国开电大 高等数学基础 形成性作业1-4答案

PAGEPAGE18高等数学基础形考作业1：第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．x2A. f(x)( x)2，g(x)x B. f(x) ，g(x)x2x21C. f(x)lnx3，g(x)3lnx D. f(x)x1，g(x)

x1f(x的定义域为(,f(xf(x的图形关于（C）对称．A.坐标原点 B.C. y轴 ⒊下列函数中为奇函数是（B）．

x轴yxyx2) B. yxcosxaxaxC. y 2 D. yx)⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A.yx1 B.yx21, x02yx

y1,

x0⒌下列极限存计算不正确的是（D）．x2A.lim 1 B.limln(1x)0x2xx22 x0C.limsinx

0 D.limxsin10x x x x⒍当x0时，变量（C）是无穷小量．sinx 1x1

xxsin D.ln(x2)x⒎若函数

f(xx满足（A），f(xx连续。0 0A.limf(x)f(xxx0

) B. f(x在点x0

的某个邻域内有定义C. limf(x)f(xxx 0

) D. limxx0

f(x)limxx0

f(x)（二）填空题x29fx29

x

的定义域是

3,．⒉已知函数f(xx2x，则f(x)．1⒊ )x 2x1

e2．1 11⒋若函数

f(x)x)xxk,x1, x

, x0，在x0处连续，则k e ．x0⒌函数yx, x

的间断点是x0．limf(x)Axxxx0 （三）计算题

f(xAx

时的无穷小量。0⒈设函数

x, x0f(x)x, x0求：f(2),f(0),f(1)．f22f00fe2x1⒉求函数ylgx2x1

的定义域． 2x10 1解：ylg 有意义，要求 解得x 或x0x x0 2则定义域为2x|x或x1则定义域为2

x0DARODAROhE解：BC设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得OA2OE2ROA2OE2R2h2R2h2 R2h2 h故SR2R2h2

2R2 R2h2 hRlimsin3xx0⒋求 sin2xx0

sin3x3x

sin3xlimsin3x

lim 3x lim 3x 3 133x02解：x0sin2x x0sin2x xx02

sin2x 2＝1 2 2limx1

x21sin(x

2x 2xlim

x21

lim(x1)(x1)lim

x1

112解：x1

sin(x1)

x1

sin(x1)

x1

sin(x1) 1x1⒍求limtan3x⒍求x0 x解：limtan3x解：

．limsin3x 1

limsin3x

1 311331x21x0 x 1x21lim

x0

3x cos3x 1⒎求x0lim解：x0

sinxsinx

．1x1x21(1x21)(1x21)(1x21)sinx(1x21)sin(1x21)sinxx0 x0⒏求x

x1x

limx0()x．

x1x21x2

sinxx

0 111x1

1 1 1 1 (1 )x [(1 )x x x x

e1解：lim( )xlim( 3)xlim 3 lim

e4xx3 x x

1x e3⒐求lim

x26x8．

1 (1 )x [(1 )3x x x3x4x2

5x4x26x8 x4x2

x

42 2解：lim lim

lim x4x25x4

x

x1

x4x1 41 3⒑设函数讨论f(x)的连续性。

(x2)2, x1f(x)x, 1x1x1, x1x1,x1处讨论连续性（1）limfxlimx1x1limfx1

x

x1

x1

110limfxlimfxfxx处不连续x1 x1（2）

limfxlimx2

1221x1limx

x

x1limx1x1f 11所以lim

fxlimfxffxx1处连续x1由（1）（2）得fx在除点x1外均连续高等数学基础作业2答案：第3章导数与微分（一）单项选择题f(0)0

lim

f(x)

lim

f(x)⒈设 且极

x0

存在，则x

x0 x

（C）．A. f(0) B. f(0)C. f(x) D.0cvxf(x在x0

可导，则h0

f(x0

2h)f(x)02h

（D）．A.2f(x) B. f(x)0 0C.2f(x) D.f(x)0 0f(1x)f(1)⒊设f(x)ex，则limx0 x1 1

（A）．A.e B.2e

2e D.4e⒋设f(x)x(x1)(x2) (x99)，则f(0)（D）．A.99 B.99 C.99! D.99!⒌下列结论中正确的是（C）．A.C.若

f(x)在点x有极限，则在点x可导．B.若f(x)在点x连续，则在点x可导．0 0 0 0f(x)在点x可导，则在点x有极限．D.若f(x)在点x有极限，则在点x连续．0 0 0 0（二）填空题

x2sin1

, x0⒈设函数

f(x)0,

xx0

，则f(0) 0 ．df(lnx) 2ln x 5⒉设f(ex)e2x5ex，则dx

。x x⒊曲线f(x)

1在2)处的切线斜率是k 。x12x1πf(x)sinx在2y1。πyx2xy2x2xlnx)yxlnx

y1x。（三）计算题⒈求下列函数的导数y：⑴y(x3)exxx3x3 xx3x3yx

exx

ex (x3)ex

x2ex2⑵ycotxx2lnx解：y解：x2lnxx2lnxcsc2xx2xlnx⑶y

x2lnx

y x2

lnxx

ln

2xlnxx解：⑷y

cosx2xx3

ln2x ln2xy

cosx2x

x

x2x

x3

x(sinx2xln2)3(cosx2x)⑸y

lnxx2sinx

x32

sinx(1

x42x)(lnxx2)cosxy

lnxx

sinx

lnxx

sinx x⑹yx4sinxlnx

sin2x

sin2x解：y4解：lnxsin4x3sinxx

cosxlnx⑺y

sinxx23x

y

sinxx2

3xsinxx2 3x3x2

3x(cosx2x)(sinxx2)3xln332x⑻yextanxlnx解：yex tanxex

ex

tanx

ex 1⒉求下列函数的导数y：⑴yex

cos2x x

1 1 1

ex

ex

x2 ex2 x22 x⑵ylncosxy 1 sinxsinxtanx解： cosx cos⑶y

x x xx x x 7 7 1

x88x8 ⑷ysin2xy2sin⑸ysinx2

2sinxcosx2sin2xycosx2解：

2x2xcosxycosex2⑹

解：ysinex2 ex2 2xex2sinex2解：⑺ysinnxcosnxyncosnxsinnnsinn1xcosxcosnxnsinnxsin(nx)y5sinx⑻y5sinxln5cosxln5cosx5sinx⑼yecosx⑼yecosxsinxsinxecosx解：⒊在下列方程中，yy(x)是由方程确定的函数，求y：⑴ycosxe2y解：ycosxysinx2e2yy y⑵ycosylnx

ysinxcosx2e2y解：ysiny.ylnxcosy.1解：x

y

cosysinylnx)⑶2xsinyx2⑶y2xcosy.y2siny2yxx2y

y(2xcosyx2)

2yx

2siny

y 2xy2ysiny解：y2 y2 y2

2xy2cosyx2⑷yxlnyyy1 y y解： y y1⑸lnxeyy2解：1eyy2yy y解：x

1x(2yey)⑹y21exsiny解：2yyexcosy.ysinx y⑺eyexy3

exsiny2yexcosy解：eyyex3y2y y

ex3y2ey⑻y5x2yy5xln5y2

ln2

y

5xln512yln2⒋求下列函数的微分dy：（⑴ycotxcscx

ydx）1解：ycsc2xcscxcotx dy( 1

cos

)dx⑵y

lnxsinx1sinxlnxcosx

cos2x sin2xsinxlnxcosx解：yx dy

x dx⑶ysin2x

sin2x sin2x解：y2sinxcosx dy2sinxcosxdx⑹ytanex解：ysec2exex dysec2ex

exdxex

sec2exdx2⒌求下列函数的二阶导数：2y yxx

1x1

y

11x

1

x3⑴ 解： 2 2⑵y3x

2 22 4解：y3xln3 yln33xln3ln233x⑶ylnx解：y1x

y1x2⑷yxsinx解：ysinxxcosx ycosxcosxsinx2cosxxsinx解：（四）证明题设f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数．f(x)

f(x)f(x)两边导数得：

f(x)(1)f(x)f(x)f(x)所以f(x)是偶函数。高等数学基础形考作业3答案：第4章 导数的应用（一）单项选择题f(x)

(a,b)

f()f(b)f(a)⒈若函数

满足条件（D），则存在

，使得

ba ．A.在(a,b)内连续 B.在(a,b)内可导C.在(a,b)内连续且可导 D.在[a,b]内连续，在(a,b)内可导⒉函数

f(x)x24x1的单调增加区间是（D ）．A.(,2) B.(1,C.(2,) D.(2,)⒊函数yx24x5在区间(6,6)内满足（A ）．A.先单调下降再单调上升C.先单调上升再单调下降B.单调下降D.单调上升⒋函数f(x)满足f(x)0的点，一定是f(x)的（C ）．A.间断点 B.极值点C.驻点 D.拐点⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x (a,b)，若f(x)满足（C），则f(x)在x取到极小值．0 0A. f(x)0,f(x)0 B. f(x)0,f(x)00 0 0 0C. f(x)0,f(x)0 D. f(x)0,f(x)00 0 0 0f(x在(abf(x0,f(x)0f(x在此区间内是（A）．A.单调减少且是凸的 B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的 D.单调增加且是凹的（二）填空题⒈设f(x)在(a,b)内可导，x (a,b)，且当xx时f(x)0，当xx时f(x)0，则x是f(x)的0 0 0 0极小值 点．⒉若函数

f(x)在点x可导，且x是f(x)的极值点，则f(x) 0 ．0 0 0yx2的单调减少区间是(,0．f(x)e的单调增加区间是(0,)⒌若函数

f(x在[abf(x0f(x在[abf(a．⒍函数

f(x)25x3x3的拐点是

0,2（三）计算题⒈求函数y(x1)(x5)2的单调区间和极值．解：令y(x1)2(x3(x5)(x解：令X1(1,5)5(5,)X1(1,5)5(5,)y+0—0+y上升极大值下降0上升32列表：极大值：极小值：

f(1)32f(5)0y上升2下降y2x20xx（0,1）1（1,3）y上升2下降y2x20xx（0,1）1（1,3）y+0—yx2 2x3 x12 23 6 2极值点：f12最大值f(3)6最小值f(1)2求曲线y2 2x上的点，使其到点A的距离最短．解：设是y2 2x上的点，d为p到A点的距离，则：(x2)2(x2)2y2222x

2xx1 2x2x2y2 2,22A2x2圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V R2h h232h)L2 h2] 3h2]0 L h L33233R 2333

L时其体积最大。3一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V RS表面积

2R22VR

2R2令S20

V R3R h3V233V233V23答：当R3V2362.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底长为x，高为h。则：62.5x2h h

62.5x2

250Sx250

4xhx2x令S2xx2

0 x3125x5答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。（四）证明题x0时，证明不等式xx)．证：在区间上对函数fxlnx应用拉格朗日定理，有证：在区间xln11

11x,其中

1

xln(1x)

0时，证明不等式exx1．证：设f(x)ex(x1)f(x)ex10 x） x,f(x)单调上升f(0)0f(x)0,即ex(x高等数学基础形考作业4答案：第5章 不定积分第6章 定积分及其应用（一）单项选择题f(x)

1 f(x)⒈若 的一个原函数是 ，则x

（D）．A.lnx B.1x21 2C. D.x x3⒉下列等式成立的是（D）．Af(x)dxf(x) B.df(x)f(x)C.df(x)dxf(x)

df(x)dxf(x)dxf(x)cosx，则f(x)dx（B）．A.sinxc B.cosxcsinxc D.cosxcd⒋dx

x2f(x3)dx

（B）．f(x3) B. x2f(x3)1 1C. 3

f(x)

f(x3)3x1⒌若f(x)dxF(xc，则x1

f( x)dx

（B）．A. F( x)c B.2F( x)cxC. F(2 x)c x

1 F( x)c⒍下列无穷限积分收敛的是（D）．1 A.1

dx B.x

exdx1 dx1 x

dx11 x21（二）填空题⒈函数f(x)的不定积分是f(x)dx。⒉若函数F(x与G(x是同一函数的原函数，则F(x与G(x之间有关系式F(xG(xc(常数。⒊d

e

ex2。⒋(tanx)dxtanxc。⒌若f(x)dxcos3xcf(x)9cos(3x。⒍33

(sin

x1)dx32⒎若无穷积分

11 xp

收敛，则

p0。（三）计算题cos1 xdxcos1d(1)sin1c⒈x2 x x x⒈xxx⒉e dx2