以平衡位置为坐标原点，电机轴心的坐标为x。解：质点系动量定理的微分方程质点系包括电机和偏心块。200受迫振动振幅上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示微分方程令受迫振动振幅上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示微分方程201例4－11求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。已知：如图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数k，测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为例4－11求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。已202解：测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是取t=0时物块的平衡位置为坐标原点O取x轴如图物块绝对运动的微分方程为（a）物块的受迫振动形式为此时激振力的力幅为H=ke解：测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是取t=0203b为物块绝对运动的振幅由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e。记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅当时有记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。b为物块绝对运动的振幅由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e。记204§4－5单自由度系统的有阻尼受迫振动选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下线性恢复力粘性阻尼力简谐激振力质点运动微分方程令－－有阻尼受迫振动微分方程的标准形式§4－5单自由度系统的有阻尼受迫振动选平衡位置O为坐标原205其解由两部分组成在欠阻尼的状态下有其中ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角其解由两部分组成在欠阻尼的状态下有其中ε表示受206对任意瞬时t，上式都必须是恒等式对任意瞬时t，上式都必须是恒等式207将上述两方程联立可解出于是得方程的通解为其中A和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。将上述两方程联立可解出于是得方程的通解为其中A和θ为积分常数208受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。有阻尼受迫振动包括两部分衰减振动过渡过程受迫振动稳态过程振动频率＝激振力的频率受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。有阻尼受迫振动包括两209振幅频率关系曲线横轴表示频率比纵轴表示振幅比影响振幅的因素：激振力的力幅、频率、m、k和c。振幅频率关系曲线横轴表示频率比纵轴表示振幅比影响振幅的因素：210（1）当时当作无阻尼受迫振动处理。（2）当阻尼增大，振幅下降。振幅b具有最大值这时的频率称为共振频率。（1）当时当作无阻尼受迫振动处理。（2）当阻211在一般情况下阻尼比共振频率共振的振幅为（3）当时阻尼对受迫振动的振幅影响也较小将系统当作无阻尼系统处理在一般情况下阻尼比共振频率共振的振幅为（3）当212有阻尼受迫振动的相位角，总比激振力落后一个相位角ε，ε称为相位差。相位差ε随激振力频率变化曲线如图有阻尼受迫振动的相位角，总比激振力落后一个相相位差ε随激振力213例4－12已知：如图为一无重刚杆，其一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻力系数为c，距3l处有一刚度系数为k的弹簧。并作用一简谐激振力。刚杆在水平位置平衡。试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率以及当激振力频率ω等于时质点的振幅。例4－12已知：如图为一无重刚杆，其一端铰支，距铰支端l处214解：设刚杆摆角为θ，振动微分方程为令即系统的固有频率。当时质点的振幅解：设刚杆摆角为θ，振动微分方程为令即系统的固有频率。当215§4－6转子的临界转速使转子发生激烈振动的特定转速－－临界转速。单圆盘转子：质量m，质心为C，圆盘与轴的交点为A，偏心距为e＝AC。圆盘角速度为，转轴弯曲偏离原来的固定轴线，点O为z轴与圆盘的交点，。设转轴安装于圆盘的中点。圆盘惯性力：弹性恢复力：§4－6转子的临界转速使转子发生激烈振动的特定转速－－临216使转轴挠度异常增大的转动角速度－－临界角速度。记为此时的转速称为临界转速。记为使转轴挠度异常增大的转动角速度记为此时的转速称为临界转速。记217§4－7隔振隔振分为主动隔振和被动隔振两类。1.主动隔振主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。如图所示为主动隔振的简化模型。由振源产生的激振力隔振：将振源和需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼元件进行隔离。减振：使振动物体的振动减弱的措施。§4－7隔振隔振分为主动隔振和被动隔振两类。1.主动隔振218按有阻尼受迫振动的理论物块的振幅为弹簧变形而作用于基础上的力通过阻尼元件作用于基础的力这两部分力相位差为90°,而频率相同按有阻尼受迫振动的理论物块的振幅为弹簧变形而作用于基础上的力219它们可以合成为一个同频率的合力，合力的最大值为它与激振力的力幅H之比为其中η称为力的传递率它们可以合成为一个同频率的合力，合力的最大值为它与激振力的力220在不同阻尼情况下传递率η与频率比s之间的关系曲线在不同阻尼情况下传递率η与频率比s之间的关系曲线2212.被动隔振将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。图为被动隔振的简化模型设地基振动为简谐振动将引起搁置在其上物体的振动，这种激振称为位移激振。质点运动微分方程为2.被动隔振将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。图为被动222将的表达式代入其中方程的特解（稳态振动）为将的表达式代入其中方程的特解（稳态振动）为223写成纲量为1的形式其中是振动物体的位移与地基激振动位移之比称为位移的传递率写成纲量为1的形式其中是振动物体的位移与地基激振动位移之224例4－13求：汽车以速度v=45km/h匀速前进时，车体的垂直振幅为多少？汽车的临界速度为多少？已知：如图为一汽车在波形路面行走的力学模型，其中幅度的d=25mm，波长l=5m，汽车质量为m=3000kg，弹簧刚度系数为k=294kN/m，忽略阻尼。路面的波形用公式表示，例4－13求：汽车以速度v=45km/h匀速前进时，车体的225解：令则其中ω相当于位移激振频率以汽车起始位置为坐标原点，路面波形方程可以写为系统的固有频率为解：令则其中ω相当于位移激振频率以汽车226激振频率与固有频率的频率比为求得位移传递率为因此振幅当时系统发生共振有解得临界速度激振频率与固有频率的频率比为求得位移传递率为因此振幅当227§4－8两个自由度系统的自由振动例子：汽车的振动§4－8两个自由度系统的自由振动例子：汽车的振动228上式是一个二阶线性齐次微分方程组两个物块的运动微分方程令上式是一个二阶线性齐次微分方程组两个物块的运动微分方程令229上列方程组的解为其中：A、B是振幅；ω为角频率将上式代入上列方程组的解为其中：A、B是振幅；ω为角频率将上式代入230整理后得系统发生振动时，方程具有非零解则方程的系数行列式必须等于零－－频率行列式－－系统的本征方程，称为频率方程整理后得系统发生振动时，方程具有非零解则方程的系数行列式必须231整理得其中第一根较小，称为第一固有频率。其中第二根较大，称为第二固有频率。结论两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。整理得其中第一根较小，称为第一固有频率。其中第二根232对应于频率的振幅为对应于频率的振幅为其中和为比例常数对应于频率的振幅为对应于频率的振幅为其中和233对应于第一固有频率的振动称为第一主振动它的运动规律为对应于第二固有频率的振动称为第二主振动它的运动规律为对应于第一固有频率的振动称为第一主振动它的运动规律为对应234各个主振动中两个物块的振幅比图b表示在第一主振动中振动形状称为第一主振型图c表示在第二主振动中振动形状称为第二主振型图c中的点C是始终不振动的节点各个主振动中两个物块的振幅比图b表示在第一主振动中振动形状称235主振型和固有频率一样都只与系统本身的参数有关而与振动的初始条件无关因此主振型也叫固有振型.自由振动微分方程的全解为第一主振动与第二主振动的叠加即其中包含4个待定常数它们应由运动的4个初始条件确定主振型和固有频率一样都只与系统本身的参数有关而与振动的初始条236例4－14求：系统的固有频率和主振型。梁的质量忽略不计。已知：如图表示一具有两个集中质量的简支梁在质量处梁的影响系数分别为和，例4－14求：系统的固有频率和主振型。梁的质量忽略不计。已237解：这是两个自由度的振动系统惯性力分别为，根据达朗贝尔原理和材料力学中的变形叠加原理由两个惯性力在和处产生的挠度分别为解：这是两个自由度的振动系统惯性力分别为，根据238整理得系统的运动微分方程（a）令（b）则方程（a）可改写为（c）设上述方程解的形式为（d）整理得系统的运动微分方程（a）令（b）则方程（a）可改写为（239将式（d）代入方程（c）得（e）频率方程为将行列式展开，得解此代数方程，得到关于频率的两个根（f）将式（d）代入方程（c）得（e）频率方程为将行列式展开，得解240整理得（g）可以证明的两个根都是正实根和为系统的两个固有频率振幅比为（h）（i）整理得（g）可以证明的两个根都是正实根和为系统的两241同样可证明和这样可以画出第一主振型和第二主振型如图b，c所示设则根据材料力学公式可计算出其中EI为梁截面的抗弯刚度同样可证明和这样可以画出第一主振型和第二主振型如242再将上述表达式代入式（g）中得再由式（h）和（i）解得振幅比为梁对于其中点具有对称和反对称的两个主振型将上式代入公式（b）得再将上述表达式代入式（g）中得再由式（h）和（i）解得振243例